G\“{a}rtner-Ellis定理、均匀化和仿射过程

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英文标题：
《The G\\\"{a}rtner-Ellis theorem, homogenization, and affine processes》
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作者：
Archil Gulisashvili and Josef Teichmann
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We obtain a first order extension of the large deviation estimates in the G\\\"{a}rtner-Ellis theorem. In addition, for a given family of measures, we find a special family of functions having a similar Laplace principle expansion up to order one to that of the original family of measures. The construction of the special family of functions mentioned above is based on heat kernel expansions. Some of the ideas employed in the paper come from the theory of affine stochastic processes. For instance, we provide an explicit expansion with respect to the homogenization parameter of the rescaled cumulant generating function in the case of a generic continuous affine process. We also compute the coefficients in the homogenization expansion for the Heston model that is one of the most popular stock price models with stochastic volatility.
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中文摘要：
我们得到了G \\“{a}中大偏差估计的一阶推广埃利斯定理。此外，对于给定的测度族，我们发现了一个特殊的函数族，它的拉普拉斯原理展开式与原始测度族的拉普拉斯原理展开式相似，其阶数为1。上述特殊函数族的构造基于热核展开。本文采用的一些思想来自仿射随机过程理论。例如，在一般连续仿射过程的情况下，我们提供了关于重标度累积量生成函数的均匀化参数的显式展开。我们还计算了Heston模型的均匀化展开系数，Heston模型是最流行的随机波动性股票价格模型之一。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> The_G"artner-Ellis_theorem,_homogenization,_and_affine_processes.pdf (317.93 KB)

2022-5-6 07:49:29 上传

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关键词：Ellis Mathematical coefficients Construction Differential

G–ARTNER-ELLIS定理、均匀化和石蜡过程Archil GULISASHVILI和JOSEF Teichmanabstract。我们得到了G–artner-Ellis定理中大偏差估计的一阶推广。此外，对于给定的测度族，我们发现了一个特殊的函数族，该函数族具有类似的拉普拉斯原理展开式，可以将一个函数与原始测度族的函数族进行排序。上述特殊函数族的构造是基于热核展开的。本文采用的一些观点来自于随机过程理论。例如，在一般连续过程的情况下，我们提供了一个显式展开，以响应重新标度累积量生成函数的均匀化参数。我们还计算了Heston模型的同质化展开系数，Heston模型是具有随机波动性的最流行的股票价格模型之一。1.引言大偏差理论在数学金融中有许多应用（见[19]）。例如，使用大发展理论的方法，可以估计金融模型的各种重要特征，如资产价格分布、期权定价函数和隐含波动率（参见[7,8,9,11,10,11,13,15]和其中的参考文献）。Dembo和Zeitouni的书[4]是关于拉格偏差理论的一个流行信息来源。该理论的一个有用结果是G¨artner-Ellis定理（见[6,12]，另见[4]）。该定理允许在知道极限累积量生成函数性质的情况下，推断大偏差原理中的上下估计。接下来，我们将简要概述本文的内容。第二节介绍了函数族和测度族的拉普拉斯原理等价展开式的新概念。

这个概念是由与一个有效的随机过程X相关的r阶累积量生成函数的同质化展开所激发的，即由∧（，u）=log Ehexpn定义的函数∧-uXoi=logZRexpn-uzop（dz）。实际上，前面提到的均匀化展开只是函数∧关于参数的解析展开（见第4节）。在第3节中，我们从一般过程理论中收集定义和已知事实，而在第4节中，均质化过程在2010年的数学学科分类中进行了描述。60F10，35K08。关键词和短语。一个有效过程，大偏差原理，热核展开，短时渐近。我们衷心感谢数学研究所（FIM）和THETH基金会的支持。我们还要感谢Antoine Jacquier阅读本文并发表了非常有益的评论。2 ARCHIL GULISASHVILI和JOSEF Teichmanall详细介绍了连续有效流程。论文中获得的主要一般结果包含在第2部分（见定理ms 2.4和2.7）。定理2.4指出，对于实线上的任何测度族，满足G–artner-Ellis定理中的条件，并且存在均匀化展开，我们可以找到一个特殊的函数族，它是拉普拉斯原理，等价于原始测度族。定理2.4中函数family的结构类似于黎曼流形上热核展开的前两项（请注意，我们在这里面临退化情况，因此无法直接应用热核展开）。定理2.7是G–artner-Ellis定理的推广。定理2.7表明，在与定理2.4相同的条件下，一阶大偏差估计是有效的。

