关于Alpha流优化的注记

前两个不等式定义了（F+2）未知量vA、u和eu的J和J′。在本小节的其余部分中，我们假设：≥ 0.我们在第5.4小节中讨论u<0情况。将（19 3）代入（192）、（169）和（170），我们得到（F+2）未知数vA、u和eu的（F+2）方程组：FXB=1QABvB+aAu+bAeu=0（197）FXA=1aAvA+cu+d eu=-1（198）FXA=1bAvA+du+eu=-eP（199）其中QAB≡ δAB+Xi∈日本脑炎Ohm依斯克拉OhmiBξi（200）aA≡xi∈JηieOhmiAξi（201）bA≡xi∈JαieOhmiAξi（202）c≡xi∈Jξi（203）d≡xi∈Jαiηiξi（204）e≡xi∈Jαiξi（205）qab，a，b=1，（F+2）是以下对称的（F+2）×（F+2）matr ix:eQAB≡ QAB（206）eQA（F+1）=eQ（F+1），A≡ aA（207）eQA，（F+2）=eQ（F+2），A≡ bA（208）等式（F+1），（F+1）≡ c（209）等式（F+1），（F+2）=等式（F+2），（F+1）≡ d（210）等式（F+2），（F+2）≡ e（211）同样，让xa和ya，a=1，（F+2）是以下（F+2）-向量：xA≡ vA（212）xF+1≡ u（213）xF+2≡ eu（214）yA=0（215）yF+1=-1（216）yF+2=-eP（217）那么我们有xA=F+2Xb=1bQabyb（218），其中bQab是矩阵的逆toeQab:bQ≡情商-1.注意，（218）求解给定ηi，J a和J′的vA，u和eu。另一方面，（194）、（195）和（196）根据vA、u和eu确定ηi、J和J′。然后对整个系统进行迭代求解，在初始迭代中，取J（0）={1，…，N}，因此J′（0）为空，η（0）i=±1，i=1，N（219）而η（0）的值可以是任意的，除非F<< N、 在某些情况下，可能会遇到收敛问题。然而，如果选择η（0）i=sign（αi），i=1，N（220）那么迭代过程通常会收敛得相当快。此外，请注意，该解决方案实际上是精确的，即收敛标准由给出（根据第5.5小节，我们有u的收敛标准）≥ 这就产生了全局最优解J（s+1）=J（s）（221）我∈ J（s+1）：η（s+1）i=η（s）i（222）u（s+1）=u（s）（223）eu（s+1）=eu（s）（224）A.∈ {1, . . .

，F}:v（s+1）A=v（s）A（225），其中s和s+1标记连续迭代。换句话说，迭代过程是有限的——它在有限的迭代次数中收敛。最后，请注意WII∈ Jare由（193）给出，而wi=0表示i∈ J′.5.3u=0例从上一小节我们得到了u=edeP- eeec ee-ed（226）eu=ed- ecePec ee-ed（227）0<eR=2g（wi，u，eu）|最佳=-u - eueP=eceP- 2edeP+eeec-ee-ed（228）其中≡ C- aTQ-1a=Xi，j∈JC-1ijηiηj>0（229）ed≡ D-bTQ-1a=Xi，j∈JC-1ijαiηj（230）ee≡ E- bTQ-1b=Xi，j∈JC-1ijαiαj>0（231）C-1ij=ξiδij-FXA，B=1eOhmiAξieOhmiBξjQ-1AB（232）和Q-1与QAB相反。注意，如果≥ 0，则eu<0假设P=0。从（226）中，对于u=0，我们得到eP=eP*≡eeed>0（233）eu=-ed<0（234）我们现在将显示，这与最大化Sharperatio:S的权重相对应→ max.（我们将通过Smax表示Sha r pe比率的最大值。）其中前两个标准基于离散量，不受计算（机器）精度影响，而后三个标准基于连续量，在实践中被理解为满足计算（机器）精度。实际上，只需检查三个连续标准中的一个，例如u的收敛性。注意，由于Cijh是因子模型形式，在这种情况下，（183）中定义的N（J）×N（J）矩阵与N×N矩阵Cij，i，J的逆约束一致∈ 1.Nto i，j∈ J.这些重量由Evi=γNXi=1C给出-1ijαj=γξiαi-NXj=1αjξjFXA，B=1eOhm依斯克拉OhmjBQ-1AB！（235）式中，γ由（3）固定。

