二元风险测度下的投资

因为D {X∈ L:E[EεX-] = +∞ 对于每一个ε>0}，损失太大。事实上，E[E]- ^αX]可以取0到1之间的任何值。当X是Aumann和Serrano（2008）定义的赌博时，方程E[E]-X/R]=1允许一个唯一的正运算。这里0-1代表+∞. 如果二元性指数的定义被α0代替-1，其中^α=sup{α>0:E[E-αX]<1}。那么没有一个代理会接受0，因为它的二元性索引是+∞. 这与Aumann和Serrano（2008）中可接受的定义一致。然而，我们认为，这与财务直觉相矛盾，即无损失始终是一种可接受的情况，因此我们不采用这种定义。因此，可以得出结论，R（X）是有限的当且仅当X属于A∪ 二元指数的几个基本性质如下所示。命题2.5对偶指数具有以下性质。1.对偶指数是次可加的：对于任何X，Y，R（X+Y）6r（X）+R（Y）。对偶指数是正齐次的：对于任何标量k>0和X.3，R（kX）=kr（X）。对偶指数是凸的。4.对偶指数是非负的，且具有规律不变性。5.二元性指数是单调递减的w.r.t.一阶和二阶（随机）优势。2.2特征化和唯一性在本节中，我们证明了对偶指数满足对偶性和正同质性公理，这是唯一的。我们需要一个如下的技术结果。它表明，在下面给出的意义下，对偶指数是连续的。引理2.6设u（·）为增函数，X为增函数∈ L满足u（w+X）∈ 我看到了一些富人。设Xn=min{max{X，-n} ，n}。

然后limn→+∞R（Xn）=R（X）和limn→+∞E[u（w+Xn）]=E[u（w+X）]。定理2.7定义2.1中定义的对偶指数是L上唯一的、非平凡的、非负值的指数，同时满足对偶和正齐性公理。3.一个投资组合问题引入对偶指数并研究其性质。在本节中，我们将考虑对偶指数下的投资组合选择问题。市场上的一位代理人将发现一个结果X tominXR（u（X- `)) s、 t.E[ρX]=X，X∈ 五十、 （4）其中效用函数u:R 7→ 试剂的R为凹形，严格增加，与u（0）=0不同；随机变量ρ>0是均值为1的风险或定价核的市场价格；常数`是代理的基准点或参考点，通常大于初始捐赠x；可能的结果集定义为L={X∈ L:E[|X |]<+∞}.我们假设E[ρln（ρ）]<+∞ E[ln（ρ）]>-∞.注意，根据詹森不等式，E[ρln（ρ）]>E[ρ]ln（E[ρ]）=0和E[ln（ρ）]<ln（E[ρ]）=0。假设一个非负实值指数是非平凡的，当且仅当结果被所有风险规避者接受时，结果指数为零。事实上，后者意味着结果是非负的。为了简单起见，我们只考虑确定性基准测试。很难推广到随机情况。在Black-Scholes或Merton模型中，ρ是对数正态分布的。在这种情况下，这个假设成立。在本文中，我们假设ρ不是一个常数，如果没有其他规定的话。约束E[ρX]=X通常被称为预算约束，并将特定对冲策略的选择限制为可实现或可复制的初始捐赠X。在本文中，我们假设市场是完整的，也就是说，任何结果X∈ 这是可以复制的。然而，我们这里不研究如何复制结果。

感兴趣的读者可以参考Pardoux and Peng（1990）对相关主题的分析。可以观察到，人们倾向于考虑与基准或参考点相关的可能结果，而不是绝对结果本身。这种现象被称为分支效应。所以我们考虑相对结果X- ` 而不是目标中的绝对结果X。事实证明，基准在这个问题中起着至关重要的作用。一个规避风险的代理人倾向于从消费同一产品的额外单位中获得较少的效用。这种现象被称为边际效用递减定律，并由目标中效用函数的共度来反映。如果代理是风险中性的，那么效用函数就是相同的函数，我们将在后面讨论它作为一个例子。4解决投资组合选择问题- `. 然后我们可以将问题（4）改写为asinfYR（u（Y））s.t.E[ρY]=-y、 y∈ 五十、 （5）其中y=`- x被称为盈余水平。我们研究这个问题，而不是问题（4）。问题（5）的最佳值定义为V（y）。很明显，当y=6时，V（y）=0，因为y=-y>0是可行解，R（u（y））=0。在这种情况下，代理的基准太低，因此他/她可以在没有任何风险的情况下实现它。从现在开始，我们关注案例y>0.4.1适定性让我们首先研究问题（5）的适定性问题（无论值是否确定）。命题4.1问题（5）的值是有限的当且仅当集合Y={Y∈ L:E[ρY]=-y、 u（y）∈ A}（6）不是空的。此外，如果问题（5）的值是有限的，那么最优解（如果存在）必须属于Sy。证据“==>”: 值是有限的，所以有Y∈ 满足E[ρY]=-y、 u（y）∈ A.∪ B.国际单项体育联合会（Y）∈ B、 然后Y>0a.s.，E[ρY]>0>-y、 矛盾。

