渐近指数套利和基于效用的渐近套利

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英文标题：
《Asymptotic Exponential Arbitrage and Utility-based Asymptotic Arbitrage
  in Markovian Models of Financial Markets》
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作者：
Martin Le Doux Mbele Bidima and Mikl\\\'os R\\\'asonyi
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Consider a discrete-time infinite horizon financial market model in which the logarithm of the stock price is a time discretization of a stochastic differential equation. Under conditions different from those given in a previous paper of ours, we prove the existence of investment opportunities producing an exponentially growing profit with probability tending to $1$ geometrically fast. This is achieved using ergodic results on Markov chains and tools of large deviations theory.   Furthermore, we discuss asymptotic arbitrage in the expected utility sense and its relationship to the first part of the paper.
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中文摘要：
考虑一个离散时间无限期金融市场模型，其中股票价格的对数是随机微分方程的时间离散化。在不同于前一篇文章给出的条件下，我们证明了投资机会的存在性，投资机会产生指数增长的利润，概率趋于1美元几何速度。这是利用马尔可夫链上的遍历结果和大偏差理论工具实现的。此外，我们还讨论了预期效用意义下的渐近套利及其与本文第一部分的关系。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Asymptotic_Exponential_Arbitrage_and_Utility-based_Asymptotic_Arbitrage_in_Marko.pdf (232.56 KB)

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关键词：Optimization Quantitative Differential relationship Exponential

马尔科夫金融市场模型中的渐近经验套利和基于效用的渐近套利*Martin Le Doux Mbele Bidima+Mikl\'os R\'asonyi2022年3月25日摘要考虑一个离散时间有限期金融市场模型，其中股票价格的对数是随机微分方程的时间离散化。在与[10]中给出的条件不同的条件下，我们证明了投资机会的存在，其产生的收益呈指数增长，概率以几何速度趋于1。这是利用马尔可夫链上的遍历结果和大偏差理论工具实现的。此外，我们还讨论了预期效用意义下的渐近套利及其与本文第一部分的关系。关键词：渐近指数套利，马尔可夫链，大偏差，期望效用。1引言在金融市场的经典理论中，套利（无风险利润）的存在是以合适的“定价规则”为特征的：风险中性（即等价鞅）衡量r isky资产的定价过程。这一结果通常被称为“资产定价的基本原理”。套利理论的进一步发展包括所谓的“大型金融市场”（见[7]、[6]及其参考文献）。在这些论文中，许多模型的以下共同特征得到了强调：在每个有限的时间范围T>0，没有套利机会，但当T趋于一致时，从长远来看，人们可能会实现无风险利润。这种交易机会被称为“简易套利”。研究渐近套利的一个重要工具是[6]中提出的大偏差理论（见[2]）。

最近，在[10]中，我们给出了[6]中关于渐近套利的一些结果的离散时间版本，并且在这个框架中，我们扩展了这些结果*作者感谢主审和副主编的极具建设性和帮助性的报道。+喀麦隆雅温得第一大学，电子邮件：mbelebidima@gmail.com——MTA Alfr’ed R’enyi数学研究所，匈牙利布达佩斯和英国爱丁堡大学，电子邮件：rasonyi@renyi.mta.huthem通过研究“失效概率几何衰减的渐近指数套利”，也就是说，我们讨论了投资者在控制（以几何衰减率）无法实现长期投资的概率的同时，实现其长期投资的指数增长的可能性。其中一些结果随后在[4]中针对连续时间模型得到了证明。在本文中，我们使用不同的目标和技术工具证明了类似于[10]定理5的结果（用[9]的大偏差结果代替[8]）。通过这种方式，我们成功地涵盖了一些在[10]设置中不可执行的著名资产价格模型，参见下面的示例3.14和3.15。我们现在回想一下[10]的设置。考虑两种资产交易的金融市场：无风险资产（银行账户或无风险债券），利率设置为0，即价格正常化为Bt:=1∈ N以及单个风险资产（如股票），其（贴现）价格假定为：exp（Xt），t∈ N、 （1）其中库存价格的对数Xt是一个由离散时间差方程Xt控制的R值随机过程- Xt-1=u（Xt）-1） +σ（Xt）-1） εt，t≥ 1，（2）从常数X开始∈ 这里是μ，σ：R→ R是可测量的函数（决定股票的收益率和波动率）和（εt）t∈Nis是i.i.d.的一个R值序列。

