G\“{a}rtner-Ellis定理、均匀化和仿射过程

那么∧（u，t）=tC(-ut，t）+tD(-ut，t）v- ux。（5.2）接下来，设置A（u）=b- ρσu。不难看出d（u，t）=σ（A（u）+d（u））1- ed（u）t1-A（u）+d（u）A（u）-d（u）ed（u）t=σ（A（u）- d（u）sinhd（u）td（u）coshd（u）t+A（u）sinhd（u）t。此外，C（u，t）=rut+Aσ“（A（u）+d（u））t- 2 log1-A（u）+d（u）A（u）-d（u）ed（u）t1-A（u）+d（u）A（u）-d（u）！#=车辙+aσ“a（u）t- 2 logd（u）coshd（u）t+A（u）sinhd（u）td（u）#。利用上一个公式，我们得到了C-ut，t= -ru+aσ“bt+ρσu- 2 logd(-ut）t coshd(-ut）t+（bt+ρσu）sinhd(-ut）td(-ut）t#。（5.3）我们还有一个-美国犹他州= b+pσut，A-美国犹他州= b+2bρσut+ρσut，d-美国犹他州= -u（1）- ρ） σt+2σu（kσ+bρ）t+b，σA.-美国犹他州- D-美国犹他州=美国犹他州-2库特，18阿奇尔·古利萨什维利和约瑟夫·泰奇曼纳德-ut，t=美国犹他州-2kut辛德(-ut）td-美国犹他州coshd(-ut）t+A-美国犹他州辛德(-ut）t.（5.4）让我们用Z表示实数u的集合，（5.3）和（5.4）右侧的表达式对于所有足够小的t值都是有限的，并将^S（u，t）=d-美国犹他州t、 很容易看出^S（u，t）=p-u（1）- ρ） σ+2tu（kσ+bρσ）+tb。在前面的公式中，t是一个实数。因此，对于每个实数u6=0，对于所有t足够小的数t，^S（u，t）都是纯虚的。对于这种无损检测，^S（u，t）=iS（u，t），其中（u，t）=pu（1- ρ)σ- 2tu（kσ+bρσ）- tb（5.5）是一个实数。接下来就是TC-ut，t= -tru+taσ“bt+ρσu- 2个log2S（u，t）cos S（u，t）+（bt+ρσu）sin S（u，t）2S（u，t）#。（5.6）和TD-ut，t=U- 2tkusins（u，t）2S（u，t）cos（u，t）+（bt+ρσu）sins（u，t）。（5.7）我们的下一个目标是引入一个加法条件，在此条件下，出现在公式（5.6）中的对数函数存在，并且（5.6）和（5.7）右侧的表达式是有限的。回想一下，我们假设u6=0，而| t |是小的e值。

SeteS（u）=limt→[u（2S）u+t]。那么，我们就有极限了→0S（u，t）=| u |σp1- ρandeS（u）=| u |σp1- ρcos | u |σp1- ρ+uσρsin |u |σp1- ρ、 设ρ6=0，并假设-σp1- ρarctanp1- ρρ<u<σp1- ρπ - arctanp1- ρρ!. （5.8）（5.8）中的限制意味着变量u由函数b（u）=p1的最大负根限定- ρcosuσp1- ρ+ρsinuσp1- ρ、 G¨ARTNER-ELLIS定理、均匀化和仿射过程，以及同一函数的最小正根。注意bs（0）>0。因此，对于满足（5.8）中条件的所有u，我们有b（u）>0。很容易看出，对于所有的u6=0，es（u）=σ| u | bS（u），满足（5.8）中的条件。因此，在对u的相同限制下，eS（u）>0。从（5.7）可以看出，对于（5.8）所包含的所有u 6=0，则（5.7）的右侧最终是完整的→ 0，而且更多→0tD-ut，t=u sinuσ√1.-ρσp1- ρcosuσ√1.-ρ+ρsinuσ√1.-ρ. （5.9）此外，对数算术符号（5.6）下的表达式最终为正，且为limt→0tC-ut，t= 0，（5.10）在ρ=0的情况下，（5.8）中的条件变为-πσ<u<πσ。（5.11）此处的分析与前一案例中的分析类似。ne xt语句为函数∧（0）提供了显式表达式。该陈述在[8]中获得（见[8]中的公式（2），也见[10]），在特殊情况下，k=-r=0。定理5.1。假设ρ6=0，条件（5.8）成立。然后你∈ Z和以下公式有效：∧（0）（u）=vu sinuσ√1.-ρσp1- ρcosuσ√1.-ρ+ρsinuσ√1.-ρ- 徐。（5.12）如果ρ=0且条件（5.11）成立，则u∈ Z和∧（0）（u）=vuσtanuσ- 徐。定理5.1源自（5.2）、（5.9）和（5.10）。还记得x吗∈ R、 临界点u*（x） 是方程的s解u∧（0）（u）=-x、 把θ=σ√1.-ρ.

