Black-Scholes框架下的统计套利

参数：S=1，B=1.2，α=0.16，rf=0.04，σ=0.2，N=10000，M=252-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0.1 0.20100020003004000500060007000一年一次-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0.1 0.2010002000000060007008000两年-0.8-0.6-0.4-0.20 0.201000200000000005000600070080000五年-1.-0.5 0.5010002000300040005000600070080009000十年频率收益率-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0.1 0.2010002000030040005000600070080000二十年利润-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0 0.1 0.20100020000300005000600070080000五十年绩效图3：示例2.0 10 20 30 40 500.080.090.10.110.120.130.140.15交易利润平均值时间（年）利润0 10 20 30 40 5000.511.522.533.544.55x 10中给定交易策略的平均值、时间平均方差和损失概率的演变-3时间平均方差方差/时间（年）0 10 20 30 40 5000.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2损失概率时间（年）蒙特卡罗模拟分析公式蒙特卡罗模拟分析公式蒙特卡罗模拟分析公式其中FIG为逆高斯分布的cdf。请注意，在这种策略中，损失概率不会衰减到ze ro，这违反了统计套利的定义。接下来，我们展示了蒙特卡罗实验的结果，以验证我们在本例中的结论。蒙特卡罗实验示例2：让我们考虑示例2中描述的策略，其中α=0.16，rf=0.04，波动率σ=0.2。我们以无风险利率借款，并在时间0时做多一个单位的股票。我们设定=1，势垒等于1.2。我们模拟了每天股票价格的10000条路径，时间步长M=252（即。t=1/252）。我们执行我们的交易策略，当我们从未触及1.2美元的关口时，立即将所有资金投入货币市场账户。

因此，一旦股价达到临界点，方差变为零，我们的利润以无风险的rf增长。贴现累积利润的经验分布如图2所示，投资期限为一年、二年、五年、十年、二十年和十五年。经验分布收敛于有界方差，但损失概率并不像我们预期的那样为零。如图3所示，Mo-nte Carlo模拟结果与理论结果一致，时间平均方差按预期衰减为零。图4：关于时间1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.10.20.30.40.50.60.70.8时间逆高斯PDF（时间）的首次通过时间密度τb图5：用几何布朗运动的模拟路径演示示例3中的交易规则。如果股价达到停止边界（参数：rf=0.04，α=0.16，σ=0.2）0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.80.911.11.21.31.41.5年内的时间股价如果达到无风险增长，卖出股票的预期增长图4描绘了第一次通过时间的密度。我们观察到，随着时间的推移，首次通过时间密度迅速衰减为零，我们的交易策略终止的概率非常高，因为投资范围非常大。然而，在这个例子中，总是存在股票价格路径到达障碍太晚，无法产生正收益。在我们的下一个例子中，我们修改了交易策略，以获得收敛到零损失概率。例3:（“买入并持有直到障碍”）与前一个示例不同，在这个示例中，我们使用确定性停止边界，并说明如何获得统计套利。我们的交易策略如下：一开始，我们通过向银行借款，多头买入一个单位的股票。

如果股价下跌，立即卖出股票。该策略如图5所示，其中我们模拟了一年内10个每日股价路径，k为0.05。该策略的贴现累积交易利润可以写成sv（t）=（Sk如果τk∈ [0，t]Ste-rft- 选择（28），其中τk=min{t≥ 0:St=S（1+k）erft}。（29）如果股票价格达到B=S（1+k）erft的势垒水平，那么我们可以等价地把这个事件写成漂移击中ln（1+k）/σ的布朗运动。障碍物等级k*对于漂移为xT的布朗运动，给出k*= ln（1+k）/σ，因为ln（e）-rftSt/S）/σ=ln（1+k）/σ。在这个例子中，我们考虑了贴现股价过程，我们可以写出ext=ut+Wt（30）τk*= min{t≥ 0:Xt=k*} （31）对于k*= ln（1+k）/σ>0且u=（α）- 射频- σ/2)/σ.与前面的例子类似，我们得出结论，带漂移的布朗运动的首次通过时间是逆高斯分布的τk*~ 搞笑K*u，k*. （32）交易利润的预期值和方差：假设xu>0，我们有P（τk*< ∞) = 1，对于足够大的t，股票价格会到达决定性的障碍。然后限制→∞E[v（t）]=E[limt→∞v（t）]=Sk>0。v（t）和limt的有界性→∞v（t）=Sk表示极限→∞var（v（t））/t=0。在这种交易策略中，风险资产的持有量在足够大的情况下变为零，并且差异在时间上变为零。损失概率：设M（t）为时间间隔[0，t]内过程Xt的最大值，且最大值小于势垒k的概率*= ln（1+k）/σ用P（M（t）<k表示*).