随机变量表示股票价格演变的随机驱动过程。请注意，原木价格过程显然是（不可数）状态空间R中的（离散时间）马尔可夫链（见[1]第211-228页）。我们假设它的演化是在一个过滤概率空间上进行的(Ohm, F、 F，P），当F:=（英尺）t∈Nand Ft:=σ（Xs，0≤ s≤ t） ，是股票原木价格过程的自然过滤。在续集中，E表示对概率P的期望。该市场中的交易策略假设为F-可预测[0,1]值过程s（πt）t≥1（即πt假定为Ft-1）不允许卖空或欠债。这意味着，在每次t时，投资者分配一部分πt∈ [0,1]他们的全部财富归为股票，而其余的仍在银行账户中。因此，考虑到任何这样的策略，投资者的相应财富过程Vπtof就是动态的VπtVπt-1= (1 - πt）+πtst-1.一周≥ 1，（3）其中Vπ：=V>0是投资者的初始资本。定义1.1。（定义[10]中的第3和第4条）让πt成为一种交易策略。i） 我们说，在财富模型（3）中，π是一个渐近指数套利（AEA），如果存在一个常数b>0，那么对于所有>0，都有一个时间t∈ N满足p（Vπt）≥ ebt）≥ 1.- ，永远≥ t。（4） ii）我们说，如果存在常数sb>0和c>0，则πt生成一个具有几何解失效概率（GDP F）的渐近指数套利（AEA），使得P（Vπt≥ ebt）≥ 1.- E-所有足够大的CTT≥ 1.（5）显然，AEA与GDP F意味着AEA。上述第二种交感套利比第一种更为严格。

事实上，在上文（4）中，容忍度水平和投资者开始实现指数增长的时间t之间没有明显的关系；人们可能需要等待很长时间才能达到期望的d容忍水平。AEA与GDP F的概念消除了这一缺陷，允许投资者以计量衰减率控制长期内无法实现指数增长利润的可能性。我们在此回顾[10]的主要结果。在以下主要假设下：漂移和波动函数u和σ的有界性；σ在紧集和εts的指数可积性上远离0，我们证明了[10]中关于财富模型（3）中AEA（分别为AEA和GDP F）存在性的定理2（分别为定理4）。[10]中的定理5提供了XT上的遍历相关条件，确保AEA与GDPF一致。在下面的第2节和第3节中，我们继续考虑与第（1）、（2）、（3）节相同的模型。在一组关于u，σ和（εt）t的新条件下∈N（见下文（A）、（A）、（A）、（A）和（A）项），它们既不强也不弱于上文[10]中提到的相应条件，我们利用[2]中的经典大偏差技术、[11]中的马尔可夫链工具以及[9]中的马尔科夫链遍历性结果，证明了AEA与GDP F（见下文定理2.3）的存在性。此外，将明确构建产生这些套利机会的交易策略；我们在[10]中已经获得了在不同条件下的贡献，但在吸气连续时间工作[6]中没有。

为了获得这些明确的套利机会，我们将只考虑平稳的马尔可夫策略，即；策略（πt）t≥其中πt=π（Xt-1） ，t≥ 1，对于某些固定的可测函数π：R→ [0, 1].在第4节中，我们将讨论“基于效用”的概念，即与冯·诺依曼·莫尔根斯特恩e xpec-ted效用相关的渐近套利（见[5]第2章）。具有效用函数U和时间范围T的经济主体的非最优投资是预期效用EU（VπT）最大的最终投资组合值VπT的π倍。我们不关注最优策略的构建，而是关注随着时间范围趋于一致，为代理提供（快速）增加预期效用的策略。更准确地说，我们希望讨论这样的问题：对于电力公用事业U，以及（4）中的AEA策略πtas，投资者的预期效用EU（Vπt）是否会倾向于最高可用的公用事业U(∞)? 如果是这样，这种趋同将如何发生？相反，如果一个代理人追求一个交易策略，即她/他的预期效用有一个收敛速度估计，那么πt是否会产生AEA（与GDP F一起）？我们对下面命题4.1、定理4.2和定理4.4中的问题提供了部分答案。2关于AEA的主要定理，其中GDPFWe表示为B（R）上的勒贝格测度λ。在本文中，我们假设马尔科夫链满足以下条件：（A）随机变量εts相对于λ有一个（公共）密度γ，且该密度在R中的每个紧致上有界且从m 0开始有界。（A）漂移u是局部有界的。

