部分约束下的单因素条件线性商品定价模型

类似地，到期日T时付息H:=H（YT，θ）的衍生工具的差别简化为^pH=~Ehe-rT^H（γ）T（YT，PT）i，其中^H（γ）T（YT，PT）：=γlogZReγh（YT，θ）∧（θ；T，YT，PT）ν（dθ）-logZR∧（θ；T，YT，PT）ν（dθ）.5三元密度在本节中，我们感兴趣的是计算三元密度φt:R×R+→ R+与φt（y，p，q）dydpdq:=~p（Yt）∈ 迪普特∈ dp，Qt∈ dq）。该密度有助于计算差异价格和第3节研究的最优套期保值策略。我们有一个独立的价格表示-rTZR×R+^H（γ）T（y，p，q）φT（y，p，q）dy-dp-dqand＠VH（T，y，p，q）=e-r（T）-t） ZR×R+~H（γ）t（y+y，p+p，q+q）φt-t（y，p，q）dydpdq，利用它可以得到最优套期保值策略^πH∈ ATis表示为（4.3）。我们获得以下信息。提议5.1。（1） 对于（t，y，p，q）∈ R+×R×R×R+，它认为φt（y，p，q）=σexp-（y）- 日志F）-σt×ψtY- 对数Fσ，p- （logf）tσ，q- 2σ（logf）p- （logf）tσ,其中我们定义ψt（x，y，z）dx dy dz:=PWt∈ dx，ZtWsds∈ dy，ZtWsds∈ dz.（2） 我们写出ψt（x，y，z）=ψ（1）t（x，y）ψ（2）t（z | x，y），其中ψ（1）t（x，y）dx dy:=PWt∈ dx，ZtWsds∈ dy,ψ（2）t（z | x，y）dz:=PZtWsds∈ dzWt=x，ZtWsds=y.那么，以下断言是有效的。（i） 它认为ψ（1）t（x，y）=2πpdet（A（t））exp-（x，y）A（t）-1.xy, （5.1）其中（t）：=tttt！。（ii）它认为Γt（α| x，y）：=Z∞E-αzψ（2）t（z | x，y）dz=sdet（A（t））det（A（t，α））co-sh（αt）×exp-（x，y）A（t，α）-1.- A（t）-1.xy, （5.2）其中我们定义（t，α）：=tanh（αt）α1-sech（αt）α1-sech（αt）αt-tanh（αt）α！对于α>0（5.3）和setA（t，0）：=limα↓0A（t，α）=A（t）。（5.4）证据。见附录。备注5.1。

由于我们无法在现有文献中找到公式（5.2），为了完整起见，我们在附录中介绍了它的证明。公式（5.2）可被视为E的n扩展经验-武都Wt=x=sαchinh（αt）exp-x2t{αt coth（αt）- 1},例如，Mansuy和Yor（2008）的（2.5）和Borodinand Salminen（2002）的第168页中的1.9.7。备注5.2。条件矩母函数的显式表示（5.2）对于（近似）计算条件密度ψ（2）（z | x，y）是有用的：我们可以至少正式地应用Gram-Charlie r展开、Edgeworth展开、或鞍点近似（s ee Hall（1992）和Jensen（1995））。或者，我们可以以适当的方式定义条件代换形式Γt（β|x，y）=Γt(2β)x、 y对于β∈ C（数值）计算逆La-place变换m:ψ（2）t（·x，y）=L-1hΓt（·| x，y）i.6累积量在本节中，我们观察到对数未来的非高斯性质∈ [0，T]），通过分析其累积量，在物理概率测量下。为了简单起见，我们假设（Θ，Θ）是一个重新有界的随机变量，并且几乎可以肯定的是，随着so me>0。（6.1）由（2.1）给出的对数期货价格过程表示为DYT=-ΘYt-Θ+fΘdt+σdWt，Y=logf（6.2）on(Ohm, F、 P，（Ft）t≥0）。条件累积量生成函数ks，t（α）=logeeαYt自由流,其中0≤ s≤ T≤ T、 T（α）=对数EEeαYt财政司司长|自由流=E经验αmt-s（Θ）+αvt-s（Θ）自由流,其中，我们使用条件概率（·| Fs）下YTMT的高斯性质，即ndmt-s（Θ）：=E[Yt | Fs]=E-Θ（t）-s） Ys+Θ+fΘ1.- E-Θ（t）-（s）, （6.3）vt-s（Θ）：=V[Yt | Fs]=σ2Θ1.- E-2Θ（t）-（s）（6.4）用V[···]表示条件方差（P下）。

