通过尾部的货币套利交易的上行和下行风险敞口

完全单调函数与具有完全单调导数的非负函数的组合也是完全单调的。外幂克莱顿copula的密度可以在[1]中找到。在上述基于模型的参数上下尾相关性定义中，我们可以得到整个货币篮子中联合极端偏差的估计值。在实践中，了解给定货币篮子中的哪对货币对整体货币篮子的下行或上行风险有重大影响通常是有用的。在我们考虑的基于阿基米德的混合货币类别中，可交换性的特征排除了将总的篮子下行和上行风险分解为单个特定货币成分的可能性。准确地说，我们的目标是将资金篮子的下行风险分解为篮子中每对货币的贡献，我们将通过对投资组合中感兴趣的特定货币子集的简单线性投影来实现这一点，例如，这将导致以下表达式：Eh^λi | 1,2，。。。，我-1，i+1，。。。，怒族^λ2 | 1u，^λ3 | 1u，^λ3 | 2u。。，^λn |n-1ui=α+n∑i6=jαi j^λi|ju，（8）其中^λi|1,2，。。。，我-1，i+1，。。。，Nu是一个随机变量，因为它基于混合copula模型的参数，而这些参数本身就是数据和其他随机变量的函数。这样一个简单的线性预测将允许人们通过考虑系数αi j，即预测权重，根据篮子中的特定货币对，直接解释从模型中获得的篮子上行或下行风险敞口的边际线性贡献。

为了进行这一分析，我们需要对每对货币i，j的上行和下行风险敞口^λi | juan和^λi | jl的成对尾部相关性进行估计∈{1,2，…，n}。我们通过非参数（无模型）估计器获得这一点，见[8]。通过尾部依赖7定义5，货币套利交易的上行和下行风险敞口。上尾相关（极端暴露）的非参数成对估计^λu=2-min“2，log^CnN-千牛-千牛日志（n）-kn）#k=1,2。N-1，（9）式中^Cn（u，u）=nn∑i=1R1in≤ u、 R2in≤ URjii是构成伪数据的变量inits边际维的秩。为了形成上尾相关性的稳健估计，将k设为1、2、…，得到的估计中值。。，使用第20百分位值。同样地，k被设置为第80，81。。，第99个百分位用于较低的尾依赖性。4通过保证金推理函数的货币篮子模型估计[17]中介绍的保证金推理函数（IFM）技术提供了一种比完全最大似然法更快的参数估计计算方法，即同时最大化所有模型参数，并在许多情况下产生更稳定的似然估计程序。与[16]和[14]中的最大似然估计相比，该两阶段估计程序的渐近相对效率得到了研究。可以证明，在弱正则条件下，IFMestimator是一致的。在对对数收益远期汇率的边际特征进行参数化建模时，我们希望灵活性能够捕捉广泛的倾斜峰度关系，以及亚指数重尾特征的可能性。此外，我们希望将模型保持在一个能够有效进行推理且易于解释的选择范围内。

我们考虑对数广义伽马分布（l.g.g.d.）给出的边缘分布的一个灵活的三参数模型，详见[19]，其中Y有一个l.g.g.d。如果Y=Log（X），那么X有一个g.g.d。Y的密度由Fy（Y；k，u，b）=bΓ（k）exp给出KY-ub-经验Y-ub, （10） u=log（α），b=β-1而l.g.g.d.分销的支持是y∈ R.这种灵活的三参数模型允许对数正态模型作为限制条件（如k→∞). 此外，g.g.d.还包括指数模型（β=k=1）、威布尔分布（k=1）和伽马分布（β=1）。作为l.g.g.d.模型的替代方案，我们还考虑了一种建模边缘的时间序列方法，由GARCH（p，q）模型给出，如[3]和[4]所述，并以误差方差为特征：8 Matthew Ames、Gareth W.Peters、Guillaume Bagnarosa和Ioannis Kosmidisσ=α+q∑i=1αiεt-i+p∑i=1βiσt-i、 （11）4.1第1阶段：通过MLE拟合边际分布l.g.g.d.中三个模型参数的估计可能具有挑战性，因为范围广泛的模型参数，尤其是k，可以产生类似的结果密度形状（见[19]中的讨论）。为了克服这一复杂性并使估计有效，建议在k值网格上使用概率似然法的组合，并在其他两个参数b和u上对k的每个值进行基于概率的概率估计。对给定k值的概率似然的差分产生两个方程组：exp（~u）=“nn∑i=1expyiσ√K#~σ√K∑ni=1yiexpyiσ√K∑ni=1expyiσ√K-Y-~σ√k=0，（12），其中n是观察次数，yi=log xi，~σ=b/√k和¨u=u+b log k。通过简单的根搜索直接求解第二个方程，给出¨σ的估计值，然后替换到第一个方程中，得到¨u的估计值。

