Black-Scholes框架下的统计套利

因此，定义1中的条件3显然不满足。下一个推论说明了α的对称结果- rf<σ/2。推论5定理4中得到的结果适用于对称情况，即第一对边界定义为B=S（1+k）-1erft，（在滥用旋转的情况下，我们仍然用B表示障碍物）τB=min（t≥ 0:St=B）。（44）那么，股票价格过程到B级的第一段时间几乎肯定是确定的，即P（τB<∞) = 1，对于α- rf<σ/2和P（τB<∞) < 1代表α- 射频≥ σ/2.证据考虑Xt=ln（Ste-rft/S）和Xt=-ut+Wt，其中u=rf-α+σ/2σ. 然后我们可以等效地写出Xt=-ut- 让k*= -ln（1+k）/σ<0，停止时间τk*= 最小（t）≥ 0:Xt=k*).按照[14]第110页中的类似参数，我们考虑以下指数Martingalez（t）=exp-θXt- （μθ+θ/2）t, （45）其中θ>0是任意常数。术语exp(-θXt）总是以eθk为界*. 我们得到了-（μθ+θ/2）τk*{τk* <∞}] = E-K*θ. （46）有两种情况需要考虑：（i）u>0；（ii）u<0和θ>-2u. 在第一种情况下，我们可以让θ→ 0，然后得到P（τk）*< ∞) = 1代表α- rf<σ/2。在第二种情况下，u<0和θ>-2u，我们有α- 射频≥ σ/2和θ收敛到一个正常数，因此我们有p（τk）*< ∞) < 1.定理6在Black-Scholes模型中，存在定义为1α的统计套利- rf6=σ/2。如果α- rf>σ/2，则长直到障碍策略存在统计套利，而如果α- rf<σ/2时，短期障碍策略存在统计套利。证据首先考虑情况- rf>σ。我们构建了“长期障碍”类型的交易策略，如下所示。通过在利率rf向银行借款，在时间0多头买入s股票，并持有该股票，直到其达到障碍，然后在s（1+k）erft水平卖出。然后，根据定理4，我们得到了P（τk）*< ∞) = 1.

正如我们在例3中所讨论的，为了有效地提高t，我们得到了给定asv（t）=（Sk ifτk）的贴现交易利润*∈ [0，t]，Ste-rft- 塞尔塞。（47）那么，我们有极限了→∞E[v（t）]=Sk>0，limt→∞var（v（t））/t=0，由于有效的大股票价格过程几乎肯定会达到临界水平，因此损失的概率衰减为零，即极限→∞P（v（t）<0）=0。因此，定义1是满足的。对于第二种情况，α- rf<σ/2，我们可以考虑“短到障碍”类型的交易策略。在时间0时，做空一个单位的股票并在货币市场账户中投资。正如我们在例4中分析的，如果τk，则累计贴现交易利润为asv（t）=（Sk/（k+1）*∈ [0，t]，S- Ste-瑞特尔斯。（48）同样，我们也有限制→∞E[v（t）]=Sk/（k+1）>0，limt→∞var（v（t））/t=0，由此推论，5个股票价格路径几乎肯定会在一定时间内达到障碍，即。P（τk）*< ∞) = 1.当交易利润的平均值收敛到Sk/（1+k）时，损失的可能性衰减到ze ro。因此，对于α- rf>σ/2和α- rf<σ/2，我们可以分别通过多向和短向障碍策略获得统计套利。4.关于统计套利的定义在本节中，我们通过定义1证明了统计套利策略特征iz的其他性质。在下一个命题中，我们证明，如果方差本身在时间上衰减为零，那么这意味着损失的概率衰减为零。因此，定义1的条件3是多余的。我们还证明，如果预期交易利润在时间上趋于一致，且方差收敛到常数，则这意味着条件3是满足的。假设概率空间为命题7(Ohm, A、 P）和随机过程{v（t）：t≥ 0}定义在此空间中。假设我们的交易策略{v（t）具有以下性质：≥ 0}1. v（0）=02。极限→∞E[v（t）]>0,3。

极限→∞var（v（t））=0，则条件1- 3.限制→∞P（v（t）<0）=0。证据C antelli不等式[5]是切比雪夫线性性质的单尾形式，它表明，对于具有均值u和方差σP（X）的实随机变量X- u ≥ （a）≤σσ+a，（49）其中a≥ 0.我们可以改变X的符号并考虑-带平均值的X-u哪个是ieldsP(-X+u≥ a） =P（X）≤ u - （a）≤σσ+a，（50）对于时间t的每一个fix值，我们有一个随机变量v（t），其均值和方差σt≤ ut-（a）≤σtσt+aby设置a=ut。通过上述条件2，我们总能找到足够长的时间T≥ t、 ut=E[v（t）]>0，这意味着P（v（t）<0）≤σtσt+ut.以s两侧的极限为例，我们有极限→∞P（v（t）<0）=需要0秒。在下一个命题中，我们证明了统计套利策略v（t）的第二个性质。命题8假设我们的交易策略{v（t）具有以下性质：≥ 0}1. v（0）=02。极限→∞E[v（t）]=∞,3.限制→∞var（v（t））=c，其中c是一个正常数。那么，条件1- 3.暗示限制→∞P（v（t）<0）=0。证据证明类似于第7条的证明。在任何初始时间t（t≥ t） ，让满足定义1的随机过程v（t）的组合用C表示。在下一个命题中，我们证明了C是一个凸集。命题9给出了任意两种交易策略v（t），v（t）∈ C、 它们的线性组合v*（t） =av（t）+（1）- a） v也是C.Proof。设v（t）和v（t）是满足定义1的任意两个随机过程。乐视网络电视*= av（t）+（1）- a） v（t）其中a∈ [0, 1].

