阿尔法流的因子模型

也就是说，与N个α相关的随机过程ΥI通过N个随机过程zi（对应于特定风险）和F个随机过程fA（对应于因子风险）建模：ΥI=zi+FXA=1OhmiAfA（41）hzi，zji=Ξij（42）hzi，fAi=0（43）hfA，fBi=ΦAB（44）hΥi，Υji=Γij（45）而不是N×Nα协方差矩阵Cijj我们现在有了一个F×F因子协方差矩阵ΦAB，预计在样本外会更稳定。假设ξi>0和ΦABis为正定义，则Γij也为正定义。严格地说，Γij的正不确定性并不要求，例如ΦAB的正不确定性，但考虑到我们在这里讨论的实际性质，我们将不尝试最一般化。4.2风险因素我们已经讨论了上述主成分法。我们希望解决的问题是，我们可以为Alpha构建哪些其他风险因素。与股票多因素模型的类比是一个很好的起点。构建Alpha因子模型的一种方法是将Fstyle风险因子和Fclustercluster风险因子结合起来。就股票而言，集群风险因素通常被称为行业风险因素。因为我们这里指的是阿尔法风险，所以我们指的是阿尔法风险。在阿尔法的例子中，以下风格因素似乎是合适的：1）波动性，2）营业额，和3）动量。人们可能希望根据alpha的构造方式添加其他样式因素，等等。另一个（可能更难实现）样式因素可能希望考虑的是容量，即每个alpha可以单独吸收多少资本；这需要建模影响（即非线性运输成本）。

我们在附录A中对产能进行了评论。就股票而言，集群系数s（通常）基于行业分类。对于Alpha，可以使用Alpha的分类法，即根据其构造方式对Alpha进行分类——如果所需数据可用，也就是说。在一个人可能构造的数千个字母中，许多字母在构造上彼此非常相似。很明显，这种相似性使它们之间的关联性更强，就像属于同一行业的股票之间的关联性更强一样。因此，正如股票的情况一样，将集群视为风险因素，并基于此类风险因素对阿尔法之间的相关性进行建模是有意义的，而不是直接基于对应于单个阿尔法的大量时间序列N来计算它们。然而，alpha分类方法的一个困难是，构建alpha因子模型的人必须了解每个lpha的构造细节，但情况并非总是如此。此外，就股票而言，行业分类通常是一个非常稳定的结构——公司不会经常跳转行业。然而，阿尔法本质上是短暂的。因此，我们上面描述的风格风险因素或多或少更容易实施，但阿尔法分类并不那么容易。

不幸的是，风格风险因素的数量不足以与M原则相比产生实质性差异。在股票的情况下，大致可以被认为与市值比率的ADDV（每日平均美元交易量，可被视为流动性的衡量标准）类似。由于周转率通常与alpha的持有期限高度相关（持有期限越短，周转率越高），在回归和/或优化中使用此类因素模型时，包括alpha因素模型中的周转风格风险因素会影响不同持有期限alpha的权重（这本身取决于周转风险因素r的定义）。我们在第5节中更详细地讨论了不同持有期限的影响。就股票而言，产能大致可以被认为与市值（或规模）类似。在这里，我们不认为股票除名、并购、股票变更或新增股票属于“不稳定”。行业分类的不稳定性意味着它是基于公司的某些潜在方面，这些方面会使股票交易人频繁改变行业。这将是一个结构糟糕的行业分类。构成风险因素，因为M可能是实质性的（例如，如果时间序列是基于每天的字母和1年的loo k-back）。增加样式因子数量的一个简单方法是将每个样式因子分解为分位数。如果分位数k的数量在Fstyle风险因素上是一致的，那么通过这种方式，我们将此类风险因素的数量增加到Fktyle，这可能是相当大的。然而，产生的风格风险因素的有效数量，虽然很可能比FKS风格大，但由于不同分位数之间的高度相关性，可能没有FKS风格大。

尽管如此，分位数法是一种简单的方法，可以榨取更多的风险因素。另一种想法是使用股票的成熟风险因素作为alpha的风险因素，至少对于那些基础交易为股票的alpha。如果Alphas自身没有内在的风险管理，那么这是一种合理的方法——事实上，人们很可能希望以这种方式进行风险管理。然而，通常情况下，阿尔法预计会针对大多数风险因素进行对冲，因此在这种情况下，股票的风险因素已经（基本上）从阿尔法中“计算”出来。4.3潜在可交易性作为风险因素然而，即使股票的风险因素已被排除，股票的特定风险也不存在。因此，我们的想法是利用潜在的可交易资产——股票本身——作为风险因素。我们需要量化这一点，也就是说，我们需要构造因子加载矩阵和因子协方差矩阵。这里有一种方法可以做到这一点。具体来说，让基础可交易资产为美国股票（这不是一个关键性的假设），这样，A就可以标记出由组合资产交易的宇宙中的股票。在第0个近似值中，协方差矩阵是对角的：ΦAB=vAδAB，其中vav是股票收益率RA的历史v变量。即使F=2500，也不需要追溯到10年前，因为方差基本上比协方差更稳定。因此，计算时间可能短得多，例如每月或每年。超过0次近似值ΦABis不是对角线。对角元素本身需要通过股票的因子模型方法进行建模；然而，正如我们上面所讨论的，这些都是现成的（见脚注17）。不需要α相关性或与α的相关性来获得ΦAB。在这里，人们可以使用自己选择的多因素风险模型，如BARRA、North Field、Axioma、Quantigic、SunGard APT等。

