大型经济体中的不稳定性：没有

我们发现，对于q的所有值，都存在一个临界值γ=γc（q），在该临界值以上，系统变得稳定，因为具有最大模量的特征值α穿过单位圆。正如上述分析结果所预期的，当外推预期变得更强（q）时，对于q=0和d，γcis近似独立于输入输出矩阵（即系统变得更不稳定）→ 1） 或者当均值回归变强时（q→ -1). 然而，有趣的是，随着q变为负值（也就是说，参考价格在过去进一步滞后于q）→ -1对应于Et（pt+1）=pt-1） 当α获得一个非零虚部时，不稳定性会发生变化，而当| q |增加时，γcstarts再次减小。换句话说，对于γ<γmax的固定值，存在一个区间[q]-, q+]内系统线性稳定，外系统不稳定。当γ→ γmax间隔结束（q-→ 对于γ>γ最大值，系统始终是稳定的。直觉上，这意味着短视的价格预测规则会阻止企业进行协调并找到合理的均衡，除非企业缓慢地适应新信息（即当q=- 1、s、r和b→ 1.计算再次简化并得出临界值γc≈ (1 -b） 这样α=eιθ，cosθ=（1）- (1 - a） s）/2。图1:q，γ平面内模型的“相图”，用于各种类型的输入输出矩阵，正常和非正常。在临界线以下（即对于足够小的γ），标准理性平衡是动态稳定的。在这条线上，平衡点仍然是动力学模型的严格平稳解，但它是线性不稳定的。请注意，γ的最大值适用于略有均值回复的价格预测，即q<0，但不太大。

上曲线（左三角形）对应于大小为n=40的普通矩阵，中间曲线对应于大小为n=20、40、80、160（从下到上）的指数分布独立元素的随机矩阵，而最低（最不稳定）曲线对应于大小为n=40的US输入输出矩阵。够了）。从某种意义上说，这种缓慢的适应可以使预测误差达到平均值，并使系统达到每个平衡。注意，非常有趣的是，输入-输出矩阵W的结构对于不稳定性的存在并不关键（尽管γC的精确值和不稳定相d o中的动力学的详细性质取决于W）。事实上，即使W是单位矩阵，系统也可能不稳定。原因是，在任何情况下，所有企业都受到家庭消费预算的影响，家庭消费预算（部分）决定了商品需求，并通过市场清算条件决定了价格的变动。如果将家庭视为企业网络中的一个额外节点，那么这个节点就与所有企业相连，从而在某种意义上导致了[11,12]中设想的脆弱的“星形”经济，即使W=I。有关导致动荡动态的类似协调分解，请参阅[23]中关于“复杂”两人博弈的有趣研究。0 50 100 150 200t-0.02-0.010.000.010.020.03xti-xtin=64，q=-1γ=0.115,0.13（直线）和γ=0.15（虚线）的轨迹图2：“轻度”不稳定阶段（γ=0.115）总产出的三条典型轨迹≈ γc=0.13，0.15>γc）。外部冲击的标准偏差非常小（σ=10）-3） q=-1，在所有情况下n=64。然而，在不稳定阶段，总波动率要大得多，动力学显示出“商业周期”。

注：在稳定状态下，总产出水平高于不稳定状态下的平衡值（见图4）。4.3非线性状态：在不稳定阶段，无冲击的波动性，n非线性开始发挥作用，分析计算变得不可能，因此必须转向系统动力学的数值模拟。有趣的是，正如在许多不稳定动力系统中一样【24】，非线性被发现可以稳定动力系统，使其变得准周期甚至混沌，但有界。直观地说，当系统严重失衡时，模型的经济因素确实被期望起到稳定作用：高价格强烈抑制需求，进而导致价格下跌，等等。让我们再次相信，标准均衡仍然是动力学方程的严格解，但它只是变得不稳定（因此无法实现），导致极限环或完全混沌动力学。总产量的一些典型轨迹如图所示。2.3对于尺寸为n=64的系统，对于q=-γ=0.115，γ=0.13，γ=0.15，γ=0.185。临界点在γc附近≈ 0.115，但其他过渡点也出现在较高的γ值处，对应于不同类型的动力学（准周期、混沌），类似于经历向湍流过渡的物理系统[25,24]。对于大型经济体而言，较大的γ值导致越来越多的混沌动力学，见图3[27]。让我们坚持认为，我们选择了具有极小方差的特殊噪声：图2所示的γ>γ顺式的波动性主要是内源性的，是不稳定阶段动力学自我维持性质的直接结果。