所以我们有（eηi）≡ 符号（ewi）：ePS=Smax=NXi=1αiewi=γe-FXA，B=1Q-1ABbAbB！=γee（236）1=NXi=1eηiewi=γd-FXA，B=1Q-1ABaAbB！=γed（237），我们有（233）。请注意，在这种情况下，J′一般为空，对于那些字母，ewican只能表示为“意外地”，这样（235）中括号中的表达式就消失了。在下文中，我们将假设不会发生此类“意外”破坏，也就是说，让我们考虑通用阿尔法配置。此外，我们将表示S=Smaxvia ec时的ec、ed和ee值*> 0，ed*> 0和ee*> 第二个不等式由（234）得出。接下来，请注意，我们可以关注Ep的值≥eP*. 事实上，考虑是没有意义的*因为我们有一个更高P&L和更高Sharpe比率的解，即S=Smax解。此外，让我们考虑一个eP=（1+δ）eP的解*,其中0<δ<< 1.那么wi=（1+ξi）ewi，其中|ξi |<< 1.我们已经考虑到，没有一个会消失。然后我们得到ηi=eηi，wi的ec，ed和ee的值与ewi的值相同。所以我们有u=ee*欧共体*ee*-预计起飞时间*δ（238）eu=-1+ec*ued*（239）eR=ee*预计起飞时间*（1+ec）*uδ）（240）由于δ>0时损益增加，当δ=0对应于S=Smax时，波动性不能降低。然后从m（240）开始，对于0<δ，u>0<< 1因为我们有ec*> 0.请注意，u=0唯一地对应于S=Smaxsolution，因此在任何eP>eP时，u都不能变为零*. 因此，当我们平稳增加eP时，u变为负值的唯一途径是通过ec、ed和ee中的不连续性，即对于某些eP=eP>eP*我们有一个或多个消失wi的u=u>0，即J′≡ J′不是空的，而u=0对应于S的原因→ 可以通过注意到，对于u6=0，与uin（164）成比例的项破坏了g的标度特性来理解max→ wi下的λg→ λwi，eu→ λeuandeP→ λeP。foreP=（1+δ）eP，其中|δ|<< 1，我们有空的J′和u=u（δ）<0。

这意味着→ 0，我们会有wi→ 0代表我∈ J′不消失u=u（0）<0，这是不可能的。（注意，ec、ed和ee作为δ不变。）→ 0.）此外，u>0且J′不是空的aseP→ max（αi）。最后，u<0与eP<eP不相容*因为没有人必须消失，u才能变成0 aseP→eP*-.5.4u<0如果u<0，则我们不再有（194）和（195）。相反，从（178）可以看出，J′是空的，J={1，…，N}，也就是说，没有消失的wi，我们有u<0（241）wi=ξi（ηi |u|+zi），i=1，N（242）子≡ -euαi+FXA=1eOhmiAvA！，i=1，N（243）那么ηi=符号（zi），i∈eJ（244）我∈eJ:|子|≥ |u|（245）然而，η可以是1或-1个给我6个∈eJ，也就是说，它是不确定的。这是因为对于u<0，一般情况下，预计会有超过一个局部极小值。这有两个问题。首先，由于任何迭代过程中的通常不稳定性，尤其是当局部极小值的数量较大时，它使得寻找全局极小值变得更加困难。其次，在存在大量局部极小值的情况下，系统更容易出现样本外不稳定性，因为Cijcan的对角元素中相对较小的波动会导致迭代算法在局部极小值之间跳跃。然而，正如我们前面讨论的，u<0幸运地对应于无趣的范围eP<eP*.5.5全局极小的条件我们给出了全局极小的条件：NXi，j=1Cij（wi+i）（wj+j）≥Xi，j∈JCijwiwj（246）NXi=1 | wi+i |=1（247）NXi=1αi（wi+i）=eP（248），其中wi，i∈ J用（168）确定，而wi=0，i∈ J′，和i是任意的，受（247）和（248）的约束。上面我们讨论了任意极小i的条件，给出了局部极小的条件。在这里，我们讨论了非极小i的上述条件。

