关于Alpha流优化的注记

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英文标题：
《Notes on Alpha Stream Optimization》
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作者：
Zura Kakushadze
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In these notes we discuss investment allocation to multiple alpha streams traded on the same execution platform, including when trades are crossed internally resulting in turnover reduction. We discuss approaches to alpha weight optimization where one maximizes P&L subject to bounds on volatility (or Sharpe ratio). The presence of negative alpha weights, which are allowed when alpha streams are traded on the same execution platform, complicates the optimization problem. By using factor model approach to alpha covariance matrix, the original optimization problem can be viewed as a 1-dimensional root searching problem plus an optimization problem that requires a finite number of iterations. We discuss this approach without costs and with linear costs, and also with nonlinear costs in a certain approximation, which makes the allocation problem tractable without forgoing nonlinear portfolio capacity bound effects.
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中文摘要：
在这些说明中，我们讨论了在同一执行平台上交易的多个alpha流的投资分配，包括交易在内部交叉导致营业额减少的情况。我们将讨论阿尔法权重优化的方法，即根据波动率（或夏普比率）的界限最大化损益。当alpha流在同一执行平台上交易时，允许出现负alpha权重，这使优化问题变得复杂。通过对α-协方差矩阵采用因子模型的方法，原始优化问题可以看作是一个一维的寻根问题加上一个需要有限次迭代的优化问题。我们讨论了这种无成本、有线性成本以及在某种近似下有非线性成本的方法，这使得分配问题在不放弃非线性投资组合容量约束效应的情况下易于处理。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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关键词：Alpha Pha Optimization Quantitative Applications

阿尔法流优化注释Zura Kakushadze§+1§QuantigicrSolutions LLC1127 High Ridge Road#135，斯坦福德，CT 06905+第比利斯自由大学，商学院和物理学院240，第比利斯戴维·阿格马什内贝利巷，0159，佐治亚州（2014年6月4日；修订日期：2015年3月18日）摘要在这些说明中，我们讨论了在同一执行平台上跨多个alpha流程的投资分配，包括交易在内部交叉导致营业额减少的情况。我们讨论了alphaweight优化的方法，即根据波动率（或夏普比率）的界限最大化损益。当alpha流在同一执行平台上交易时，允许出现负alpha权重，这使优化问题变得复杂。通过对α-协方差矩阵使用因子模型方法，原始优化问题可以被视为一维根搜索问题加上需要无数次迭代的优化问题。我们讨论了这种方法，没有成本，有线性成本，也有一定近似下的非线性成本，这使得分配问题在不放弃非线性投资组合能力约束影响的情况下易于处理。Zura Kakushadze博士是QuantigicrSolutions LLC的总裁，第比利斯自由大学的全职教授。电子邮件：zura@quantigic.comDISCLAIMER当前位置通讯作者使用此地址的目的仅限于按照出版物惯例表明其专业职责。

特别是，本文内容并非投资、法律、税务或任何其他此类建议，也不代表Quantigic So Solutions LL C网站www.Quantigic的观点。或他们的任何其他伙伴。1简介和总结如今，技术允许在同一个交易平台上组合大量对冲基金alpha Stream。这不仅产生了多样化，还通过在不同的阿尔法流之间交叉交易降低了交易成本。给定一组alpha流，必须决定如何将资金分配到这些alpha流中，也就是说，将它们组合起来的权重。这是增长和谨慎之间的一个老问题——是将损益最大化，还是将波动性最小化，是在两者之间做些什么，还是简单地将差异分割并最大化夏普比率？这完全取决于一个人的风险承受能力。例如，o necould说，我想最大化我的P&L，但我也希望我的波动性被限制，或者夏普比率从下面被限制，等等。这些注释的目的是讨论优化alphastreams权重的方面。当我们有大量的αi时，这种优化是anN维问题，并不总是有一个简单的解。解决这个问题的一种方法是，通过考虑固定波动率或夏普比率的最大化损益，或固定损益的最大化（最小化）夏普比率（波动率）的简单问题，尝试从本质上将其简化为一维问题，然后尝试使用标准搜索技术找到理想的配置。这在某些情况下有效，但并不总是如此。