这也证实了集合Sy不是空的，并且最优解（如果存在）必须属于Sy。“<==”: 这是显而易见的。现在我们来研究一下布景。条件u（Y）∈ A不太容易证明，所以我们想找到一个更容易证明的替代品。让我们考虑以下集合^Sy=={Y∈ L:E[ρY]=-y、 E[u（y）]>0}。（7） 这个集合并不难分析。这与经典的默顿最优消费模型（默顿1971）有关。引理4.2定义y==sup{y:有y∈ 满足E[ρY]=-y和E[u（y）]>0}。（8） 那么集^sy不是空的当且仅当y<^y。很明显，^y>0，因为每当y<0时，y=-Y∈ 满足E[ρY]=-y和E[u（y）]>0。^y的值在一般情况下并不难推导。让我们来看两个最重要、应用最广泛的案例。例4.1如果u（·）是线性的，则^y=+∞.例4.2如果u（·）是严格凹的，则^y=- limλ→^λ+Eρ（u）-1.λρ, 式中，^λ=supnλ>0:Ehu（u）-1.λρi> 0o。（9） 下一步，我们回到学习设置Sy。引理4.3集sy不是空的当且仅当y<^y。把迄今为止得到的所有结果放在一起，我们可以完全解决问题（5）的适定性问题。定理4.4问题（5）的值是有限的当且仅当y<y，其中y由（8）给出。此外，当y<^y时，问题（5）的最优解（如果存在）必须属于Sy，其中Sy由（6）给出。如果y>^y或^y=0，那么问题（5）和原始问题（4）的值都是一致的。也就是说，如果基准水平与初始捐赠x相比过于激进，那么投资风险将超出任何代理人的承受能力。

相比之下，在经典的均值-方差模型中，一些代理人可能会进入市场，而不管基准水平如何，因为投资风险仍将低于其承受能力。在接下来的部分中，我们寻找问题（5）的最优解。从现在起，我们假设0<y<^y.4.2最优解解决问题（5）的最大困难是克服对偶指数的非线性。为了克服这一点，我们引入了一系列问题，并研究了它们之间的关系。最后，我们将问题（5）联系到一个可解的经典投资组合选择问题，然后推导出其最优解和最优值。可以看出，基本引理在这种方法中起着关键作用。在引入一系列新问题之前，我们首先需要分析问题（5）的值函数。引理4.5问题（5）的值函数V（·）在[0，^y]上是有限的、递增的和凸的。通过值函数的凸性，我们得到推论4.6值函数V（·）在[0，^y]上是连续的。这里我们假设essinfρ=0。例如，ρ是对数正态分布的。在一般情况下，^y=1/essinfρ。事实上，V（·）在[0，^y]上是凸的(-∞, 所以V（·）是连续的(-∞, ^y）。特别地，V（0）=0。从以上结果可以看出，如果基准水平`非常接近x，那么风险可以任意小。换句话说，如果代理人不贪婪，那么他/她可以设定一个基准水平，使投资风险在他/她的承受范围内（无论它有多小，只要它不是零）。也就是说，他/她将进入市场。相比之下，在没有无风险资产的经典均值-方差模型中，存在所谓的正系统风险。

