大型经济体中的不稳定性：没有

一个自然的假设是，t时家庭可获得的财富来自t时的工资和红利- 1，即：Mt=ht-1 |{z}工资+nXk=1xkt-1pkt-1.- ht-1.-nXk=1nXj=1ψkjt-1pjt-1.|{z}利润/损失。（15） 然而，这使得模型稍微复杂一些，因为它引入了额外的时滞，并且需要引入利率。为了使模型和代数的设置尽可能简单，我们选择将所有支付和消费过程建模为即时的。换言之，在t时，许多事情“很快”发生：工资支付给家庭，工厂购买投入品，生产成本也支付给侯赛因，他们立即消费t时生产的商品，其价格调整使市场清晰。这当然有点荒谬，但引入额外的时滞并不会改变模型的现象学，只会改变不稳定性出现的参数的精确值。因此，我们写下：Mt=nXk=1xktpkt-nXk=1nXj=1ψkjtpjt=nXk=1xktpkt- (1 - a） 在以下假设中，（xk=1）企业的工资与λ不完全一致。我们并没有试图详细描述劳动力市场清理了谁，只是假设它清理了。其中，我们对ψkjt和pjwkj=1使用了公式（12）。时间t时产品一的市场清算结果为：xit=Mtnpit+nXj=1ψjit，（17），其中第一项为家庭需求，第二项为其他企业需求。市场清算条件最终为：xitpit-nnXk=1xktpkt=（1）- a） bnXj=1wji-Nλjtxjt+1（18）注意，当γ=1时，这个前瞻性方程有一个简单的性质，预先宣布了我们将在下面发现的不稳定性。如上所述，对于γ=1，有λit=βtEt（pit+1）。假设价格预测没有偏见，即。

pit+1=Et（pit+1）+noise，引入向量Sit=xitpit，我们会立即看到向量S的动力学⊥tin与u niformvector~1正交的子空间写道：~S⊥t+1=βt（1- a） b[WT]-1~S⊥t+噪音。（19） 但由于WT的所有特征值都是模<1，乘积βt（1- a） b本身<1，我们可以看到上面的迭代总是指数不稳定的，除非S⊥T≡ 0（在这种情况下，市场清算条件完全满足）。这被称为横向条件，当代理优化其跨时间效用函数时，遵循横向条件，如下文讨论的Lon g-Plosser模型（见第4.1节）。然而，在一般情况下，这种情况并不成立，我们将发现，只有当适应速度足够慢时，即当γ小于我们将在下面计算的某个值γC时，动力学才是稳定的。2.4预期价格：外推、短视或均值回复规则我们现在可以“关闭”模型，并记录偏离均衡的动力学方程。为了做到这一点，我们需要指定如何确定预期的未来折扣价格βtEt（pit+1）。对于价格，我们假设企业有“外推预期”，即：Et（pit+1）=pit坑-1.Q≈ 坑+q（坑）- 矿井-1） ，q∈ [-1,1]（20），这意味着企业假设未来价格是当前价格，加上与近期价格趋势相关的修正，当- 矿井-1| << 矿井当q>0时，企业预计最近的趋势会持续，而当q<0时，他们认为会发生一些均值回归。当q=0时，预期未来价格为当前价格，当q=-1.未来的价格预计由最后一个价格给出。按照同样的思路，可以合理地假设贴现率β与最新的通货膨胀指数有关，即：βt=βnYi=1比特-1.N-Q

（21）我们假设噪声项与t+1之前的任何过去信息（如xit）都不相关，这是理性均衡理论中的习惯。换句话说，如果预计价格在t和t+1之间平均上涨，则贴现系数βt应小于1。系数β始终可以设置为单位，直到生产率zi的乘法移位。自然选择是q=q（意味着企业一致调整价格和全球价格水平），但也可以考虑其他可能性。有了这些最后的成分，系统的动力学是完全特定的。请注意，我们的动力学方程是“货币单位对称性”（MUS），也就是说，如果所有价格和工资都乘以一个任意常数，它们是不变的，这是应该的。2.5总结在继续分析平衡及其稳定性之前，对我们模型的逻辑进行综合概括可能是有用的。在时间t，企业决定下一个时间步的生产数量。为了做到这一点，他们需要一个估计价格Et（pt+1），在t+1时，他们将能够销售他们的产品。他们使用过去的价格和简单的规则，公式（20）来计算。一旦知道这个价格，他们就会计算出最优数量x*t+1利用已知的科布-道格拉斯技术，最大限度地提高预期利润。公司实际上决定不生产x*t+1但要使当前生产Xt和最佳生产X之间的距离为γ的一小部分*t+1。在知道了这种“折衷”目标产量后，他们现在可以决定劳动力和投入的最佳数量，从而最小化生产成本，同时知道当前的价格和工资。这导致了Eqs。(12) & (13).