然后，使用（5.12），我们得到u∧（0）（u）=v2σρ[1- cos（2θu）]+p1- ρsin（2θu）+σ（1）- ρ） u（p1- ρcos（θu）+ρsin（θu））- x、 在ρ=0的特殊情况下，我们有u∧（0）（u）=vσsin（2θu）+σu1+cos（2θu）- x、 在以下两个陈述中，我们提供了临界点u的公式*（x） 函数∧（0）（u）的二阶导数。这些结果可用于前几节中以Hesto nmodel为例建立的交感公式。20阿奇尔·古利萨什维利和约瑟夫·泰奇曼莱玛5.2。假设ρ6=0，条件（5.8）成立。然后，每x∈ R、 临界点u*（x） 是方程ρ[1]的唯一解- cos（2θu）]+p1- ρsin（2θu）+σ（1）- ρ） u（p1- ρcos（θu）+ρsin（θu））=2σv（x- x） 。如果ρ=0且条件（5.11）成立，则每x∈ R、 u*（x） 是方程sin（2θu）+σu1+cos（2θu）=σv（x）的唯一解- x） 。引理5.3。假设ρ6=0，条件（5.8）成立。然后∧（0）（u）=vS（u）2σ[p1- ρcos（θu）+ρsin（θu）]，其中（u）=（2θ+σp1- ρ） [ρp1- ρsin（θu）+（1）- ρ） cos（θu）]+2σθ（1）- ρ） u[p1- ρsin（θu）- ρcos（θu）]。如果ρ=0且条件（5.11）成立，则∧（0）（u）=v2σ（2θ+σ）cos（θu）+2θσu sin（θu）cos（θu）。引理5.2和5.3是向前延伸的，它们的证明被省略。接下来我们将计算函数∧（1）和∧（2）。还记得ZeXP吗-utzpt（dz）=exp∧（0）（u）t经验∧（1）（u）1+t∧（2）（u）+。.因此，∧（u，t）=∧（0）（u）+t∧（1）（u）+t log（1+t∧（2）（u）+……）。通过对前面关于t的公式进行微分，我们得到∧（1）（u）=limt→0Λt（u，t）和∧（2）（u）=limt→0Λt（u，t）。（5.13）假设u6=0，如定理5.1所示。

