套利市场中的信贷泡沫：几何套利方法

规范是两个A-适应实值半鞅（D，P）的有序对，其中D=（Dt）t≥0: [0, +∞[×Ohm → R被称为deflicator，P=（Pt，s）t，s:t×Ohm → R、 它被称为术语结构，被认为是一个关于时间t的随机过程，称为估值日期和t:={（t，s）∈ [0, +∞[| s≥ t} 。参数s≥ t指到期日。以下特性必须满足所有t的a.s.要求≥ T≥ 0：（i）Pt，s>0，（ii）Pt，t=1。备注9。负债和期限结构可以在固定收入范围之外考虑。任意金融工具被映射到具有以下经济解释的计量器（D，P）：o定义：dt是时间t时金融工具的价值，以某个数的t表示。如果我们选择现金账户，即第0项资产作为num\'eraire，那么我们可以设置Djt:=^Sjt=SjtSt（j=1，…N）。o期限结构：Pt，是指到期日为s的合成零息债券在t时的价值（以t时的贴现单位表示），在s时交付一个单位的金融工具。它代表了与所选数量有关的远期价格的期限结构。我们指出，描述资产模型的定义和期限结构没有唯一的选择。例如，如果一组偏差合格，那么我们可以将每个偏差乘以相同的正半鞅，以获得另一组合适的偏差。当然，期限结构必须相应地进行修改。“负债”一词显然受到精算数学的启发。在目前的情况下，它指的是名义资产价值除以严格正半鞅（如果存在这种情况，它可以是州价格偏差，并且它是以数字为单位的）。没有必要假设一个偏差是一个积极的过程。

然而，如果我们想为我们的num’eraire创造一项资产，那么我们必须确保相应的偏差是一个严格的正随机过程。定义10。期限结构可以写成asft定义的瞬时远期利率的函数，s:=-斯劳格角，s，Pt，s=expA-Zstdhft，h~a。（14） andrt:=lims→t+ft，s（15）被称为短期利率。备注11。由于（Pt，s）t，sis是一个依赖于参数s的t-随机过程（半鞅）≥ t、 s-导数可以确定，上述表达式在经典意义和广义意义上具有路径意义。在广义意义上，任何ω都有一个D′导数∈ Ohm; 这对应于经典的s-连续导数，如果Pt，s（ω）是s的C-函数，对于任何函数≥ 0和ω∈ Ohm.备注12。消失利率r的特殊选择≡ 0或浮动期限结构P≡ 1对于allassets，对应于经典模型，其中只有资产价格及其动态相关。让我们连续考虑一个拥有N个资产和一个数字的市场。一般的对开本是由名词x描述的∈ 十、 对于OPEN集合X 注册护士。定义8后，ass et mo De l会导致j=1，N量规（Dj，Pj）=（Djt）t∈[0,+∞[，（Pjt，s）s≥t） ，（16）式中，dj表示债务，pj表示期限结构。这可以写成asPjt，s=expA-Zstfjt，udu~a，（17）其中fjis是第j个sset的瞬时正向速率过程，相应的短期速率由rjt:=limu给出→0+fjt，u.对于没有终点x的投资组合∈ 十、 RNwe definext:=NXj=1xjDjtfxt，u:=NXj=1xjDjtPNj=1xjDjtfjt，uPxt，s:=expA-Zstfxt，udu~a。（18） 短速率writesText:=limu→0+fxt，u=NXj=1xjDjtPNj=1xjDjtrjt。（19） 所有可能的策略的映像为：{（t，x）∈ [0, +∞[×X}.（20）我们可以证明下列结果，这些结果将套利描述为曲率。定理13（无套利）。

以下断言是同等的：（i）市场模型满足了无免费午餐的风险条件。（ii）存在一个正的局部鞅β=（βt）t≥0使得所有时间和所有投资组合名义（t，x）的isfy的贴现率和短期利率均为s∈ M条件rxt=-D对数（βtDxt）。（21）（iii）存在一个正的局部鞅β=（βt）t≥0使所有时间和所有投资组合名义（t，x）的定义和期限结构都令人满意∈ M条件pxt，s=Et[βsDxs]βtDxt。（22）这激发了以下定义。定义14。市场模型满足零曲率条件（ZC），当且仅当曲率为零，如[FaTa20]中所证明，套利的两个较弱概念，零曲率和无无界有界ris k是等价的。再加上[DeSc94]和[KA97]中的众所周知的结果，这就导致了厄勒姆15。（NFLVR）<=>（NUPBR）=> （ZC）（NA）（23）作为一个示例，我们将考虑一个资产模型，其动力学由多维It^o过程给出，以演示如何应用第2节中最重要的几何概念。让我们考虑一个由N+1资产组成的市场，这些资产的标签为j=0，1，N、 其中，第0项资产是用作数字的现金账户。因此，如介绍性小节2所述。1.有必要对其他资产的价格动态j=1，N表示为0-thasset。