最后，在时间t一次，企业销售他们在时间t决定的产品-1.支付工资和股息，购买下一次生产所需的投入，而家庭购买企业生产，并且t时的价格是市场明确的。这组规则足以详细说明模型的动力学。许多简化的假设都是可以质疑的，比如货币流动的同时性，以及市场瞬间清空的事实。然而，通过保持框架尽可能简单，我们将能够证明，在达到标准理性均衡的稳定制度和出现混沌动力学导致内生波动的不稳定制度之间存在着一条代理过渡线。正如我们将在最后一节中提到的，这些结论似乎对上述许多简化假设具有鲁棒性（类似结论参见[21]）。3平衡和线性化动力学3。1生产力在时间上固定的平衡条件，即zit≡zi，存在静态平衡m，例如pit=pieq，xit=xieqandλit=λieq=βpieq。显然，来自Eq。（11） ，平衡产量与最优产量一致，xieq=xi*式（20）中的E（pi）≡ 皮克。因为没有膨胀，所以β=β≡ 1.这导致以下标准均衡关系，设定价格、产量和工资：~Veq-~Veq·~n~1=（1）- a） bcW~Veq；heq=ab（~Veq·~1），（22）带（~V）ieq≡ xieqpieq（称为[11]中的“影响向量”——直至标准化），（~1）i≡ 1，cWij=wji-n、 和：谢=子皮克伯克希尔哈撒韦-abeqYj（pjeq）b（1）-a） wij1.-b、 （23）问题是要知道这种平衡是否能够动态地达到，或者是否有任何少量的噪音使系统偏离平衡，这将使平衡情况的整体分析与理解聚合输出的影响无关。

我们将发现，一般来说，平面（q，γ）中存在一条线，在该线之下，平衡是稳定的，而在该线之上，平衡变得不稳定。在后一种情况下，总输出波动率是由系统的非线性动力学自诱导的，与任何外部“冲击”无关。3.2线性化动力学方程为了获得平衡情况的稳定性，我们研究了平衡点附近的小扰动动力学。因此，我们设定：坑≡ pieqexp（πit）；退出≡ xieqexp（ξit）；λ它≡ βpieqexp（uit）；zit=ziexp（it），（24）带π，ξ，u，<< 1.将上述方程扩展到这些量的一阶，得到以下方程组：（I）- aJ）~ut=1.- bbI+aJ~ξt+1+（1）- a） W~πt-b~t，（25）（1）- γ） （~ξt+1）-~ξt）=γb1- b（~πt）- ~ut）- γb1- b（齐- qJ）（~πt）-1.-~πt，（26）（I）- J） （~ξt+~πt）=（1）- a） b（fW）- J） （~ut+~ξt+1）。（27）五个矩阵的定义如下：Wij=Wij，（28）fWij=wjiVjeqVieq，（29）J0ij=n，（30）J1ij=VJEQPKEQ，（31）J2ij=Vjeqn Vieq。（32）式中，J0,1,2是J×J=J、J×J=J、J×fW=J和J×fW=fW的投影仪。注意，当ξt≡ 0和ut=πt≡ π、 线性化的动力学方程应同样服从。利用上面等式（22）的平衡条件，我们可以检验这一点是否成立。最后要注意的是，如果我们在工资、分红和消费之间保持更自然的一个时间滞后规则，只有上面最后一个等式会改变，并且读数为（对于零利率）：~ξt+~πt- (1 - a） bfW（~ut+~ξt+1）=Jh（~ξt-1+~πt-1) - (1 - a） b（~ut）-1+~ξt）i（33）4从稳定经济体到危机易发经济体4。1.长普洛瑟方程上述框架概括了之前为网络经济中的产出和价格编写动力学方程的尝试。让我们特别讨论如何恢复长普洛瑟模型。