从命题4.1中，我们可以看到，t（α）=ZRexpαmt-s（θ）+αvt-s（θ）ρs（dθ）。然后，通过设置s=0，将无条件累积量ge-ne评级函数写入为k0，t（α）=ZRexpαmt（θ）+αvt（θ）ν（dθ），（6.5）式中≡ ρ是Θ的先验分布。对于无条件累积量κn（t）：=nαK0，t（α）|α=0，n∈ N、 我们有以下几点。提议6.1。它认为，随着（6.3）和（6.4），κ（t）=E[mt（Θ）]，κ（t）=E[vt（Θ）]+V[mt（Θ）]，κ（t）=Eh（mt（Θ）- κ（t）i+3C[mt（Θ）、vt（Θ）]和κ（t）=Eh（mt（Θ）- κ（t））i+3V[vt（Θ）]- V[mt（Θ）]+ 6Cmt（Θ）、vt（Θ）- 12E[mt（Θ）]C[mt（Θ），vt（Θ）]，其中V[·]表示方差，C[·，·]表示协方差。证据直接计算（6.5）。当我们考虑长时间极限κn时(∞) := 极限→∞累积量的κn（t），Θ的前分布对累积量b的依赖性变得简单而清晰，如下所示。提议6.2。除（6.1）外，假设（6.2）的平均回复速度Θ和平均回复水平Θ：=Θ+fΘ是独立的。然后它认为，∞（α） limt→∞K0，t（α）=K（1）ασ+ K（2）（α），其中我们定义K（1）（α）：=log E expαΘ-1.,K（2）（α）：=loge exp（αΘ）。此外，对于n∈ N、 κ2n-1(∞) =κ（2）2n-1，κ2n(∞) =（2n）- 1)!!σnκ（1）n+κ（2）2n与κ（i）n:=nαK（i）（α）α=0i=1,2。证据见附录。7结论本文研究了一种基于部分信息的单因素商品定价模型。具体来说，该模型的状态变量是一个Ornstein–Uhlenbeck过程，其中均值回复水平和均值回复速度参数被建模为隐藏的、不可观测的随机变量。利用该模型，我们提供了流动商品期货上衍生证券的无套利定价公式，以及非流动商品现货上衍生证券的指数效用差异定价公式。

此外，我们还引入了一个相关的条件线性滤波结果，该结果有助于计算隐藏变量的定价/套期保值公式和B-Ayesian指数。研究多因素综合将是与这项工作相关的一个有趣而重要的未来研究课题。事实上，多因素建模更自然，更适合描述期货/远期的丰富术语结构。我们建议感兴趣的读者从以下几个方面入手：吉布森和施瓦茨（1990年）、施瓦茨（1997年）、亚毛奇（2002年）、明浩一世、雅祖美和横田（2005年）、卡萨苏和柯林·杜弗雷斯内（2005年）、卡莫纳·安德鲁德科夫斯基（2006年）、梅利奥斯和六（2011年）、白桦和高桥（2012年），以及其中的参考文献。我们模型的一个简单概括如下：让Y:=（Yt）t≥0be n维可观测状态变量由dyt={f（t）+Θ- ΘYt}dt+σ（t）dWt，Y∈ 瑞农(Ohm, F、 P，（Ft）t≥0），赋予了n维布朗运动W:=（Wt）t≥0，以及n维Θ和n×n维Θ，它们都是与W无关的随机变量。这里，P被视为物理概率度量，Ft:=σ（Wu；u）≤ （t）∨ σ（Θ，Θ），以及两者f:R+→ R与σ：R+→ Rn×n是确定性函数。使用s tate变量，m期货价格处理Fi:=（拟合）t∈[0，Ti]（i=1，·，m，m）≤ n、 根据fit:=eYit，i=1，··，m给出交货日期）。我们采用filtrationfyt:=σ（Yu；u∈ [0，t]）t≥ 0作为代理人的信息流，并认为（Θ，Θ）是通过贝叶斯方法估计的隐藏/不可观测的变量。