如果系统风险超出了代理人的风险承受能力，那么无论基准水平有多小，他/她都不会进入市场。很明显，作为问题（5）目标的二元性指数不容易处理。为了避免这种情况，我们引入了一个桥问题sup（α，Y）αs.t.E[E]-αu（Y）]61，E[ρY]=-y、 y∈ L.（10）我们的新方法基于以下结果，这表明了上述问题与问题（5）之间的关系。提案4.7修正案y∈ （0，^y）。一对（α）*, Y*) 是问题（10）的最优解当且仅当Y*是问题（5）和0<α的最优解*= 1/R（u（Y）*)) < +∞.上述结果将问题（5）与问题（10）联系起来。我们现在只需要考虑后者。问题（10）比问题（5）简单得多，因为二元性指数已被移除。然而，问题（10）中仍有两个变量需要优化，直接找到最优解可能并不容易，因为可行集可能不是凸的，标准拉格朗日方法无法直接应用。因此，我们的第二个新想法是引入一系列新的单变量优化问题，这些问题更容易解决，但仍然与桥接问题（10）密切相关，因此也与问题（5）密切相关。修好∈ （0，^y）。定义一系列由α>0参数化的单变量优化问题。Pα：infYE[e]-αu（Y）]s.t.E[ρY]=-y、 y∈ L.（11）这是一个类似默顿最优消费的问题，其中绝对风险规避α的值是先验的。将上述问题的值表示为VP（α），这显然是非负且有限的，因为：-y是一个具有固定值的可行解。为了便于记法，VP（0）自然定义为1。在研究问题Pα之前，我们需要做一些准备。

对于每一个α>0，映射x7→E-αu（x）在R上严格凸且递减，因此其导数x7→ -αu（x）e-αu（x）是一个从R到(-∞, 0）。设Iα（·）表示映射x7的逆→-αu（x）e-αu（x）。那么Iα（·）是从(-∞, 0）到R。假设4.1对于每个α>0，ρIα（λρ）∈ 土地Iα（λρ）∈ 五十、 每当λ∈ (-∞, 0).E[ρIα（λρ）]和E[Iα（λρ）]的行为非常复杂。我们请感兴趣的读者金、徐和周（2008）对类似问题进行全面研究。例4.3如果u（x）=x，则Iα（x）=-α-1ln(-α-1x）。假设4.1已经满足。现在我们来解决问题Pα。下面给出了完整的解决方案。这个假设可能会被一个较弱的假设所取代。命题4.8修正y∈ （0，^y）。对于每一个α>0，问题Pα允许一个唯一的解yα=Iα（λρ），（12），其中λ∈ (-∞, 0）是e的根[ρIα（λρ）]=-y、 此外，问题Pα的最优值由VP（α）=E[E]给出-αu（Yα）]。尽管上述命题完全解决了问题Pα，但它与问题（10）的关系仍需确定。为了回答这个问题，我们需要研究VP（·）的性质。第一个是VP（·）的连续性，这将通过其凸性得到证明。引理4.9修正y∈ （0，^y）。值函数VP（·）在[0]上是凸的，∞) .推论4.10函数VP（·）在（0，∞).下一个结果致力于显示值函数VP（·）在0附近严格小于1。引理4.11修正y∈ （0，^y）。存在^α>0，使得每当0<α<^α时VP（α）<1。根据上述引理，VP（0+）61=VP（0）。问VP（·）在0时是否连续是很自然的。总的来说，答案并不正确。这与问题（5）的值函数v（·）的答案非常不同。

请参见下一节中的示例。我们有以下重要的副产品。推论4.12方程VP（α）=1最多允许一个正解。下面的结果表明，值函数VP（·）可以是任意大的。引理4.13对于每个α>0，VP（α）>eαu（0）y-E[ρln（ρ）]。由于当α接近零时，VP（α）小于1，当α>yu（0）E[ρln（ρ）]时，VP（α）大于1，因此通过这个凹性，我们得出结论，推论4.14方程VP（α）=1允许一个唯一的正解。现在我们准备揭示问题Pα和问题（10）之间的关系。提案4.15修正案y∈ （0，^y）。假设VP（α）*) = 1对于某些α*> 0.让Y*是问题Pα的最优解*. 然后是一对（α*, Y*) 是问题（10）的最佳解决方案。证据自VP（α）以来*) = 1, (α*, Y*) 是问题（10）的可行解决方案。假设它不是最优的。然后有一对（α，Y）满足E[E]-αu（Y）]61，E[ρY]=-y、 y∈ 五十、 α>α*> 这是问题Pα的可行解，所以VP（α）6e[E]-αu（Y）]61。另一方面，通过VP（·）的凸性，1=VP（α）*) 6α - α*αVP（0+）+α*αVP（α）6α- α*α+α*αVP（α），16 VP（α）。所以VP（α）=1。这个VP（α）=VP（α*) = 1与推论4.12的主张相矛盾。把迄今为止得到的所有结果放在一起，我们得到了问题（5）的完整解。定理4.16修正y∈ （0，^y）。那么VP（α）=E[E-αu（Yα）]=1允许一个唯一的正解α*> 0，其中Yα由（12）给出。此外，（α*, Yα*) 是问题（10）的最优解，andYα*是问题（5）的最优解，其最优值为1/α*, 和0<α*E[ρln（ρ）]yu（0）。问题（5）的最优值为Yu（0）E[ρln（ρ）]的下界，该值在y中增加。根据引理4.5，盈余水平越大，投资风险越高；由上述结果得出的增长率也至少为tu（0）E[ρln（ρ）]。

