渐近指数套利和基于效用的渐近套利

这遵循了[9]中的定理1.2和4.3。让我们定义∧g（θ）：=θ的∧（θg）∈ R.表示∧*g（x）：=supθ∈R（θx）- ∧g（θ）），x∈ R、 λg（·）的芬切尔-勒让德共轭。推论3.6。在前面定理的条件下，如果σ（g）>0，则∧*g（x）>0表示所有x 6=ν（g）。证据∧gis分析，从本质上讲，它是可区分的。根据∧的定义∧g（0）=0。根据前面定理的泰勒展开式，∧′g（0）=ν（g）和∧′g（0）=σ（g）>0，我们得到∧*g（ν（g））=ν（g）×0- ∧g（0）=0。通过对共轭函数的定义，我们得到∧*g（x）≥ 0×x- λg（0）=0表示所有x∈ 因此，ν（g）是∧的全局极小值*g、 通过∧g的微分∧*gis在其作用域上严格凸。这意味着∧的全局极小值是ν（g）*地理信息系统独一无二。这种唯一性意味着∧*g（x）>0表示所有x 6=ν（g）。为了将这些结果应用于我们的长期投资问题，我们需要确定Φtsatis fies（DV 3+）。首先，我们证明一个关于Xt的相关陈述。提案3.7。马尔可夫链用合适的紧致区间C来满足d=1，R（x，A）=P（x，A）的“漂移条件”（10） R和V（x）=W（x）=1+qx，适当的q>0。证据回想一下，对于所有x，R eV（x）：=ReV（y）R（x，dy）∈ R.我们必须展示eV（x）≤ eV（x）- 所有x的δW（x）+b1C（x）∈ 对于适当小的q>0和C=[-K、 K]带有适当大的K。因为P eV（x）=EeV（X）|X=X= EeV（x+u（x）+σ（x）ε）, 根据（13），我们需要证明，Ee1+q（x+u（x））+2q（x+u（x））σ（x）ε+qσ（x）ε≤ e（1）-δ） V（x）+b1C（x）代表所有x∈ R.（14）为了证明这一点，有必要证明以下两个主张：主张1：对于所有的x和| x |>K，K足够大，我们有e1+q（x+u（x））+2q（x+u（x））σ（x）ε+qσ（x）ε≤ e（1）-δ） （1+qx）（15）权利要求2：对于“小”x（即| x |≤ 我们有SUPX∈总工程师e1+q（x+u（x））+2q（x+u（x））σ（x）ε+qσ（x）ε< 对于某些正常数G（K），（16）。权利要求1的证据。

使用假设（A），对于足够大的| x | l，存在一个小的δ>0，使得（x+u（x））≤ (1 - 4δ）x.自1起≤ δ（1+qx）对于| x |大e nough，它遵循e1+q（x+u（x））≤ e（1）-3δ）（1+qx）。通过（A）有M>0，对于所有x，σ（x）≤ M如果我们选择q，使得qM<κ/2，那么就不足以证明ee2q | x+u（x）| M |ε|+（κ/2）ε≤ e2δqx。通过柯西-施瓦兹不等式，证明e4q | x+u（x）| M |ε|量化宽松eκε≤ e2δqx（17）乘以（6），（17）左侧的第二项是常数√I.对于足够大的| x |，这小于eδqx。因此，由于aga由（A）构成，4q | x+u（x）| M≤ 4qM | x |对于足够大的|x |来说，它仍有待展示e4qM | x |ε|≤ eδqx对于大的| x |，或者，等价地，ee4qM | x |ε|≤ e2δqxf对于大的| x |。（18） 应用引理3.4，对于某些固定常数>0，f（18）的左侧比e16cqM | x |小。因此，如果选择足够小的q，使得16qMc<2δq和qM<κ/2，则（18）成立，显示权利要求1。权利要求2的证明。根据假设（A），u在任何紧C=[-K、 K]通过s ome正常数A=A（K）和函数x7→ （x+u（x））也由一些正常数B=B（K）限定在C上。应用Ca uchy-Schwarz不等式和（6），Ee1+q（x+u（x））+2q（x+u（x））σ（x）ε+qσ（x）ε≤ Ee1+qB+2q（K+A）M |ε|+（κ/2）ε≤ e（1+qB）量化宽松e4q（K+A）M |ε|量化宽松eκε= e（1+qB）√伊奇e4q（K+A）M |ε|然后我们选择足够大的K，使得4q（K+A）M≥ 1，通过引理3.4，我们得到所有x∈ C=[-K、 K]，Ee1+q（x+u（x））+2q（x+u（x））σ（x）ε+qσ（x）ε≤ e（1+qB）√Ipe16c′q（K+A）M，对于固定常数c′>0。这适用于所有x∈ C、 当在后一个不等式的左边取C的上界时，nc e（16）成立。提案3.8。马尔可夫链Φtsatis fies（DV 3+）（i）。证据我们遵循[9]中的命题4.1，并从上面的命题3.7推导出这一陈述。回想一下这个命题中的V（x）=W（x）=1+qx，C和δ>0。取C:=R×C。

