静态复制的鲁棒算法及收敛性分析

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英文标题：
《A robust algorithm and convergence analysis for static replications of
  nonlinear payoffs》
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作者：
Jingtang Ma, Dongya Deng, Harry Zheng
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this paper we propose a new robust algorithm to find the optimal static replicating portfolios for general nonlinear payoff functions and give the estimate of the rate of convergence that is absent in the literature. We choose the static replication by minimizing the error bound between the nonlinear payoff function and the linear spline approximation and derive the equidistribution equation for selecting the optimal strike prices. The numerical tests for variance swaps and swaptions and also for the static quadratic replication and the model with counterparty risk show that the proposed algorithm is simple, fast and accurate. The paper has generalized and improved the results of the static replication and approximation in the literature.
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中文摘要：
在本文中，我们提出了一种新的鲁棒算法来寻找一般非线性支付函数的最优静态复制投资组合，并给出了文献中没有的收敛速度估计。我们通过最小化非线性支付函数和线性样条逼近之间的误差界来选择静态复制，并推导了选择最优执行价格的等分布方程。对方差交换和交换期权以及静态二次复制和具有交易对手风险的模型的数值测试表明，该算法简单、快速、准确。本文推广和改进了文献中静态复制和近似的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> A_robust_algorithm_and_convergence_analysis_for_static_replications_of_nonlinear.pdf (203.74 KB)

2022-5-6 08:25:42 上传

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关键词：Quantitative counterparty replications distribution Applications

非线性支付系统静态复制的鲁棒算法及收敛性分析*, 本文提出了一种新的鲁棒算法，用于寻找一般非线性支付函数的最优静态复制投资组合，并给出了文献中给出的收敛速度估计。我们通过最小化非线性Payoff函数和线性样条逼近之间的误差界来选择静态复制，并导出选择最优执行价格的等分布方程。对方差交换和交换期权以及静态二次复制和具有反方风险的模型的数值试验表明，该算法简单、快速、准确。本文推广和改进了文献中静态复制和近似的结果。杰尔分类。C、 C6，C63，G，G1，G12关键字。非线性支付、静态复制、均衡分布方程、收敛速度、交易对手风险。1简介众所周知，对衍生产品进行套期保值通常比对衍生产品进行定价困难得多，因为套期保值需要确定可行的交易策略，而定价只涉及对预期收益的计算，这可以通过数值积分或模拟找到。如果市场是完整的，则可以借助鞅表示定理使用动态复制进行套期保值，然而，由于市场实际上是不完整的，所以通常很难实现动态复制。静态复制是一种可行的替代方案。使用期权组合来复制复杂的帕约效应的想法可以追溯到罗斯（1976）和布里登·伊森伯格（1978）。如果可以获得从零到整数的期权，那么到期时的任何支付功能都可以通过静态对冲完全复制。

在无套利的假设下，被复制衍生品的价格就是复制期权的总溢价。与可能会产生高交易成本的动态复制相比，静态复制具有许多优势，如Derman等人（1995年）、Carr等人（1998年）、Demeter Fi等人（1999年）。静态复制与欧洲通话组合*西南财经大学经济数学学院，中国成都，611130（电子邮件：mjt@swufe.edu.cn).该项工作得到了大学新世纪优秀人才计划（批准号NCET-12-0922）的支持。+西南财经大学金融学院，中国成都，611130（电子邮件：112020204015@2012.swufe.edu.cn)——英国伦敦皇家学院数学系SW7 2BZ。（电子邮件：h。zheng@imperial.ac.uk).通讯作者。puts易于实施，且不会产生运行成本。Carr和Wu（2013）讨论并比较了当标的资产价格暴露于随机大小跳跃的可能性时，静态套期保值与增量套期保值，并得出静态套期保值强于增量套期保值的结论。要找到静态复制，首先需要很好地逼近Payo ff函数。线性样条插值法是一种简单而有效的方法。使用线性样本的关键好处是，产生的静态复制投资组合由简单的欧洲看涨期权、看跌期权和数字期权组成，无论支付函数有多复杂，这些期权的权重都可以轻松计算。理论上，如果网格点的数量足够大，且相邻网格点的最大距离足够小，则近似误差可以任意小。