在我们的交易策略中，损失概率P（v（t）<0）由P（v（t）<0）=P（St<Serft，τk）给出*> t） =P（St<Serft |τk）*> t） P（τk）*> t） （33）=P（（α）- 射频- σ/2）t+σWt<0 | M（t）<k*)P（M（t）<k*)≡P（Z<-(α - 射频- σ/2)√t/σ|τk*> t） ×Φ（k）*- (α - 射频- σ/2）t/σ√（t）- e2k*(α-射频-σ/2)/σΦ(-K*- (α - 射频- σ/2）t/σ√（t）,其中Z是标准正态随机变量，Φ（.）是标准的正常cdf。对于α- 射频≥ σ/2作为t→ ∞ 损失概率为零，而α- rf<σ/2我们几乎肯定会因为t而亏损→ ∞. 在0<α的情况下，损失的概率不会降至零- rf<σ/2。在0<α的情况下- rf<σ/2，作为t→ ∞ 从等式33中我们得到：→∞P（v（t）<0）=1- e2k*(α-射频-σ/2）/σ>0，（34），这意味着对于0<α-rf<σ/2在等待障碍策略下，损失概率不收敛于零。α情形下带漂移的布朗运动的有限首次通过时间- rf>σ/2，意味着总存在一个足够大的T，使得v（T）=Sk代表所有T≥ 这是什么限制→∞P（v（t）<0）=0。对于α- rf>σ/2，对于足够大的t，方差变为零。

因此，我们得出结论，在Black-Scholes框架下存在统计套利机会。接下来，我们通过蒙特卡罗实验证明了统计套利的存在。图6：从例3给出的交易策略中获得的贴现累积交易收益的经验分布的演变。-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0.101000200030004000600070080009000一年一次-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0 0.101000200030004000600070080009000100002年-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0 0.10100020003000400060007008000900000005年-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0 0.10100020003000400050006000700800090001000010年收益率（%）-0.25-0.2-0.15-0.1-0.05 0.050100002000300400050006000700800090000200年收益率（%）0.05 0.05 0.05 0.05 0.05010000300400050006000700800090001050年收益率（%）图7：平均值、时间平均方差的演变，以及示例3.0 10 20 30 40 500.0250.030.0350.040.0450.050.0550.06中给定交易策略的损失概率交易利润的平均值（%）时间（年）0 10 20 30 40 5000.511.522.53x 10-3时间平均方差时间（年）010 20 30 40 5000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1损失概率（年）概率蒙特卡罗实验例3：为了验证例3中统计套利策略的有效性和收敛性，我们给出了蒙特卡罗实验的结果。我们用日常时间步长模拟了10000条样本路径，即对于T=1、2、5、10、20、50年的不同投资水平，M=252。我们设置=1，k=0.05，α=0.16，rf=0.04，σ=0.2。如图5所示，每当一个模拟的股票价格路径达到S（1+k）erft的决定论障碍时，我们就把股票出售，然后全部投资到货币市场账户。

