二元风险测度下的投资

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英文标题：
《Investment under Duality Risk Measure》
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作者：
Zuo Quan Xu
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  One index satisfies the duality axiom if one agent, who is uniformly more risk-averse than another, accepts a gamble, the latter accepts any less risky gamble under the index. Aumann and Serrano (2008) show that only one index defined for so-called gambles satisfies the duality and positive homogeneity axioms. We call it a duality index. This paper extends the definition of duality index to all outcomes including all gambles, and considers a portfolio selection problem in a complete market, in which the agent\'s target is to minimize the index of the utility of the relative investment outcome. By linking this problem to a series of Merton\'s optimum consumption-like problems, the optimal solution is explicitly derived. It is shown that if the prior benchmark level is too high (which can be verified), then the investment risk will be beyond any agent\'s risk tolerance. If the benchmark level is reasonable, then the optimal solution will be the same as that of one of the Merton\'s series problems, but with a particular value of absolute risk aversion, which is given by an explicit algebraic equation as a part of the optimal solution. According to our result, it is riskier to achieve the same surplus profit in a stable market than in a less-stable market, which is consistent with the common financial intuition.
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中文摘要：
一个指数满足二元性公理，如果一个比另一个更倾向于规避风险的代理人接受赌博，后者接受指数下任何风险较小的赌博。Aumann和Serrano（2008）表明，只有一个为所谓的赌博定义的指数满足对偶性和正同质性公理。我们称之为二元指数。本文将对偶指数的定义推广到包括所有赌博在内的所有结果，并考虑一个完全市场中的投资组合选择问题，其中代理人的目标是最小化相对投资结果的效用指数。通过将该问题与一系列类似默顿最优消费的问题联系起来，明确地导出了最优解。研究表明，如果之前的基准水平过高（可以验证），那么投资风险将超出任何代理的风险承受能力。如果基准水平合理，则最优解将与默顿级数问题的最优解相同，但具有特定的绝对风险规避值，该值由作为最优解一部分的显式代数方程给出。根据我们的结果，在稳定的市场中获得相同的盈余利润的风险比在不太稳定的市场中更大，这与常见的金融直觉相一致。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：Quantitative Applications Measurement Homogeneity consumption

二元风险测度下的投资*许左全+2013年3月12日抽象指数满足二元性公理，如果一名代理人（其风险厌恶程度一致高于另一名代理人）接受赌博，则后者接受指数下任何风险较低的赌博。Aumannand Serrano（2008）表明，只有一个为所谓的赌博定义的指数满足双重和正同质性公理。我们称之为二元指数。本文将风险指数的定义扩展到包括所有赌博在内的所有结果，并考虑了完全市场中的投资组合选择问题，其中代理人的目标是最小化相对投资结果的效用指数。通过将这个问题与默顿的一系列类似最优消费的问题联系起来，可以显式地导出最优解。研究表明，如果一级基准水平过高（可以验证），那么投资风险将超出任何代理的风险承受能力。如果基准水平合理，则最优解将与默顿级数问题的最优解相同，但具有特定的绝对风险规避值，该值由作为最优解一部分的显式代数方程给出。根据我们的研究结果，在稳定的市场中实现同样的盈余收益比在不稳定的市场中实现同样的盈余收益风险更大，这与常见的财务直觉是一致的。关键词：二元性公理，二元性风险度量，二元性指数，投资组合选择1简介Diamond and Stiglitz（1974）指出，一个人是否赌博取决于两个不同的考虑：（i）赌博的属性，尤其是它的风险有多大；以及（ii）该人的属性，尤其是他或她对风险的厌恶程度。就第一个问题而言，风险度量的概念被用来解释agamble的风险有多大。

