非流动资产中差价期权定价模型的数值分析

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英文标题：
《Numerical analysis for Spread option pricing model in illiquid
  underlying asset market: full feedback model》
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作者：
Ahmad Reza Yazdanian, T A Pirvu
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  This paper performs the numerical analysis and the computation of a Spread option in a market with imperfect liquidity. The number of shares traded in the stock market has a direct impact on the stock\'s price. Thus, we consider a full-feedback model in which price impact is fully incorporated into the model. The price of a Spread option is characterize by a nonlinear partial differential equation. This is reduced to linear equations by asymptotic expansions. The Peaceman-Rachford scheme as an alternating direction implicit method is employed to solve the linear equations numerically. We discuss the stability and the convergence of the numerical scheme. Illustrative examples are included to demonstrate the validity and applicability of the presented method. Finally we provide a numerical analysis of the illiquidity effect in replicating an European Spread option; compared to the Black-Scholes case, a trader generally buys more stock to replicate this option.
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中文摘要：
本文对不完全流动性市场中的差价期权进行了数值分析和计算。股票市场上交易的股票数量对股票价格有直接影响。因此，我们考虑一个完全反馈模型，其中价格影响完全纳入模型。价差期权的价格由一个非线性偏微分方程描述。通过渐近展开将其简化为线性方程组。采用Peaceman-Rachford格式作为交替方向隐式方法数值求解线性方程组。我们讨论了数值格式的稳定性和收敛性。举例说明了该方法的有效性和适用性。最后，我们对复制欧洲价差期权的非流动性效应进行了数值分析；与Black-Scholes案例相比，交易者通常会购买更多股票来复制该期权。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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PDF下载：
--> Numerical_analysis_for_Spread_option_pricing_model_in_illiquid_underlying_asset_.pdf (254.65 KB)

2022-5-6 07:06:36 上传

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关键词：期权定价模型 数值分析 期权定价 定价模型 流动资产

非流动性基础资产市场价差期权定价模型的数值分析：全反馈模型A。R.亚兹达尼安*a、 伊朗德黑兰埃姆南大学数学、统计和计算机科学学院。b加拿大汉密尔顿麦克马斯特大学数学与统计系。本文对一个不完全流动性市场中的Spr-ead期权进行了数值分析和计算。股票市场上交易的股票数量直接影响股票的价格。因此，我们考虑一个完全反馈模型，在该模型中，价格影响被完全纳入模型。价差期权的价格由一个非线性偏微分方程描述。这是通过渐近展开来简化线性方程组。采用Peaceman-Rachford格式作为交替方向隐式方法数值求解线性方程组。我们讨论了数值格式的稳定性和收敛性。举例说明了该方法的有效性和适用性。最后，我们对复制欧洲价差期权的非流动性效应进行了数值分析；与Bla-ck-Scholes案例相比，交易者通常会购买更多股票来复制这种期权。关键词：差价期权定价、价格影响、非流动市场、非线性金融、渐近分析、Peaceman-Rachford方案。1导言经典资产定价理论假设交易者充当价格接受者，也就是说，他们对支付或收到的价格没有影响。在资产定价模型中，这种假设的放松及其对已实现收益的影响被称为流动性风险。与上述讨论一致，大多数期权定价模型都认为，期权交易者在交易基础资产以复制期权时不能影响定价*通讯作者。

电话：+989128487540；电子邮件：ahmadreza。yazdanian@gmail.compayo不管她的交易规模。Black和Scholes[1]的论文，以及数学基金会的许多工作都是在这种基本假设下完成的（只有在流动性不完全的市场中才合理）。在存在价格影响的情况下，期权的复制变得更加复杂。第一个问题是该选项是否完全可复制。其次，我们必须找出价格的存在如何影响复制成本。这促使研究人员s开发了一个具有价格影响作用的Black-Scholes模型，因为一个大型交易者能够通过他的/她的行为s移动p大米。这些研究的卓越之处可在[2,3,4,5]中找到。这些研究大多讨论了价格影响如何影响单一股票期权的复制。本文的目的是研究不完全流动性对典型期权交易者在完全反馈模型中复制欧洲价差期权的影响（任何交易都会影响未贴现的价格）。差价期权是多资产衍生工具的一个简单例子，其收益是两种或两种以上资产的价格差；例如，让两个基础资产的价格同时上涨∈ [0，T]是S（T）和S（T），然后是到期日为S（T）的欧洲价差期权的支付函数-S（T）-k] +（这里k是选项的走向，函数x+定义为x+=max（x，0））。因此，欧洲价差期权持有人有权但无义务购买价差（T）-S（T）按预先规定的价格k和到期日T。一般来说，没有任何关于多资产期权价格的分析公式（即使在具有完美流动性的模型中）。唯一的例外是交换期权（行权为零的差价期权）的保证金公式[6]。