对于足够大的t，贴现累积交易利润的平均值在E（v（t））=k时变成一个点质量，如图6中的n所示。在图7中，我们验证了对于足够大的t，预期贴现收益会共同收敛于tok，而时间平均方差和损失概率都会衰减为零。因此，蒙特卡罗结果与我们的理论结果一致，表明Black-Scholes框架下存在统计套利机会。在下一个例子中，我们考虑这样一种情况，即投资者知道一个给定的股票将在低预期增长率下表现不佳。在这种情况下，也存在统计上的大比特率机会。示例：4（“短到障碍”）如果α<rf，那么我们可以使用与示例3类似的策略，但这次我们缩短了图8：从示例4给出的交易策略中获得的贴现累积交易收益的经验分布的演变。-1.5-1.-0.50.502000400060008000001200014000100018000一年一次-2.-1.5-1.-0.50.500.20.40.60.811.21.41.61.82x 1042年-4.-3.-2.-10100.20.40.60.811.21.41.61.82x 1045年-4.-3.-2.-1 0 100.20.40.60.811.21.41.61.82x 104十年有效频率-8.-6.-4.-200.20.40.60.811.21.41.61.82x 10420年业绩-3.-2.5-2.-1.5-1.-0.5 0 0.5 100.20.40.60.811.21.41.61.82x 10450年期0时的收益率，按无风险利率rf投资于货币市场。

每当股价达到基准点S（1+k）时，我们就会关闭短期仓位-请原谅。在这种交易策略中，如果τk，则我们策略中的贴现累积交易利润可以写为v（t）=（Sk/（k+1）∈ [0，t]S- Ste-rftelse，（35），其中τk=min{t≥ 0:St=S（1+k）-1erft}，障碍物水平为B=S（1+k）-请原谅。这相当于带漂移τ的布朗运动的击中时间-K*= 最小（t）≥ 0 : -Xt=-K*),k在哪里*= ln（1+k）/σ。设u=σ/2-(α-rf）σ到obta in-Xt=-ut- Wt=-ut+Wt=（α- 射频- σ/2）/σ+Wt。因此，之前的结果可以应用于α- rf<σ/2。因此，我们的交易策略“短到壁垒”满足统计套利条件，因为我们有P（τ-K*< ∞) = 1.或者，在不考虑止损边界的情况下，你可以继续做空股票，将收益投资于货币市场账户。由于贴现股票价格如命题2所示为零，方差也衰减为零，而limt→∞E[v（t）]=S.蒙特卡罗实验例4：我们考虑例4中引入的卖空策略，其参数集如下：α=0.01，rf=0.05，σ=0.2，N=10000，M=252，k=0.05。

我们模拟股票价格路径，当股票价格达到S（1+k）的障碍水平时-1请关闭短位置。在图8中，交易利润柱状图的时间演变表明，交易利润的分布在极限交易利润处收敛到一个点质量[1]- 1/（1+k）]=Sk/（1+k）=0.0496作为t→ ∞.由于空头头寸需要在相对较短的时间内平仓，投资者可以随时平仓t时间增量，并立即重新打开一个新的空头头寸，这不会影响您的交易成本。图9：平均值、时间平均方差、，示例4.0 10 20 30 40 500.0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05交易利润平均值时间（年）利润10 20 30 50 000.0020.0040.0060.0080.010.0120.014时间平均方差/时间（年）0 10 20 30 5000.020.040.060.080.10.120.140.16损失概率时间（年）图9清楚地表明贴现交易利润的预期值正在收敛到Sk/（1+k），而损失概率正在衰减到零。根据统计套利定义的要求，时间平均方差为零。在下一节中，我们将介绍Black-Scholes模型中保证统计比特率存在的条件。3.统计套利的存在在本节中，我们给出了在Black-Scholes框架下保证统计套利地质机会存在的条件。在下一个定理中，我们给出了股票价格过程几乎肯定会在有限时间内遇到障碍的情况。定理4假设股票价格遵循由t=Sexp给出的几何布朗运动(α - σ/2）t+σWt, σ > 0.

