非流动资产中差价期权定价模型的数值分析

只有当re是常数c（与θ、φ、dt、dx和dy无关）且g |（θ、φ、dt、dx和dy）|≤ 1+cdt。（4.22）这里g（θ，φ，dt，dx，dy）是带有（dt，dx，dy）的方案的放大因子∈ Λ. 如果g（θ，φ，dt，dx，dy）独立于dx，dy和dt，则上述稳定性条件可以替换为限制稳定性条件|g（θ，φ）|≤ 1.（4.23）证据。见[9]。备注4.2。该定理表明，为了确定具有常数系数的有限差分格式的稳定性，我们只需要考虑放大因子g。该定理不直接适用于具有可变系数的问题。尽管如此，恒常系数格式的稳定性条件可用于给出适用于变系数方程的同一格式的稳定性条件。一般的程序是考虑方案中的每个冻结系数问题。冻结系数问题是通过将系数按其在计算域中的每个点上获得的值进行筛选而获得的常数系数问题。如果每个冻结系数问题是稳定的，那么可变系数问题也是稳定的。感兴趣的读者可以在[13,14]中看到这个结果的证据。为了确定放大系数，一个更简单、等效的程序是用g替换方案中的V0、Lm和V1、Lm-l，n和m的每一个值的leimθeinφ。

然后，可以求解得到的方程中的厄姆系数。用bgg替换V0、l+1/2M和V0、LMNB-leimθeinφ和g-leimθeinφ分别为tAdxV0，长+1/2m，北=tbgg-莱姆θeinφ(-2σxmsinθx+rxmisinθx） =bgg-莱姆θeinφ(-asinθ+bisinθ）塔迪夫，-lm，n=甘油三酯-莱姆θeinφ(-2σynsinφy+赖氨酸φY- r） =g-莱姆θeinφ(-asinφ+bisinφ- c）tAdxdyV0，长+1/2米，北=tbgg-莱姆θeinφσρxmyn(-sinθsinφ十、y） =-bgg-leimθeinφcsinθsinφtAdxdyV0，lm，n=甘油三酯-莱姆θeinφσρxmyn(-sinθsinφ十、y） =-G-leimθeinφcsinθsinφ。（4.24）此处（xm）=tσxmx、 b（xm）=trxm2x、 c=rt、 a（yn）=tσyny、 b（yn）=tryn2y、 c（xm，yn）=tσσρxmyn2十、y、 （4.25）此外，通过bgg替换V1、l+1/2M和V1、LMNB-leimθeinφ和g-leimθeinφ，我们有tAdxV1，长+1/2米，北=tbgg-莱姆θeinφ(-2σxmsinθx+rxmisinθx） =bgg-莱姆θeinφ(-asinθ+bisinθ）塔迪夫1号，lm，n=甘油三酯-莱姆θeinφ(-2σynsinφy+赖氨酸φY- r） =g-莱姆θeinφ(-asinφ+bisinφ- c）tAdxdyV1，长+1/2米，北=tbgg-莱姆θeinφσρxmyn(-sinθsinφ十、y） =-bgg-leimθeinφcsinθsinφtAdxdyV1，长+1m，北=甘油三酯-莱姆θeinφσρxmyn(-sinθsinφ十、y） =-G-leimθeinφcsinθsinφ。（4.26）根据“杜哈默尔原理”，我们在稳定性分析中忽略了Gl+1和GL1项（更多细节[9]）。我们得到了放大系数rg=1- asinφ+bisinφ- C- csinθsinφ（1+asinθ）- bisinθ）bg（4.27），其中bg=1+asinφ- bisinφ+c1- asinθ+bisinθ- csinθsinφ。（4.28）通过安排，一个getsg=[1- asinθ- csinθsinφ+（bsinθ）i][1- asinφ- C- csinθsinφ+（bsinφ）i][1+asinθ- （bsinθ）i][1+asinφ+c- （bsinφ）i]。（4.29）因此| g（θ，φ）|=[（1）- asinθ- csinθsinφ）+bsinθ][（1- asinφ- C- csinθsinφ）+bsinφ][（1+asinθ）+bsinθ][（1+asinφ+c）+bsinφ]（4.30）根据（4.25），我们可以将a=Ca，c=BcaW，其中c和Bc是常数。莫罗沃巴→作为0，0十、→ 0，所以b=ξaasξ→ 0，b=ξa，c=ξa。