最后，在第5节中，我们计算了相关Heston模型的均匀化展开系数，该模型是最流行的随机波动性股票价格模型之一。2.具有等效拉普拉斯原理展开式的分布拉普拉斯原理是一种渐近展开技术，它允许一个人逼近formZbaf（z）exp的积分-φ（z）dz（2.1）as→ 0.接下来，我们将制定一个相当通用的拉普拉斯原理版本，将在续集中使用。假设下列条件成立：o（2.1）中的函数f和φ在区间（a，b）上是连续的，（2.1）中的积分绝对收敛于所有0<<函数φ是唯一的绝对最小值，在z=z且a<z<b时，函数φ是严格凸的。函数φ在z的邻域中连续可微四次，且φ（z）=φ（z）+Xn=2nφ（z）n！（z）- z） 不适用（z）- z）（2.2）作为z→ z、 o可以区分（2.2）c中的公式。更确切地说，条件φ（z）=Xn=2nφ（z）（n）- 1)!（z）- z） n-1+O（z）- z）, Z→ z、 （2.3）持有函数f在z的邻域中是两次连续可微的，且f（z）=Xn=0nf（z）n！（z）- z） 不适用（z）- z）（2.4）作为z→ z、 G¨ARTNER-ELLIS定理、均匀化和仿射过程3然后，如→ 0，Zbaf（z）exp-φ（z）dz=exp-φ（z）s2πφ（z）f（z）+f（z）2φ（z）+5(φ（z））f（z）24(φ（z））-φ（z）f（z）8(φ（z））-φ（z）f（z）2(φ（z））+ O. （2.5）公式（2.5）可根据[18]中定理8.1的证明进行推导。接下来，我们假设对函数f和φ施加的可微性限制比上面列出的那些弱：o函数φ在z的邻域内是两次连续可微的，且φ（z）=φ（z）+φ（z）（z）- z） +O（z）- z）（2.6）作为z→ z、 o可以区分（2.2）c中的公式。

更确切地说，条件φ（z）=φ（z）（z）- z） +O（z）- z）作为z→ z（2.7）保持函数f是这样的：f（z）=f（z）+O（z）- z） 作为z→ z、 （2.8）那么→ 0，Zbaf（z）exp-φ（z）dz=exp-φ（z）s2πφ（z）f（z）+O（）. （2.9）备注2.1。使用泰勒公式，我们可以看到（2.2）、（2.3）和（2.4）成立，前提是函数f是连续可微分的三倍，函数φ在z附近是连续可微分的五倍。类似地，（2.6）、（2.7），（2.8）如果f是连续可微的，φ是z附近连续可微的三倍，则保持不变。设p={p}-uzop（dz）=exp∧（0）（u）经验∧（1）（u）1+∧（2）（u）+O（）（2.10）as→ 0，其中∧（i），0≤ K≤ 2是域I上的连续函数。在（2.10）中的大时间点在I中包含的所有闭区间上是一致的。不难看出函数∧（I），0≤ 我≤ 2，in（2.10）可以从以下公式中恢复：∧（0）（u）=lim→0logZRexpn-uzop（dz），（2.11）expn∧（1）（u）o=lim→0exp∧（0）（u）ZRexpn-阿奇尔·古利萨什维利和约瑟夫·泰奇曼·南德普恩∧（1）（u）o∧（2）（u）=lim→0经验∧（0）（u）ZRexpn-uzop（dz）- expn∧（1）（u）o. （2.13）在本文的其余部分，我们将假设G–artner-Ellis定理中的条件成立。更准确地说，我们假设以下是正确的：o在（2.11）中定义的函数∧（0）作为ALU的扩展实数存在∈ R

我们用I表示最大作用区间，使得∧（0）（u）的数量对于所有u都是有限的∈ I.o点u=0属于区间I.o函数∧（0）在导数I上连续可微u∧（0）是I上的严格递增函数，且函数的范围u∧（0）是R。前面的限制只涉及函数∧（0）。通过G–artner-EllisTherem，他们暗示了p族的大偏差原理的有效性。关于G–artner-Ellis定理的更多信息可以在[4]中找到。函数∧（1）和∧（2）（这些函数分别由（2.12）和（2.13）确定）的存在表明可能存在某些大偏差结果。备注2.2。在Jacquier和Room的论文[16]中，对重标度累积量生成函数（见[16]中的（2.1））施加了与（2.10）类似的假设。此外，本节中的假设与[16]第2节中的假设有更多相似之处。请注意，在[16]中获得的主要结果涉及向前启动选项和向前微笑的渐近行为。函数∧（0）在I上是严格凸的。让我们定义∧（0）的适当LegendreFenchel变换，更准确地说，我们把∧（0）I*（z） =- 英孚∈I（uz+λ（0）（u）），z∈ 很明显，存在一个唯一的极小值z 7→ U*（z） 在上面描述的问题中，满足条件u∧（0）（u）*（z） ）=-z、 （2.14）它遵循H∧（0）i*（z） =-祖*（z）- ∧（0）（u）*（z） ）。（2.15）由于∧（0）（0）=0，我们有Λ(0)*（z）≥ 0.众所周知，函数Λ(0)*在pr.2和pr.15上，是严格凸的Λ(0)*（z） 如果z=-u∧（0）（0），以及Λ(0)*（z） 如果z 6=-u∧（0）（0）。接下来，setd（z）=qΛ(0)*（z） 。（2.16）很明显，d（z）=h∧（0）i*（z） 。（2.17）因此，d（z）=q-2.祖*（z） +λ（0）（u）*（z） ).

