部分约束下的单因素条件线性商品定价模型

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英文标题：
《A One-Factor Conditionally Linear Commodity Pricing Model under Partial
  Information》
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作者：
Takashi Kato, Jun Sekine and Hiromitsu Yamamoto
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  A one-factor asset pricing model with an Ornstein--Uhlenbeck process as its state variable is studied under partial information: the mean-reverting level and the mean-reverting speed parameters are modeled as hidden/unobservable stochastic variables. No-arbitrage pricing formulas for derivative securities written on a liquid asset and exponential utility indifference pricing formulas for derivative securities written on an illiquid asset are presented. Moreover, a conditionally linear filtering result is introduced to compute the pricing/hedging formulas and the Bayesian estimators of the hidden variables.
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中文摘要：
研究了部分信息下以Ornstein-Uhlenbeck过程为状态变量的单因素资产定价模型：均值回复水平和均值回复速度参数被建模为隐藏/不可观测的随机变量。给出了流动资产上衍生证券的无套利定价公式和非流动资产上衍生证券的指数效用无差异定价公式。此外，引入条件线性滤波结果来计算定价/套期保值公式和隐藏变量的贝叶斯估计。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> A_One-Factor_Conditionally_Linear_Commodity_Pricing_Model_under_Partial_Information.pdf (231.76 KB)

2022-5-6 07:57:58 上传

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关键词：定价模型 单因素 Quantitative Mathematical Unobservable

部分信息下的单因素条件线性商品定价模型*在部分信息下，研究了一个以Ornstein–Uhlenbeck过程为状态变量的单因素资产定价模型：均值回复水平和均值回复速度p参数被建模为灰色/不可观测的随机变量。本文给出了流动资产上衍生证券的无套利定价公式和非流动资产上衍生证券的指数效用差异定价公式。此外，引入了一个条件线性滤波结果来计算隐藏变量的定价/套期保值公式和贝叶斯估计。关键词：商品期货/远期，条件线性模型，部分信息，随机便利收益率，效用差异定价。数学学科分类（2010）：91G20、60J70、93C41《经济文献期刊》（JEL）分类：G13、C631简介采用Ornstein–Uhlenbeck过程作为状态变量是一种简单易用的商品价格过程建模方法。例如，在Schwartz（1997）中，商品现货价格过程（St）的单因素模型≥考虑0，St=eYt，dYt=-k（Yt）- l） dt+σdWt，Y=对数S∈ R、 （1.1）其中k，l和σ∈ R++（：=（0，∞)) 是常数参数，W:=（Wt）t≥0是过滤概率空间上的一维布朗运动(Ohm, F、 P，（Ft）t≥0).*本文基于第三作者的硕士论文[19]。+大阪大学工程科学研究生院社会系统数学系。电子邮件：kato@sigmath.es.osaka-u、 ac.jp——大阪大学工程科学研究生院社会系统数学科学部。

电子邮件：sekine@sigmath.es.osaka-u、 ac.jp§大阪大学工程科学研究生院社会系统数学科学部。电子邮件：广须。yamamoto@gmail.comThe概率P可被视为物理（即现实世界）概率或定价（即风险中性）概率。此外，在Schwartz（1998）的单因素波动模型中，St=eYt，dYt=R-C-σ（t）dt+σ（t）dWt，Y=logs∈ R（1.2）是在风险中性概率下研究的，其中R∈ R+（：=[0，∞)),c:=α-σ2κ+ρσσκ，σ（t）：=rσ+（σ- 2ρσσ)1 - eκtκ与α，κ，σ，σ∈ R++与ρ∈ [-1, 1]. 这里，常数r被解释为无风险利率，常数c被解释为便利字段。因此，期货（或期货）价格过程∈[0，T]，交付atT∈ R++，由ft:=Ste（R）给出-c） （T）-t） ，或等效地，dFt=Ftσ（t）dWt，F=Se（r-c） T.在本论文中，受Carmona和Ludkovski（2006）的启发，我们的目标是在部分信息设置下建立单因素模型，如（1.1）和（1.2）。正如Carmona和Ludkovski（2006）在部分信息下处理一般商品远期价格模型一样，我们的模型具有以下特点：（i）期货（或远期）被视为流动资产等。（ii）现货被视为非流动资产，因此便利收益率被视为隐藏的随机变量。（iii）由于（ii）的原因，在SPOT上记录的衍生工具的定价和套期保值被认为是一个不完整的市场问题，包含可隐藏的风险。特别是，我们对一个简单、具体的“条件线性”示例感兴趣，该示例在Carmona和Ludkovski（2006）中没有研究过。在物理概率下，（现货/期货价格过程的）状态变量由dyt={f（t）+Θ给出- ΘYt}dt+σ（t）dWt。