请注意，例如，γ=0.13会导致周期的业务周期≈ 50个时间步（如果时间步被解释为一个时间步，则为12年）。当然，动力学产生的周期在这里太过规则，一个原因是真正的外生0 50 100 200吨-0.10.00.10.20.3xti-xti输出q=-1，n=64，γ=0.185图3：混沌阶段总输出的典型轨迹（γ=0.185）。外部冲击的标准偏差再次为（σ=10-3） q=-1，n=64。请注意，图2中的准周期行为已被完全不规则的模式所取代。冲击会扰乱这种周期性。类似的“商业周期”，对应于线性不稳定系统的极限周期，过去也有人提出过。著名的Goodwin/Lotka-Volterra振荡提供了一个例子，尽管其基本机制完全不同——参见例[26]。不稳定阶段的另一个有趣特征是，总产出的平均水平高于平衡水平，而在不稳定阶段，家庭的平均消费（或消费率）下降（更多细节参见图4）。后者本可以被取消，因为均衡水平对应于最佳福利状况；在不稳定阶段，协调性的减弱会导致家庭满意度的降低，但也可能导致家庭整体产出的增加。为了更详细地分析总体行为，我们在图5中绘制了总产出∑的波动率，作为给定q值（此处q=-1).主图显示了不同系统尺寸n和特定噪声水平σ的∑（γ）l= σ = 10-3，而插图显示了给定n的∑（γ）f和不同的σ。

从这张图中我们可以清楚地看到：oa）当γ<γc≈ 0.115时，总ou tput的波动性很小，当σ→ 0或n→ ∞, 正如之前所有工作的结果所预期的那样[11]b） 然而，当γ>γc时，s elf持续的混沌动力学会导致波动，在很好的近似下，该波动变得与σ无关，并且在γ增加时迅速增加，因此在大型经济体和/或消失特质的限制下存活。换句话说，我们的系统为理解企业的存在提供了一个自然的框架。我们在这里关注的是总产出，但检查了其他指标，如房屋消费，是否以非常相似的方式表现。图4:h ou seholds的平均总产量和总消耗量与γ的函数关系，forq=-1.在稳定阶段γ<γc，正如预期的那样，我们找到了理论平衡水平，这对应于家庭消费的最佳水平。在稳定阶段γ<γc，与平衡水平相比，总产量增加，而总家庭消费减少。大型经济体的周期，或者，套用伯南克等人[3]的话，“小冲击，大周期混乱”。事实上，由于总波动与任何特定的“冲击”无关，因此无法确定总输出中某个特定下降或峰值的特定来源的确切原因。

这与Coch rane在引言[2]中引用的论文中的结论一致：。。。我们（可能）永远不知道经济波动的根本原因——当然，上述情景与他的截然不同。该模型产生的混沌波动的另一个非常有趣的方面是，正如引言中所宣布的，行业波动变得高度相关或反相关，并且与Foersteret al[8]的结论一致。事实上，正如导言中所指出的，我们预计在接近临界点时，所有扇区都由一个处于稳定模式的扇区驱动，因此变得完全相关（或反相关）。在非线性项的存在下（导言中没有说明），几个模式被驱动为不稳定的，并且随着一个人进入不稳定阶段，动力学变得越来越混乱。因此，部门之间的交叉相关性仍然小于1，但比稳定阶段的交叉相关性要大得多。我们在图6中显示了作为γ函数的函数的函数的平均绝对成对相关性。在这里，我们再次看到相关性都处于稳定阶段：正如[8]中所强调的，由稳定网络模型产生的相关性通常非常小，在任何情况下都比经验测量的互相关小得多。然而，在非线性阶段，整个经济由一个（或多个）不稳定因素驱动，Cochrane解释了“消费冲击”的影响，新闻消费者看到了，但我们没有看到。这是一个有吸引力的观点，至少可以解释我们对潜在冲击的持续无知。来自[2]。从这个意义上讲，当许多模式变得不稳定时，经济系统可能会变得“动荡”，就像流体一样——参见[25,28]。0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16γ10-410-310-2vol(xti）卷。

