静态复制的鲁棒算法及收敛性分析

假设算法3.1的收敛速度为p，即|误差（n）|≡ |TRV（n）- （真值）|=O（n）-p） ，其中O（n）-p） 这意味着存在一个正常数C，O（n-p）≈ Cn-p、 等式（14）给出了检验收敛率p的公式≈日志（|错误（n）|/|错误（2n）|）日志2。（15） 在表2中，我们使用公式（15）计算p值，并得到p≈ 2.这意味着算法3.1的收敛率为2，这与定理3的理论结果一致。1.表2：算法3.1对于复制的收敛速度（计算结果显示了每平方波动点100美元的名义风险敞口。）打击次数（n）总复制值（TRV）误差（n）收敛速度（p）20 4.1651 0.1528–40 4.0484 0.0361 2.180 4.0211 0.0088 2.0160 4.0145 0.0022.0320 4.0128 0.0005 2.1640 4.0124 0.0001 2.3在表3中，我们测试了非线性支付的静态二次复制算法（13）。一组攻击{50、70、90、100、110、130}用于复制。最佳权重和复制值由第3节中的静态二次复制算法计算。表3中的数值结果表明，总复制值为4.0224，接近真实值4.0123。示例4.2交换选项：考虑以下非线性支付=Ts- 党卫军- lnSS-K+.

（16） 在实际应用中，可以从交易期权市场中提取履约价格。表3：静态四次复制算法的数值结果（计算结果为n，假设风险敞口为每波动点平方100美元。）今天每项期权成本的罢工重量值50 1.7393 50.6211 88.045070-3.3196 30.8698 -102.474190 1.2107 11.6701 14.1288100.7073 4.6150 3.2642110 0.8639 1.1911 1.0290130 1.2978 0.0228 0.0296总计4.0224我们使用算法3.1计算非线性支付（16）的复制值。使用FP（S）复制put SWOPTION更方便=K-Ts- 党卫军- lnSS+, （17） 然后，通过put调用奇偶关系可以很容易地计算调用交换选项。Leth（S）=K-Ts- 党卫军- lnSS, S>0。一个简单的检查表明h是严格凹的，在S=Sand时有最大值，对于非线性方程h（S）=0，只有两个解SLand SR（SL<SR）。复制中使用的打击可以在SLand SR之间选择。SLand SR的值通过牛顿法计算：s（k）=s（k-1)-HS（k）-1)h′S（k）-1), k=1。（18） 初始点S（0）选择得非常小（且较大），以使h（S（0））小于0。然后牛顿迭代（18）二次收敛到SL（和SR）。在表4中，我们列出了S=100、r=5%和K=0.01的不同到期日和波动率的调用互换期权的复制值。利用牛顿迭代法（18），我们得到了SL值≈ 95.0840; SR≈ T=0.25时为105.0827，SL≈ 93.0956; SR≈ T=0.5时为107.2377，SL≈ 90.3315; SR≈ T=1时为110.3351。使用算法3.1在SLAN和SRS之间选择18次打击。复制方法也可以应用于非线性路径相关的支付。例如，考虑MT=max0的f（MT）≤T≤TSt。据史莱夫（2004）所知，MTF的pdf格式是明确的。

因此，可以使用算法3.1，并且f（MT）的价值可以通过支付为1MT的障碍期权组合来复制≥Kand回望选项，带支付（MT）-K） +或（K）- MT）+4.2交易对手风险下的静态复制在本节中，我们考虑了一个金融市场模型，其中风险资产受制于交易对手风险：风险资产的动态受到可能违约的交易对手的影响。然而，该股票仍然存在，在交易对手违约后可以交易。表4:swaption（16）的算法3.1复制（括号外的数字是算法3.1复制的值，括号内的数字是蒙特卡罗模拟的值。计算结果为每波动率点平方100美元的名义风险敞口。）Tσ20%30%60%0.253.2796（3.2791）8.1353（8.1469）34.7138（34.6813）0.53.2998（3.3019）8.0960（8.0907）34.3438（34.3599）13.3389（3.3457）8.0180（8.0034）33.6168（33.5928）让W=（Wt）T∈[0，T]是有限视界上的布朗运动T<∞ 概率空间(Ohm, G、 P）并用F=（Ft）t表示∈[0，T]W的自然过滤。设τ，一个非负且有限的随机变量(Ohm, G、 P），表示违约时间τ之前的违约时间，过滤报告表示投资者可获取的信息。当违约发生时，投资者将此新信息τ添加到参考过滤F中。将风险资产价格Stin写入以下表格ST=SFtt<τ+Sdt（τ）1t≥τ, 0 ≤ T≤ T、 其中，SFT是F-适应的，Sdt（θ）是θ-可测的和F-适应的。然后，我们假设资产价格在物理度量下遵循以下动态：dSFt=SFtuFdt+σFdWt, 0≤ t<τ，（19）dSdt（τ）=Sdt（τ）udt（τ）dt+σdt（τ）dWt, τ<t≤ T、 （20）Sdτ（τ）=SFτ-(1 - γFτ）。