如果盈余水平太大，或者更准确地说，大于^y，那么任何规避风险的代理人都不会进入市场。4.3示例在本节中，我们给出两个重要示例来说明本文的主要结果。示例4.4风险中性代理。在这种情况下，u（x）=x和^y=+∞.那么Iα（x）=-αln(-xα）。问题Pα的最优解为Iα（λρ）=-y+α（E[ρln（ρ）]- ln（ρ），最优值为vp（α）=E[E-αu（Iα（λρ））]=eαy-E[ρln（ρ）]。来自VP（α）*) = 1，我们得到α*= E[ρln（ρ）]/y>0。问题（5）的最佳解决方案是- ln（ρ）yE[ρln（ρ）]，问题（5）的最优值为V（y）=1/α*=yE[ρln（ρ）]，在[0]上是连续的，∞). 然而，值函数VP（·）在0处不是连续的，因为VP（0+）=e- E[ρln（ρ）]<1=VP（0）。在这种情况下，投资风险与超额水平成正比。例4.5风险规避代理人。设u（x）=1-E-βx、β>0和ln（ρ）均为正态分布，均方根为u，方差为σ。然后我们推导出u=-σ来自E[ρ]=1。推导^y=σ2β并不困难。在这种情况下，Iα（·）是满足αe的唯一函数-βIα（x）-βIα（x）=α+ln(-十）-ln（α）-ln（β）。设W（·）为Lambert函数，它是唯一满足[0]上W（x）eW（x）=x的函数+∞).那么Iα（x）=β（W(-xβeα）-在(-xβeα）+ln（α）。下图显示了风险和盈余水平之间的关系。0.10.20.30.4盈余水平二元性指数在此我们假设essinfρ=0。式中σ=β=1。从图中可以看出，当盈余水平y变为^y=σ2β=0.5时，风险将变为完整性，当盈余水平y变为y:0时，风险将变为0。备注1代理人越厌恶风险（即β越大），其风险承受能力越低（即β越小）。5结论性意见在本文中，定义了一个非平凡、非负、实值的一般结果指数。这是Aumann和Serrano（2008）提出的指数的一般化。

它保留了原指数的许多性质，包括次可加性、定律不变性、凸性、单调性以及连续性。它也是唯一的非平凡指数，既满足对偶性公理，又满足正同质性公理。然后在一个完整的市场环境中考虑投资组合选择问题。通过简化问题将其与一系列类似默顿最优消费的问题联系起来，完全解决了这个问题。这个问题等价于一个显式代数方程所揭示的一个级数。在一个不完整的市场环境中，这个问题将更难解决，需要采用新的方法。对偶指标下的最优停车问题也很有趣。这些问题将在即将发表的论文中讨论。附录一个基本引理的证明通过单调收敛定理，我们得到了limα→^α-E[EαX-{X<0}]=E[E^αX-{X<0}]，并且通过支配收敛定理，我们得到了limα→^α-E[E]-αX+{X>0}]=E[E-^αX+{X>0}]。把它们加起来，注意到^α的定义，我们得到1>lim infα→^α-E[E]-αX]=E[E-^αX]。（13） 如果P（x6=0）>0，则设置f（α）=E[E-αX]。那么[0，^α]上的f（·）是满足f（0）=1，f（^α）6 1的严格凸函数。因此，f（α）<^α-ααf（0）+ααf（α）6 1，每当0<α<α时。由于每个凸函数在其域的内部是连续的，我们得到f（·）在（0，^α）上是连续的。通过（13），我们看到f（·）在α处也是连续的。根据α的定义，我们得到了-当α>^α时，αX]>1。如果X∈ A、 然后根据M的定义，α>0。我们也有α<+∞. 另一方面-^αX]>E[E+∞{X<0}]=+∞.如果X∈ B、 那么α=+∞ 根据定义。假设某个X的α>0∈ C.然后通过f（·）的凸性，我们得到，对于每一个α>0，f（α）-f（0）α-0>f（0+）=- E[X]>0，这与f（α）=E[E相矛盾-每当0<α<α时，αX]<1。我们得出结论，对于每一个X，^α=0∈ C.如果X∈ D、 然后E[X-] = +∞.