我们有nxi，j=1Cijij+2Xi，j∈JCijwij+2Xi∈JXj∈J′CijwiJ≥ 0（249）Xi∈J（|wi+i |- |wi |）+Xi∈J′i|=0（250）Xi∈Jαii+Xi∈J′αii=0（251），考虑到（168）和（177），会减少toNXi，J=1CijiJ≥ 2uXi∈Jηii+Xi∈我！（252）请注意，对于微小的，由于（25 0），（252）的r.h.s.消失，而。h、 由于Cij的积极不确定性，美国是积极的。然而，对于非微小的iwe来说，我们有非常重要的条件。让我们定义J J和J J如下：ηi（wi+i）≥ 0，我∈ J（253）ηi（wi+i）<0，i∈ J（254）那么，从（250）我们有xi∈Jηii+Xi∈J′| i |=-2Xi∈J | wi+i |（255）andNXi，J=1CijiJ≥ -4uXi∈J | wi+i |（256）该条件始终满足u≥ 0，这意味着上述局部最优条件的解自动成为全局最优解。然而，对于u<0（256），意味着局部最优条件的解不一定是全局最优解。事实上，正如我们在5.4小节中所讨论的，对于u<0，我们可以有多个局部极小值。5.6一般情况因子模型中使用的方法可用于处理一般协方差矩阵的情况，但需要理解的是，我们将在下文讨论，在一般情况下，迭代过程的收敛是棘手的。对于一般的正微分方差矩阵Cij（假设Cii>0），我们要根据（169）和（170）求解（168）。从（168）开始，我们有：-Cii（uηi+euαi+vi），i∈ J（257）vi≡Xj∈J（i）Cijwj，i∈ J（258）J（i）≡ J\\{i}（259）即J（i）定义为J，减去单元素子集{i}，a和J（and J′）定义如上。

莱奇杰≡CijCjj，i，j∈ J（260）ai≡Xj∈J（i）QijηJ=Xj∈JQijηj- ηi，i∈ J（261）bi≡Xj∈J（i）QijαJ=Xj∈JQijαj- αi，i∈ J（262）eai≡ηiCii，i∈ J（26 3）息税前利润≡我，我∈ J（264）c≡xi∈JCii（265）d≡xi∈JαiηiCii（266）e≡xi∈JαiCii（267）然后，通过将（257）插入（258）、（169）和（170）中，我们得到了以下N（J）+2个未知量vi、u和eu的N（J）+2方程组：Xj∈JVJ+aiu+bieu=0，i∈ J（268）Xi∈Jeaivi+cu+DEu=0（269）Xi∈Jebivi+du+eu=0（270）回想N（J）的定义≡ |J |。LeteQab，a，b=1，（N（J）+2）是以下（N（J）+2）×（N（J）+2）矩阵：eQij≡ 琪琪，我，琪琪∈ J（271）eQi，（N（J）+1）≡ 哎，我∈ J（272）eQ（N（J）+1），i≡ 是的，我∈ J（273）eQi，（N（J）+2）≡ 比，我∈ J（274）eQ（N（J）+2），i≡艾比，我∈ J（275）式（N（J）+1），（N（J）+1）≡ c（276）等式（N（J）+1），（N（J）+2）=等式（N（J）+2），（N（J）+1）≡ d（277）等式（N（J）+2），（N（J）+2）≡ e（278）指出Qabis不是对称的。同样，让xa和ya，a=1，（N（J）+2）如下（N（J）+2）-向量：xi≡ vi，我∈ J（279）xN（J）+1≡ u（280）xN（J）+2≡ eu（281）yi=0，i∈ J（282）yN（J）+1=-1（283）yN（J）+2=-eP（284）那么我们有xA=N（J）+2Xb=1bQabyb（285），其中bQab是矩阵的逆Eqab:bQ≡情商-1.接下来，回想ηiwi>0∈ J、 使用（257）并假设≥ 我们有≥ 0（286）ηi=-符号（euαi+vi），i∈ J（287）我∈ J:| euαi+vi |>u（288）我∈ J′：|euαi+vi |≤ u（289），其中最后一个条件来自（178）。最后三个条件根据vi、ua和eu确定ηi、J和J′，而（285）根据ηi、J和J′求解vi、u和eu。所以，我们可以尝试迭代求解整个系统，就像5.2小节中的非因子模型一样。在这方面，这里的N（J）-向量Vi类似于第5.2小节中的F-向量Vin。