在完全理性的长期普洛瑟模型中，代理人完美地预测了未来的价格，并产生了最优数量，这意味着在目前的情况下≡ βEt[pit+1]和xit+1≡ xi*t+1。在等式（27）中插入相应的条件ut=~πt+1+噪声导致：- J） ~gt=（1）- a） b（fW）- J） ~gt+1，~gt:=~ξt+~πt.（34）然而，由于fw的奇异值都小于1，这种时间上的前向迭代通常不稳定，因为预因子（1）更是如此- a） b.因此，理性主体的经济循环的唯一“稳定路径”是，对于所有i，t，Sit=xitpit=常数，即~ξt=g~1-~πt，其中gis是一个任意常数（横向条件）：价格和数量总是彼此成反比，就像在长普洛瑟模型中一样。将其代入式（25）并使用W~1=~1得到长普洛瑟动力学方程（另见[9,10]）：~ξt+1=b（1- a） W~ξt+~t.（35）因为W的所有奇异值都小于1，而b（1）- a） <1，该方程导致一维子空间S k~1中的稳定波动（与公式（19）相比），出于同样的原因，导致子空间S中的不稳定动力学⊥~1). 此外，大型经济体的总产出波动率往往为零，除非投入产出矩阵W具有非常特殊的星形结构[11]。事实上，Acemoglu-Carvalho模型对应于一种异向斜噪声，这种噪声在时间上变化非常缓慢，在噪声发生显著变化之前可以达到平衡。在这个“绝热”极限中（用物理学的一个表达式来描述缓慢变化的外部条件），经济经历了一系列准平衡过程，其特征是：~ξ=[I]- b（1）- a） W]-1~（36），这正是Acemoglu等人[11]所考虑的方程。

将输出的相对函数定义为平均值n-1Piξi，并使用“影响向量”~Veq的定义≡N-1~T·[I- b（1）- a） W]-1，得出总产量的波动率为：∑slow=nXl=1σl~五、l 2eq≤ ∑fast=n-2nXi，j=1nXk=1Mij，kkσk，（37）注意，等式（26）在长普洛瑟框架中没有对应项，因为转换条件将量x的动力学完全固定为（M）-1） ij，kl= δikδjl- b（1）- a） 威克瓦l. （38）第一个（“慢”）结果在[11]的慢绝热极限下成立，其中冲击在达到平衡所需的时间尺度上至关重要，而第二个（“快”）结果在~是快速演化的白噪声时成立，假设冲击是特殊的，在两种情况下具有相同的方差（即e（ij）=σiδij）。然而，正如[8]中所讨论并在上文引言中所强调的，当s-hock是特殊的时，这一系列稳定的动力学方程无法解释部门之间的巨大交叉相关性。经验输入输出矩阵不足以“星型”防止∑总体上太小。我们框架的整体想法是放松长普洛瑟（以及随后的论文）的非常严格的假设，即代理人完全提前预测未来，经济必须遵循从现在到未来的稳定路径。上面得到的一般方程仅假设了一个不完美且短视的优化方案，以及对未来价格的启发式预测。正如我们现在展示的，这可能会导致动力学不稳定性和更丰富的现象学，包括大波动和危机。4.2一般情况：线性稳定性分析等式的稳定性分析。