注意，对于我们在网格中选择的每一个k值，我们得到一对参数估计值¨u和¨σ，然后将其插回概率中，使其成为k的纯函数，然后选择k的估计值作为具有最大似然分数的估计值。作为比较，我们还使用默认设置使用Matlab MFEtoolbox对GARCH（1,1）模型进行了测试。4.2第2阶段：通过MLE拟合混合Copula为了拟合Copula模型，在对选定的边际分布模型及其在第1阶段获得的相应估计参数进行条件处理后，使用最大似然法对数据进行参数估计。这些模型用于使用CDF函数和l.g.g.d.MLE参数（^k、^u和^b）转换数据，或使用条件方差获得GARCH模型的标准化残差。因此，在MLE估计的第二阶段，我们的目标是估计参数θ=（ρclayton，ρf rank，ρgumbel，λclayton，λf rank，λgumbel）的CFG分量的单参数混合，参数θ=（ρclayton，ρgumbel，λclayton，λgumbel）或参数θ=（ρclayton，βclayton）的双参数外幂变换clayton。混合copula模型的对数似然表达式通过尾部依赖9by:l（θ）=n给出了货币套利交易的总体风险敞口和下行风险敞口∑i=1log c（F（Xi1；μ，σ）。。，Fd（Xid；^ud，^σd））+n∑i=1d∑j=1log fj（Xi j；μj，σj）。（13） 这种优化是通过梯度下降迭代算法实现的，考虑到这些模型中考虑的具有真实数据的似然曲面，该算法非常稳健。

未发现需要其他估算程序，如预期最大化。5汇率多元数据描述和货币投资组合构建在我们的研究中，我们将copula模型应用于1989年1月2日至2014年1月29日期间每天更新的高利率篮子和低息篮子，使用前6个月和前一年数据的一个月到期日对数收益远期汇率作为滑动窗口分析这个时期的每个交易日。我们的实证分析包括一组34种货币相对于美元的每日汇率数据，如[23]所示。分析的货币包括：澳大利亚（澳元）、巴西（BRL）、加拿大（CAD）、克罗地亚（HRK）、塞浦路斯（CYP）、捷克共和国（CZK）、埃及（EGP）、欧元区（EUR）、希腊（GRD）、匈牙利（HUF）、冰岛（ISK）、印度（INR）、印度尼西亚（IDR）、以色列（ILS）、日本（JPY）、马来西亚（MYR）、墨西哥（MXN）、新西兰（NZD）、挪威（NOK）、菲律宾（PHP）、波兰（PLN）、俄罗斯（RUB）、新加坡（SGD）、斯洛伐克（SKK），斯洛文尼亚（SIT）、南非（ZAR）、韩国（KRW）、瑞典（SEK）、瑞士（CHF）、台湾（TWD）、泰国（THB）、土耳其（TRY）、乌克兰（UAH）和英国（GBP）。我们考虑了每种货币汇率的每日结算价格以及相关1个月远期合同的每日结算价格。我们使用[20]和[23]中研究的相同数据集（尽管从1989年开始，而不是1983年，一直持续到2014年1月），以便在不进行尾部依赖风险调整的情况下复制其投资组合回报。由于市场收盘日不同，例如国庆节，一些货币和少数天数的数据缺失。

对于缺失的价格，保留前一天的收盘价。如等式（1）所示，两国之间的利率差可以通过远期合同价格和现货价格的比率来估计，见[18]，他们表明这一点在日常经验中是成立的。因此，我们没有考虑参考国和外国之间无风险利率的差异，而是根据每种货币的远期和即期价格的比率来构建各自的货币篮子。我们每天计算n种货币的比率（可在当天的数据集中找到），然后构建五个篮子。第一篮子包括n/5种货币，其中包括10种Matthew Ames、Gareth W.Peters、Guillaume Bagnarosa和Ioannis Kosmidi，这是与美元利率的最高正差额。因此，这些货币代表“投资”货币，我们通过这些货币进行投资，从货币套利交易中受益。最后一个篮子将收集负利率差最高（或至少最低）的n/5货币。因此，这些货币代表了“融资”货币，通过这些货币，我们借钱建立货币套利交易。考虑到这种分类，我们调查了各组货币的联合分布，以了解货币套利交易对货币回报的影响，这种影响体现在利率差异上。

在我们的分析中，我们将重点放在高利率篮子（投资货币）和低利率篮子（融资货币）上，因为在实施套利交易策略时，通常会做空低利率篮子，做多高利率篮子。6结果与讨论为了建立边际汇率对数收益模型，我们考虑了两种方法。首先，我们将广义伽马模型记录到分析中考虑的34种货币中的每一种，根据6个月的滑动窗口更新每个交易日的伽马模型。时间序列方法也被认为可以拟合边际值，这在最近的许多copula文献中很流行，例如[4]，使用GARCH（1,1）模型对6个月的滑动数据窗口进行拟合。在每种情况下，我们都假设在这短短6个月的时间范围内近似的局部平稳性。边际模型选择总结见表1，其中显示了数据期内高利率和低利率篮子中4种最常见货币的平均AIC得分。虽然GARCH（1,1）模型的AIC始终低于广义伽马的相应AIC，但标准误差足够大，两个模型之间没有明显的差异。然而，当我们结合边际模型考虑copula模型的选择时，我们观察到copula模型的AIC分数低于使用GARCH（1,1）边际得到的伪数据。本文考虑的三个copula模型都是这样。图1显示了使用Clayton-Frank-Gumbel copula和两种选择的边际利率（分别适用于高利率和低利率篮子）时的AIC差异。