波动率σ是正的，每一个紧集的有界距离为零，并且是（全局）有界的。（A） 我们施加均值回复漂移条件lim sup | x|→∞|x+u（x）| | x |<1。（A） 我们假设εts定律具有以下可积性：κ>0，使Eeκε=: 我∞, （6） Eε=0成立。备注2.1。这些条件与[10]类似。主要区别在于[10]中假定μ为有界函数，而本文中则假定μ为无界函数。通过这种方式，我们适应了例如自回归过程（见下面的例子3.14和3.15），这不符合[10]的设置。当我们放松u的有界性时，我们需要εt上的可积条件（A），它比[10]中的条件更严格。此外，（A）在马尔可夫链上是一个比[10]中定理5强得多的遍历性条件。因此，我们的主要结果（定理2.3）并没有推广[10]，而是补充了它。备注2.2。与[6]类似，考虑了Ornstein-Uhlenbeck过程的指数，我们的条件暗示对数价格是遍历的（在强烈意义上）。也许是基于经济原因，价格上涨了Xt/Xt-1比Xt大的数应该是遍历的。就像在[10]中一样，我们选择当前设置是为了与[6]保持一致。对于Xt/Xt的情况，可以使用非常相似的参数来证明类似的结果-1被假定为一个遍历马尔可夫链。我们在这里不走这条路。考虑以下条件：（RC+）集合R+：={x∈ R|u（x）>0}满足λ（R+）>0。（7） 我们将R+解释为代表“漂移”为正的所有股票原木价格状态。因此（RC+）意味着有“光明未来”（即股价有向上的趋势）的一组状态x具有正的勒贝格测度。

这是很自然的：请注意，在我们的模型中，卖空是被禁止的，因此负面的市场趋势不能被利用。我们现在陈述本文的主要结果。这不是一般性的限制。如果我们有Eε=m，我们可以用u′（x）：=u（x）+σ（x）m和εtbyε′t:=εt替换u（x）- 以这种方式回到Eε=0的情况。定理2.3。（A）指（A）- （A） 和（RC+）保持。那么马尔可夫策略π+t:=1R+（Xt-1） 用GDP F生成AEA。经过适当的准备，证据将在下一节末尾提出。3大偏差估计值考虑辅助程序ssΦt:=（Xt）-1，Xt），t≥ 0，由原木价格过程ss Xt的两个执行值组成，其中X-1是一个任意选择的常数。我们给出了一组初步结果。提议3.1。该过程是一个具有状态空间R证明的马尔可夫链。我们从[1]第211-228页推导出了这一点，其中证明了波兰状态s中任意（盘状时间）过程Yt的马尔可夫性质，当Yt+1=m（Yt，ξt+1），且i.i.d.随机变量的（ξt）ta序列独立于某些可测空间s′和m:s×s′中的Yand值→ 一个可测量的函数。显然，对于t，Xt+1=m（Xt，εt+1）∈ N与m（x，y）：=x+u（x）+σ（x）y，x，y∈ R.因此我们有Φt+1=（Xt，Xt+1）=（Xt，m（Xt，εt+1））=F（Φt，ξt+1），其中ξt:=（0，εt）和F是定义在S×S′：=R×Rby F（（x，y），（a，b））：=（y，m（y，b））上的可测函数。由于εts是独立于X的i.i.d.，ξts也是独立于X的。