一个问题是，当lpha流在同一个交易平台上进行组合时，一些权重可能为负——这与lpha流在各自的交易平台上进行交易的情况形成对比，即基金类型的情况，其中权重为非负。由于权重标准化条件readsnxi=1 | wi |=1（1），这种条件下的模量是头痛的根源。此外，当不同字母之间的交易发生交叉时，由此产生的投资组合收益率超过了预期（与没有内部交叉的情况相比），这进一步增加了问题的复杂性。在[5 7]中，我们讨论了在线性成本存在的情况下，通过夏普比率最大化进行阿尔法流优化。这里，因为夏普比在重定标wi下是不变量的→ λwi，条件（1）不影响任何东西，因为通过找到一个没有这种约束的解，然后简单地重新缩放它们满足的所有wi（1），条件（1）就“微不足道地”满足了。如果没有最大化Sharpe比率，但采用了更复杂的优化标准，则失去了标度变化，（1）导致目标函数最小化的复杂性，类似于[57]中讨论的，但更复杂。有关对冲基金文献的部分列表，请参见[1]-[20]及其参考文献。有关最近的讨论，请参见[21]。有关投资组合优化和相关文献的部分列表，请参见[22]-[56]及其参考文献。更准确地说，这是没有成本或仅线性成本的情况。我们的主要观察结果之一是，如果阿尔法协方差矩阵是一种因子模型形式，那么可以通过有限的迭代程序找到一个最优的损益和市盈率/波动率的实际有趣范围。在第2节中，我们设置了我们的not。

在第3节中，我们讨论了对角协方差矩阵的情况，其中不存在上述模问题。我们在第3.1小节中讨论了一种松弛算法，用于寻找准最优权重（当α的数量较大时，通常预期其接近最优解）。在第3.2节中，我们讨论了当P&L最大化而夏普比率固定时，确定权重的算法。在第3.3小节中，我们讨论了在损益固定的情况下使波动性最小化（夏普比率最大化）的解决方案。在第4节中，我们讨论了非对角共变矩阵ix的情况和一个技巧，其中必须通过利用合成可转换组合有效地对角化它。然后，pr问题简化为一个迭代过程，需要求解有效投资水平的f。然而，这个过程通常会有收敛问题，这些问题被对角化技巧所掩盖。因此，在第5节中，我们讨论了如何在原始wibasis中直接解决该问题，而不必对协方差矩阵进行对角化，并讨论了在P&L固定的情况下最小化波动性的问题，该问题可以通过假设协方差矩阵的多因子形式的有限迭代程序来解决。更准确地说，这是实际有趣的损益范围的情况，高于其对应于Sha r pe比率最大值的值。然后，我们将这种方法推广到第6节中的线性成本，以及第7节中的非线性成本（影响）。在后一种情况下，我们使用[57]中讨论的近似值。第8节以一些观察和评论来结束本文。2定义我们有N个αi，i=1，N.每个α实际上是一个时间序列αi（ts），s=0，1，M、 这是最近的一次。低于αi指αi（t）。设Cijbe为N个时间序列αi（ts）的协方差矩阵。

设ψij为相应的相关矩阵，即Cij=σiσjψij（2），其中ψii=1。Alphasαi与权重相结合，比如nxi=1 | wi |=1（3）。更准确地说，这是一种没有成本或线性成本的情况，并且在某种近似下存在非线性成本。在这里，模数说明了这样一个事实：当阿尔法在同一个阅读平台上组合时，如果共变矩阵Cijis不是对角的，即使所有阿尔法都是正的，一些权重也可能是负的。首先，我们将忽略交易成本。投资组合损益、波动率和夏普率由P=INXi=1αiwi（4）R=IvuutNXi，j=1Cijwiwj（5）S=PR（6）给出，其中I是投资水平。我们的目标是找到WICHP的集合→ max（7）S≥ Smin（8）对于给定的夏普比下界Smin。在实践中，我们可以通过以下方式来解决这个问题。首先，我们可以从可能的最大P&L开始——这意味着除对应于最大α的权重外，所有权重都为零——通过逐渐降低P&L，直到（8）满足为止，找到一种放松。其次，我们可以解决一个简单的问题P→ S=S固定值的最大值*, 然后使用基于S的离散值集的标准搜索算法*在期望的精度范围内。第三，我们可以解决另一个简单的问题→ max表示P的固定值，然后使用基于P的离散值集的标准搜索算法，在所需精度范围内。也就是说，基本思想是将大的N维问题简化为一维搜索算法。在某些情况下，这种方法确实有效。3对角线情况当CIJI不是对角线时，即使所有字母都是正数，一些权重也可能是负数。（3）中的模数使事情变得复杂。然而，如果Cijis diago nal，Cij=σiδij，那么，假设所有αi≥ 0（我们可以在不丧失通用性的情况下实现），所有wi≥ 也一样。我们的优化问题简化如下。