在实践中，必须在精度和成本之间取得平衡，这意味着如果网格点的数量固定，则需要仔细选择网格点，以将误差降至最低。Demeter Fi等人（1999年）使用等间距行使价格的欧洲看涨期权和看跌期权来复制对数支付，由于使用等间距行使价格，这不是最优的。Broadie和Jain（2008）提出了一种s模拟方法，以获得无定向复制的最佳近似，该方法将近似误差降至最低，但计算成本较高。Liu（2010）讨论了三种非线性payoff的最佳近似。前两种方法是最小化payoff cure和和弦所包含的预期面积（简单平均和加权平均），隐含地假设支付函数是凸的（或凹的），不能应用于一般支付。第三是最小化支付和复制投资组合的预期平方差之和，这在求解复杂非线性支付的优化方程时计算成本很高。上述论文没有讨论近似的收敛理论。在本文中，受de Boor（1973）的思想启发，我们提出了一种新的鲁棒算法来寻找一般非线性支付的最佳逼近，并为该算法提供了收敛理论。我们首先给出了非线性支付函数和线性样条逼近之间误差界的估计。然后，我们通过最小化错误界限而不是错误本身来选择静态复制的执行价格。这样做的原因是，我们可以得到一个易于处理的公平分布方程，用于选择最优执行价格，如果要直接将误差最小化，这将很困难。

如果价格从零到整数不等的选项都可用，那么这种静态复制方法就非常有效。在实践中，我们使用在市场上交易的具有给定执行价格的期权，在执行价格上我们可能没有选择。在这种情况下，我们使用静态量化套期保值来确定期权的最佳权重。robustalgorithm在计算某些修正支付函数的最优权重时同样有用。本文的主要贡献在于，针对一般非线性支付函数，提出了一种稳健（简单、快速、准确）的迭代算法来寻找最优静态复制投资组合，并证明了收敛理论。本文的研究结果改进并推广了刘（2010）和其他文献中的研究结果。论文的结构如下。在第二节中，我们讨论了用线性样条曲线和一组调用和放置来逼近非线性Payo ff函数，并估计误差bou nd（定理2.1）。在第3节中，我们提出了一种稳健的迭代算法，以确定静态复制中的最优罢工率，并给出了收敛速度的估计（定理3.1）。当市场上交易的看涨期权和看跌期权数量固定且确定时，我们还应用二次套期保值来确定静态复制投资组合的最佳权重。在第4节中，我们进行了一些数值测试，并将结果与不同支付和资产价格分布（包括交易对手风险）的分析公式或模拟结果进行了比较。在第5节中，我们得出结论。

在这种情况下，Demeter Fi等人（1999）的以下公式可用于静态复制：f（S）≈ Lk（Xk）+k-1Xi=1（bi）- 毕-1） （十一）- （S）+- bk-1（Xk- S） ++bk（S）- Xk）++n-1Xi=k+1（bi）- 毕-1） （S）- Xi）+。（3） 刘（2010）选择了执行价X，X，x确保Payoff曲线和弦线包围的总面积n-1Xi=0ZXi+1Xi[Li（S）- f（S）]dss被最小化。Liu（2010）还发现，如果加权总面积-1Xi=0ZXi+1Xi[Li（S）- f（S）]g（S）dS，其中g是S的密度函数（以标的资产当日价格为条件）。很明显，f需要是凸的，以确保所有被积函数都是非负的。对于一般的支付函数f，我们用加权平方误差来测量误差≡武顿-1Xi=0ZXi+1Xi[Li（S）- f（S）]g（S）dS。线性样条逼近（1）的误差界由以下定理给出。定理2.1假设f在[X，Xn]上是连续的，在（Xi，Xi+1），i=0，1，…，上是两次连续可微的，N- 1，具有有限的二阶左右方向导数atXi，i=0，1，n、 然后，非线性Payoff函数f的线性样条逼近（1）的误差以Vuutn为界-1Xi=0ZXi+1Xi[Li（S）- f（S）]g（S）dS≤武顿-1Xi=0hiZXi+1XiG（S）（f′（S））dS，其中g（S）=bGs- 喜喜,bG（t）≡Ztbgi（ξ）ξ（1）- ξ） dξ+Ztbgi（ξ）（1）- ξ） ξdξ，bgi（ξ）≡ g（Xi+hiξ）。证明见附录A.3稳健算法和收敛性分析在本节中，我们提出了两种算法，用于欧洲看涨期权和看跌期权的非线性支付函数的静态复制。第一种算法是，当期权的行使价格从零到单位都可用时，选择最优的行使价格。第二种算法是在只有有限的执行价格可用时，找到期权的最佳权重。我们将确定执行价格（Xi，i=1，…）的值。