文献中描述了许多经过充分研究的风险度量，如超边际价格、风险价值、风险尾值、预期短缺以及一般一致性风险度量。这些措施强调了风险的某些方面。然而，它们很少直接反映风险厌恶者的态度；也就是说，“风险是风险规避者所厌恶的”（Machina andRothschild，2008）。熵风险度量是为数不多的几个试图捕捉这一特征的方法之一，它通过指数效用函数依赖于这种风险规避。为了*作者感谢香港大学数学系的程伟基（Ching，Wai Ki）对奥曼（Aumann）和塞拉诺（Serrano）（2008）著名作品的引用。本文作者感谢香港早期职业计划（编号533112）、香港普通研究基金（编号529711）和香港理工大学的财政支持。+香港理工大学应用数学系，香港九龙。电子邮件：maxu@polyu.edu.hk.overcome针对现有措施的缺点，Aumann和Serrano（2008）制定了一项风险措施，强调了风险规避者的态度。这保留了不同风险度量的许多属性，例如一阶单调性、凸性和正齐性。然而，与一致性风险度量不同，它也是二阶单调的，这与强调风险规避者的态度是一致的。不幸的是，Aumann和Serrano（2008）仅定义了称为赌博的某种离散随机变量的测量。众所周知，金融应用中的大多数结果都是连续或混合型的，因此它们的度量不能应用于许多这些结果。

为了纳入股票价格、期权和一般或有权益等一般结果，本文将测度的定义推广到所有随机变量。与原始度量一样，度量将满足一个基本公理，即度公理。这条公理表明，如果一个代理人比另一个代理人更倾向于规避风险，而另一个代理人接受赌博，则后者将接受该措施下任何风险较小的赌博。它清楚地表明了措施和风险规避者态度之间的牢固联系。因此，我们将其标记为二元风险度量或二元指数。下一节将详细讨论度量的公理化特征。在第二个方面，效用函数被用来描述代理人的风险规避。最广泛使用的效用函数是凹函数，它代表了代理的全局风险规避。Kahneman和Tversky（1979、1992）认为S型效用函数反映了代理人在亏损情况下的风险寻求态度和在收益情况下的风险规避态度。同时，它们还引入了一个参考点来区分收益和损失情况。虽然文献中考虑了许多其他效用函数，但本文只讨论全局风险规避（包括风险中性）代理以及参考点。参考点反映了代理人的相对财务状况。为了综合考虑这两个因素，即结果的风险有多大，以及代理人的风险规避程度有多大，我们引入了一个投资组合选择问题。这个问题旨在找到一个投资组合，使相对投资结果效用的二元风险度量最小化，即投资结果与基准水平之间的差异。

风险度量首先考虑，其次考虑效用函数。由于二元风险度量是高度非线性的，我们采用了一种新的思路来处理投资组合选择问题，首先将问题与一系列类似默顿最优消费的问题联系起来，然后使用著名的拉格朗日方法求解。原来，原来的问题相当于这些问题中的一个，但有一个特定的绝对风险规避选择，它由一个显式代数方程给出，作为显式最优解的一部分。由此导出了原问题的显式解，使问题完全解决。还导出了一个临界阈值，因此一旦盈余水平（即基准水平和初始捐赠之间的差异）超过阈值，投资风险将超过代理人的风险承受能力。特别是，如果代理是风险中性的，也就是说，具有线性效用函数，那么投资风险将相对于（w.r.t.）盈余水平线性增长。投资风险也与市场定价核心的熵呈正相关。结果证实了常见的财务直觉，即在稳定的市场中实现相同的盈余收益比在不稳定的市场中要困难得多，风险也更大。论文的结构如下。第2节定义了所有结果的二元风险度量，研究了它的性质和公理化特征，然后表明它是满足两个公理的唯一非平凡指数。第3节介绍了在完全市场环境下的投资组合选择问题。问题在于找到一个可能的结果，以最小化相对投资结果效用的双重风险度量。