Letbαi≡ νiαi（9）bwi≡ σiwi（10）νi≡ 1/σi（11）在实践中，可能需要重申这一标准——见第8节。这是因为与ne gative wl与w符号的配置相比，sa和更低的P&L是否具有相同的波动性l飞来飞去。然后我们有p=INXi=1bαibwi（12）R=IvuutNXi=1bwi（13），现在的优化问题是（7）和（8）主题toNXi=1νibwi=1（14）bwi≥ 0（15）和所有bαi≥ 下面我们讨论一个简单的松弛算法，用于最大化S=S的P&L*.3.1准最优权重我们可以在如下准最优解中得出。回想一下，所有的bα都是非负的。首先，让我们给alphas加上标签，使得α=max（αi，i=1，…，N）。很明显，当除bw以外的所有BWIVINISH时，P最大化。如果有这种情况≥ s*如果满足，则这是最佳解决方案。然而，如果不满足，则我们需要牺牲损益，以便通过允许bw、bw等增加夏普比率S，直到（8）满足，其中bα排序如下。3.1.1每个子项的排序字母WI>0，i=1，K（16）bwi=0，i=K+1，N（17）夏普比由（回想一下bαi）给出≥ 0）S（K）=PKi=1bαibwiqPKi=1bwi（18）我们想要找到bwi，i=1，根据（14）：KXi=1νibwi=1（19）这种排序是一种松弛算法：我们从最大imal P&L开始，将所有投资分配到α中，并在每个连续步骤中添加一个阿尔法S，当分配权重以最大化夏普比时，P&L最大化，直到我们达到界S*.让我们导出一个拉格朗日乘数u：eS（K）=S（K）+uKXi=1νibwi- 1.（20） 然后，根据（19）使S（K）最大的Bwith的解由下式给出：eS（K） bwi=0（21）eS（K）u=0（22）。u方程给出（19）。bwi方程给出bwi=γbαi+βνi，i=1。

，K（23）γ=PKi=1bwiPKi=1bαibwi（24）β=uγKXi=1bwi！（25）将（23）插入（24），我们有两种解决方案，β=-γPKi=1αiνi/PKi=1νi，a和β=0。然而，前者将简化为PKi=1νibwi=0，因此我们有以下唯一的解决方案，其中β=0和u=0:bwi=γbαi（26）γ=PKi=1νibαi（27），其中γ用（19）固定。等式（12）中相应的P&L由我们使用（9）的P（K）I=PKi=1bαiPKi=1νibαI=PKi=1νIαiPKi=1νIαI（28）给出。在本子小节的其余部分中，使用与bαi相反的原始αi将更方便。让我们对αi进行排序，使P（K）对于每个K最大。也就是说，对于K=1，我们有α，使P（1）最大化（这意味着α=max（αi，i=1…，N）），对于K=2，我们有α和α，其中α固定在K=1，如上所述，α是使P（2）最大化，等等，P（K）是K的单调递减函数。要看到这一点，让αi，i=1，K+2按上述方式排序（即，在每个K处P&L P（K）最大化），并且≡KXi=1νiαi（29）b≡KXi=1νiαi（30）x≡ αK+1（31）y≡ αK+2（32）u≡ νK+1（33）v≡ νK+2（34）在不丧失一般性的情况下，我们假设所有αi都是不同的，所有的νi都是独立的，i=1，K+2。如上所述，设：P（K）对应于Kαi，i=1，KP（K+1）对应于K+1αi，i=1，K+1；P（K+2）对应于K+2αi，i=1，K+2。同样，让P′（K+1）对应于toK+1α′i，i=1，K+1，其中α′i=αifor i=1，K、 α′K+1=αK+2。根据定义，我们有P（K+1）>P′（K+1）（35）这意味着ux+vyb+UX> bux+vy（a+ux）（36）现在假设P（K+2）>P（K+1），这意味着我们将有x>ba（38）和P（K+1）-P（K）=b+uxa+ux-ba=ux（ax- b） a（a+ux）>0（39），即P（K）<P（K+1）<P（K+2），P（K）必须随K单调增加。