人们还可以使用行业分类，即使用行业（或等效的分组，有时称为子行业）的风险因素，例如基于彭博社、GIC、ICB等。如果没有，可以得到相对大量的此类风险因素，如果使用股票的多因素风险模型，则因子c方差矩阵很容易获得，或者可以根据多年的每日股票收益回顾轻松计算。我们将在下面评论如何建立相应的因子载荷矩阵。此外，一些阿尔法可能有意有风险暴露，需要注意不要无意中抑制这种阿尔法。标的可交易资产不是股票。它们可以是任何工具。这个想法仍然适用。此外，这一想法在远阿尔法流（见下文）中有更广泛的适用性。下一步是确定Ohm伊莉亚。正如我们前面提到的，我们可能无法获得关于如何构建单个Alpha的信息。然而，如果我们要对每个阿尔法的位置数据进行比较，我们最好能获得它们。让这个位置数据是PiAs，它是用A标记的股票在用ts标记的时间所持有的alpha的美元持有量，标准化后，对于每个给定的对i，s，PA | PiAs |=1。我们需要构造Ohm来自PiAs的IAS——假设我们没有其他可用数据，也就是说。也就是说，我们需要摆脱时间序列索引。这是一个明显的选择OhmiA≡PSPIAS不能作为PIA随时间频繁波动的标志（假设Alpha的持有期较短）。大体上OhmiA≡PsPiAsis本质上和Cor（αi，RA）一样不稳定，后者不能产生更多独立的危险因素。很明显，我们需要一个未签名的数量来定义Ohm伊莉亚。我们可以使用OhmiA≡Xs | PiAs |（46）这不再是不稳定的或类似于Cor（αi，RA）。

然而，在某些地区，这种定义可能不起作用，或可能产生比F更有效的风险因素（甚至大大低于F）。如果大多数阿尔法在大多数情况下都是t曲线边界上的t曲线，并且这些边界基本上是一致的，那么很明显，在这种情况下，大多数阿尔法曲线是一致的Ohm这样定义的iAde将彼此接近——极端情况是OhmiA≡ γ、 式中，γ是独立于i和A的，在这种情况下，我们只有一个与单位向量成比例的风险因子（又称截距）。介于两者之间的情况是，基于（46）的风险因素的有效数量为1<F<F。如果F<< F，则大多数边界都是饱和的，因此sowe仍然可以基于（46）保留弗里斯克因子，并基于二次不变量添加更多风险因子RS。我们不能使用任何covar-iances w.r.t.s，因此我们可以选择：OhmiA≡pVar（PiAs）（47），其中Var是每个给定对i，A的方差w.r.t.s。有一个替代定义OhmiA≡pVar（|PiAs |）（48），但预计不会产生巨大差异。此外，一个人可以用MAD代替MAD√Var，但这些都是小细节，不会成功或失败。因此，有了（46）、（47）和/或（48），我们应该能够捕捉到风险因素，或者说其中相当数量的风险因素远远大于M。

对于隔夜持有的lpha s和纯日间持有的ALPHA s（以及从隔夜持有中获得实质性贡献的ALPHA），可以这样做。例如，对于隔夜持有的ALPHA s和日间持有的短期ALPHA，s的总和可以是每月或每年（见下文）。Fis——矩阵的非零（实际上是“非小”）特征值的个数Ohm Φ OhmT.在实践中，当混合非统一定义的风险因素时，必须处理如何定义此类混合因素的因素协方差矩阵的问题，包括非统一定义的风险因素之间的相对归一化。在这方面，有时更容易定义一组统一的风险因素。日内损益表）。在处理日内（组成部分）Alpha时，（47）和（48）中的差异被理解为日内的适当定义。我们一直在漫不经心地对待经济的正常化Ohm（46）、（47）和/或（48）中定义的iAas。这是因为有一次Ohm如果已经确定，则无论如何都需要对其进行适当的规范化，以构建特定的风险，从而完成风险模型。这是一个非常重要的步骤，我们将不在这里深入探讨。（46）、（47）和（48）中的风险因素是这样定义的，因为前提是，无论定义什么风险因素，因子协方差矩阵ΦAbi都是容易获得或计算的，无需使用阿尔法相关性或与阿尔法的相关性。基本上，假设唯一可用的信息是位置数据PIA，在定义方面没有太多选择Ohm伊莉亚。此外，让我们强调，使用基础可交易资产作为风险因素的想法适用于Alpha之外的其他领域。如果我们有N个进程Xis，i=1，N由过程YAs确定，A=1，F via Xis=PFA=1PiAsYAs，其中piasar是可预见的，那么我们可以使用yaasas作为Xisso long的风险因素，因为PiAsdata是可用的。