福克斯，y∈ 定义V（x，y）：=V（y）+（δ/2）W（x）和W（x，y）：=（1/2）（W（x）+W（y））。然后呢-VQeV（x，y）=- V（y）- （δ/2）W（x）+logZReδW（y）+V（z）P（y，dz）≤ -V（y）- （δ/2）W（x）+（δ/2）W（y）+[V（y）- δW（y）+b1C（y）]≤ -δW（x，y）+b1C（x，y），表明（10）对V，W是真的。我们得出结论，在命题3.3中，Chas b甚至很小。提案3.9。链Φtsatis fies条件（DV 3+）（ii）。证据考虑前面命题中定义的V（x，y），W（x，y）。我们选择t:=2，让r<kwk∞= ∞.必须证明测度βron B（R）的存在性，使得βR（eV）<∞ Q（x，y），D∩ CW（r）≤ βr（D），（19）表示所有（x，y）∈ CW（r）和所有D∈ B（R）。设H表示CW（r）在第一个坐标上的投影（与在第二个坐标上的投影相同）。通过（A）和（A），函数p（x，y）在H×H上被常数J.HenceQ限定（x，y），D∩ CW（r）≤ZD∩CW（r）p（y，a）p（a，a）数据≤ Jλ（D）∩ CW（r））=：βr（D）。最后，很明显βr（eV）<∞ 因为它是一个连续函数在R上的勒贝格积分。推论3.10。马氏链Φthas是一个不变的概率测度ν，等价于λ。证据定理3.5暗示Φthas是一个入侵概率测度，比如说，ν。此外，从（8）开始，P（Φ∈ ·|Φ=（x，y））对于每个（x，y）是λ-绝对连续的∈ R、 因此我们得到了ν<< λ. 另一方面，从[11]第186页和第235页对循环链和正链的定义来看，同样参考文献的第10.1.1条和第10.4.9条定理如下：~ ψ、 其中ψ是最大不可约测度。因此ψ>> λ由命题4决定。[11]中的2.2（ii），我们得到>> λ. 因此，ν~ λ、 按要求。我们现在开始对财富模型（3）中的渐近指数机会进行适当的研究。