Margrabe推导出了这类期权的Black-andScholes-ty pe解，如下所示Cm=SΦ（d+）- SΦ（d）-), （1.1）式中Φ为标准正态累积分布函数，d±=ln（S/S）σ√T±σ√T，σ=qσ+σ- 2ρσσ.（1.2）由于相关对数正态分布的线性组合不是对数正态分布，对于非零击数，在多元对数正态分布模型下，不存在封闭的f-Form S pread期权估值公式。人们依靠近似公式和数值方法来评估价差。Kirk[7]提出了以下关于带付息（S（T）的利差期权的分析近似值- S（T）- k） +CM=SΦ（d+）- （S+k）Φ（d）-), （1.3）式中d±=ln（S/（S+k））σ√T±σ√T，σ=rσ+（SS+k）σ- 2SS+kρσ。（1.4）当罢工k离零不远时，该公式提供了一个很好的Spr-ead期权价格近似值。所有这些关于价差期权的研究都假设了一个具有完美流动性的模型。几个价差期权在市场上交易。一些流行的价差期权产品有：Fix edIncome价差期权和商品价差期权（包括压碎价差期权、破裂价差期权、火花价差期权）。在这项工作中，我们将把兴趣集中在石油市场和更具体的最常被引用的价差期权之一，即裂缝价差。裂缝扩展表示原油和石油产品（汽油或取暖油）的价格差异。联合国指数包括原油、取暖油和无铅汽油的期货价格。有关裂纹预涂覆的详细信息，请参见《纽约商品交易所（NYMEX）裂纹扩展手册》[8]。在流动性有限的石油市场中，交易确实会影响不稳定的资产价格。

在我们的研究中，我们将调查当交易只影响原油价格而不影响石油产品时，大米对石油市场差价期权定价的影响。本文的组织结构如下：第2部分讨论了总体框架。在第三节中，我们应用了描述期权价格的完全非线性偏微分方程的渐近展开式。在第四节中，我们提出了线性化方程的数值方法。（采用了Peaceman-andRachford数值格式[11]）。我们讨论了该方案的稳定性和收敛性。第五章，我们进行了几个数值实验，并对欧洲传呼模型进行了数值分析。第6节包含结论标记。2问题陈述在本节中，我们描述了用于定价差价期权的设置。我们基于过滤概率的金融市场模型(Ohm, F、 {Ft}t∈[0，T]，P）满足通常条件，由两项资产组成。它们的价格由二维扩散过程S（t）=（S（t），S（t））建模。本文中所有的随机过程都假定为{Ft}t≥0-adapted。它们的动力学由以下随机微分方程给出，其中W（t）=（W（t），W（t））定义为二维标准相关布朗运动，相关系数ρ和{Ft}t∈[0，T]是由所有P-null集增强的自然过滤：dSi（T）Si（T）=ui（T，Si（T））dt+σi（T，Si（T））dwi（T）；i=1,2。（2.1）这里ui（t，Si（t））和σi（t，Si（t））是在没有价格影响的情况下股票i的预期收益和波动性。可以添加一个强制项λ（t，S（t）），即dS（t）=u（t，S（t））S（t）dt+σ（t，S（t））S（t）dw（t）+λ（t，S）d（t） ，dS（t）=u（t，S（t））S（t）dt+σ（t，S（t））S（t）dw（t），（2.2）（λ（t，S（t））是第一只股票的价格影响函数）。

λ（t，S（t））d项（t） 代表交易策略的价格影响（t） 。我们注意到经典的Black-Scholes模型是λ（t，S（t））=0的这种模型的特例。我们的目标是在这种非流动性市场模型中为差价期权定价。期权到期时的支付（在这种情况下为看涨期权）为：h（s（T），s（T））=（s（T）- S（T）- k） +，（2.3）式中，k是履约价格。众所周知的广义Black Scholes方程（更多细节[12]）用于描述S的全反馈模型中的扩展期权价格。这导致了非线性模型五、t+2（1）- λ五、S） （σS+λσS）(五、sS） +2ρσSSλ五、s（S）五、S+σS五、S+1- λ五、S×（σσρSS+λσS五、s（S）五、sS+r（S）五、S+S五、（S）- rV=0，0<S，S<∞, 0≤ t<t，V（t，S，S）=h（S，S），0<S，S<∞,（2.4）终端条件为T。请注意，用于价差期权的经典Black-Scholes模型是该模型的特例，其λ=0.3匹配渐近展开在本节中，我们使用匹配渐近展开技术来线性化（2.4）。