（21）为了简单起见，这里我们假设在uF=u，σF=σ，udt（τ）=u，σdt（τ）=σ，γFτ=γ时，其中u，σ，u，σ是非负常数，dγ（γ≤ 1） 满足固定分布。此外，γ、τ、wt是独立的，τ是参数为λ的指数变量。关于模型的更多一般设置，读者可以参考Jiao和Pham（2011）。假设r是无风险利率。利用Girsan-ov定理改变测度，在等价鞅measuredSFt=SFt（（r+λm）dt+σdWt）下，将资产价格扰动物理测度的动力学（19）-（21）转化为以下形式：≤ t<τ，（22）dSdt（τ）=Sdt（τ）（rdt+σdWt），τ<t≤ T、 （23）Sdτ（τ）=SFτ-(1 - γ） ，其中m=E（γ）。从（22）-（24）中，我们可以看到，如果γ=0，那么在时间τ时，资产价格不存在跳跃，这是一个简单的机制模型。在实践中，我们可以假设γ是一个离散变量，以简化计算，例如，我们可以假设γ在i=1,2,3时取值γi，其中0<γ≤ 1（损耗）、γ=0（无变化）和γ<0（增益）。随机变量S=Sti的分布函数由F（S）=e给出-λTΦln（S/S）- a（T）b（T）（25）+Xi=1piZTλe-λtΦb（t）自然对数SS（1）- γi）- a（t）式中a（t）=（r+λm- σ/2）t+（r）- σ/2）（T- t） ，b（t）=pσt+σ（t）- t） Φ是标准正态变量的累积分布函数。附录C给出了公式（25）的证明。将公式（25）中的分布函数F与公式（Z）结合起来∞（S）- K） +dΦB自然对数联合国安全理事会- A.= CeA+BΦ（x+B）- KΦ（x），其中A是常数，B，C，K是正常数，dx=BA.- 自然对数KC, 我们可以轻松计算时间为0的看涨期权的价值，并考虑交易对手风险-rTE（S）- （K）+（26）=Se-(1-m） λTΦed+b（T）- 柯-（r+λ）TΦ预计起飞时间+ E-rTXi=1piZTλe-λthS（1）- γi）ea（t）+b（t）/2Φ电子数据交换（t）+b（t）-KΦ电子数据交换（t）idt，式中=b（T）a（T）- 自然对数KS安第迪（t）=b（t）a（t）- 自然对数KS（1）-γi）对于i=1，2，3。

看跌期权的价值可以通过看跌期权平价关系来计算-rTE（K）- （S）+- E-rTE（S）- （K）+（27）=Ke-rT- 硒-(1-m） λT- λSe-rTZTea（t）+b（t）/2-λtdtXi=1pi（1- γi）。现在，我们可以使用算法3.1复制方差互换，其中支付函数f在（13）中，资产价格S在（25）中具有分布函数f。在表5中，我们列出了不同跳转大小和概率的复制值和真实值。使用的数据为S=100、T=1、r=5%、σ=40%、σ=20%、λ=0.5，其他数据见表5。因为f很简单，我们有一个封闭的估值公式，可以用来比较算法的准确性。我们选择X=5，Xn=400，n=80。很明显，静态应用值与真实值非常接近。表5：交易对手风险下非线性支付静态复制的数值结果（计算结果显示为每波动点平方100美元的名义风险敞口。）γpppreapplication值真值0。5 0 -0.2 0.3 0.5 0.2 17.6584 17.63160.9 0 -0.2 1 0 0 118.0538 118.02150.9 0 -0.20.9 0 0.1 107.6932 107.65475结论本文提出了一种优化逼近非线性支付的鲁棒算法，并推导了严格的收敛理论。我们定义了一个选择打击价格的等分布方程，并构造了一个简单、快速、准确的迭代算法来实现。此外，我们还进行了一些数值测试，包括在市场上交易的期权的静态二次复制示例，以及带有交易对手风险的资产价格模型。本文的结果推广和改进了文献中静态复制和近似的结果。参考Breeden，D.T.和Litzenberger，R.H.1978。期权价格中隐含的国家未定权益价格。《商业杂志》，51621-651。布罗迪，M.和詹，A.2008。