再次考察投资者财富过程的动力学Vπ在这个模型中，对于任何马尔科夫策略πt，我们可以用Vπt=Vexp的形式表示tXn=1f（Φn）= VexptPtn=1f（Φn）t, 总之≥ 1，（20）其中函数f由f（x，y）定义：=log(1 - π（x））+π（x）exp（y）- 十）, x、 y∈ R、 （21）和Φt=（Xt-1，Xt），t∈ N、 是马尔可夫链。我们需要确保，对于任何马尔可夫策略πt，随机变量序列log（Vπt/V）=Ptn=1f（Φn）满足大偏差原理（LDP）假设。也就是说，我们需要极限∧f（θ）：=limt→∞对于每个θ，存在tlog E（EθPtn=1f（Φn））∈ R、 满足[2]中定理2.3.6所述的G¨artner-Ellis定理的剩余条件。定义函数W:R→ [1, ∞) 由W（x，y）：=1+|x |+|y |，对于所有x，y∈ R.显然，d=2和W=W的Wsaties（12）。引理3.11。f属于空间LW∞.证据为了所有的x，y∈ R、 自π（x）∈ [0,1]，我们有1个-π（x）+π（x）exp（y）-十）≤ 1+exp（y）-x） 。因此f（x，y）≤ |x |+| y |+1。另一方面，对于0≤ A.≤ 1/2，我们有1个- a+a经验（y）- 十）≥ 1/2. 对于大于1/2的，我们有1-a+a经验（y）-十）≥ （1/2）经验（y）-x） 。总之，我们得到了f（x，y）≥ 日志（1/2）-|x|-|y |代表所有x，y∈ R.因此| f（x，y）|≤ c（1+| x |+| y |），对于某些常数c>0，其结论如下。提案3.12。设πt为财富模型（3）中的任何马尔可夫策略。那么∧f（θ）：=limt→∞t日志E（X-1，X）eθPtn=1f（Φn）, θ ∈ R是一个定义良好的解析函数，因此平均stlog（Vπt/V）=tPtn=1f（Φn）满足具有良好速率函数∧的大偏差估计*f（λf的凸共轭）。证据根据定理3.5，∧f验证了[2]中G¨artner-Ellis定理2.3.6的条件（分析性意味着本质光滑性）。应用这个定理，我们得出结论。引理3.13。

如果（RC+）满足，那么马尔可夫策略π+（x）：=1R+（x）是这样的：ν（f）=E日志(1 - π+（~X））+π+（~X）exp（~X）-~X）> 0，（22）其中一对随机变量（~X，~X）具有分布ν。证据由于ν是B（R）上的一个概率度量，并且对于链Φt=（Xt，Xt+1）是不变的，因此存在一对R值的R和om变量（~X，ε），使得ε独立于X，定义X=~X+uX）+σ（~X）ε，这对（~X，~X）具有分布。为了一个小x∈ R、 E|X |X=X= Ex+u（x）+σ（x）ε| | x=x= x+u（x）+σ（x）E（ε| x=x）=x+u（x）+σ（x）E（ε）=x+u（x），因为ε独立于x。因此，如果x∈ R+然后我们有e（~X | ~~X=X）>X.（23）现在考虑明确定义的马尔可夫策略π+（X）：=1R+（X）∈ R、 其构造如下：每次t>0时，如果对数市场风险价格高于0，我们将所有当前财富投资于股票，否则我们将所有资产都存入银行账户。考虑到这个策略，考虑相应的f（x，y）=log(1 - π+（x））+π+（x）exp（y）- 十）,（x，y）∈ R.因为通过定义ν（f）=RRf（x，y）ν（dx，dy），我们得到了ν（f）=E日志(1-π+（~X））+π+（~X）exp（~X）-~X）. 接下来，根据推论3.10，ν相对于λ有一个λ-a.e.正密度，因此它的X-margina l，用η表示，有一个λ-a.e.正密度l（x） 。因此我们得到了ν（f）=RRE日志（（1）- π+（x））+π+（x）exp（~x- x） ）x=xη（dx）≥RR+Elog exp（~X）- x） ||x=xη（dx）=RR+E~X- x | | x=xl（x） λ（dx）>0，乘以（23），表示引理。定理2.3的证明。如果f是ν-a.s.常数，则该语句是平凡的。如果不是，则根据[10]中定理5的参数σ（f）>0。命题3.12表示ttlog（Vπ+t/V）满足大偏差原理，具有良好的速率函数∧*f、 特别地，应用[2]中定理2.3.6的上大偏差不等式（2.3.7），我们得到→∞tlog Ptlog（Vπ+t/V）<ν（f）/2≤ - infx∈(-∞,ν（f）/2]∧*f（x），（24）式中，通过引理3.13，ν（f）>0。

