Black-Scholes框架下的统计套利

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英文标题：
《Statistical Arbitrage in the Black-Scholes Framework》
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作者：
Ahmet Goncu
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this study we prove the existence of statistical arbitrage opportunities in the Black-Scholes framework by considering trading strategies that consists of borrowing from the risk free rate and taking a long position in the stock until it hits a deterministic barrier level. We derive analytical formulas for the expected value, variance, and probability of loss for the discounted cumulative trading profits. No-statistical arbitrage condition is derived for the Black-Scholes framework, which imposes a constraint on the Sharpe ratio of the stock. Furthermore, we verify our theoretical results via extensive Monte Carlo simulations.
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中文摘要：
在这项研究中，我们通过考虑从无风险利率借款并在股票中持有多头头寸直到达到确定的障碍水平的交易策略，证明了Black-Scholes框架下统计套利机会的存在。我们推导了贴现累积交易利润的预期值、方差和损失概率的分析公式。Black-Scholes框架没有推导出统计套利条件，该框架对股票的夏普比率施加了约束。此外，我们通过大量的蒙特卡罗模拟验证了我们的理论结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Statistical_Arbitrage_in_the_Black-Scholes_Framework.pdf (272.25 KB)

2022-5-6 08:31:47 上传

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关键词：SCHOLES choles Holes Black lack

布莱克-斯科尔斯框架下的统计套利*西安交通利物浦大学数学系，苏州，215123。联系人：土耳其伊斯坦布尔博加齐奇大学经济和计量经济学中心。艾哈迈特。Goncu@xjtlu.edu.cnAugust2018年12月21日摘要在这项研究中，我们通过考虑从无风险利率借款并在股票中持有多头头寸直到达到确定的障碍水平的交易策略，证明了Black-Scholes框架中存在统计套利机会。我们推导了折扣累积交易利润的预期值、方差和损失概率的分析公式。统计套利条件是在Black-Scholes框架下推导的，该框架对股票的夏普比率施加了约束。此外，我们通过大量的蒙特卡罗模拟验证了我们的理论结果。统计套利，Black Scho-les模式l，几何布朗运动，Montecarlo模拟。JEL代码：G121简介投资界认为，统计套利是根据证券的预期未来交易价值与现货价格之间的关系，对任何证券进行的错误定价。统计套利策略最初是从所谓的“配对交易”演变而来的，这种交易利用了基于各种标准确定的一对股票表现的均值反转。其中[7]、[10]、[6]、[8]和[1]研究了配对交易和统计套利策略的表现。[2]给出了Ornstein-Uhlenbeck过程的最优统计套利交易。[11]、[12]、[13]和[4]的研究给出了统计套利策略的数学定义。[4] 假设衍生品市场的存在，然而，在本研究中我们没有这样的假设。

[11]、[12]和[13]利用统计套利的定义，并对统计套利的动态行为进行了一些额外的总结，得出了统计套利存在的假设检验。假设检验用于检验统计套利的存在和市场的有效性，从而避免了[9]中所述的联合假设问题。在[11]的研究中，以各种例子给出了统计套利的数学定义。根据[11]的定义，考虑[3]模型，股票价格遵循几何布朗运动过程，我们给出了统计套利策略的示例，并证明了统计套利机会的存在。如果投资者有更好的信息（与市场相比）来识别预期增长率高（或低）的股票，那么市场中就存在统计套利机会*通讯作者。电子邮件：艾哈迈特。Goncu@xjtlu.edu.cnBlack-股票价格动力学的斯科尔斯框架。本文提出了Black-Scholes模型中产生静态套利的交易策略，并推导出了非统计套利条件。推导出的无统计套利条件对股票的夏普比施加了约束。如果投资者知道或相信他知道满足统计套利条件的股票，那么这就足以设计统计套利交易策略。本文组织如下。在下一节中，我们将介绍统计套利的定义，并提供统计套利策略的示例。在第3节中，我们证明了Black-Scholes框架下统计比特率的存在性，并证明了非统计比特率条件。在第4节中，我们介绍了统计套利策略的一些其他性质。

我们在第5.2节统计Arb ITRAGE中得出结论，给出了贴现累积交易利润的随机过程，表示为{v（t）：t≥ 0}定义在概率空间上(Ohm, F、 P）统计套利定义如下（见[11]）。定义1统计套利是一种零初始成本、自我融资的交易策略{v（t）：t≥ 0}的累计贴现值v（t）为1。v（0）=02。极限→∞E[v（t）]>0,3。极限→∞P（v（t）<0）=0，和4。极限→∞如果P（v（t）<0）>0，则var（v（t））t=0，t<∞.[11] 声明第四个条件仅适用于总存在赔钱正概率的情况。否则，如果损失概率在有限时间T内为零，即P（v（T）<0）=0表示所有T≥ 这意味着标准套利机会的存在。一个标准的套利机会是一个特殊的统计仲裁者年龄的情况。事实上，对于标准套利策略V（自我融资），存在一个有限时间T，使得P（V（T）>0）>0和P（V（T）≥ 0）=1表示所有t≥ 以及该项目的收益可以存入moneymarket账户，用于剩余的最后期限。这就给出了V（s）=V（T）Bs/BTfors≥ t、 该策略的贴现值由v（s）=v（t）（Bs/BT）（1/Bs）=v（t）给出，满足定义1。示例1:Black-Scholes[11]的示例（α>rf）：考虑股票价格（非股息支付）的标准Black-Scholes动力学，它根据t=Sexp（（α）演变- σ/2）t+σdWt，（1）其中wt是标准布朗运动过程，α是股票价格的增长率，r是无风险率，σ是波动率，假设为常数。在[11]之后，我们考虑α>rf。货币市场账户遵循Bt=exp（rft）。