（1.3）在这里，f和σ是确定性函数，参数Θ和平均回归速度参数Θ都是以“贝叶斯”方式动态估计的不可观测（隐藏）随机变量。该模型具有以下有趣的可操作性和灵活性特征：（a）对于以流动期货为基础的衍生品定价，采用Black–Scholes pricingformula（见命题3.1和Corollar y 3.1）。（b） 对于在非流动性现货上书写的定价，提供了针对m的独立价格公式（见提案3.2、备注4.3和提案5.1，然后是备注5.2）。（c） 在物理概率测度下，未来或现货的原木价格过程是一个均值回复的“OU-like”过程，具有随机均值回复水平/速度。提供了这些参数的贝叶斯估计（即过滤器）的显式公式和便利收益率（见第4.1节和备注4.2）。（d） 在物理概率测度下，模型可以是非高斯性质的（见命题6.1和6.2）。本文件的组织结构如下。下一节将介绍该模型，第3节将讨论衍生品的定价和套期保值。在第4节中，我们介绍了一个过滤结果，利用物理概率来描述价格（期货和现货）的动态和便利收益率。在第5节中，我们以“半显式”形式计算了风险中性概率下三维马尔可夫状态的三元概率密度函数，这对定价/套期保值计算非常有用。在第6节中，我们计算了物理概率下对数期货价格边际分布的累积量，在第7节中，我们得出结论。

所有必要的文件都收集在附录中。2 ModelLet(Ohm, F、 P）是具有一维布朗运动W:=（Wt）t的完全概率空间d≥0和二维随机变量Θ：=（Θ，Θ）, 其中Θ独立于W（·）表示向量或矩阵的转置。让（Ft）t≥0为FT定义的过滤器：=σ（Wu；u）∈ [0，t]）∨ σ(Θ) ∨ N、 其中N是空集合的总和。对于T，F∈ R++，考虑解决方案（Yt）t∈[0，T]到以下随机微分方程：dYt={f（T）+Θ- ΘYt}dt+σ（t）dWt，Y:=logf（2.1）on(Ohm, F、 P，（Ft）t∈[0，T]），其中f，σ：[0，T]→ R是连续函数，所以σ（·）≥ >0。我们定义（Ft）t∈[0，T]byFt:=eYt，并将其称为商品的T-交割期货（或远期）价格过程。通过它的公式，我们可以看到dft=Ft{u（t，Yt，Θ）dt+σ（t）dWt}，其中我们设置u（t，y，Θ）：=f（t）+σ（t）+- Θy.考虑到Θ作为便利收益，我们定义了现货价格过程（St）∈[0，T]bySt:=Fte-（r）-Θ（T）-t） 。（2.2）如引言所述，我们假设期货F为流动资产，而现货S为非流动资产。代理人的信息流由过滤（FFt）t给出∈[0，T]，其中fft:=σ（Fu；u）∈ [0，t]）∨ N=σ（Yu；u）∈ [0，t]）∨ N、 这是由流动期货价格过程产生的。因此，F的便利场Θ和平均恢复速度参数Θ对于代理是隐藏的随机变量，并通过信息流（FFt）t进行估计∈[0，T]。我们将引入一个度量变化，稍后将使用它。设λ（t，Yt，Θ）：=u（t，Yt，Θ）σ（t）为时间t时的风险市场价格。利用这一点，我们确定了(Ohm, FT）比亚迪PdPFt=Zt（Θ），其中Zt（Θ）：=ex p-Ztλ（u，Yu，Θ）dWu-Ztλ（u，Yu，Θ）du.这实际上是很好的定义，因为（Zt（Θ））t的鞅性质∈[0，T]遵循λ（T，Yt，Θ）关于Yt的线性增长性质。