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（28）泰勒定理给出bfi（0）=bfi（ξ）- ξbf′i（ξ）-Zξtbf′i（t）dt，（29）bfi（1）=bfi（ξ）+（1）- ξ） bf′i（ξ）+Zξ（1）- t） bf′i（t）dt。（30）使用（28）、（29）和d（30），我们得到了bfi（ξ）-bLi（ξ）=-ξZξ（1）- t） bf′i（t）dt- (1 - ξ） Zξtbf′i（t）dt。因此，使用（a+b）≤ 2（a+b）和Cauchy-Schwartz不等式，我们定义了thatZ[bfi（ξ）-bLi（ξ）]bg（ξ）dξ（31）≤ 2ZξZξ（1）- t） bf′i（t）dt+ (1 - ξ)Zξtbf′i（t）dt!bgi（ξ）dξ≤ 2Zξ(1 - ξ） Zξ（bf′i（t））dt+（1- ξ） ξZξ（bf′i（t））dtbgi（ξ）dξ=2ZbG（t）（bf′\'i（t））dt，其中bg（t）≡Ztbgi（ξ）ξ（1）- ξ） dξ+Ztbgi（ξ）（1）- ξ） ξdξ。（32）我们现在可以估计加权平方误差zxi+1Xi[Li（S）- f（S）]g（S）dS=hiZ[bfi（ξ）-bLi（ξ）]bg（ξ）dξ≤ 2hiZbG（ξ）df（Xi+hiξ）dξdξ=2hiZXi+1XiG（S）f′（S）dS，（33）其中g（S）≡bGs- 喜喜, 对于S∈ [Xi，Xi+1]。B定理的证明3.1根据Hu an g（2005）使用不同度量的思想，我们证明了这个定理。首先我们要证明这一点-1j=0hjρjis有界。它源自Jensen的不等式和αhthatn的定义（5）-1Xj=0hjρj=n-1Xj=0hj1+α-1hhjZXj+1XjG（S）（f′S））dS！！γ/2≤N-1Xj=0hj1 + α-γ/2hhjZXj+1XjG（S）（f′（S））dS！γ/2= 2（Xn- 十） 。（34）根据定理2.1中的误差界，αh的定义（5）和ρi的定义（4），我们推导出了ThatvUtn-1Xi=0ZXi+1Xi[Li（S）- f（S）]g（S）dS≤武顿-1Xi=0hiαh+hiZXi+1XiG（S）（f′（S））dS=VuT2αhn-1Xi=0hiρ2/γi.（35）现在取γ=2/5。然后将（34）和（35）结合起来，利用（6）的定义，我们得出了ThatvUtn-1Xi=0ZXi+1Xi[Li（S）- f（S）]g（S）dS≤VuT2αhn-1Xi=0hiρi（hiρi）=vUt2αhn-1Xi=0hiρiPn-1j=0hjρjn！≤qαh（Xn）- 十） n-2.≤ Cn-2.这里我们在最后一个不等式中使用了αhis有界的事实（见Huang（2005））。C公式（25）的证明（22）-（24）的解由ft=Se（r+λm）给出-σ/2）t+σWt，0≤ t<τ，（36）Sdt（τ）=Sdτ（τ）e（r）-σ/2）（t-τ） +σ（Wt）-Wτ），τ<t≤ T、 （37）Sdτ（τ）=SFτ-(1 - γ). （38）我们现在计算ST.F（S）=P（ST）的分布≤ S） =E[1≤S] =E[1≤Sτ≥T] +E[1≤Sτ<T]≡ A+B。

（39）A和B可计算如下：A=EE[1≤Sτ≥Tτ]=Z∞Tλe-λtE[1ft≤sτ=t]dt=Z∞Tλe-λtP（SFT）≤ S） dt=e-λTΦln（S/S）- （r+λm）- σ/2）Tσ√T（40）和B=EE[1≤Sτ<Tτ]=ZTλe-λtE[1SdT（τ）≤sτ=t]dt=ZTλe-λtEhP（SdT（t）≤ sγ） idt=ZTλe-λtEΦb（t）自然对数SS（1）- γ)- a（t）dt=Xi=1piZTλe-λtΦb（t）自然对数SS（1）- γi）- a（t）dt，（41）式中a（t）≡ （r+λm）- σ/2）t+（r）- σ/2）（T- t） b（t）=pσt+σ（t）- t） 。我们用（36）-（38）来计算P（SdT（t）≤ sγ).