二元风险测度下的投资

所以X/∈ 自从X的所有时刻-当X∈ 因此，E[E]-αX]=+∞ 对于定义中的所有α>0和α=0。只要^α>0，f（·）在0处是连续的，可以用与证明（13）相同的思想来证明。命题2.5的证明与Aumann和Serrano（2008）中的证明非常相似。然而，我们对性别指数的定义与最初的定义不同。所以我们在这里给出证据。1.如果X和Y中的一个属于C∪ D、 然后R（X）+R（Y）=+∞ > R（X+Y）（定义为+∞ 无论何时X+Y/∈ 五十） 。如果X和Y中的一个属于B，那么说Y。然后X+Y>X几乎肯定（a.s.）。通过下面将要证明的单调性，我们得到了R（X+Y）6R（X）=R（X）+R（Y）。现在假设X和Y都属于A，设α=sup{α>0:E[E]-αX]61}和α=sup{α>0:E[E-αY]61}。然后0<α，α<+∞. 设置k=α+α∈(0, 1). 那么α+α（X+Y）=kαX+（1-k） αY.通过指数函数的凸性，我们得到了E[E]-α+α（X+Y）]=E[E-kαX-(1-k） αY]6ke[E-αX]+（1）- k） E[E]-αY]61。通过对偶指数的定义，R（X+Y）6α+α=α-1+ α-1=R（X）+R（Y）。这一点从定义开始就紧随其后。3.这源于上述两个属性。4.这是显而易见的。5.由于对偶指数是定律不变的，因此证明二阶情形是很有必要的。假设Y二阶随机控制X，那么对于每个α>0，映射X7→ E-αxis递减且凸，因此E[E]-αY]6e[E-αX]。因此，sup{α>0:E[E-αX]61}6sup{α>0:E[E-αY]61}。根据对偶指数的定义，我们得到了R（X）>R（Y）。引理2.6的C证明对于每个α>0，通过单调收敛定理，我们得到了limn→+∞E[EαX-n{X60}]=E[EαX-{X60}]和limn→+∞E[E]-αX+n{X>0}]=E[E-αX+{X>0}]。把它们加起来，我们就得到了limn→+∞E[E]-αXn]=E[E-αX]。

这证实了limn→+∞R（Xn）=R（X）。同样，通过单调收敛定理，我们得到了limn→+∞E[u（w+X+n）1{X>0}]=E[u（w+X）1{X>0}]和limn→+∞E[u（w）-十、-n） 1{X60}]=E[u（w+X）1{X60}]。把它们加起来，我们就得到了那个极限→+∞E[u（w+Xn）]=E[u（w+X）]。D定理2.7的证明由于定义2.1中定义的对偶指数与Aumann和Serrano（2008）中关于所有有界结果的对偶指数一致，它也满足了所有有界结果的对偶公理。假设两个代理A和B的效用函数分别为uA（·）和uB（·），且代理A一致比代理B更厌恶风险。假设代理A接受另一个结果X∈ L在某些财富w，即X=0 a.s.或e[uA（w+X）]>uA（w）。我们需要确认代理人B是否接受Y的任何结果∈ 在任何财富w下满足R（Y）<R（X），也就是说，Y=0a.s.或E[uB（w+Y）]>uB（w）。因为R（Y）<R（X）6+∞, Y∈ A.∪ B.如果Y=0，则接受。如果∈ B-{0}，thenY>0a.s.，E[uB（w+Y）]>uB（w），它也被接受。现在fixy∈ A和w∈ R.定义Yε=Y- ε1{Y>0}，对于每一个ε>0。然后对于每个α>0，使得E[E]-αY]<1，我们有limε→0+E[E]-αYε]=E[E-αY]<1。所以我们得出结论Limε→0+R（Yε）6r（Y）<R（X）。让我们假设ε>0，使得R（Yε）<R（x）。设Xn=min{max{X，-n} n}和Yn=min{max{Yε，-n} ，n}。然后是引理2.6，limn→+∞R（Yn）=R（Yε）<R（X）=limn→+∞R（Xn）。对于每一个大n，R（Yn）<R（Xn）。另一方面，引理2.6，limn→+∞E[uA（w+Xn）]=E[uA（w+X）]>u（w），所以代理A接受每个大n的Xnat财富wf。Xnand和Yn都是有界的，所以代理B接受每个大n的Ynatany财富w，即E[uB（w+Yn）]>uB（w）。再次应用引理2.6，E[uB（w+Yε）]=limn→+∞E[uB（w+Yn）]>uB（w）。自从∈ A、 P（Y>0）>0，E[uB（w+Y）]>E[uB（w+Y）]- ε1{Y>0}]=E[uB（w+Yε）]>uB（w）。也就是说，代理B在wealthw接受Y。