例如，见Bensoussa n（1990）的引理4.1.1。根据Cameron-MartinMaruyama-Girsanov定理，过程Wt:=Wt+Ztλ（u，Yu，Θ）du，t∈ [0，T]是（~P，Ft）-布朗运动，F的~P-动力学表示为dft=Ftσ（T）dWt，F∈ R++。（2.3）此外，我们看到了以下内容。引理2.1。（1） 它认为fft=σ吴；U∈ [0，t]∨ N、 t∈ [0，T]。所以，过程W也是一个（~P，FFt）-布朗运动。（2） ΘW和Θ在P下是独立的。P下的Θ定律与P下的定律相等。见附录。3衍生工具T的定价和套期保值∈ R++（T）≤ T） 成为一个时间范围。考虑一个以自我融资的方式动态交易期货的代理人。累积增益过程（Gt（π））t∈代理的[0，T]由dgt（π）=πtdFtFt+rGt（π）dt，G（π）=0给出。（3.1）这里，r∈ R+是风险利率，π：=（πt）t∈[0，T]是一个动态阅读策略，其中πT表示在未来卫星时间T中投资的金额（例如，参见杜菲和理查森19 91的第4.5节）。LetAT:=（（pt）t∈[0，T]；FFt逐渐可测量，并且∞)成为可接受的投资策略的空间。结合（3.1）和（2.3），我们认为，对于π∈ AT，Gt（π）=ertZte-rsπsσ（s）d~Ws，t∈ [0，T]，而145; Gt（π）：=e-rtGt（π）=中兴通讯-rsπsσ（s）d~Ws，t∈ [0，T]是一个（~P，FFt）-鞅。3.1未来衍生工具考虑在到期日支付的衍生证券∈ R++由h给出∈ L（~P，FFT）。（3.2）注意引理2.1，我们应用布朗鞅表示定理来证明存在πH∈ 在这样的情况下-rTH | FFt]=E[E-rTH]+~GtπHT∈ [0，T]，（3.3）式中，E[·]和E[···]分别表示对P的期望和条件期望；因此，我们可以找到这对（xH，πH）∈ R×ath=erTxH+GTπH.

（3.4）在这里，（3.4）右侧的第一项是T——初始复制成本xH与连续复合利率r的值，而（3.4）右侧的第二项是期货交易到时间T的累积收益。然后，我们应用完全市场的无风险定价理论的标准论点，得到以下结论。提议3.1。对于在T到期的衍生证券（3.2），以下断言是有效的。（1） ~E[E-r（T）-t） H | FFt]是衍生证券的无套利价格∈ [0，T]。（2） 初始成本xH:=E[E-rTH]和交易策略πH∈ 在满足条件（3.4）中，套期保值策略的套期保值成本最低。当我们考虑派息为H:=H（FT）的衍生证券时∈ L（~P，FFT）（3.5）在到期日T时，我们得到以下Black–Scholes定价公式。推论3.1。对于T到期的衍生证券（3.5），以下断言是有效的。（1） ~E[E-r（T）-t） H | FFt]=VH（t，Ft），其中VH（t，x）：=e-r（T）-t） Z∞-∞Hxe∑（t，t）z-∑（t，t）√2πe-zdz，∑（t，t）：=sZTtσ（s）ds。（2） 关系式（3.3）与E[E]保持一致-rTH]=VH（0，F），πHt=xVH（t，Ft）Ft，t∈ [0，T）.3.2差异定价和最优混合我们接下来考虑一种支付H=H（YT，Θ）的衍生证券，其中H（y，θ）：R×R→ R是有界的，Borel在到期日T是可测量的（3.6）∈ R++。下面是一个典型的例子。例3.1（欧元即期衍生产品）。ConsiderH=~h（ST），其中~~h:R++→ R是有界的，Borel是可测的。这里是时间T的现货价格。