因此，通过替换in（4.30），一个getslimξ→0gξ=limξ→0[(1 - asinθ- csinθsinφ）+bsinθ][（1- asinφ- C- csinθsinφ）+bsinφ][（1+asinθ）+bsinθ][（1+asinφ+c）+bsinφ]=（1- asinθ-bCasinθsinφ）（1- 套管φ-bCasinθsinφ）（1+asinθ）（1+Casinφ）。（4.31）只要找到以下条件就足够了：- asinθ-bCasinθsinφ）（1- 套管φ-bCasinθsinφ）（1+asinθ）（1+Casinφ）≤ 1.（4.32）注意Asinθ+bCasinθsinφ≤ a | sinθ|+bCa | sinθsinφ|≤ a | sinθ|[|sinθ|+2bC | cosθsinφ|]≤ a[1+2bC]。（4.33）因此1- asinθ-bCasinθsinφ≥ 0，前提是[1+2bC]≤ 1.我们还有casinφ+bCasinθsinφ≤ Ca | sinφ|+bCa | sinθsinφ|≤ a | sinφ|[Csinφ+4bC | cosφsinθ|≤ a[C+2bC]。（4.34）然后1-套管φ-bCasinθsinφ≥ 0，前提是[C+2bC]≤ 1.因此，我们应该发现（1）- asinθ-bCasinθsinφ）（1- 套管φ-bCasinθsinφ）（1+asinθ）（1+Casinφ）≤ 1，（4.35）或等效值（sinθ+bCsinθsinφ+Csinφ）(-2+abCsinθsinφ）≤ 0.（4.36）自| y |≤ 1，那么对于任何x∈ R，xy≥ - |x |和C≥ 4bC，我们有sinθ+bCsinθsinφ+Csinφ≥ |sinθ|- 4bC | sinθsinφ|+4bC | sinφ|=（| sinθ|- 2bC | sinφ|）≥ 因此，如果≤bCand | g（θ，φ）|≤ 1 ifa≤ A=min{bC，1+2bC，bC+2bC}或T十、≤Aσ。xmax，TY≤Aσ。ymax。（4.38）自x=y和xmax=ymax，得到了该方案稳定的一个充分条件T十、≤Amax{σ，σ}xmax。（4.39）因此，如果时间间隔L和空间域M=N的步数满足Satisfy不等式（4.39），则Peaceman-Rachford方案是稳定的。这种情况是交叉导数仪的结果。如果没有这些条款，该计划将是无条件稳定的。我们需要解决的主要问题是数值方法是否收敛到问题的真实值。根据[9]，该格式在时间和空间上具有一阶精度，并且由于稳定性，该格式是收敛的。

下一节将总结这种收敛的结果。5数值结果让我们根据表1确定边缘动力学方程的参数值。我们还对价格影响λ（t）采用以下形式=ε(1 - E-β（T-t） 3/2），S6 S，0，否则，其中ε是恒定价格影响系数，t- t是到期时间，β是衰减系数，分别表示股票价格的下限和上限，在该下限和上限内存在影响价格。在随后的数值分析中，我们考虑S=60、S=140、ε=0.01和β=100。选择不同的β值，S将改变后续结果的大小，但主要的定性结果仍然有效。S（t）σSminSmaxAsset 1 112 0.15 0 200 Asset 2 104 0.10 0 200表1：模型数据和r=0.04数值结果的收敛性。正如我们在第1节中提到的，在非流动性市场中期权的确切期权价值是未知的。由于λ=0导致标准的Black-Scholes m od el，我们将数值方法（λ=0和strike 0）得到的结果与Margrabe交换期权（即strike 0的价差期权）的封闭公式进行比较。

我们计算了参数70809010011012070809010011012000.10.20.30.40.50.60.7股票价格2股票价格1绝对误差图1：我们的近似值与Margrabe闭合公式之间的绝对误差，σ=0.15，σ=0.10，r=0.05，ρ=0.7，T=0.7年，m=50，l=100。10.10 10.1979 9 9.10 10.9 9 9.9 9 9.10 10.9 9 9.9 9 9 9.9 9 9 9.9 9 9 9.9 9 9.9 9 9 9 9.10 10 10 10.10 10 10 10.10 10 10 10 10 10.10 10 10 10 10 10 10.10 10 10 10 10 10.10 10 10 10 10 10 10.10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10.10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10.10 10 10 10 10 10.10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10.10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 Margrabe 8.0692 8.6235 9.22949.9 9.9 9.9 9.9 9.9 9.9 9.9 9.9 9.9 9.9 9.3 15110 10 7.9 9 9.9 9 9 9.9 9 9 9.9 9 9 9.9 9 9 9.9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9.9 9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.9 9.9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.6244200 200 200 200 200 200 200 200 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.62200 200 200 200 200 200 200 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.9 9表2:t.3799 8.6675的收敛性和平人拉赫福德方法到马格拉比公式。数据如表1所示。根据表1，改变相关系数ρ的值。表2总结了该收敛性研究的结果。从表中我们可以看出协议非常好。我们将近似值的绝对误差（使用λ=0、str-ike 0和Margrabe的闭合公式作为基准点）与图1中的Stocks作图。