现在我们证明了对偶指数满足对偶公理。很明显，二元性指数满足正同质性公理。这个指数的唯一性可以用一个类似的极限参数来证明。我们把证据留给感兴趣的读者。引理4.2Suppose^sy的证明不是空的，那么就有Y∈ 满足E[ρY]=-y和E[u（y）]>0。那么对于任何y<y，我们有y+y- Y∈ 五十、 E[ρ（Y+Y）- y） ]=-y、 和E[u（y+y- y） ]>E[u（y）]>0。这表明集合^sy不是空的。通过对^y的定义，我们得出结论，无论何时y<^y，集合^sy都不是空的。很明显，通过对^y的定义，无论何时y>^y，集合^sy都是空的。我们只需要证明无论何时y<+∞. 如果不是，那么就有了Y∈ 满足E[ρY]=-^y和E[u（y）]>0。设Yε=Y- ε1{Y>0}。根据单调收敛定理，limε→0+E[u（Yε）1{Y>0}]=E[u（Y）1{Y>0}]>0。显然，E[u（Yε）1{Y 60}]=E[u（Y）1{Y 60}]>-∞ 因为E[u（Y）]>0。把它们相加，我们得到limε→0+E[u（Yε）]=E[u（Y）]>0。因此，存在ε>0，使得E[u（Yε）]>0。设置δ=εE[ρ1{Y>0}]>0。如果δ=0，则Y 6 0 a.s.和E[u（Y）]6 0，这是一个矛盾。所以δ>0。因为E[ρYε]=E[ρY]- εE[ρ1{Y>0}]=-^y- δ < -^y，我们有yε∈^S^y+δ与^y的定义相矛盾。证明是完整的。F引理4.3的证明提供y<^y。让ε>0，使得y+ε<^y。然后通过引理4.2，^Sy+ε不是空的，因此是y∈ 满足E[ρY]=-（y+ε）和E[u（y）]>0。设Yn=max{Y，-n} 。根据单调收敛定理limn→+∞E[ρYn]=E[ρY]=-（y+ε）<-杨德林→+∞=u（Yn[E）]。因此，我们有E[ρYn]<-对于大n，y和E[u（Yn）]>0。让δ>0满足E[ρ（Yn+δ）]=-y、 很容易验证Yn+δ是否属于集合Sy。所以这个集合不是空的。对于引理4.2中的每一个y>^y，^sy都是空的。

因为集合Sy是^Sy的子集，所以它也是空的。引理4.5Let y<y<^y的G证明。对于任意两个结果y，y∈ 满足E[ρY]=-y、 E[ρy]=-yand Anyk∈ （0，1），由u（·），u（kY+（1）的凹度决定- k） Y）>ku（Y）+（1- k） u（Y）。因为二元指数是单调递减的w.r.t.一阶优势和凸，r（u（kY+）（1- k） Y）6r（ku（Y）+（1- k） u（Y））6kr（u（Y））+（1- k） R（u（Y）），这意味着v（ky+（1- k） y）6千伏（y）+（1- k） V（y）。V（·）的单调增加是由于二元性指数单调增加了一阶优势度w.r.t。V（·）在[0，^y）上是有限的，这是由于定理4.4.H命题4.7的证明。”==>”: 我们首先证明了0<α*< +∞, 然后通过定义二元性指数α*=1/R（u（Y）*)) 立即跟进。自从∈ （0，^y），集合sy不是空的，所以有y∈ 满足E[ρY]=-y和u（y）∈ A.然后0<R（u（Y））<+∞. 因为（1/R（u（Y）），Y）是问题（10），α的可行解*> 1/R（u（Y））>0。另一方面，如果α*= +∞, 然后1>E[E]-α*u（Y）*)] > +∞ * P（Y）*< 0），所以P（Y）*< 0）=0，E[ρY*] > 0 > -y、 矛盾。接下来我们证明Y*是问题（5）的最佳解决方案。否则的话，就有危险了∈ 满足E[ρY]=-y和R（u（y））<R（u（y*)). 然后u（Y）∈ A.∪ B.自u（Y）∈ B意味着Y>0 a.s.和E[ρY]>0>-y、 我们得出结论：u（y）∈ A和so0<R（u（Y））<+∞. 然后，对（1/R（u（Y）），Y）是问题（10）和1/R（u（Y））>1/R（u（Y）的可行解*)) = α*,这与（α）的最优性相矛盾*, Y*) 解决问题（10）。“<==”: 假设Y*是问题（5）的最佳解决方案。自从∈ （0，^y），最优估价师（u（y）*)) < +∞. 自R（u（Y）以来*)) = 0导致Y*> 0 a.s.和E[ρY*] > 0 > -y、 矛盾的是，我们得出结论0<R（u（y*)) < +∞. 然后（1/R（u）（Y*)), Y*) 是问题（10）的可行解决方案。假设它不是最优的。