N-1（边界值X和X固定。）这样，定理2.1中的误差界最小，这可以通过等分布方程实现。继Huang（2005）之后，我们定义了适应功能ρi和强度参数αhbyρi≡1+αhhiZXi+1XiG（S）（f′（S））dSγ/2，（4）αh≡“Xn- Xn-1Xi=0hihiZXi+1XiG（S）（f′（S））dSγ/2#2/γ，（5）Huang（2005）研究了等分布方程。该方法简单直观，例如，等分布待逼近函数曲线的长度会导致节点聚集到函数具有较大梯度的区域，从而使逼近更精确。事实上，Liu（2010）的最小期望面积算法基于近似误差的均匀分布（他的论文中没有证明这一事实）。我们的鲁棒算法是通过在近似误差上界上均匀分布来设计的，近似误差的显式形式如定理2.1所示。对于一些数字γ∈ （0，2）.选择履约价格X，…，Xn的等分布方程-1定义为Hiρi=Pn-1j=0hjρjn，i=0，N- 1.（6）等式（6）可以同样地写成-1Xl=0hlρl=小酒馆-xj=1j，ρ，n、 （7）定义分段常数函数ρX（X）=ρi，当X∈ [Xi，Xi+1]，i=0，N- 1.然后方程（7）可以重写为zxixρX（X）dx=inZXnXρX（X）dx。（8） 注：等式（8）无法精确求解。我们提出以下鲁棒算法来求解等分布方程。算法3.1设置初始值X（0）i=X+iXn- Xn，i=0，1，n、 然后，k=0，1，…，的（k+1）阶数值。，由以下公式计算得出：X（k+1）iX（k+1）ρX（k）（X）dx=inZX（k）nX（k）ρX（k）（X）dx，（9），其中X（k+1）≡ 十、 X（k+1）n≡ XnandρX（k）（X）是分段常数函数，由ρX（k）（X）=ρ（k）i定义，当X∈ [X（k）i，X（k）i+1]，i=0。

N- 其中ρ（k）是表达式（4），替换为Xiby X（k）i。实际上，迭代方程（9）显式地确定了esX（k+1）i=X（k）j+inPn-1.l=0h（k）lρ（k）l-Pj-1.l=0h（k）lρ（k）lρ（k）j，i=1，N- 1，（10）式中h（k）l≡ X（k）l+1.- X（k）l指数j由j决定-1Xl=0h（k）lρ（k）l<小酒馆-1Xl=0h（k）lρ（k）l≤jXl=0h（k）lρ（k）l,如Huang（2005）所述，产生最小误差界的最佳值为γ=2/5。也就是说X（k）j<X（k+1）i≤ X（k）j+1。在算法3.1的实现中，我们需要找到ρ（k）j，j=0，N- 表达式（10）中的1。γ=2/5的ρ（k）j可以用一些求积规则近似计算，例如直角规则：ρ（k）j≈1+G（X（k）j+1）f′（X（k）j+1）Xn-XPn-1.l=0h（k）lG（X（k）l+1)1/5f′（X（k）l+1)2/51/5和g（X（k）l+1） =bG（1）=Zbgl(ξ)ξ(1 - ξ） dξ，bgl(ξ) ≡ g（X（k）l+ h（k）lξ).序列X（k）i，i=0，1，n、 由迭代方程（9）（或等效形式（10））生成，收敛于Xi，i=0，1，n、 由等分布方程（6）（或等效形式（7）、（8））生成，作为迭代次数k→ +∞. 由于证明属于Xu等人（2011）的数学框架，因此省略了细节。我们只需要通过选择履约价格的等分布方程（6）显示非线性支付的近似值的收敛速度。定理3.1使用线性样条逼近（1）和等分布方程（6）静态复制非线性支付的收敛速度，用于选择执行价格xi，i=0，n、 是拜武特给的-1Xi=0ZXi+1Xi[Li（S）- f（S）]g（S）dS≤ Cn-2，其中C是一个正常数，与执行价格Xi无关，i=1。