通过（2.2），我们可以写出h=~h全职员工-（r）-Θ）T= h（YT，Θ），其中h（y，θ）：=h嗯-（r）-θ） T.由于衍生证券（3.6）通常是不合法的，也就是说，不存在一对（xH，πH）∈ R×AT满足关系式（3.4），我们不能在完全市场中应用无套利定价理论。相反，我们采用了衍生工具的指数效用差异价格。乐土（x）：=-E-γxbe风险平均参数γ>0且考虑v（x，H）：=supπ的指数效用函数∈阿图-H+erTx+GT（π）.回想一下，我们可以写出v（x，H）=- infπ∈ATE exp-γ-H+erTx+GT（π）= - 经验-γerTxinfπ∈ATE exp{γ（H- GT（π））}。（3.7）导数H在时间0时的差异由关系V（x+pH，H）=V（x，0）确定。（3.8）结合（3.8）和（3.7），我们可以看到^pH=e-γ射线infπ∈ATlog Eheγ（H）-GT（π））i- infπ∈ATlog Ehe-γGT（π）i. （3.9）我们称之为^πH∈ 在满足条件下（x，H）=欧盟-H+erTx+GT（πH）（3.10）最优套期保值策略。我们得到以下结果。提议3.2。对于衍生证券（3.6），设^H（γ）T:=γlogeeγH快速傅立叶变换, （3.11）~H（γ）T:=γlog~EZT（Θ）-1eγH快速傅立叶变换. （3.12）那么，以下断言是有效的。（1） 效用差异价格等于^H（γ）t:^pH=~Ehe的无套利价格-rT^H（γ）Ti。（2） ~H（γ）T的复制策略，即^πH∈ 在满足的地方-rT~H（γ）TFFti=~Ehe-rT~H（γ）Ti+~GtπH, T∈ [0，T]，（3.13）是最优套期保值策略，满足（3.10）。证据我们可以将其与Carmona和Ludkovski（2006）第4节中的结果进行比较，也可以与其中引用的Becher er（20 03）和Henderson（2002）进行比较。为了完整性，我们在附录中给出了直接证明。备注3.1。