（2.18）G¨ARTNER-ELLIS定理、均匀化和仿射过程5通过函数∧（0）的严格凸性，infz∈Ruz+d（z）= -∧（0）（u），u∈ I.设p为满足条件（2.10）的Borel概率测度族。我们的下一步是在R上找到一个特殊的函数族f={f}>0，对于这个函数族，重标矩基因评级函数的交感行为类似于公式（2.10）中描述的行为。试图在满足以下条件的函数族中找到合适的函数族f是很有诱惑力的：→ 0:ZRexpn-uzof（z）dz=exp∧（0）（u）expn∧（1）（u）o×1+∧（2）（u）+O（2.19）在I的紧致子区间上一致，其中函数∧（k），0≤ K≤ 2，与（2.10）中的相同。然而，由于函数f的尾部行为缺乏控制，我们不能总是保证公式（2.19）左侧的积分存在。这里的补救方法是将（2.19）中的条件本地化。定义2.3。Let p是一系列Borel概率测度，如That（2.10）所包含的。我们提供了一个拉普拉函数族，它的每一阶都是等价的≥ 1存在一个适当的开子区间Jn 我的时间间隔为→ 0，锌-下一个-uzof（z）dz=exp∧（0）（u）expn∧（1）（u）o1+∧（2）（u）+On，u为了所有的你∈ Jn。（ii）区间Jn，n的顺序≥ 1.增加∞n=1Jn=I。下一个语句解释了如何构造族f。ansatz定义了公式（2.20）中函数f的结构，它基于经典的热核展开理论。定理2。4.设p是R上满足（2.10）的Borel概率测度族，并假设G¨artner-Ellis定理中的条件成立。

假设函数∧（0）在I上连续可微五次，函数∧（1）在I上连续可微三次，函数∧（2）在I上连续可微。定义函数族f如下：f（z）=√2πexp-d（z）2（C（z）+C（z）），>0，（2.20），其中d由（2.18）给出，C（z）=qu∧（0）（u）*（z） expn∧（1）（u）*（z） o，6阿奇尔·古利萨什维利和约瑟夫·泰奇曼南德C（z）=C（z）∧（2）（u）*（z） )-C（z）u∧（0）（u）*（z） )-5C（z）u∧（0）（u）*（z） )u∧（0）（u）*（z） )+C（z）u∧（0）（u）*（z） )- u∧（0）（u）*（z） )u∧（0）（u）*（z） )u∧（0）（u）*（z） )+C（z）u∧（0）（u）*（z） ）2u∧（0）（u）*（z） ）。那么f族是拉普拉斯原理，它等价于p族证明的1阶。函数∧（i），0的可微性限制≤ 我≤ 2.在定理2.4的公式中，由于没有定义函数，因此被强制使用。请注意，函数z 7→ U*（z） 在实线上是连续三次可区分的。前面的陈述很容易从（2.14）中得出。定理2.4的证明基于以下构造，使用了Slaplace原理。每n≥ 1.我们有-下一个-uzof（z）dz=√2πZn-nexp-uz+d（z）（C（z）+C（z））dz。（2.21）设置φu（z）=uz+d（z）。（2.22）拉普拉斯原理将应用于（2.21）右侧出现两次的积分族。第一次，将使用公式（2.5），其中f=Candφ=φu。第二次，将使用公式（2.9），其中f=Candφ=φu。临界点z*（u） 由（2.22）导出的函数φugiven的解是方程的解ZΛ(0)*（z） 不难看出*（u） 当且仅当ifu=u*（z） 。它来自（2.14）thatz*（u） =-∧（0）（u），u∈ I.（2.23）可以使用（2.17）、（2.15）、（2.22）和（2.23）推导出下一个公式。我们有zφu（z*（u） )=∧（0）（u），（2.24）zφu（z*（u） )=∧（0）（u）[∧（0）（u）]，（2.25）和zφu（z*（u） ）=3[∧（0）（u）]- ∧（0）（u）∧（0）（u）[∧（0）（u）]。