N- 1和nis复制中使用的执行价格的数量。证据见附录B。在期权市场中，只有数量有限的固定履约价格的期权被交易。假设固定的执行价格为xj，j=1，n、 以越来越多的顺序。我们在到期时形成一套认购期权，以复制非线性支付f，f（S）≈ Π ≡nXj=1wj（S）-Xj）+，其中wi，i=1，选择n以最小化近似误差V（w，…，wn）≡Z∞[f（S）- π]g（S）dS。其t阶最优性条件导致方程组sqw=u，其中Q=（qij）i，j=1，。。。，n、 w=（w，…，wn）T，u=（u，…，un）Tandqij=Z∞max{Xi，Xj}（S）-Xi）（S）- Xj）g（S）dS，i，j=1，n、 （11）ui=Z∞十一(S)-Xi）f（S）g（S）dS，i=1，n、 （12）一般来说，对于复杂的非线性支付，没有明确的UIF公式，它依赖于数值解。莱特菲(S)≡ （S）-Xi）+f（S）。Thenui=Z∞efi（S）g（S）dS=E[ef（ST）]，从中我们可以将算法3.1应用于新的非线性支付函数efix≡xi在许多情况下，齐进（11）可以显式计算。以对数正态分布为例（见第4.1节中的模型），qij可以通过以下公式计算（见Liu（2010））：qij=SΦ（d）e2r+σ）T- （Xi+Xj）SΦ（d）erT+XiXjΦ（d），其中Φ是标准正态变量的累积分布函数，d=lnS/max{Xi，Xj}+ （r+σ/2）Tσ√T、 d=d- σ√T，d=d+σ√T.4数值实现和应用4。1对数正态过程下的静态复制让我们成为风险中性度量下的对数正态变量。那么lns是一个正态变量，平均值为lns+R- σ/2T和方差σT，其中r是恒定的无风险利率，σ是恒定的波动率，T是自然性。欧式看涨期权价格可以用布莱克-斯科尔斯公式明确计算。

以下数值试验中使用的数据为S=100、r=5%、σ=20%和T=0.25。例4.1方差交换：考虑以下非线性支付f（S）=Ts- 党卫军- lnSS, （13） Liu（2010）和Demeter Fi等人（1999）对此进行了研究。这一支付为一个波动率平方点提供了1美元的风险敞口。在表1中，我们列出了不同到期日和波动率的复制值。所用数据T=0.25、0.5、1，σ=20%、30%、60%。我们实施算法3.1，为波动率σ=20选择45到140之间的18次罢工，为波动率σ=30%选择25到200之间的78次罢工，为波动率σ=60%选择15到300之间的158次罢工。计算结果显示了每波动点平方100美元的名义风险敞口。我们看到，使用公式（3）的复制值非常接近非线性支付的真实值。表1：通过算法3.1的复制（括号外的数字是算法3.1的复制值，括号内的数字是非线性支付的精确值。计算结果显示了每平方波动点100美元的名义风险敞口。）Tσ20%30%60%0.254.1122（4.0123）8.9664（8.9502）35.6283（35.6148）0.544.0729（4.0242）8.9114（8.9007）35.2220（35.2341）13.9718（4.0467）8.7864（8.8029）34.2173（34.4861）在表2中，我们测试了算法3.1的收敛率。通过增加45到200之间的总行程数，我们计算复制的总价值。我们可以看到，随着总行程n的增加，复制值收敛到给定非线性支付（13）的真值（4.0123）。此外，我们还测试了收敛率，如下所示。让TRV（n）表示使用n个点的总复制值。