然后函数t7→ 由（5.5）定义的S（u，t）在t=0的一个小邻域中是实解析的，取决于u。使用泰勒公式，我们得到（u，t）=c（u）+c（u）t+c（t）t+OT（5.14）作为t→ 0，其中O-估计取决于u，系数由c（u）=| u |σp1给出- ρ、 （5.15）c（u）=-|u | ukσ+bρp1- ρ、 （5.16）G¨ARTNER-ELLIS定理、均匀化和仿射过程21andc（u）=-||u（ub）- ρ） +（kσ+bρ）2σ（1）- ρ).我们的下一个目标是扩展T7的功能→ 单S（u，t）和t 7→ cos S（u，t）。使用泰勒公式和（5.14），我们得到S（u，t）=u（u）+u（u）t+u（u）t+O（t）（5.17）作为t→ 0，其中u（u）=sinc（u），（5.18）u（u）=c（u）cos c（u），（5.19）和u（u）=c（u）cos c（u）- c（u）sin c（u）。类似地，cos S（u，t）=W（u）+W（u）t+W（u）t+O（t）（5.20）作为t→ 0，其中W（u）=cos c（u），W（u）=-c（u）sin c（u），and W（u）=-[c（u）sin c（u）+c（u）cos c（u）]。接下来我们将扩展T7的功能→ tD(-ut，t）和t 7→ tC(-ut，t）。从（5.14）、（5.17）和（5.20）得出2s（u，t）cos S（u，t）+（bt+ρσu）sins（u，t）=V（u）+V（u）t+V（u）t+O（t）（5.21）作为t→ 其中V（u）=2c（u）W（u）+ρσuU（u），V（u）=2c（u）W（u）+2c（u）W（u）+bU（u）+ρσuU（u），V（u）=2c（u）W（u）+4c（u）W（u）+2c（u）W（u）+2bU（u）+ρσuU（u）。不难看出V（u）=2c（u）cos c（u）+ρσu sin c（u），（5.22）V（u）=（2+ρσu）c（u）cos c（u）+（b- 2c（u）c（u）sin c（u）、（5.23）and v（u）=[2c（u）+2bc（u）+ρσuc（u）- 2c（u）c（u）]cos c（u）- [2c（u）c（u）+4c（u）+ρσuc（u）]sin c（u）。因此，tD(-ut，t）=（u- 2tku）U（U）+U（U）t+U（U）t+O（t）V（U）+V（U）t+V（U）t+O（t）（5.24）as t→ 0（见（5.7）、（5.17）和（5.21））。设定(-ut，t）=t（u）+t（u）t+t（u）t+O（t）（5.25）22阿尔奇·古利萨什维利和约瑟夫·泰奇曼斯t→ 0

然后，（5.24）和（5.25）给定（u）V（u）=uU（u），T（u）V（u）+T（u）V（u）=uU（u）- 2kuU（u）和T（u）V（u）+T（u）V（u）+T（u）V（u）=uU（u）- 2kuU（u）。根据前面的等式T（u）=uU（u）V（u），T（u）=uU（u）V（u）- 2kuU（u）V（u）- uU（u）V（u）V（u），and t（u）=Q（u）V（u），其中Q（u）=uU（u）V（u）- 4kuU（u）V（u）- uU（u）V（u）V（u）- 2uU（u）V（u）V（u）+4kuU（u）V（u）V（u）+2uU（u）V（u）。（5.26）因此，以下渐近公式：(-ut，t）=uU（u）V（u）+tuU（u）V（u）- 2kuU（u）V（u）- uU（u）V（u）V（u）+tQ（u）V（u）+O（t）（5.27）as t→ 现在，我们将注意力转向函数t7→ tC(-ut，t）。使用（5.6），我们可以看到(-ut，t）=-tru+taσ“bt+ρσu- 2 logV（u）+V（u）t+O（t）2c（u）+2c（u）t+O（t）#。（5.28）设V（u）+V（u）t+O（t）2c（u）+2c（u）t+O（t）=L（u）+L（u）t+O（t）为t→ 不难看出L（u）=V（u）2c（u），（5.29）L（u）=c（u）V（u）- c（u）V（u）2c（u）。（5.30）我们还有log[L（u）+L（u）t+O（t）]=logl（u）+L（u）L（u）t+O（t）（5.31）G¨ARTNER-ELLIS定理、均匀化和仿射过程23as t→ 0.根据（5.28）-（5.31）得出(-ut，t）=aρuσ- 汝-2aσlogV（u）2c（u）t+abσ-2aσc（u）V（u）- c（u）V（u）c（u）V（u）t+O（t）（5.32）作为t→ 0.接下来，我们将找到函数∧（1）和∧（2）的显式表达式。假设ρ6=0，u6=0，条件（5.8）成立。然后∧（1）（u）=aσ- RU-2aσlogV（u）2c（u）+vuU（u）V（u）- 2kuU（u）V（u）- uU（u）V（u）V（u）。（5.33）可以使用（5.27）和（5.32）建立公式（5.33）。下一个陈述根据赫斯顿模型参数提供了函数∧（1）的显式表达式。定理5.4。假设ρ6=0，u6=0，条件（5.8）成立。然后∧（1）（u）=aσ- RU-2aσlogp1- ρcosuσ√1.-ρ+ρsinuσ√1.-ρp1- ρ+vE（u）cosuσ√1.-ρ+E（u）cosuσ√1.-ρsinuσ√1.-ρ+E（u）sinuσ√1.-ρσp1- ρcosuσ√1.-ρ+ρsinuσ√1.-ρ,（5.34）其中e（u）=-uσ（kσ+bρ），E（u）=-2kσp1- ρ+kσ+bρp1- ρ、 安第斯山脉（u）=-2kρσ+b+uσkσ+bρ.如果ρ=0，则公式（5.34）适用于所有满足条件（5.11）的u。证据