在整个数据周期内，CFG模型的AIC得分与高利率篮子的GARCH（1,1）边际之间的平均差为12.3，低利率篮子的AIC得分为3.6，有利于广义伽马。因此，很明显，广义伽马模型在我们的Copula建模环境中是更好的模型，因此在分析的其余部分中使用。我们现在考虑应用于高利率篮子和低利率篮子伪数据的三个copula模型的优度。我们使用了三成分混合CFG模型与货币套利交易的两个成分的上行和下行风险敞口之间的ATAIC评分，通过尾部依赖11表1广义伽马（GG）和GARCH（1,1）的平均AIC将2001-2014年数据期间高利率和低利率篮子中四种最常见的货币分为两部分，即6年。标准偏差显示在括号中。在1989-2001.01-07-07 07-07-07-14之间，在1989-2001-2001.01-07-07-07-07之间，在1989-2001-2001.01-07-07-07-07之间，在1989-1989-2001.01-07-07-07-07之间，在1989-2001.01-01-07-07-07-07-14之间，货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币货币7.2）356.9（6.8）355.0（7.0）瑞士法郎360.8（1.4）359.1（2.9）358.6（7.4）355.4（8.8）新加坡元360.0（2.7）356.8（5.7）360.0（2.6）353.7（7.5）TWD 358.7（6.2）347.0（16.4）359.1（5.8）348.5（13.2）图1基于广义伽马与GARCH（1,1）利润率产生的伪数据的克莱顿-弗兰克-甘贝尔模型的AIC比较。高利率篮子如上图所示，低利率篮子如下图所示。混合模型与双参数模型。

人们也可以使用群体信息标准（CIC），详见[13]。图2显示了CFG与CG的AIC和CFG与OpC在高利率和低利率货币篮子中的差异。我们可以看出，在本分析中考虑CFG模型并非不合理，因为在整个数据周期内，CFG模型和CG模型的AIC分数之间的平均差12 Matthew Ames、Gareth W.Peters、Guillaume Bagnarosa和Ioannis Kosmidisf对于高利率篮子的平均差为1.33，对于低利率篮子的平均差为1.62。然而，从图2中我们可以看到，在信贷危机期间，CFG模型的表现要好得多。与OpC模型相比，CFG-copula模型提供了更好的结果，高利率篮子的AIC得分为9.58，低利率篮子的平均分为9.53。同样，在信贷危机期间，CFG模型的表现明显优于OpC模型。图2:AIC for Clayton-Frank-Gumbel模型与Clayton-Gumbel模型和Outerpower-Clayton模型在高利率和低利率篮子上的比较，以及广义伽马利润率。高利率篮子如上图所示，低利率篮子如下图所示。6.1尾部相关结果下面我们将研究这个混合CFG copula模型的最大似然函数的时变参数。在这里，我们将关注货币篮子中存在的依赖强度，考虑到混合中的特殊copula结构，这被视为套利交易的尾部上行/下行风险敞口。图3显示了随时间变化的上下尾相关性，即。

套利交易篮子的极端上行和下行风险敞口，出现在CFG copula fit和OpC copula fit下的高利率篮子中。类似地，图4显示了低利率篮子的这一点。备注1（模型风险及其对上行和下行风险敞口的影响）。在拟合OpC模型时，我们注意到，通过多元分布中的尾部依赖性，与货币套利交易的真实尾部依赖性和下行风险敞口的强度无关，上尾部依赖系数λUforth该模型严格地随维度迅速增加。因此，当建立OpC模型时，如果篮子大小变得大于双变量，即从1999年起，上尾相关性估计值变得非常大（即使外部功率参数值非常接近β=1）。OpC模型缺乏灵活性，仅在维度大于2的篮子中表现明显，但在图2中的ATAIC分数中也表现明显。在这里，我们看到了与依赖结构相关的模型风险与货币篮子的预期上升下降金融风险敞口之间有趣的相互作用。关注CFG copula函数得出的尾部依赖性估计，我们可以看到，在高利率和低利率篮子中，确实存在较高和较低尾部依赖性的时期。在全球市场波动时期，高利率篮子中的上尾依赖性显著增加。具体而言，在2007年末，即全球金融危机期间，上尾依赖性出现了一个急剧的峰值。在此之前，从2004年到2007年，低尾部依赖性的时间延长，这可能与杠杆利差交易组合头寸的建立有关。