（2.26）让我们将定义2.3中出现的区间Jn定义如下：Jn={u∈ I:z*（u）∈ (-n、 n）}，n≥ 1.G–ARTNER-ELLIS定理、均匀化和仿射过程7不难看出定义2.3中的条件（ii）是满足的。接下来，使用（2.5）和（2.21），我们得到-下一个-uzof（z）dz=exp-φu（z）*（u） ）szφ（z*（u） )C（z*（u） ）+C（z）*（u） )+zC（z）*（u） ）2zφu（z*（u） ）+5(zφu（z*（u） ）C（z*（u） ）24(zφu（z*（u） ））--zφu（z*（u） ）C（z*（u） ）8(zφu（z*（u） ））-zφu（z*（u） )zC（z）*（u） ）2(zφu（z*（u） ））+ 加油（2.27）as→ 0.请注意，定理2.4中的微分条件允许我们使用公式（2.5）和（2.9）以及上面选择的函数f和φ。接下来我们将比较（2.10）和（2.27）中的公式。注意φu（z*（u） ）=uz*（u）- Z*（u） u*（z）*（u） )- ∧（0）（u）*（z）*（u） ）=-∧（0）（u）。这表明，如果我们选择（2.16）中的函数d，那么公式（2.10）和（2.27）中的系数是一致的。此外，函数可以改变为C（z*（u） ）=qu∧（0）（u）exp（1）（u））（2.28）和c（z）*（u） ）=C（z*（u） ∧（2）（u）-zC（z）*（u） ）2zφu（z*（u） )-5(zφu（z*（u） ）C（z*（u） ）24(zφu（z*（u） ））+zφu（z*（u） ）C（z*（u） ）8(zφu（z*（u） ））+zφu（z*（u） )zC（z）*（u） ）2(zφu（z*（u） ））。（2.29）定理2.4中函数C和C的表示可以通过插入u=u获得*（z） 转化为（2.28）和（2.29），并简化计算公式。等式（2.23）-（2.26）在简化中考虑在内。这就完成了定理2.4的证明。备注2.5。我们已经确定了这一点Λ(0)*（y）≥ 0代表一切∈ R.由于（2.14）和（2.15）保持不变，我们有h∧（0）i*（y） =-U*（y） 尽管如此∈ R.因此，函数是有限的Λ(0)*在实际线路上，在点y处实现，因此*（y） =0。这一点由y=z给出*(0) = Λ(0)(0).此外，英菲∈Rh∧（0）i*（y） =-Λ(0)(0) = 0.备注2.6。

利用定理2.4可以得出的一个启发性结论是，在某种非常弱的情况下，f族是p族的一个小时间近似值。找到这样的近似值是一个重要的问题。我们将我们的结果视为超越著名的盖特纳-埃利斯定理的第一步。下一个断言在G–artnerEllis theo-rem中提供了满足条件的度量族的一阶大偏差估计（2.10）。还可以找到更高阶的8阿奇尔·古利萨什维利（ARCHIL GULISASHVILI）和约瑟夫·泰奇曼（JOSEF TEICHMANNestimates），但本论文不包括它们。设a为有界Borel集。用A表示集合A的闭包，leta+=supz∈A{z}和A-= infz∈A{z}。然后我们有z+，z-∈A.定理2。7.设p是R上的概率Borel测度族，使得（2.10）成立。还假设函数∧（0）在G–artner Ellis heorem hold中的条件下是连续可微的（见公式（2.13）后面列出的条件）。再假设 R是有界Borel集，andx∈ 答：那么以下是正确的：（i）如果x≥ ∧（0）（0），则为→ 0，p（A）≤ 经验(-Λ(0)*（十）- U*（x） （a）+- x） ）expn∧（1）（u）*（x） ）o×1+∧（2）（u）*（x） ）+O（）. （2.30）（ii）如果x<∧（0）（0），则为→ 0，p（A）≤ 经验(-Λ(0)*（十）- |U*（x） |（x）- A.-)）expn∧（1）（u）*（x） ）o×1+∧（2）（u）*（x） ）+O（）. （2.31）关于x，（2.30）和（2.31）中的大O估计是一致的∈ A.备注2.8。条件x≥ ∧（0）（0）和x<∧（0）（0）是等效的*（十）≥ 0和u*（x） <0，分别为。定理2。9.设p是R上的概率Borel测度族，使得（2.10）成立。还假设函数∧（0）在G–artner Ellis heorem hold中的条件下是连续可微的（见公式（2.13）后面列出的条件）。再假设 R是有界开集，x∈ 答：那么以下是正确的：（i）让x≥ Λ(0)(0).