考虑到（5.33），（5.15），（5.16），（5.18），（5.19），（5.22），（5.23），我们得到∧（1）（u）=aσ- RU-2aσlog | u |σp1- ρcos | u |σ√1.-ρ+ρσu sin |u |σ√1.-ρ| u |σp1- ρ+veE（u）cos | u |σ√1.-ρ+eE（u）cos | u |σ√1.-ρsin | u |σ√1.-ρ+eE（u）sin | u |σ√1.-ρ|u |σp1- ρcos | u |σ√1.-ρ+ρσu sin |u |σ√1.-ρ,其中（u）=-uσ（kσ+bρ），24阿奇尔·古利萨什维利和约瑟夫·泰奇曼尼（u）=u“-ρσu | u | kσ+bρp1- ρ- 2k | u |σp1- ρ+（2+ρσu）|u | kσ+bρp1- ρ#，安第斯（u）=-U2kρσ+b+uσkσ+bρ.接下来，将前面公式中的| u |替换为u（不难看出这是可以做到的），并进行多次取消，我们得到了公式（5.34）。这就完成了定理5.4的证明。本节的最终目标是根据Heston模型参数为函数∧（2）找到一个明确的公式。由（5.2）、（5.13）、（5.27）和（5.32）可知∧（2）（u）=abσ-2aσc（u）V（u）- c（u）V（u）c（u）V（u）+vQ（u）V（u），（5.35），其中Q（u）由（5.26）给出。现在，很清楚如何获得函数∧（2）的显式表达式，用赫斯顿模型参数表示。使用函数Sci、Ui、Vi的显式表达式（i=0、1、2）和函数Q，可以转换（5.35）中的公式。我们还要注意，如果用| u |替换，公式（5.35）右侧的函数值不会改变。考虑到上面的sa id，并进行长而直接的计算，我们发现下面的陈述成立。定理5.5。假设ρ6=0，u6=0，条件（5.8）成立。