我们注意到，通过将（Θ，Θ）设置为常数并选择线性高斯状态变量，将多因素公式与条件线性高斯状态变量Y相匹配的模型包括Gibson a和Schwartz（1990）、Schwartz（1997）、Yamauchi（2002）、Casassus和Collin Dufresne（2005）以及Shiraya和Takahashi（2012）中使用的模型。收集的公共物品。引理的证明2.1（1）断言来自于关系syt=Y-Ztσ（u）du+Ztσ（u）d)Wu，~Wt=ZtdYuσ（u）-Ztσ（u）du。（2） 由于W是一个（~P，Ft）-布朗运动，我们看到，对于任何0=t<t<t···<tn=t，增量为Wti-~Wti-1（i=1，…，n）是独立的ofF=σ（Θ）∨N.因此，~W和Θ是独立的。此外，我们还看到，对于任何有界可测函数h.A.2，命题3.2关于π的证明，E[h（Θ）]=E[Z（Θ）h（Θ）]=E[h（Θ）]∈ 在，我们看到log Eheγ{H-GT（π）}i=logehzt（Θ）-1eγ{H-GT（π）}i=logeh~EZT（Θ）-1eγH快速傅立叶变换E-γGT（π）i=logeheγ{H（γ）T-GT（π）}i≥γ~Eh~H（γ）T- GT（π）i=γ＠Eh＠H（γ）Ti，（A.1），其中我们使用Je-nsen不等式推导（A.1）中的不等式。利用布朗鞅表示定理，我们发现存在^πH∈ 参见第3.13节。战略满意度eγ~H（γ）T-GT（πH）= γ~Eh~H（γ）Ti。（A.2）结合（A.1）和（A.2），我们得到了infπ∈Atheγ（H）-GT（π））i=Eheγ（H-GT（πH））i=eγ~e[~H（γ）T]。

（A.3）从（3.9）和（A.3）中，我们推断出^pH=e-rTγ~Ehlog~EZT（Θ）-1eγH快速傅立叶变换- 对数EZT（Θ）-1.快速傅立叶变换i=~Ehe-rT^H（γ）Ti，这里我们使用B-ayes规则。A.3命题4.1的证明-σdt，dWt=dYtσ+σdt和thatYtdYt=戴特- σdt,我们假设α：=f+σ/2，logzt（Θ）-1=σZt（α+Θ）- ΘYu）d)吴-2σZt |α+Θ- ΘYu | du=σZt（α+Θ）- ΘYu）dYu+σdu-2σZt |α+Θ- ΘYu | du=log∧（Θ；t，Yt，Pt，Qt）。由此，利用引理2.1，我们得到了海报ior概率ρt（dθ）的表达式。A.4命题5.1（1）的证明回想一下YT=log F-所以，写y=logf，我们推导出tφt（y，p，q）dydpdq=~pYt∈ dy，ZtYsds∈ dp，ZtYsds∈ dq=E经验-σWt-σt{y+σWt∈dy，Rt（y+σWs）ds∈dp，Rt（y+σWs）ds∈dq}= 经验-（y）- y）-σt×Py+σWt∈ dy，Zt（y+σWs）ds∈ dp，Zt（y+σWs）ds∈ dq= 经验-（y）- y）-σt×ψtY- yσ，p- ytσ，q- 2σyp- ytσdyσdpσdqσ，这里我们使用卡梅隆-马丁-丸山-吉尔萨诺夫公式。（2） 断言（i）的真实性是显而易见的。为了证明定理（ii）是正确的，我们使用一个引理。引理A.1。对于t，α≥ 0和β，β∈ R、 它认为lt（α，β，β）：=E expβWt+βZtWsds-αZtWsds=pcosh（αt）exp（β，β）A（t，α）ββ,我们使用（5.3）-（5.4）的地方。证据如果α=0，则从（5.1）和（5.4）中可以看出as曲线为真。接下来，假设α>0。