由推论3.6∧*f（ν（f）/2）>0且ν（f）是∧的唯一极小值*f、 通过严格凸性∧*金融机构减少(- ∞, ν（f）]。这意味着右手s ideof（24）等于-Λ*f（ν（f）/2）。亨塞普Vπ+t≥ elog（V）+ν（f）t/2≥ 1.- E-t∧*f（ν（f）/2）对于大t，（25），结果如下。以下两个例子不在[10]的范围内，但可以使用上述定理2.3进行处理。例3。14.稳定的自回归过程。考虑模型St:=Ext，其中Xt是一个稳定的自回归过程（即Ornstein-Uhlenbeck过程的离散时间版本）：对于所有的t≥ 1，（26）其中0<|α|<1，Xis常数和ε皮重i.i.d.N（0，1）。在这个典型示例中，漂移和波动函数被确定为u（x）=（α）-1） x和σ（x）=1，对于所有x∈ R.所有假设（A）- （A） 关于μ，σ和εts，它们基本成立。接下来，R+=(-∞, 0）。显然，（RC+）是成立的。因此，交易机会π+t=π+（Xt-1） ，π+：=1R+根据定理2.3实现了一个带有GDP F的AEA。例3。15.考克斯-英格索尔-罗斯型工艺。在数学金融中，随机微分方程DHT=-βHtdt+σp | Ht | dWt（27）经常被用来模拟债券市场的随机波动或短期利率，这里是布朗运动。我们在此对该模型的离散化进行了轻微修改。修正是必要的，因为HTC的波动性既不高于0，也不远离0。让我们用Xt+1=αXt+σmin{max{p | Xt |，c}，c}εt，t来定义对数价格过程≥ 其中|α|<1，σ>0，0<c<给定常数和εtisn（0，1）。

很容易检查这个过程是否也满足定理2.3.4基于效用的渐近套利的条件。我们考虑初始资本为V=x的风险规避投资者∈ (0, ∞) 他们用效用函数U（0，∞) → R、 其中，U属于双曲溶质风险规避（HARA）效用函数的s子类U（x）=xα，0<α<1，或U（x）=-xα，α<0，对于所有x∈ (0, ∞). 参数α与风险厌恶有关：越大-α是指投资者越害怕损失，参见[5]。如导言部分所述，在本文中，我们不打算解决在文献中讨论得很好的、包含最大预期效用u（x）：=supπEU（VπT）和最优策略（π*t） 一,≤T≤验证u（x）=EU（Vπ*T） 。相反，在[3]和[6]的精神中，随着时间范围趋于一致，我们专注于为代理人提供（快速）增加预期效用的交易机会。首先考虑幂函数U（x）的子类：=xα，对于x，0<α<1∈ (0, ∞).提议4.1。如果一个交易策略π使一个AEA交易化，那么有一个常数b>0，比如Vπt≥ eαbt，对于所有足够大的t.（28）证明。根据AEA的定义，有一个常数b>0和一个时间t1/2，例如P（Vπt≥ebt）≥ 1/2用于所有时间t≥ t1/2。因此，EU（Vπt）≥ EU（ebt）1{Vπt≥ebt}≥ （1/2）eαbt≥ eαb′t适用于任何b′<b的区域，以及所有t大的区域，视需要而定。接下来，假设投资者从幂效用函数U（x）的第二个子类中选择：=-xα，α<0，对于所有x∈ (0, ∞). 这些函数表达了更大的风险厌恶和更现实的重新思考。我们将得出下面这一部分的主要结果。