为此，将λ（t，S（t））=εbλ（t，S（t）），使（2.4）变为五、t+2（1）- ελb五、S） （σS+（εbλ）σS(五、sS） +2ρσSSεbλ五、s（S）五、S+σS五、S+1- εbλ五、S（σσρSS+εbλσS）五、s（S）五、sS+r（S）五、S+S五、（S）- rV=0。（3.1）用V（t，S，S）替换方程式（3.1）中的V（t，S，S）~ V（t，S，S）+εV（t，S，S）+o（ε），（3.2）我们得到（V+εV）t+（V+εV）S2（1）- εbλ（V+εV）S） （σS+（εbλ）σS(（V+εV）sS） +2ρσSSεbλ（V+εV）sS） +1- εbλ（V+εV）S（σσρSS+εbλσS）（V+εV）s（S）（V+εV）sS+σS（V+εV）S+r（S）（V+εV）S+S（V+εV）（S）- r（V+εV）+o（ε）=0。（3.3）利用麦克劳林级数展开式，我们得到：2（1）- εbλ（V+εV）S） =+εbλ五、S+o（ε）1- εbλ（V+εV）S=1+εbλ五、S+o（ε）。（3.4）因此我们得到了V（t，S，S）的以下线性方程五、t+σS五、S+σS五、S+σSSρ五、sS+r[S]五、S+S五、S]- rV=0，V（T，S，S）=h（S，S），0<S，S<∞,（3.5）和V（t，S，S）五、t+σS五、S+σS五、S+σSSρ五、sS+r[S]五、S+S五、S]- rV=G，V（T，S，S）=0，0<S，S<∞.（3.6）此处g=-bλ（2ρσSS）五、ss五、S+σS(五、S） +σS(五、sS） ）。（3.7）在下文中，我们采用数值格式来计算V（t，S，S）和V（t，S，S）。4偏微分方程的数值解4。1交替方向在本节中，我们提出了一种求解偏微分方程的数值方法：五、t+σx五、x+σy五、y+σxyρ五、十、y+r[S]五、x+S五、y]- rV=0，V（T，x，y）=h（x，y），0<x，y<∞,（4.1）和五、t+σx五、x+σy五、y+ρσxy五、十、y+r[S]五、x+y五、y]- rV=G，V（T，x，y）=0，0<x，y<∞.（4.2）函数V（t，x，y）和V（t，x，y）定义在[0，t]×[0，∞) ×[0, ∞). 为了简化符号，我们写下：L=t+Ax+Ay+Axy，（4.3）式中x=σxx+rx十、- rΘ，Ay=σyy+yY- r（1）- Θ），Axy=σxyρ十、y、 （4.4）和0≤ Θ ≤ 1.虽然对称性考虑可能代表Θ=，但使用Θ=0或Θ=1在计算上更简单，即包括rV- 在两个运算符中的一个运算符中完全使用术语。

因此，我们可以写作LV（t，x，y）=0，LV（t，x，y）=G，（4.5），其中G=-bλ（2ρσxy）F十、YFx+σx(Fx） +σy(F十、y） ）。（4.6）为了确定这些方程的数值解，我们需要将空间域截断为丰富区域：{（x，y）；0≤ 十、≤ xmax，0≤ Y≤ ymax}。让我们在时间间隔和截断的s空间域中引入一个点网格：tl=lt，l=0，1。。。Lt=TL，xm=mx、 m=0，1。。。Mx=xmaxM，yn=ny、 n=0，1。。。Ny=ymaxN。（4.7）对于s im plicity，假设xmax=ymaxandx=y、 在网格上的一点上计算的函数V（t，x，y）和V（t，x，y）表示为V0，lmn=V（tl，xm，yn）和V1，lmn=V（tl，xm，yn）。如果我们需要在特定时间点参考解决方案，我们将使用符号V0，l=V（tl，xm，yn）和V1，l=V（tl，xm，yn）。此外，让符号Adx、ADY和ADXDY注意到运算符Ax、AY和Axy的二阶近似值。由于微分算子可以像（4.4）中那样拆分，我们可以使用交替方向隐式（ADI）。总的想法是将一个时间步长分成两个，并考虑一个时间步长上的一个操作器或一个空间坐标。我们实施了“和平人-拉赫福德”方案。让我们从时间方向上的离散化（4.1）开始：Vt（（l+1/2）t、 x，y）=V0，l+1- V0，lt+O(t） （Ax+Ay+Axy）V=Ax（V0，l+1+V0，l）+Ay（V0，l+1+V0，l）+Axy（V0，l+1+V0，l）+O(t） 。（4.8）下一次插入（4.3），乘以t、 并重新安排以获得：-税-tAy）V0，l=（I）+税+tAy）V0，l+1+tAxy（V0，l+1+V0，l）+O(t） ，（4.9），其中I表示标识运算符。