第四节致力于解决这个问题，即效用函数在负收益上是凸的，在正收益上是凹的。问题我们首先研究问题的适定程度，即其价值是否确定。然后，我们通过一个桥问题，将其联系到一系列默顿最优消费问题。然后使用标准拉格朗日方法处理序列。最后，导出了原问题的最优解和最优值。第四节还提供了分析和数值例子，以说明本文的主要结果。我们在第5.2节“二元指数的定义和特征”中总结了本文。为了定义二元风险度量，我们需要回顾Aumannand Serrano（2008）中使用的一些概念。赌博是一种随机变量，其平均值为正，并包含很多值，其中一些值为负。假设一个效用函数为u的代理在财富wif E[u（w+g）]>u（w）上接受赌博g，其中E代表“期望”；也就是说，代理人更愿意冒险而不是拒绝它。在本文中，我们只考虑风险规避（包括风险中性）代理人；也就是说，u是凹的。假设一个代理人比另一个代理人更倾向于规避风险，如果前者接受对某一财富的赌博，后者接受对任何财富的赌博，但反之亦然。风险度量或指数是赌博的（正）实值函数。

如果一个指数的指数值严格小于后者，那么一场赌博的风险要小于另一场。现在我们将介绍与指数有关的两个重要公理。二元性公理：如果一个比另一个更倾向于规避风险的代理人接受赌博，那么后一个代理人将接受指数下任何风险较小的赌博。正同质性公理：如果赌博是由某个正标量缩放的，那么indexvalue也由同一个标量缩放。Aumann和Serrano（2008）表明，在正倍数下，存在满足上述两个公理的唯一指数。二元性公理比另一个公理更重要，因为连同连续性和单调性的弱条件，它已经暗示索引在序数等价物上是唯一的。因此，我们将同时满足对偶性和正同质性公理的唯一指数称为Aumann-Serrano对偶风险测度或Aumann-Serrano对偶指数，或简称为对偶风险测度或对偶指数。DualityIndex的一些重要性质如下所示。次加性：两次赌博之和的对偶指数不超过每一次赌博的指数之和。定律不变量：两个同分布赌博的对偶指数是相同的。凸的：如果一个赌博是两个赌博的线性组合，那么它的对偶指数不超过每个赌博指数的相同组合。在本文中，财富是不变的。根据这一定义，没有代理人接受0，这与财务直觉不一致，即没有损失是可接受的情况。在Aumann和Serrano（2008）中，这不是一个问题，因为0不被视为赌博。然而，在本文中，我们将0视为一个结果，因此我们假设在本文中所有代理都接受0。

如果假设0不被任何人接受，则不会产生任何差异。单调性：二元性指数随着一阶和二阶（随机）优势度的增加而单调下降。值得注意的是，Aumann和Serrano（2008）没有明确说明凸性属性，但是，该属性将在我们的分析中发挥非常重要的作用。这符合广泛接受的金融智慧，即多元化投资可以降低风险。现在，让我们定义一般结果的二元性指数。2.1二元指数的新定义本文将研究二元指数下的投资组合选择问题。Portfolioselection是指在当前设置中，在特定意义下，在与二元性指数相关的特定设置中，找到最佳可能结果。将考虑每一个平均值（可能不确定）的结果。Aumann和Serrano（2008）对二元性指数的定义不能采用，因为这里考虑的结果只包含很多值，而且很多值的指数没有很好的定义，需要在这里讨论。细节将在下面的示例2.1中说明。因此，有必要将二元性指数的定义扩展到一般结果之上。在本文中，术语市场指的是给定的概率空间(Ohm, F、 P）和结果是指市场中具有明确或不明确平均值的随机变量。表示所有结果的集合asL=={X:X是实值F-可测随机变量E[X-] < +∞ 或E[X+]+∞},X在哪里-= 麦克斯{-十、 0}和X+=max{X，0}分别代表结果X的损失部分和收益部分，E代表给定概率空间上的数学期望(Ohm, F、 P）。用损失的有限矩生成函数asM={X确定结果集∈ L:E[EεX-] < +∞ 对于某些标量ε>0}。