（25,26,27）在一般随机矩阵的情况下，W是有限的。然而，当W是正常的，即当它通过转置通勤时，情况会大大简化，而不会改变主要的定性结论。在这种情况下，很容易检查~Veq∝~1，即企业i在经济中的均衡份额，定义为：Sieq=xieqpieqpkxkeqeq（39）对于所有i:Sieq=1/n是相同的。然后，我们可以分解特征基W中的函数π，~ξ，~u，并独立研究每个组成部分，因为在这种情况下，J=J=T~1/n和fw=WT.4.2.1统一模型从统一模式开始，对应于W的特征值=1。线性方程组变成：（1）- a） （ut）- πt）=1.- bb+aξt+1-b1，t，（40）（1）- γ） （ξt+1）- ξt）=γb1- b（πt）- ut）- γb1- b（q）- q） （πt）-1.- πt，（41）（42）式中1，t=~t·~1。等式（27）被证明是微不足道的满足，留下πTunderming的演化。这意味着，在支付和消费同时发生的模型中，当~thas具有非平凡的时间相关性时，中间情况的演化也可以通过进入信息空间来处理。然而，最终的结果并不是很能说明问题。总体价格水平尚未确定。当引入有限时滞时，如等式（33），情况并非如此。尽管如此，当q=q时，总体价格水平的演变，正如预期的那样，完全提高了内部收益率，为了简单起见，我们将在这里集中讨论这个案例，下面对更多的一般情况进行评论。等式的组合。（40,41）导线，对于q=qto：（1）- γ + ζ(1 - b+ab）ξt+1=（1- γ） ξt+ζ1，t；ζ =γ(1 - a） （1）- b） 。

（43）自ζ（1）- b+ab）≥ 0时，ξ的演化总是线性稳定的，并且在极小的调整率γ的限制下，只会略微不稳定→ 0.这实际上是一个理想的属性，因为由单一企业构成的经济体的演化方程与统一模式的演化方程相同。我们希望网络效应和市场缺陷之间的相互作用产生任何不稳定性，因为单一企业系统的不稳定性将是非常艺术的。在引入滞后并使用公式（33）的情况下，我们发现如果q- QI非常大，即过去趋势对未来价格预期的影响显著大于对全球通胀的预期。这个案例代表了企业的一种非理性乐观主义，他们坚信明天可以以高折扣价出售产品。虽然可能很有趣，但我们在目前的工作中不会进一步探讨这条道路。4.2.2非均匀模式我们现在考虑非均匀模式~Vs⊥~1，对应于另一个特征值∈ C/W，带| s |<1。系统的演化方程现在为（带s，t=~Vs·~t）：ut-(1 - a） sπt=1.- bbξt+1-bs，t，（44）（1）- γ） （ξt+1）- ξt）=γb1- b（πt）- ut）- γb1- bq（πt）-1.- πt），（45）ξt+πt=（1）- a） b′s（ut+ξt+1），（46）与s的复共轭。

E在第一个和第三个方程之间消除ut（并暂时将噪声设置为零）导致：πt=（1- a） \'sξt+1- ξt1- b（1）- a） |s |，（47）ut=ξt（1）- a） b\'s- ξt+1+（1）- a） \'sξt+1- ξt（1）- a） b’s（1）- b（1）- a） |s |）（48），从而得到了ξt的自治二阶微分方程：aξt+1+aξt+aξt-当q6=q时，1=0，（49）和额外项（q- q） （πt）- πt-1） 出现在方程式右侧，这不会影响下面报告的稳定性分析。c=b（1- a） <1和：a=1- γ+bζs（1- B- c|s（1+q）+c|s |），bζs=γ（1- b） （1）- b（1）- a） |s |）（50）andA=-h1- γ+bζs（\'sc（1- q）- b（1+q））i，A=-qbbζs.（51）研究方程Aα+Aα+A=0的根非常复杂。然而，我们马上就能看到α的不稳定性→ 对于q的任何值，都不能出现1，而α→ -1定义（q，γ）平面上的某条线γc（q），由（s real）给出：1- γcγc=2b- 1.- cs+2q（b+cs）2（1）- b） （1）- b（1）- a） s），（52），前提是右侧为正。在极限b→ 这是真实的，它简化为一个更易读的表达式：γc≈2(1 - (1 - a） s）第2季度+1- (1 - a） s（1）- b） ，（53）显示了几个有趣的特征：oa）当b→ 1，也就是说，对于恒定的尺度回归，系统总是动态不稳定的，即γc=0b） 当q=0时，γcis独立于a和s，因此是输入输出网络的形式c） 对于给定的s，当q增加时，γcd减小，这意味着更多的趋势跟随价格（即q>0）会破坏系统的稳定性d） 对于给定的q，γcd随着s的增加而减小。对a=0.5和b=0.9的根进行数值分析，得出下图所示的相图。1，用于不同的投入产出矩阵，包括对应于美国经济的矩阵。