但是，除非N（J）<< N、 与因子模型的类比只是一种超官方的类比，其收敛性并不是绝对的。只要Cijis是可逆的，这个逆就存在，我们假设是这样。6重量优化中的线性成本接下来，让我们在重量优化问题中包含线性成本。线性成本可以通过从损益中减去线性惩罚来建模：P=INXi=1αiwi- L D（290），其中L包括所有固定交易成本（证券交易委员会费用、交易所费用、经纪人-交易商费用等）和线性滑动。线性成本假设没有影响，即交易不会影响股价。此外，D=I T是美元交易额，T是营业额（因此营业额定义为百分比）。让τibe表示对应于单个αi的营业额。如果我们忽略组合αi导致的营业额减少（或如果内部交叉被切换），则t=NXi=1τi | wi |（291）。然而，内部交叉营业额减少可能是实质性的，需要考虑。在[58]中，我们提出了一个营业额减少模型，根据该模型，当alphas N的数量较大时，领先的近似值（在1/N展开式中）由t给出≈ ρ*NXi=1τi | wi |（292），其中0<ρ*≤ 1是营业额减少系数。

我们要强调的是，无论ρ如何，该公式在大N极限下都是一个很好的近似值（只要单个翻转τi的分布不歪斜）*是模型化的。在[58]中，我们还提出了一个估计ρ的谱模型*基于相关矩阵ψij:ρ*≈ψ（1）N√NNXi=1eV（1）i（293）式中，ψ（1）是ψijandeV（1）iis的最大本征值，相应的本征向量归一化为pni=1eV（1）i= 1.然后我们有p=INXi=1（αiwi- Li | wi |）（294）在哪里≡ Lρ*τi>0（295）为了简单起见，这里假设线性滑动是所有α的均匀滑动。这不是一个关键性的假设，可以通过修改Libelow的定义等方式加以放松。本质上，这个假设是为了简化关于减少离职率的讨论。然后，我们遵循第5节的方法，现将其修改如下。为简洁起见，我们将不再重复第5节中适用性明显的讨论，我们将使用与第5节相同的符号，并简单修改相应的定义。此外，我们将假设第5.1小节的因子模型。我们需要解决以下问题：PI=NXi=1（αiwi- Li | wi |）≡eP=固定（296）RI=VuTutnxi，j=1Cijwiwj→ min（297）subject toNXi=1 | wi |=1（298）这个问题可以表述为：g（w，u，eu）≡NXi，j=1Cijwiwj++uNXi=1 | wi |- 1!+ euNXi=1（αiwi- Li | wi |）-eP！→ min（299）我们现在有WI=-ξiuηi+euαi+FXA=1eOhmiAvA！，我∈ J（300）αi≡ αi- 我，我∈ J（301）回想一下，我们有wiηi>0，i∈ J、 假设≥ 伊莉，我∈ J我们得到了≥ euLi，i=1。