我们再次指出，尽管证明很短，但以下定理依赖于本文[9]中所有的重型机械，以及第2节中建立的我们的初步结果，事实上，这是高度非琐事的l.定理4.2。假设原木价格满足（A）- （A） 以及（RC+）。设π+t为定理2.3中定义的策略。然后存在α<0，对于任何风险规避系数0>α>α，相应投资者财富的预期效用以指数速率收敛到0。也就是说，使用电源实用程序U（x）：=-xα，x∈ (0, ∞), 我们有，|EU（Vπ+t）|≤ 柯-ct，对于所有足够大的t，（29）对于某些常数K=K（α），c=c（α）>0。证据回想第2节，尤其是推论y 3.10，命题3.1和（21）。当f为常数ν-a.s时，该语句是微不足道的。否则，我们可以假设σ（f）>0（见第2.3条的证明）。在第二节中，我们得到了∧f（0）=0，∧′f（0）=ν（f）>0。因为根据∧f的解析性，∧′fis是连续的，存在α<0，使得α的∧f（α）<0∈ (α, 0). [9]中的定理M3.1意味着对于某些常数dα，我们有-Eeα（f（Φ）++f（Φn））en∧f（α）=EU（Vπn）/Vαen∧f（α）→ dα，n→ ∞, （30）出示声明。一般来说，我们不应该期望比这个结果更多的结果（也就是说，对于所有α<0的情况，我们不可能得到这样的结果）。为了说明这一点，我们现在构造一个例子，其中有AEA和GDP F，但对于某些α<0，我们有E（Vπt）α→ -∞ 作为t→ ∞.例4。3.考虑对数价格Xt，由公式Xt+1=Xt+εt+1，t决定∈ N、 当X=0时，其中εtare i.i.d.是R中的随机变量，其公共分布如下所示：-ε> 1和Eε>0。例如ε~ N（1/4，1）就可以了。我们确定了漂移和挥发度≡ 0和σ≡ 1.选择交易策略πt≡ 所有t取1，设V=1。n我们有Vt:=exp（ε+·ε+εT）≥ 1.由于1/5<1/4=Eε，由克拉姆的theo-rem（参见。

[2] ，有一个常数c>0和t>0，因此对于所有t≥ t、 我们有≥ et/5）≥ 1.- E-计算机断层扫描。因此，在GDP F中存在AEA。然而，forα=-1.我们有独立的，EU（Vt）=e(-五、-1t）=-E经验{-（ε+·ε+εt）}=-（Ee）-ε） t→ -∞作为t→ ∞.最后，我们研究了如果一个厌恶ris k的代理产生倾向于0=U的预期效用会发生什么(∞) 以指数形式快于t→ ∞. 事实证明，他/她的策略产生了带有GDP F的AEA。事实上，按照[6]中Proposition 2.2的步骤，我们得到了以下结果。定理4.4。考虑一下电源实用程序U（x）=-对于某些α<0。设πtbe为| EU（Vπt）|≤ 柯-对于所有足够大的t，对于某些常数c，K>0。然后πt提供了一个带有GDP F的AEA。证据我们可以也将假设K=1。我们需要找到常数b>0，c′>0，这样p（Vπt≥ ebt）≥ 1.- E-对于所有足够大的t.选择eb>0，使得tc+αb>0，那么我们有P（Vπt<ebt）=P|U（Vπt）|>U（ebt）|≤E | U（Vπt）| U（ebt）|由马尔可夫不等式。（31）但E | U（Vπt）|=|EU（Vπt）|≤ E-ctand | U（ebt）|=eαbtp（Vπt<ebt）≤ E-（c+αb）t。因此，取c′：=c+αb。综上所述，如果效用风险规避系数α<0的经济主体实现了以指数形式快速收敛到0的预期效用，那么他/她的策略也为AEA提供了GDP F。相反地，在第2节的严格条件下，我们可以用GDP F构建产生AEA的策略，该策略也可以为不太负的α（即不太厌恶ris k的投资者）提供指数级的预期效用。参考文献[1]R.N.Bhattacharya和E.C.Waymire。随机过程及其应用，约翰·威利父子公司，纽约，1990年。[2] A.Dembo和O.Zeitouni。大偏差技术与应用，第二版，斯普林格，1998年。[3] 多库恰耶夫。

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