（1） 很明显，每一个失去X的时刻-当X∈ M和每个下界结果都属于M。特别是，奥曼和塞拉诺（2008）中考虑的所有赌博都属于汤姆。我们首先给出了几个有用的结果。引理2.1修正一个标量ε>0。然后E[E]-εX]<+∞ 当且仅当E[EεX-] < +∞.推论2.2如果E[E]-εX]<+∞ 对于一些标量ε>0，则E[E]-αX]<+∞ 只要0 6α6ε。推论2.3集合M可以表示为asM={X∈ L:E[E]-εX]<+∞ 对于一些标量ε>0}（2）和m={X∈ L：ε>0使得E[E]-αX]<+∞ 只要0 6α6ε}。（3） 此外，M是一个凸集。假设一次赌博的价值始终不低于另一次，那么一次赌博的价值高于另一次。假设一场赌博二阶主导另一场，如果后者可以通过用一个平均值为该值的结果替换前者的一些值来获得。假设一场赌博随机支配另一场，如果有一场赌博像前者支配后者一样分布。一个赌博g二阶随机占优于另一个赌博h当且仅当E[f（g）]6 E[f（h）]对于所有递减和凸效用函数f。本文的大部分证明都在附录中给出。每个结果都分为以下类别之一：A={X∈ M:E[X+]>E[X-] > 0}，B={X∈ L:E[X-] = 0}，C={X∈ L:E[X-] > E[X+]，E[X-] > 0}，D={X∈ L:X/∈ A.∪ B∪ C}。请注意，设置∪ B={X∈ M:E[X]>0}∪ {0}是凸的。这简化了我们的分析。在正式定义二元性指数之前，我们需要一个非常重要的引理，基本引理，它将在下面的分析中经常使用。引理2.4（基本引理）设^α=sup{α>0:E[E-每个X的αX]6 1}∈ L.然后映射α7→ E[E]-αX]在[0，^α]和E[E]上是连续的-^αX]6 1。如果P（x6=0）>0，那么E[E]-αX]<1每当0<α<^α和E[E-当α>^α时，αX]>1。

此外，0<^α<+∞ 每当X∈ A、 ^α=+∞ 每当X∈ B、 当X∈ C∪ D.注意到E[E]是非常重要的-^αX]<1可能发生在基本引理中。例2.1假设X是分布为P（X=-n） =n-2e-3n-3对于每个正整数n，P（X=3）=1-P∞n=1n-2e-3n-3.然后X∈ A、 ^α=3，E[E]-αX]<1每当0<α6 3和E[E-αX]=+∞ 每当α>3时。不难证明E[E]-^αX]=1在基本引理中成立，当且仅当ε>0，如1 6e[E]-εX]<+∞ （例如，X∈ A是下界的）。这使得Aumann和Serrano（2008）将二元性指数定义为E[E]的唯一正根-X/R]=1。然而，正如注意到的，E[E]-X/R]=1可能不接受正解，因此我们必须改变度指数的定义。现在，我们在定义2.1 X的二元性指数中定义每个结果的二元性指数∈ L定义为^α-1，其中^α=sup{α>0:E[E-αX]61}。这一定义与Inumann和Serrano（2008）讨论的每个结果的原始二元性指数一致。用R（X）表示X的二元性指数。让我们看看不同类别结果的二元性指数如果X∈ A、 然后0<R（X）<+∞. 风险是中等的。代理人是否接受该结果取决于其风险承受能力如果X∈ B、 那么α=+∞ R（X）=0。根本没有风险。这与财务指导一致。任何代理人都会接受这个结果，因为没有潜在的损失如果X∈ C、 那么α=0和R（X）=+∞. 这种风险是无法忍受的。这也符合财务直觉，因为任何规避风险的代理人都不会接受这一结果如果X∈ D、 那么α=0和R（X）=+∞. 这种风险也是无法容忍的。