这甚至不需要在交易或融资的背景下进行。让我们总结一下，为Alpha构建一个风险因素评估框架。为了简化问题，我们不要混淆因子负荷矩阵的不同定义。让我们把注意力集中在定义（47）上，在所有阿尔法s中都是一致的。这将使因子负载达到一个整体标准化因子。因子共变矩阵ΦAb则是A=1，F这个协方差矩阵本身可以建模为一个因子模型（参见e 17）。在一个简单的近似中，一个人可以使用对角线ΦAB=vAδAB，其中var是股票的回归方差。此外，如果风险管理是在单个阿尔法的层面上进行的，那么人们可能希望从阿尔法风险因素的定义中删除与股票风险因素对应的股票的线性组合。也就是说，在这种情况下，因子载荷矩阵OhmIa被另一个因子载荷矩阵取代Ohm′iA′，其中′=1，F′，F′=F- FS，其中FS是股票风险因素的数量。另一方面，如果风险管理不是在单个Alpha级别进行的，那么，如上所述，可以使用股票风险因素本身作为Alpha风险因素。设∧aa为股票风险因子的因子载荷矩阵，其中=1，财政司司长。然后我们可以定义PIA≡PFA=1PiAs∧Aa，并使用上述PIAS确定相应的FSalpha风险因素Ohmia（高达一个r）。最后，让我们不要怀疑，我们可以结合前面提到的阿尔法-事实r加载矩阵Ohm伊奥尔Ohmia（或Ohm′iA’plusOhmia）如果需要，包括阿尔法型风险因素以及主要成分风险因素等。然后需要处理上述问题，即非统一定义的风险因素的适当相对标准化。

另一个问题是，此类非统一定义的风险因素通常存在于fac t中，这一步骤是构建成功的因素模型的关键因素，并被因素模型提供商（包括Quantigic）视为专有技术。使用阿尔法方差是确定的，因为它们比协方差稳定得多，而且，非线性协方差不会将风险因素的数量限制在M。例如，健康风险因素等非零相关性。即使每个集合的因子协方差矩阵已知，跨集合的因子协方差矩阵也不一定已知。在这里，我们可以采用因子模型方法，将每个集合视为“超星系团”，并使用alpha协方差矩阵计算“超星系团”之间的因子协方差矩阵。因此，让我们假设我们有两组（适当标准化的）风险因素Ohm（1） iAandOhm（2） Ia分别使用（适当归一化）因子协方差矩阵Φ（1）AB和Φ（2）AB，A，B=1，F、 A，B=1，F.Letf（1）≡NXi=1FXA=1αiν（1）AOhm（1） iA（49）f（2）≡NXi=1FXA=1αiν（2）AOhm（2） iA（50），其中ν（1）和ν（2）是一些权重——我们可以选择，例如，相等的权重。然后，f（1）和f（2）之间的协方差由下式给出：f（1），f（2）=NXi，j=1FXA=1FXA=1CijOhm（1） iAOhm（1） iAν（1）Aν（2）A（51），其中Cijis是使用实际α时间序列计算的样本α协方差矩阵。因为这里我们有一个（或几个，如果我们还有几个风险因子集）协方差和M>> 1，这种协方差可以是可接受的稳定。然后，在总n正态化因子下，而不是第0个近似值ΦAA=0，在第一个近似值中，我们可以设置ΦAA≈f（1），f（2）. 注：这种方法可以用于我们上面讨论的量化风格因子的情况，只要这种量化风格因子FKStyle的数量不比M大（并且出于稳定性原因，最好是小得多）。

在本例中，我们使用了FKStyleset，而不是上面的两个集合。重申一下，在上述讨论中，与非统一定义的因子载荷相对应的因子载荷的（相对）标准化可能很棘手，并且在计算特定风险时是固定的。5结论性意见我们考虑alphas流因子模型的主要动机是双重的（见第4节）。首先，样本协方差矩阵的反对角线元素在样本外并不特别稳定。其次，当M<N时（回想一下，M+1是Cijis计算所基于的阿尔法时间序列中的观察次数），这通常是实践中的情况，包括由于，当k=1时，该方法也适用于样式风险因素本身。如上所述，特定风险的计算是一个专有主题，超出了本文的范围。alphas的短暂性质，然后Cijis奇异，只有M个非零特征值。事实上，在大多数实际应用中<< N.在这方面，当阿尔法数N较大时，使用阿尔法因子模型——至少是为了阿尔法权重分配（通过回归或优化）——是有保证的。的确，我们必须有F<< N（记住F是风险因素的数量）。如果一个人处理的是大约十几个阿尔法，那么对于任何合理的历史记录（人们认为可以将这些阿尔法向前转换），样本协方差矩阵都是非奇异的。此外，在这种情况下，用基于六个风险因素的因子模型协方差矩阵替换样本协方差矩阵似乎是一种过分的做法。如果出于某种原因，必须有F<N的风险因素，在这种情况下，可以简单地将样本协方差矩阵的第一个F主要成分作为此类因素。