然后有一对（α，Y）满足Y∈ 五十、 E[E]-αu（Y）]61，E[ρY]=-y和α>1/R（u（y*)) > 那么Y是问题（5）的可行解，但是R（u（Y））61/α<R（u（Y）*)), 这与Y的最优性相矛盾*解决问题（5）。用单调收敛定理证明命题4.8，映射λ7→ E[ρIα（λρ）]是连续且递增的(-∞, 0）andlimλ→-∞E[ρIα（λρ）]=E[limλ→-∞ρIα（λρ）]=-∞,limλ→0-E[ρIα（λρ）]=E[limλ→0-ρIα（λρ）]=+∞,所以E[ρIα（λρ）]=-y承认一个消极的解决方案。（12）的最优性可用标准拉格朗日方法表示。我们把证据留给感兴趣的读者。J命题引理的证明4.9设α>α>0为两个标量，Y，yb分别为问题Pα和Pα的相应可行解。那么对于任何k∈ （0，1），通过指数函数的凸性、单调性和u（·）的凹性，k Ehe-αu（Y）i+（1）- k） Ehe-αu（Y）i=Ehke-αu（Y）+（1）- k） e-αu（Y）i>Ehe-kαu（Y）-(1-k） αu（Y）i=Ehe-（kα+（1）-k） α）（βu（Y）+（1-β） u（Y））i>Ehe-（kα+（1）-k） α）（u（βY+）（1-β） Y）i>VP（kα+（1- k） α），其中β=kαkα+（1-k） α∈ [0,1]上VP（·）的凸性，∞) 已经建立。引理4.11的K证明由命题4.1，sy不是空的，所以有Y∈ 满足E[ρY]=-y、 和u（y）∈ A.通过基本引理，存在^α>0，使得VP（α）6e[E]-每当0<α<α时，αu（Y）]<1。推论的证明4.12假设对于某些α>α>0，VP（α）=VP（α）=1。根据引理4.11，有0<α<α，使得VP（α）<1。通过VP（·）的凸性，我们推导出1=VP（α）6α- αα- αVP（α）+α- αα- αVP（α）<1。这证实了我们的主张。M引理的证明4.13我们首先考虑以下问题：-αu（0）Y]s.t.E[ρY]=-y、 标准拉格朗日方法给出了最优解y*= -y+αu（0）（E[ρln（ρ）]- ln（ρ）），最优值E[E]-αu（0）Y*] = eαu（0）y-E[ρln（ρ）]。因为u（·）是凹的，u（0）=0，所以对于所有x，我们有u（x）6u（0）x∈ R

因此，foreachα>0和Y∈ 满足E[ρY]=-y、 我们有-αu（Y）]>E[E-αu（0）Y]>E[E-αu（0）Y*] = eαu（0）y-E[ρln（ρ）]。紧接着是索赔。参考文献[1]Aumann，R.J.和R.Serrano（2008）：风险的经济指数，《政治经济杂志》，第116卷，第810-836页[2]Diamond，P.A.和J.E.Stiglitz（1974）：风险和风险规避的增加，《经济理论杂志》，第8卷，第337-360页[3]Jin，H.，Z.Q.Xu和X.Y.Zhou（2008）：投资组合选择产生的凸随机优化问题，《数学金融杂志》，第18卷，第171-183页[4]卡尼曼，D.和A.特沃斯基（1979）：前景理论：决策欠风险分析，计量经济学，第46卷，第171-185页[5]梅奇纳，M.和M.罗斯柴尔德（2008）：风险，在新的帕尔格雷夫经济学词典，第二版，由S.N.杜拉夫和L.E.布鲁姆[6]默顿编辑，R.C.（1971）：连续时间模型中的最优消费和投资组合规则，经济理论杂志，第3卷，第373-413页[7]Pardoux，E和S.G.Peng（1990）：向后随机微分方程的自适应解，系统和控制字母，第14卷，第55-61页[8]Tversky，A和D.Kahneman（1992）：前景理论的进展：不确定性的累积表示，《风险不确定性杂志》，第5卷，第297-323页