素矩阵n=64，q=-1（正方形），n=10，q=-1（三角形）；插图n=10，q=-1和∑=0.01,0.001,0.00010.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.1410-410-310-2图5：主图：总产量的波动率作为σ=10的γ函数-3、区分n和普通输入输出矩阵wij≡ 1/n和d表示q=-1.当γ<γc（q=-1) ≈ 0.115，波动率随n下降，正如稳定、平衡的经济体所预期的那样（见[9,10,11]）。另一方面，当γ>γc时，即使n增加，挥发性仍然很高。随着γ的增加，更多的模式变得不稳定，波动率对γ的依赖性变得非常重要，从而导致二次不稳定性[27]。插图：总产量随γ变化的波动率，现在固定值为n=10，但σ=10-3, 10-4和10-5（其他参数与主图表中的参数相同）。现在，在e上可以看到，当γ<γc时，总波动率与特殊冲击的波动率成正比，正如预期的那样。然而，在不稳定阶段，γ>γcbecome与σ无关，甚至在极限σ内→ 0：一个有“小冲击，但大循环”[3]。0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14γ10-210-1100|科尔（xti，xtj）|我≠jCross相关性。素矩阵n=64，q=-1（正方形），n=80，q=-1（圆形），n=64，q=0.5（三角形）图6：不同截面的平均成对相关性（绝对值），作为σ=10的γ函数-3，对于q=-1（n=64：正方形，n=80：圆形），q=0.5（三角形）。输入输出矩阵仍然是普通矩阵。我们可以看到，当γ<γc（q=-1) ≈ 0.115时，各截面之间的cr-oss相关性很小（只有几%），而在不稳定阶段，它会上升到>50%的值。模式，从而导致高度同步的行为。

在这方面，让我们坚持一个事实，即模型的线性不稳定性不是均匀模式的线性不稳定性，而是非均匀模式的线性不稳定性，而非均匀模式的线性不稳定性定义为对经济的总生产没有影响。但当系统处于非线性阶段时，模式会发生耦合，不稳定的非均匀模式在总输出的动态演化中扮演一个共同的“噪声”因素的角色。我们发现[27]随着γ的增长，非形式模式的振幅大幅增长，并导致部门之间的平均相关性，其确实达到了与经验观察值类似的值（ρ≈ 0.2，s ee[8]）5可能的扩展和结论上述模型应被视为一个程式化的原型，但不应被视为工具化的原型。尤其是，在我们看来，仔细校准模型似乎为时过早，因为（在这个阶段）忽略了许多潜在的相关影响。我们的框架令人感兴趣的主要原因是，虽然仍然非常接近经典框架（只有两个看似合理的修改：企业没有明确的远见，使用短视的价格预测，而且企业不会立即调整到最佳生产目标），该模型展示了一种非常丰富的现象学，并提出了一种理解大型经济体如何波动的新方法：通过与物理系统的类比，它们是“动荡的”。然而，经济中许多潜在的重要方面都被抛弃了，其中最重要的一个事实是，市场并不会在瞬间清算，从而导致股票和/或非自愿储蓄。我们实际上已经扩展了我们的模型，以考虑到非订单生产或盈余，价格或多或少会快速适应这些情况。

在尝试将模型校准到实际数据之前，应包括的其他重要方面包括：储蓄率和利率、库存、产品和偏好的异质性、建造时间的异质性（这将消除上述离散时间模型中假设的活动的艺术同步所产生的虚假影响），网络本身的动态适应（关于最后一个方面，请参见鼓舞人心的论文[29]），等等。尽管如此，我们的场景似乎是稳健和通用的。我们在数值上研究的每一个扩展都展示了一个非常相似的整体现象学：一个参数空间的区域，其中理性均衡是稳定的，波动性很小，一个过渡流形，超过这个流形，理性均衡无法动态地进行，大的内生波动仍然存在，即使是对于大型经济体和正在消失的特质噪音。有趣的是，我们发现缓慢的调整总是有助于稳定系统：当代理人试图过快地达到最佳生产目标时，世界经济无法协调，从而导致危机。我们计划在不久的将来详细报告这些扩展，以及混沌阶段的动态[27]。当我们确信考虑了最相关的机制时，对增强模型的精确校准将在gful和我们的议程中变得有意义。确认这项工作的部分资金来自危机项目。我们要感谢危机的所有成员进行了最有益的讨论，特别是J.巴蒂斯塔、A.贝弗拉托斯、D.德利·加蒂、J.D.法默、S.瓜尔迪、M.塔尔齐亚和F.赞波尼发表了许多有启发性的评论。我们还感谢A.Mandel，M.Marsili提供的有用信息，特别是A.M.为我们提供参考文献[21]。参考文献[1]J.B.Long，C.I.Plosser。真正的商业周期，J。

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