（36）我们定义了一个确定的停止边界B=S（1+k）erft，其中α，rf，k>0是常数，第一次通过时间表示为τB=min（t）≥ 0:St=B）。（37）那么股票价格过程的第一个经过时间几乎肯定是确定的，即P（τB<∞) = 1对于α- rf>σ。证据让我们定义一个带漂移的布朗运动过程，如下所示：Xt=ln（e-rftSt/S）σ=（α- 射频- σ/2）σ|{z}ut+Wt.（38）注意St=B=S（1+k）erftif且仅当Xt=ln（1+k）/σ时。让k*= ln（1+k）/σ>0且停止时间τk*= 最小（t）≥ 0:Xt=k*).因此，P（τB<∞) = 1当且仅当P（τk）*< ∞) = 1.按照[14]中给出的类似过程（见第120页），我们引入了一个指数鞅过程sz（t）givenbyZ（t）=exp（θX（t）- （θu+θ）t），（39），其中Z（0）=1，θ是任意非负常数。因为任何停止鞅都是鞅，所以我们有经验θX（t）∧ τk*) - （θu+θ）（t）∧ τk*)= 1.（40）图10：在0的情况下，买入并持有（多头）直至障碍交易策略的平均值、时间平均方差和损失概率f的演变≤ α -射频≤σ. 给出的参数为α=0.05，rf=0.04，k=0.05，σ=0.2，N=10000，M=252.01050-4.-2024681012x10-3平均利润时间（年）利润0 10 20 30 40 5000.0020.0040.0060.0080.010.012时间平均方差/时间（年）0 10 20 30 40 5000.050.10.150.20.25损失概率时间（年）蒙特卡罗模拟限制概率。如果τk*= ∞ 术语exp(-（θu+θ）（t）∧ τk*)) 去ze ro，当τk*< ∞, 我们有经验(-（θu+θ）（t）∧ τk*)) = 经验(-（θu+θ）τk*) 对于足够大的t，另一项exp（θX（t∧ τk*)) 总是以exp（θk）为界*) 如果τk*= ∞. I fτk*< ∞,这个项等于exp（θW（t∧τk*)) = exp（θk）*).

两个独立项的乘积可以由imt来接受→∞经验θX（t）∧ τk*) - （θu+θ）（t）∧ τk*)= 1{τk* <∞}经验θk*- （θu+θ）τk*, （41）其中1{τk* <∞}=（1）如果τk*< ∞如果τk为0*= ∞.取方程40中的极限，并将极限与期望互换，作为支配收敛定理的结果，我们得到：{τk* <∞}exp（θk）*- （θu+θ/2）τk*)= 1（42）E[1{τk* <∞}E-（θu+θ/2）τk*] = E-θk*,这适用于（θu+θ/2）>0和θ>0。对于u>0的情况（即α- rf>σ/2），我们可以取方程42中θ两边的极限↓ 产生P（τk）的0*< ∞) = 1.然而，对于u<0和u>- θ/2，θ只能收敛到正常数θ↓ -2u，我们得到[1{τk* <∞}] = e2uk*< 1，对于u<0（43），因此P（τk*< ∞) < 1.情况的蒙特卡罗实验：0<α- rf<σ/2我们证明，对于0<α，我们没有获得统计套利- rf<σ/2，通过买入并持有（多头）直至障碍策略。考虑由α=0.05，rf=0.04，k=0.05，σ=0.2，N=100 00，M=252给出的参数。在图E10中，我们绘制了所考虑交易策略的平均值、时间平均方差和损失概率的时间演化图。我们观察到，从等式33中给出的分析公式中获得的损失概率与蒙特卡罗估计值非常接近。我们还绘制了当T→ ∞, 如等式34中的分析公式所示。在这个例子中，统计套利并不是简单地得到的，因为对于长距离障碍策略，只有当我们有α时，损失的概率才衰减为零-rf>σ/2a如等式33所示。