[11] 考虑一种自我融资交易策略，包括以恒定的无风险利率购买和持有货币市场账户融资的一股股票。时间t isV（t）=St时的累积利润值- Serft=S（e（α）-σ/2）t+σWt- erft），（2），而交易利润的贴现累积值为asv（t）=Sexp（（α）- σ/2 - rf）t+σWt）- 1.. （3） 自Wt以来~ N（0，t）对于每一个t，我们得出e[v（t）]=S的结论e（α）-rf）t- 1.（4） 和极限→∞E[v（t）]=∞. ASV（我们获得方差）=eσt- 1.se2（α-rf）t→ ∞ 作为t→ ∞. （5） 因此，定义1中的条件4并不适用。Hogan等人（2004年）通过上述例子得出结论，根据定义1，Black-Scholes模式l排除了统计套利机会。该示例还用于证明定义1中存在第四个条件。在α的BlackScholes模型中，在没有第四个条件的情况下，买入和持有策略会产生统计套利机会- rf>σ/2。在下一个例子中，我们展示了第四个条件定义1可以满足不同的交易策略。但首先，作为示例1的自然结果，我们陈述以下命题。命题2：对于Black-Scholes模型中由一只股票组成的所有买入和持有交易策略，贴现累积交易利润的时间平均方差为单位，即limt→∞var（v（t））/t=∞, 对于α- 射频>-σ/2，α衰减为零- 射频≤ -σ/2.证据风险资产中的多头头寸具有现值e-rftSt。由于货币市场账户是确定的，我们交易收益的方差仅取决于风险资产St的投资。因此，方程5中给出的随机成分St的方差始终是e2（σ+α）顺序的指数项-射频）t。

然后明显地限制→∞var（v（t））/t=∞ 对于α- 射频>-σ/2并衰变为α的ze-ro- 射频≤ -σ/2.对于α-射频≤ -σ/2，我们可以通过卖空股票并在时间0时投资于货币市场账户，更新空头头寸并在货币市场账户中重新投资利润（或再融资损失），来创建统计套利。由于预期的累计折扣交易收益收敛，且时间平均方差衰减为零，因此产生了统计上的比特率。需要注意的是，要为预期增长率足够高的s股创造统计套利机会，我们需要在交易策略上设定停止或抛售条件。在没有停止边界的情况下，我们继续持有股票，根据命题2，我们不能满足方差e的时间平均必须衰减为零的条件。如果我们成功地在交易策略中引入这种抛售或停止条件，我们可以从股票价格的正预期增长中获益，但同时我们可以减少风险资产的持有（将风险资产的持有时间减少到零），并控制时均方差。接下来，我们用一个例子预发了这个想法。例2：我们为买入并持有策略引入一个终止条件，如下所示：每当股价过程达到一个恒定的障碍水平时，卖出股票并投资于货币市场账户。

通过这种方式，我们利用了布朗运动过程第一次通过时间的精确性。我们的“买入并持有直至障碍”策略中的贴现累积交易利润由V（t）=（Be）给出-rft*- S、 如果没有*≤ tSte-rft- S、 否则，（6）t*= min{t≥ 0:St=B}和B>Sis为恒定势垒水平。如果股票价格在最后一刻达到了关口水平，那么交易损失是S，而如果它在最后一刻达到了关口水平，那么我们必须-rft*- Sas是我们交易策略的贴现价值。考虑布朗运动过程，漂移为xt=ut+Wt，（7），其中Wt是标准的布朗运动，u∈ R, 注意这个过程的第一次通过时间τm=min{t≥ 0:X（t）=m}（8）对于固定的m。带漂移的布朗运动Xt在μ>0时几乎肯定会在有限时间内达到m级，即P（τm<∞) = 1.XT第一次通过时间的拉普拉斯变换等于（见[14]第120页）e[e]-rτm]=emu-M√2rf+u，适用于所有r>0的情况。（9） 在方程9中，将Xt=ln（St/S）/σ，u=（α-σ/2）/σ和m=ln（B/S）/σ。那么Xt=ut+wt的过程与asSt=Sexp（（α）的过程相同- σ/2）t+σWt），（10），因为它在Black-Scholes模型下。交易利润的预期值为正值（如果α>rf）：请注意，等式9的右侧可以等效为学士学位(u-√2rf+u）/σ。方程9中的结果得出以下公式，用于计算足够大的t的预期交易利润：E[v（t）]=B学士学位(u-√2rf+u）/σ- S（11）具有积极的预期交易利润限制→∞E[v（t）]>0，（12）对于u>0和B>S。命题3如果u>0和m>0，则示例2中给出的交易策略中预期贴现利润的限制始终为正：limt→∞E[v（t）]=边界元u-M√2rf+u- S> 0。（13） 证据。考虑由X（t）=ut+W（t）给出的随机过程，其中W（t）是标准布朗运动过程，我们有X（t）、τm和之前定义的m。