非流动市场中差价期权的数值方法的结果如表3所示。k=-15 k=-5 k=-7.7 7.7 7.7 7.7 7.7 7.7 7.7 7.7 7.7 7.7 7.7 7.7 7.7 7.4.9 9 9.9 9 9 9.9 9 9 9 9.9 9 9 9.9 9 9 9 9.9 9 9 9.9 9 9 9.9 9 9 9.9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.0.0.0.0.0.0.0.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0.2593 0.0055超额价格0.00006 0.0009 0.00130.0013 0.0012 0.0009 0.0004 0.00001ρ=0.9 14.6833 5.2299 3.0523 1.9601 1.1531 0.4387 0.0088 0.0029超额价格0.00003 0.0013 0.0020 0.0020 0 0 0.0018 0.0012 0.0003 0.0000表3：基于不同相关性的0.4年期欧洲看涨差价期权的价值，以及价格。超额价格显示了看涨期权与布莱克-斯科尔斯看涨期权的不同。用于这些运行的参数值为σ=0.15，σ=0.10，r=0.05，m=l=100。复制成本。接下来，研究p rice impact（全反馈模型）对扩散期权复制成本的影响。我们研究了超额价格，即完全反馈模型中的callprice与相应的Black-Scholes价格之间的差异。70809010011012070809010011012002468x 10-4股票价格1股票价格2超过黑色-Scholes图2：买入价差异（全反馈模型和经典模型）作为时间0时股票价格与S.K=5、σ=0.3、σ=0.2、r=0.05、ρ=0.7、T=0.1和m=l=100.708090100110608101000.511.5x 10的函数-3存货价格1存货价格2超过黑色-Scholes图3：买入价差异（全反馈模型和经典模型）作为时间0与S的股价函数。

K=5，σ=0.3，σ=0.2，r=0.05，ρ=0.7，T=0.4，m=l=100.708090100110120608010012000.511.5x 10-3存货价格1存货价格2超过黑色-Scholes图4：买入价差异（全反馈模型和经典模型）作为时间0时股票价格与S.K=5、σ=0.3、σ=0.2、r=0.05、ρ=0.7、T=1和m=l=100的函数。这些数据表明，全反馈模型中的价差期权价格高于经典价差期权价格。-30-25-20-15-10-5 0 5 1000.20.40.60.811.21.41.61.8x 10-3打击价格超过黑色-Scholes图5：看涨期权价格与执行价的差异（全反馈模型和经典模型）。K.S（t）=100，S（t）=110，σ=0.15，σ=0.10，r=0.05，ρ=0.7，t=0.4年，m=l=100。随着期权越来越多地存在于货币内，也越来越多地存在于货币外，超额价格几乎收敛到零。6结论在这项工作中，我们研究了一个将基础资产的非流动性纳入经典多资产Black-Scholes-Merton框架的模型。我们考虑了完全反馈模型，假设套期保值者知道反馈效应，因此会相应地改变套期保值策略。由于该模型中没有期权价格的分析公式，我们应用匹配辛展开技术将描述价格的偏微分方程线性化。我们采用标准的交替方向隐式方法（Peaceman-Rachford格式）数值求解相应的线性方程组。我们还讨论了数值格式的稳定性和收敛性。通过数值实验，我们研究了全反馈模型中流动性对扩散期权定价的影响。

最后，我们发现，在具有有限流动性（全反馈模型）的市场中，差价期权价格比经典Black-Scholes-Merton框架下的差价期权价格p更高。参考文献[1]黑色。F和斯科尔斯。M、 《期权定价与公司负债》J.政治经济学81（1973），第637-654页。[2] 弗雷，一个大型交易商的完美选择应用，金融斯托赫。，1998年，第115-142页。[3] J.Schonbucher和P.Wilmott，《非流动性市场中套期保值的反馈效应》，暹罗J.Appl。数学61（2000），第232-272页。[4] iu和J.Yong（2005），非流动性基础资产市场的期权定价，J。经济。迪纳姆。《控制》，第29页，第2125-2156页。[5] 克里斯托·弗弗·J·格洛弗、彼得·W·鸭子、大卫·P·牛顿。关于有限流体的非线性模型：一些注意事项。暹罗应用数学杂志70:8，（2010），3252-3271。[6] 玛格拉比。W、 将一种资产换成另一种资产的期权价值，J.Finance 33（1978）第177-86页。[7] 柯克。E、 《能源市场的相关性》，管理能源价格风险第一版edn（风险出版物），1995年，第71-8页。[8] 纽约商品交易所《裂纹扩展手册》合作伙伴。未来资源。com/marketcenter/pdfs/crack。pdf，2011年。[9] 《有限差分格式和偏微分方程》，查普曼和霍尔，1989年。[10] 杜菲，D.J，金融工程中的有限差分方法，威利金融2006。[11] Peaceman，D.W.和H.H.Rachford，《抛物线和椭圆微分方程的数值解》，工业和应用数学学会杂志，第3卷，第1期，1955年，28-41页。[12] 杜菲，《动态资产定价理论》，第二版，普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿。(1996).[13] Lax，P.D.和L.Nirenberg，关于差异方案的稳定性；格丁不等式的一种尖锐形式，康姆。纯苹果。数学19（1966），pp。473-492.[14] 韦德，B。

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