，N（302）ηi=-符号uαi+FXA=1eOhmiAvA！，我∈ J（303）我∈ J:euαi+FXA=1eOhm伊瓦瓦> u - euLi（304）我∈ J′：euαi+FXA=1eOhm伊瓦瓦≤ u - euLi（305）注意到u≥ 伊莉，我∈ J′来自（305）。第6小节讨论了存在线性成本的全局最小条件。1，其中我们还导出了局部极小值的ab-ove条件。其余的讨论与第5.2小节中的讨论相同，在所有剩余的定义中，αi代替了αi。我们还有（226），（227）和（228），所以对于u≥ 0我们仍然有eu<0，这意味着条件（302）自动为u≥ 0.即线性成本（u）下唯一极小值存在的条件≥ euLi）的强度不如没有成本（uLi）的情况下强≥ 0).此外，u=0仍然对应于最大化夏普大鼠io→ 线性成本的最大值[57]。让相应的≡eP*. 然后我们可以限制toeP≥eP*,对此我们有充分的理由≥ 0，这意味着第5.2小节的结果适用。下面的评论是正确的。因为阿尔法αi，i∈ J′不再被交易，我们可以放弃这样的字母，如果有的话，重新计算ρ*in（295）使用相应的相关矩阵ψ′ij≡ ψij | i，j∈J、 使用这样的ρ重新计算wi*重复这个过程，直到子集J基于ρ*is computed是wi6=0的子集的相同值，其中wi是基于该ρ计算的*.6.1具有线性成本的全球最低条件第5.5小节中的讨论在存在线性成本的情况下修改如下。我们有nxi，j=1Cij（wi+i）（wj+j）≥Xi，j∈JCijwiwj（306）NXi=1 | wi+i |=1（307）NXi=1（αi（wi+i）- Li | wi+i |）=eP（308），其中wi，i∈ J通过xj确定∈JCijwj=-uηi- eu（αi）- Liηi），i∈ J（309）当wi=0时，i∈ J′。

我们有nxi，j=1Cijij+2Xi，j∈JCijwij+2Xi∈JXj∈J′CijwiJ≥ 0（310）Xi∈J（|wi+i |- |wi |）+Xi∈J′i|=0（311）Xi∈J（αii）- 李（|wi+i |- |wi |）+Xi∈J′（αii）- Lii |）=0（312）当N较大时，该过程是稳定的，收敛于ρ*n的变化不大（见[58]）。考虑到（309），减少toNXi，j=1Cijij+2Xj∈Xi∈JCijwij+（u- euLj）j |+euαjj！≥≥ -4Xi∈J（u）- euLi）|wi+i |（313），其中，如上所述，JI定义如下：ηi（wi+i）<0，i∈ J J（314）对于最小的iwe有空的Jand（313）减少了toXj∈Xi∈JCijwij+（u- euLj）j |+euαjj！≥ 0（315）表示J∈ J′：xi∈JCijwi+euαj≤ u - euLj（316），在因子模型上下文中给出（305）。对于非极小值，我们有以下条件：NXi，j=1Cijij≥ -4Xi∈J（u- euLi）| wi+i |（317），如果≥ 伊莉，我∈ J（3 18）在这种情况下，上述局部最优条件的解自动成为全局最优解。然而，如果（31 8）不满足，则局部最优条件的解不能保证是全局最优解。事实上，在这种情况下，我们可以有多个局部极小值。7重量优化的影响最后，让我们讨论一下影响，即非线性成本对重量优化的影响。通常，引入非线性影响会使权重优化问题在计算上更具挑战性，需要引入近似方法。模拟交易成本的一种方法是引入线性和非线性项：P=INXi=1αiwi- L-D-nQ Dn（319），其中D=it是交易的美元金额，T是新的。