应该提到一项相关研究，Mellios and Six（2011）。Mellios和Six（2011）采用了一个不可观测的随机便利收益模型，并使用商品期货和零息债券作为套期保值工具，研究了固定商品现货头寸的最优套期保值问题。与我们的设置相反，研究中常见现货价格过程产生的套期保值信息流。4.一个条件线性滤波器之后，为了简单起见，我们认为F和σ是常数（4.1）。在本节中，我们将介绍隐藏/不可观测随机变量Θ的过滤结果。g:R→ R、 它是有界的且Borel可测的，让[g（Θ）t:=Eg（Θ）|FFt.根据贝叶斯规则，我们可以看到[g（Θ）t=~EZt（Θ）-1g（Θ）快速傅立叶变换~EZt（Θ）-1.快速傅立叶变换. （4.2）计算（4.2）的右边，我们得到以下结果。提议4.1。它认为t≥ 0，Z-1t（Θ）=∧（Θ；t，Yt，Pt，Qt），其中我们定义为：=ZtYudu，Qt:=ZtYudu，和∧（θ；t，y，p，q）：=expσ(θ+ α, -θ)Y- 对数F+σtY- 日志F- σt+σp-2σ(θ+ α, -θ)t pp qθ+ α-θα：=f+σ/2。所以，从（4.2）开始，因此，[g（Θ）t=ZRg（θ）ρt（dθ），其中我们将后验概率写为ρt（dθ）：=∧（θ；t，Yt，Pt，Qt）ν（dθ）RR∧（θ；t，Yt，Pt，Qt）ν（dθ），并通过ν证明表示Θ的先验分布。见附录。备注4.1。命题4.1可以解释为一个条件几乎线性滤波结果的具体例子；这在Hausmann and Pardoux（1988）中进行了探讨在一般情况下。备注4.2。对于t≥ 0，我们可以写出Θi（i）的贝叶斯估计量E[Θi | FFt]∈ {0，1}）as^i（t）：=E[Θi|FFt]=RRθi∧（θ；t，Yt，Pt，Qt）ν（dθ）RR∧（θ；t，Yt，Pt，Qt）ν（dθ）=：Θi（t，Yt，Pt，Qt）。然后，我们注意到过滤后的便利收益率（^Θ（t））t∈[0，T]是一个随机过程，经过FFt调整。例如，在这里，我们可以假设ν的支撑是有界的。

我们可以描述过程的（P，FFt）-动力学=f+Θt、 Yt，ZtYudu，ZtYudu-Θt、 Yt，ZtYudu，ZtYuduYtdt+σdBton(Ohm, F、 P，（FFt）t∈[0，T]）。这里，（Bt）t∈[0，T]是由bt定义的（P，FFt）-布朗运动（所谓的创新过程）：=σYt- Y-Ztnf+^Θ（s）-^Θ（s）Ysods.备注4.3。从命题4.1中，随机变量^H（γ）和H（γ）T，givenby（3.11）和（3.12）分别可以表示为^H（γ）T=γlogZReγh（YT，θ）∧（θ，T，YT，PT，QT）ν（dθ）-logZR∧（θ，T，YT，PT，QT）ν（dθ）= :^H（γ）T（YT，PT，QT），~H（γ）T=γlogZReγH（YT，θ）∧（θ，T，YT，PT，QT）ν（dθ）=：：H（γ）T（YT，PT，QT）。用三维（~P，FFt）-马尔可夫过程y:=logf-σt+σ∧Wt，Pt:=ZtYudu，Qt:=ZtYudu，差异价格写为^pH=~Ehe-rT^H（γ）T（YT，PT，QT）i和最优套期保值策略^πH∈ ATis计算为^πHt=yVH（t，Yt，Pt，Qt），t∈ [0，T），（4.3）其中我们让~VH（T，y，p，q）：=Ehe-r（T）-t） ~H（γ）t（YT，PT，QT）Yt=y，Pt=p，Qt=qiand假设＠VH（·，·，·，·，·，·，·）足够光滑，可以应用It^o的公式。例4.1（随机便利收益率和恒定平均回复速度）。假设ν（dθ，dθ）=ν（dθ） δ′θ（dθ），其中ν是Θ定律，δ′θ与θ∈ R是一个Dira c测度。也就是说，便利收益率是一个具有先验分布ν和常数均值回复速度dΘ的隐藏随机变量≡θ. 然后，简化了后概率的表达式。实际上，我们看到∧（θ，\'θ；t，y，p，q）=∧（θ；t，y，p）exp-θ2σY- 日志F- σt+σp-θ2σq,其中我们定义∧（θ；t，y，p）：=exp(θ+ α)σy+’θp- 对数F+σt-（θ+α）2σt.应用命题4.1，我们看到ρt（dθ）=∧（θ；t，Yt，Pt）ν（dθ）RR∧（θ；t，Yt，Pt）ν（dθ） δ′θ（dθ），其中包含qtb的项被取消。