然而，这是不可能的，因为P（2）<P（1）：P（2）- P（1）=ναα- ανα+να<0（40）为α=max（αi，i=1…，N）。这意味着f或no K可以P（K+2）>P（K+1），且P（K）随着K.3.1.2计算权重的单调减少，且具有上述bαi的顺序，对于每个大于0，i=1，K（41）bwi=0，i=K+1，N（42）当（见上文）bwi=γbαi，i=1，…，夏普比最大化，K（43），其中γ>0是一个常数。相应的夏普比由（K）=VuTkxi=1bαi（44）给出。等式（12）中相应的P&L由P（K）i=PKi=1bαiPKi=1νibαi（45）给出。如上所述，我们对bα进行排序，使得P（K）对于每个K最大化。也就是说，对于K=1，我们有bα，使得P（1）最大化，对于K=2，我们有bα和bα，其中bα固定在K=1，如上所示，bα使P（2）最大化，等等，通过这种排序，P（K）是K的单调递减函数*就是这样*- 1） <S*（46）S（K）*) ≥ s*（47）然后是一个准最优解（见下文），对于它，我们有S=S*, 由bwi=γbαi，i=1，K*- 1（48）bwK*= γηbαK*（49）bwi=0，i=K*+ 1.N（50），其中γ将通过（14）固定，0<η≤ 1由以下要求确定：对于这些权重，S=S*:主键*-1i=1bαi+ηbαK*qPK*-1i=1bαi+ηbαK*= s*（51）给出η=eS-eSeS*量化宽松-锿*锿*- 1（52）式（51）有两个根，正确的根由0<η的要求确定≤ 1.在哪里≡ S（K）*- 1） /bαK*（53）eS≡ S（K）*)/bαK*（54）eS*≡ s*/bαK*（55）S=S+1（56）注意，如果S*= S（K）*).上述解不一定是最优解的原因是P（K）取决于bαi的顺序——我们在每一步K的顺序都是如此→ K+1 P&L P（K+1）最大化，但这并不保证没有其他订单具有相同的夏普比S*（或更高）无法实现更高的损益，因为损益可能取决于路径。

对于大N，这种路径依赖性预计会被抑制。在接下来的两小节中，我们将讨论构造最优解的两种方法。3.2最佳权重在本小节中，我们讨论夏普比率固定时最大化损益的问题：S=S*. 我们有S=PNi=1bαibwiqPNi=1bwi（57）条件S=S*可以写成bwtΘbw=0（58），其中Θij≡ bαibαj- s*δij（59）矩阵Θij具有以下特征值结构：Θφ=θ*φ（60）Θχ（A）=θ′χ（A），A=1，N- 1（61）其中特征向量φ和χ（A）以及特征值θ*θ′由φi=bαia（62）NXi=1χ（A）iφi=0（63）θ给出*= A.- s*(64)θ′= -s*（65）更准确地说，对于通用阿尔法配置，预计情况会如此。安达≡vUtnxi=1bαi（66）特征向量χ（A）与特征向量φ正交。在f-act中，我们假设它们是正交的：NXi=1χ（A）iχ（B）i=δAB（67），其中A，B=1，N- 1.注意φ具有上文定义的范数1。注意，N个特征向量φ和χ（A）构成了N个向量的完整线性独立集。因此，最优解bwi可以写成bwi=γφi+N-1XA=1βAχ（A）i！（68）式中，γ和βA，A=1，N- 1是我们必须确定的未知系数。P&L（12）、夏普比率条件（58）和权重归一化条件（14）现在改为：PI=aγ（69）N-1XA=1βA=r（70）γeφ+N-1XA=1βAeχA！=1（71）φi+N-1XA=1βAχ（A）i≥ 0，i=1，N（72），其中最后一个条件来自最优解bwi的要求≥ 因为所有的bαi≥ 0，安德烈≡ -θ*θ′=aS*- 1（73）eφ≡NXi=1νiφi（74）eχA≡NXi=1νiχ（A）i（75）注意Smax=A，bwi=bαi/PNj=1νjbαjs=Smax。下面我们假设*< Smax。所以，我们的优化问题现在被简化为最大化γ（70），（71）和（72）。也就是说，我们的优化问题现在是：Y≡N-1XA=1βAeχA→ min（76）N-1XA=1βA=r（77）φi+N-1XA=1βAχ（A）i≥ 0，i=1。