按照[14]第111页给出的类似步骤，我们首先编写鞅过程Z（t）asZ（t）=exp（σX（t）-（σu+σ/2）t），（14）这显然是一个Z（0）=1的指数鞅，利用这个事实我们得到exp（σX（t）∧ τm）- （σu+σ/2）（t∧ τm）= 1，t≥ 对于σ>0和m>0，我们知道≤ exp（σX（t）∧ τm）≤ eσm.如果τm<∞, 我们有经验(-（σu+σ/2）（t∧ τm））=exp(-（σu+σ/2）τm）足够大，而如果τm=∞, 我们有经验(-（σu+σ/2）（t∧ τm））=exp(-（σu+σ/2）t），指数项收敛到零。我们可以把这两个案子写在一起→∞经验(-（σu+σ/2）（t∧ τm））=exp(-（σu+σ/2）τm），（16）我们记得，由于等式9，第一次通过时间几乎肯定是有限的，即P（τm）<∞) = 对于足够大的t，我们有exp（σX（t∧τm）=exp（σX（τm））=exp（σm）=B/S。将两个指数项的乘积写成limt→∞exp（σX（t）∧ τm）- （σu+σ/2）（t∧ τm）=exp（σm）- （u+σ/2）τm）（17）并利用支配收敛定理交换极限和期望，得到1=E[exp（σm）- （σu+σ/2）τm）]，（18）式中u=（α）- σ/2)/σ. 这意味着(-ατm）]=e-mσ=SB。（19） 注意limt→∞v（t）=Be-rfτm- 沙限→∞E[v（t）]=E[limt→∞v（t）]=BE[e-rfτm]-S、 在哪里-rfτm]- S> BE[电子]-ατm]- 对于α>rf>0，通过等式19，S=0，从而证明了贴现累积利润方差的正性。交易利润方差：接下来，我们推导出交易利润方差的分析公式。对于效率较高的t，我们写下R（v（t））=E[v（t）]- E[v（t）]，（20）其中→∞E[v（t）]=E[limt→∞v（t）]（21）=BE[e-2rfτm]- 2BSE[e-rfτm]+S.（22）因此，累计贴现交易利润的方差极限为极限→∞var（v（t））=B学士学位(u-√4rf+u）/σ-学士学位(2u-2.√2rf+u）/σ.

（23）首次通过时间：实施交易策略的投资者也有兴趣了解首次通过时间的分布和出售股票的时机。如果满足α>σ/2和B>的条件，则方程7中漂移到水平m=log（B/S）/σ的布朗运动的首次通过时间由τm给出~ 搞笑mu，m, （24）式中，IG表示预期利润相对于障碍水平的逆高斯分布变化：图1：预期利润作为股票α和σ的函数（假设α>rf=0.05，S=1，B=1.3）0.10.150.20.250.30.350.10.150.20.250.30.350.40.450.50.060.080.10.120.140.160.180.20.220.26α预期交易利润σ看到障碍增加的影响B级关于随机贴现率和交易利润，我们采用等式9和11的偏导数。我们获得E[E]-rfτB]B=（u）-p2rf+u）σE[E-rfτB]B<0，（25），正如预期的那样，这是负的，因为势垒水平的增加意味着我们平均在较短的时间内击中势垒，并且在击中时间获得的一个do的当前值降低。然而，相对于B级屏障，读数的偏导数（对于足够大的t）为正。将方程11与B进行微分，我们得到E[v（t）]B=（σ+u）-p2rf+u）σ学士学位(u-√rf+u）/σ>0，表示α>rf。（26）上述结果表明，当barr-ier水平足够大时，预期收益随着barr-ier水平的增加而增加，而更高的势垒水平意味着我们平均需要等待更长的时间才能观察到有界的方差。换言之，虽然我们的预期收益增加，但我们在任何时间t都会受到更高水平方差的影响。为了更好地理解方程11，在图1中，我们绘制了从策略中获得的与α和σ的不同值相关的百分比收益。

我们观察到，当波动率较高时，相对于股票α的增加，股价的收益率较高。这与我们的直觉一致，因为在低波动水平下，股票价格路径已经达到了最低点，与预期增长率没有太大偏差。同样清楚的是，对于足够大的t，P（τB<∞) = 1，那么方差对于几乎肯定在有限时间内终止的策略是有界的。再次，我们得出结论→∞var（v（t））/t=0。损失概率：损失概率的极限由IMT给出→∞P（v（t）<0）=P（τm>σm/rf）=1-图（σm/rf）（27）图2：实施统计套利策略与时间策略相关的贴现累积交易收益的蒙特卡罗模拟。