我们看到lt（α，β，β）=E exp(-ZtαWs-βαdWs-ZtαWs-βαds）×exp（α（Wt- （t）+β-βαWt+βαt） =exp“(βα- α） t#E经验αXt+β-βαXt,我们使用Cameron-Martin-Maruyama-Girsanov公式和setdXt=dWt-αXt-βαdt，X=0。设置mt:=EXt=βα（1）- E-αt），vt:=E（Xt- mt=2α（1）- E-2αt），我们有αXt+βXt我=√1.- αvtexpβvt+2βmt+αmt2（1- α（vt）.因此，log E经验αXt+β-βαXt= -日志（1）-αvt）+2（1）- α（vt）(β-βαvt+2β-βαmt+αmt）=-日志（1）-αvt）+2（1）- α（vt）(β-βαvt+2βαβ-βα(1 - E-αt）+βα（1）- E-αt）=-日志（1）-αvt）+2（1）- α（vt）vtβ-vtαβ+（1）- E-αt）αβ.所以，loglt（α，β，β）=-αt-日志（1）-αvt）+vt2（1）- αvt）β+2αT-vt1- αvtβ+(1 - E-αt）2α（1）- αvt）ββ。回顾tha t1- αvt=e-αtcosh（αt），vt1- αvt=αtanh（αt），（1- E-αt）（1- αvt=2（1）- sech（αt）），我们推导出thatlog Lt（α，β，β）=-对数余弦（αt）+2αtanh（αt）β+2α{αt- tanh（αt）}β+α{1- sech（αt）}ββ，这就完成了证明。我们现在可以证明断言（ii）是正确的。我们推导出lt（α，β，β）=2πpdet（A（t，α））co-sh（αt）×ZRexp(β, β)xy-（x，y）A（t，α）-1.xydx dy=sdet（A（t））det（A（t，α））co-sh（αt）×ZRexp(β, β)xy-（x，y）A（t，α）-1.- A（t）-1.xyψ（1）t（x，y）dx dy=ZReβx+βyΓt（α|x，y）ψ（1）t（x，y）dx dy.A.5命题6.2的证明∞（Θ）：=limt→∞mt（Θ）=Θ，v∞（Θ）：=极限→∞vt（Θ）=σΘ-1.所以，利用支配对流定理，我们推导出k0，∞（α） =log E expαm∞（Θ）+αv∞(Θ)=K（1）ασ+ K（2）（α）。进一步，我们推断nαK0，∞(α)α=0=（κ（2）2m-1如果n=2m- 1，（2米）- 1)!!σmκ（1）m+κ（2）2m如果n=2m，那么κn（t）：=nαK0，t（α）α的和是表示的多项式的乘积。因此，我们可以应用支配收敛定理来证明κn(∞) = 极限→∞nαK0，t（α）α=0= nαK0，∞(α)α=0.感谢Jun Sekine的研究得到了日本教育、文化、体育、科学和技术部第235401 33号科学研究资助（c）的支持。

本文是《部分信息下的单因素条件线性商品定价模型》一文的预印本，发表于亚太金融市场，DOI:10.1007/s10690014-9182-y。最终出版物可在链接上获得。斯普林格。通用域名格式：http://link.springer.com/article/10.1007/s10690-014-9182-yReferences[1] Akahori，J.，K.Yasutomi，和T.Yokota（2005）：期权价格的反向估值，国际创新计算、信息和控制杂志，1（3），5 81–593。[2] Becherer，D.（2003）：在恒定绝对风险规避下综合风险的理性对冲和估值，保险：数学和经济学，33（1），1-28。[3] Bensoussan，A.：部分可观测系统的随机控制。剑桥大学出版社，1992年。[4] Borodin，A.N.和P.Salminen：《布朗运动手册：事实和公式》（第二版）。Birkhauser Verlag，2002年。[5] Carmona，R.和M.Ludkovski（2006）：基于基差风险和部分观察的商品衍生品定价。工作文件，可下载fromhttp://www.pstat.ucsb.edu/faculty/ludkovski/papers.html[6] Casassus，J.和P.Collin Dufresne（2005）：商品期货和利率隐含的随机便利场。《金融期刊》，60（5），2283–23 31。[7] Duffie，D.和H.R.Richardson（1991）：均值-方差对冲不连续时间，应用概率年鉴，1（1），1-15。[8] 吉布森，R.和E.S.施瓦茨（1990）：随机便利收益和石油或有权益的定价，金融杂志，45（3），959-976。[9] 霍尔，P.：Bootstrap和Edgeworth扩展，Springer Series inStatistics，Springer Verlag，1992年。[10] Haussmann，U.G.和E.Pardoux（1988）：具有非高斯初始条件的条件几乎线性滤波问题。随机的，23241-275。[11] 亨德森，V。

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