（i） 既然v（0）=0和v（0）=0，那么*(0) = 0.（ii）我们有限制→∞E[v（t）]=limt→∞E[av（t）]>0和（1- a） 极限→∞E[v（t）]=limt→∞E[（1）-a） v（t）]>0，这意味着limt→∞E[av（t）+（1）- a） v（t）]=limt→∞E[v]*（t） ]>0。（iii）我们有限制→∞P（v（t）<0）=limt→∞P（av（t）<0）=0，并且类似地限制→∞P（（1）- a） v（t）<0）=0，这意味着limt→∞P（v）*（t） <0）=0。（iv）var（av（t）+（1）-a） v（t））=avar（v（t））+（1-a） var（v（t））+2a（1）-a） cov（v（t），v（t））因为cov（v，v）=ρσ和ρ∈ [0,1]，我们得到了限制→∞var（v）*（t） ）t=0如果P（v*（t） <0）>0，t<∞.由于统计套利交易策略集的凸性，我们可以在最小化方差的最优投资权重中考虑两种交易策略（即s和obta）的线性组合。更一般地说，投资组合理论的均值-方差分析可用于获得一组有效的统计套利策略，这些策略投资于满足我们推导的统计套利条件的一组股票。备注10我们可以最小化两个统计套利策略的线性组合的方差asminaaσ+（1）- a） σ+2a（1）- a） ρσ，（51）式中∈ [0,1]，σ和σ是v（t）和v（t）的标准偏差，关于。使方差最小的最优投资组合权重由^a=σ给出- ρσσσ+ σ- 2ρσσ, 1 - ^a=σ- ρσσσ+ σ- 2ρσ时间t.（52）5结论统计套利机会可以被视为有限期内的无风险盈利机会。在一个经济体中，统计交易机会的存在和此类交易机会的可容许集合与市场效率密切相关。

当交易者发现时，可以利用统计套利机会，这有助于市场走向高效。在这项研究中，我们推导了Black-Scholes模型中的无统计套利条件，由0<α给出- rf<σ/2，这意味着任何给定股票的夏普比率必须以σ/2为界。我们表明，如果市场中存在不足，那么投资者可以利用Black-Scholes框架中的统计套利机会。我们通过引入停止边界来设计交易策略，以确保统计套利的存在。我们的研究结果表明，未来的研究方向多种多样。首先，我们可以考虑Black-Scholes模型的推广，并推导出更一般模型的无统计套利条件。此外，我们的结果可以推广到股票投资组合，并且可以通过最小化统计套利投资组合的方差来设计最优的统计套利策略。6致谢我要感谢佛罗里达州立大学的吉雷·奥克滕教授对改进手稿的宝贵意见。参考文献[1]Avellaneda，M.，Lee，J.-H.（2010）美国股票市场的统计套利。定量金融，10:761-782。[2] Bertram，W.K.（2010）最优统计套利交易的解析解。物理学：统计力学及其应用，389（11）：2234-2243。[3] 布莱克，F.，斯科尔斯，M.（19 73）期权定价和公司负债。《政治经济学杂志》，81（3）：637-654。[4] Bondarenko，O.（2003）统计套利和证券价格。《金融研究回顾》，16（3）：875-919。[5] 坎泰利·F.（1910年）在里希奥大教堂的教堂里。意大利博莱托德尔协会。[6] 康明斯，M，布卡，A。

（2012）原油和炼油产品市场的定量价差交易。定量金融，12（12）：1857-1875。[7] Do，B.，Fa fff，R.（2009）简单的配对交易仍然有效吗？《金融分析师杂志》，66:83–95。[8] 艾略特，R.J。，霍克，J.V.D.，马尔科姆，W.P.（2005）巴黎交易。定量金融，5:271–276。[9] Fama，E.F.（1998）市场效率、长期回报和行为融资。《金融经济学杂志》，49:28-3-306。[10] Gatev，E.，Goetzmann，W.N.，Rouwenhorst，K.G.（2006）成对交易：相对价值套利规则的表现。金融研究回顾，19（3）：79 7–827。[11] Hogan，S.，Ja rrow，R.，Teo，M.，Warachka，M.（2004）使用统计套利测试市场效率，并应用于动量和价值战略，金融经济学杂志，73:525–565。[12] Jarrow，R.A.，Teo，M.，Tse，Y.K。，Warachka，M.（2005）统计套利和市场效率：增强的理论、稳健的测试和进一步的应用。工作论文系列，新加坡管理大学。[13] Jarrow，R.A.，Teo，M.，Tse，Y.K.，Warachka，M.（2012）统计数据比特率的改进测试。《金融市场杂志》，15（1）：47-80。[14] Shreve，S.E.（2004）金融随机演算II：连续时间模型，Springer。