与Φ无关，显示结果。注意P（x，A）：=P（x∈ A | X=X）=ZAp（X，y）dy，X∈ R、 A∈ B（R），其中p（x，y）：=σ（x）γY- u（x）- xσ（x）,这个函数在R中的每一个紧集上都有（A）和（A）的界。为了z∈ 兰德A∈ B（R），设Qt（z，A）：=P（Φt）∈ A |Φ=z）是链Φt的t-s阶转移核≥ 2和A∈ B（R），Qt（（u，v），A）=ZRtA（at-1，at）p（v，a）p（a，a）。p（在-1，在）大。dat，u，v∈ R.（8）设λ表示B（R）上的勒贝格测度。提议3.2。马氏链Φtisψ-不可约，即平凡测度ψsuch上有一个n，ψ（a）>0意味着对于所有z，Qt（z，a）>0的一些t证明。必须检查λ是否是这样一个确定值。如果λ（A）>0，那么对于t=2，我们可以从（8）得到q（（u，v，A）=ZRA（A，A）p（v，A）p（A，A）dada>0，因为p（v，A）p（A，A）是（处处）正的。我们在具体设置中重新定义了[11]第5章中的两个定义。A集C Ris称为ALL ifQt（x，A）≥ u（A）适用于所有x∈ C、 A∈ B（R）具有一些非平凡测度u。链Φ是非周期的，如果对于一些小集合C和相应的度量u，集合C的最大公约数：={n≥ 1：对于所有x∈ C、 Qn（x，A）≥ 对于某些δn>0}，δnu（A）为1。提议3.3。如果C是R中的一个紧区间，那么C:=R×C是马尔科夫链Φt的一个小集合，并且这个链是非周期的。证据这需要证明，对于所有的美国人来说∈ R和v∈ C、 Qi（（u，v），A）≥ ciλ（A）∩ （C×C））对于i=2,3和适当的常数C，C>0，因为这意味着2,3∈ 欧共体。这在（8）中是正确的，其中c=infv，a∈Cp（v，a）infa，a∈Cp（a，a），c=infa，a∈Cp（a，a）infv，a∈Cp（v，a）infa，a∈Cp（a，a）λ（C）。现在我们需要确定的时刻估计。引理3.4。假设（A）的（6）中的随机变量ε满足以下性质：存在c>0，因此对于每个实数A≥ 我们有ea |ε|≤ 非洲经委会。（9） 证据。设置ξ：=|ε|。

然后我们有了eaξ>x= P经验κhlog（eaξ）ai> 经验κhlog xai≤ 我经验- κ日志（x）/a通过马尔可夫不等式=I（x）（κ/a）log x，参见（6）中I的定义。由于指数（κ/a）log x>2，假设x>e2a/κ，我们有eaξ=R∞Peaξ>xdx≤ e2a/κ+IR∞exp（2a/κ）1/xdx。最后一个积分小于r∞1/xdx，这是有限的，因此我们通过取c=c+（2/κ）并将c>0足够大来总结（9）的证明。定理2.3的证明将基于[9]的结果。为了应用本文的结果，我们需要验证Mar-kov链Φtsatis fies条件（DV 3+）是否较低。我们只在状态空间为Rd的情况下才计算这个条件。如果（i）存在可测函数V，W:Rd，我们说具有转移定律R=R（x，a）的ψ-不可约非周期马尔可夫链满足条件（DV3+）→ [1, ∞) 和一个小集合C，这样对于allx∈ Rd，log（e）-VReV）（x）≤ -δW（x）+b1C（x）（10）对于某些δ，b>0。（ii）存在t>0，因此，对于每个r<kW k∞, 有一个测量值是βr（eV）<∞andPx（Zt）∈ A和ZT在t+1之前未退出CW（r）≤ βr（A）（11）对所有x∈ CW（r）和A∈ B（Rd），其中CW（r）={y∈ Rd:W（y）≤ r} 。我们现在回想一下[9]的结果，这将是我们在续集中需要用到的。让W:Rd→ [1, ∞) 苏切塔利姆→∞好的∈研发部W（x）W（x）{W（x）>r}= 接下来，考虑Banach空间LW∞:= {g:Rd→ C:supx | g（x）| W（x）<∞}, 配备标准功率：=supx | g（x）|/W（x）。定理3.5。设zt满足（dv3+）与无界W。然后给出一个不变量概率测度ν，极限∧（g）：=limt→∞tln Ez[exp（tXn=1g（Zn））]存在，并且对所有g都是有限的∈ LW∞对于所有初始值Z=Z（它与Z无关）。修正g∈ LW∞. 函数θ→ λ（g+θg）在θ中解析，泰勒展开∧（g+θg）=∧（g）+θν（g）+θσ（g）+O（θ），其中σ（g）：=limt→∞（1/t）var（g（Z）+…+g（Zt）-1)).证据