那么∧（2）（u）=abσ-aσ（1）- ρ） uI（u）p1- ρcosuσ√1.-ρ+ρsinuσ√1.-ρ+vI（u）σp1- ρcosuσ√1.-ρ+ρsinuσ√1.-ρ+vI（u）I（u）uσp1- ρcosuσ√1.-ρ+ρsinuσ√1.-ρ, （5.36）式中i（u）=h-uρσp1- ρ（kσ+bρ）icosuσp1- ρ+2b+2ρkσ+uσ（kσ+bρ）（1）- ρ)sinuσp1- ρ、 I（u）=-Ub（1）- ρ） +（kσ+bρ）2(1 - ρ） +（kσ+bρ）1- ρsinuσp1- ρ+“b（1- ρ） +（kσ+bρ）σ（1）- ρ） +b（kσ+bρ）p1- ρ#sinuσp1- ρcosuσp1- ρ、 G¨ARTNER-ELLIS定理、均匀化和仿射过程25I（u）=2“2kσp1- ρ-（2+ρσu）（kσ+bρ）p1- ρ#cosuσp1- ρ+ 22kρσ+b+uσ（kσ+bρ）sinuσp1- ρ、 安迪（u）=-uσp1- ρ+b sinuσp1- ρ-kσ+bρp1- ρsinuσp1- ρcosuσp1- ρ.如果ρ=0，则公式（5.36）适用于所有满足条件（5.11）的u。证据（5.36）右侧的第二项可以通过考虑（5.15）、（5.16）、（5.22）和（5.23）从（5.35）中的相应项中获得。接下来，使用（5.26），我们看到q（u）V（u）=u[u（u）V（u）- U（U）V（U）]V（U）+4UV（u）+2uV（u）[U（U）V（U）- U（U）V（U）]V（U）。（5.37）莫雷沃（u）V（u）- U（U）V（U）=2c（U）c（U）+4c（U）sinc（U）- 2[c（u）+bc（u）]sinc（u）cos c（u），4kuV（u）+2uV（u）=2u[4kc（u）+u（2+ρσu）c（u）]cos c（u）+2u[2kρσ+b- 2c（u）c（u）]sinc（u），andU（u）V（u）- U（U）V（U）=b sinc（U）- 2c（u）c（u）+2c（u）sin c（u）cos c（u）。SetI（u）=u（u）V（u）- U（U）V（U），I（U）=U-2.4UV（u）+2uV（u）,安迪（u）=u（u）V（u）- U（U）V（U）。接下来，考虑到（5.35）、（5.37），并使用i=0、1、2的函数ci、Ui和vw的显式表达式，我们得到（5.36）。这就完成了定理5.5的证明。备注5.6。本文讨论了函数∧（i）在其域上i=0，1，2的连续性。回想一下∧（i）（0）=0。从定理5.1、5.4和5.5可以看出，函数∧（i）在其域上是连续的，点u=0可能是例外。

然而，不难看出，使用前面提到的定理中提供的函数∧（i）的显式表达式，thatlimu→0∧（i）（u）=0 for i=0,1,2.26阿尔奇·古利萨什维利和约瑟夫·泰奇曼参考文献[1]Y.Ait-Sahalia和J.Yu，连续时间马尔可夫过程的鞍点近似，计量经济学期刊134（2006），507551。[2] C.库奇罗、D.菲利波维奇、E.梅尔霍夫和J.泰奇曼。正半限定矩阵的一个有效过程。《应用概率年鉴》，21（2011），397-463。[3] C.Cuchiero、M.Keller Res sel、E.Mayerhofer和J.Teichman，对称锥上的一个有效过程，可在arXiv上获得：1112.1233，2011。[4] A.Dembo和O.Zeitouni，《大偏差技术与应用》，琼斯和巴特利特出版社，1993年。[5] D.Duffee，D.Filipovic和W.Schachermayer，《金融中的有效流程和应用》，应用概率年鉴13（2003），984–1053。[6] R.S.Ellis，一类随机m向量的大型发展，安。问题。12 (1984), 112.[7] M.Forde和A.Jacquier，赫斯顿模型下隐含波动率的小时间渐近性，IJTAF 12（2009），861-876。[8] M.Forde和A.Jacquier，《海斯顿模型的大成熟微笑》，金融与随机15（2011），755-780。[9] M.Forde、A.Jacq uie r和A.Mijatovi'c，《赫斯顿模型中隐含效用的渐近公式》，《皇家学会学报》A 466（2010），3593-3620。[10] M.Forde、A.Jacquier和R.Lee，赫斯顿模型下隐含波动率的小时间s英里和期限结构，s IAM J.Finan。数学3 (2012),6909-708.[11] M.Forde和R.Kumar，具有随机利率的一般随机波动率模型的大时间期权定价，使用Donsker VaradhanLDP，预印本，2013年。[12] J·G¨ar tner，关于不变测度的大偏差，第。问题。阿普尔。22 (1977), 24-39.[13] 答。

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