如果我们加上tAxAyV0，左侧和右侧tAxAyV0，l+1在右边，我们犯了一个错误，就是O(t） 因此：（我-税（I）-tAy）V0，l=（I）+税（I）+tAy）V0，l+1+tAxy（V0，l+1+V0，l）+O(t） 。（4.10）我们现在在空间坐标中离散化Axby Adx、Ayby ady和Axyby Adxdy（I-（一）-tAdy）V0，l=（I）+（一）+tAdy）V0，l+1+tAdxdy（V0，l+1+V0，l）+O(t） +O(Tx） 。（4.11）这导致了和平人拉赫福德方法[9]（I）-tAdx）V0，l+1/2=（I+tAdy）V0，l+1+α，（I-tAdy）V0，l=（I）+tAdx）V0，l+1/2+β，（4.12），其中辅助函数V0，l+1/2与上述方程相联系。我们引入了α和β值来考虑混合导数项，因为不清楚该项应如何分割。为了使（4.12）与（4.11）保持一致，我们要求：+tAdx）α+（I）-tAdx）β=tAdxdy（V0，l+1+V0，l），（4.13），其中阶数的差异(t） 可参考（4.10）中的类似术语。α和β的可能选择之一是α=tAdxdyV0，l+1，β=tAdxdyV0，l+1/2。（4.14）最后，Vin（4.1）的Peaceman-Rachford方案如下（I）-tAdx）V0，l+1/2=（I+tAdy）V0，l+1+tAdxdyV0，l+1，（I-tAdy）V0，l=（I）+tAdx）V0，l+1/2+tAdxdyV0，l+1/2。（4.15）在第一步中，我们使用V0，l+1计算V0，l+1/2。这一步在x方向上是隐式的。在第二步中，由方程式（4.15）定义，我们使用V0，l+1/2来计算V0，l。这一步在y方向上是隐式的。Vin（4.2）的Peaceman-Rachford方案如下所示：-tAdx）V1，l+1/2=（I+α，1+V1-tAdy）V1，l=（I）+tAdx）V1，l+1/2+β，（4.16），其中辅助函数V1，l+1/2与上述方程相联系。为了使（4.16）与（4.11）一致，我们要求+tAdx）α+（I）-tAdx）β=tAdxdy（V1，l+1+V1，l）-t（Gl+1+Gl）。（4.17）α和β的可能选择之一是α=tAdxdyV1，l+1-tGl+1，β=tAdxdyV0，l+1/2-tGl。

（4.18）Vof（4.2）的和平人-拉赫福德方案如下：-tAdx）V1，l+1/2=（I+tAdy）V1，l+1+tAdxdyV1，l+1-tGl+1（I）-tAdy）V1，l=（I）+tAdx）V1，l+1/2+tAdxdyV0，l+1/2-tGl。（4.19）在第一步中，使用V1，l+1计算V1，l+1/2。这一步在x方向上是隐式的。在第二步中，由方程（4.19）定义，我们使用V1，l+1/2来计算V1，l。这一步在y方向上是隐式的。请注意，由于使用了导数的中心近似，在x=y=0，xm=Xmax和ymax时，出现了外部活动节点x-1= -x、 y-1= -y、 xM+1=（M+1）x和yn+1=（N+1）. 这些节点中的近似值通过线性插值获得。我们有以下关系-1，n=2V0，l0，n- V0，l1，n，V0，lM+1，n=2V0，lM，n-V0，lM-1，n；n=1（1）n，V0，lm，-1=2V0，lm，0- V0，lm，1，V0，lm，N+1=2V0，lm，N- V0，lm，N-1.m=1（1）m.（4.20）同样，我们可以用V1，l来表示相同的关系。现在所有的值V0，lm，nand V1，lm，nare都可用。通过对l=l重复此步骤-1，L-2.我们在所有时间点获得Vm、nand Vm、nat。在t=0时，价差期权的价格可以近似为：V（t，x，y）≈ V（t，x，y）+εV（t，x，y）。（4.21）4.2数值格式的稳定性和收敛性在本节中，我们讨论第4.1节中介绍的数值格式的稳定性和收敛性。首先，我们分析了维和人员拉赫福德的稳定性。在这种情况下，我们可以使用冯·诺伊曼分析来建立稳定性的条件。[9]中描述了这种方法（第2.2章）。VonNeumann分析基于计算方案的放大系数（g），并推导出条件|g |≤ 1.定理4.1。