作为折扣价格过程^S的向量值半鞅[0+∞[×Ohm → r和短速率r:[0+∞[×Ohm → RN，我们选择了多维最终It^o过程，其中o（Wt）t∈[0,+∞[是RK中的标准P-布朗运动，对于某些K∈ N、 和，o（σt）t∈[0,+∞[，（αt）t∈[0,+∞[分别是RN×K-，和RN值随机过程，o（bt）t∈[0,+∞[，（at）t∈[0,+∞【分别是RN×L-，和RN-值随机过程。命题16。让市场模型的动力学通过遵循（24）中的^o过程来具体化，其中我们另外假设系数o（αt）t、（σt）t和（rt）t满足→t+Es[αt]=αt，lims→t+Es[rt]=rt，lims→t+Es[σt]=σt，（25）o（σt）是一个独立的过程，o（σt）和（Wt）是独立的过程。然后，市场模型满足（Z C）条件当且仅当αt+rt∈ 范围（σt）。（26）备注17。在经典模型中，没有术语结构（即r≡ 0），条件（26）读作αt∈ 范围（σt）。下面的结果显示了本指导示例中更强的（NFLVR）条件。18号提案。对于SDEsd^St=^St（αtdt+σtdWt）drt=atdt+btdWt（27）规定动态的市场模型，如果Novikov的条件为σt+（σtσt+）-1（αt+rt）杜a^o+∞, （28）已满。2.3套利市场中的泡沫[JPS10]首次为完整市场引入了套利泡沫，最近在[FaTa20Bis]和[FaTa21]中对套利市场进行了扩展和计算，我们在下文简要总结了其主要发现。定义19。

现金流捆绑定义为：=[0，T]×X |{z}=M×R[0+∞[（29）通过引入随机部分f=f（t，x，ω）=（fs（t，x，ω））s，可以将现金流束的部分空间变成标量积空间∈[0,+∞[g=g（t，x，ω）=（gs（t，x，ω））s∈[0,+∞[（f，g）：=ZOhmdPZXdNxZTdt-hf，gi（t，x，ω）=E^i（f，g）L（M，R[0+∞[）ó=（f，g）L(Ohm,五、 A，dP），其中hf，gi（t，x，ω）：=Z+∞dsfs（t，x，ω）gs（t，x，ω）。（30）可积截面的希尔伯特空间readsH:=L(Ohm, 五、 A，dP）=f=f（t，x，ω）=（fs（t，x，ω））s∈[0,+∞[（f，f）L(Ohm,五、 A，dP）<+∞. （31）让我们扩展坐标向量x∈ Rn由时间t给出的第0个分量。设X=PNj=0Xjxjbe是现金流束V的M和f=（fs）sa部分上的向量场。然后，VXft:=NXj=0A英尺xj+Kjft~axj，（32）其中k（x）=-rxtKj（x）=DjtDxt（1）≤ J≤ N）。（33）定义现金流束的协变导数V.定义20（谱下限）。现金流束V上的连接拉普拉斯函数的最高光谱下界由λ：=infа给出∈C∞（M，V）~n6=0BN（~n）=0(V，V k）H（k，k）H（34），并在子空间λ上假设：=φφ ∈ C∞（M，V）∩ H、 BN（~n）=0(V，V~n）H≥ λ（ν，ν）H. （35）空间kλ：={~n∈ Eλ|~n≥ 0，E[~n]=1}（36）包含Radon-Nikodyn导数P的所有候选项*对于概率度量P，dP=а，（37）*关于统计测度P是绝对连续的。理论5，即资产定价的第一个基本定理，可以重新表述为比例21。当且仅当λ=0时，市场模型满足（NFLVR）条件。由（37）定义的任何概率测量值，并加上∈ Kis是一个风险中性指标，即（Dt）t∈[0，T]是关于P的向量值鞅*, i、 e.e*t[Ds]=所有的DTS≥ [0，t]中的t。

（38）当且仅当λ=0且dim E=1时，市场是完整的。对于套利市场，λ>0，不存在风险中性概率度量。尽管如此，仍有可能确定基本价值，但不是以独特的方式。定义22（基本资产套利基本价格和泡沫）。让（Ct）t∈[0，T]与给定参数下界λ和Radon Nikodym候选子空间Kλ的市场模型的N个资产相关的RN现金流随机过程。对于给定的选择∈ 基本价值为λt的随机过程∈[0，T]是一只被定义的驴*,ηt:=Et"iAZτtdCuexpA-Zutrsds~a+SτexpA-Zτtrsds~a{τ<+∞}ò{t<τ}，（39）其中τ表示市场模型中所有风险资产的成熟时间，并且，近似的泡泡定义为asB~nt:=St- s*,§t.（40）定义了资产的基本价格向量及其资产泡沫价格*t:=S*,~ntBt:=B k tа：=arg minа∈KλE~nZTds |B|s |。（41）概率测度P*用Radon Nikodym导数*dP=~n（42）被称为最小套利度量。23号提案。资产的基本价值可以表示为关于最小套利测度asS的条件期望*t:=E*t"iZτtdCuexpA-Zutrsds~a+SτexpA-Zτtrsds~a{τ<+∞}ò{t<τ}。（43）公式（43）可以根据曲率进行重新表述，通过该公式，我们可以将JarrowProtter Shimbo在[JPS10]中的结果推广到[FaTa20Bis]中提出的以下气泡分解和分类理论。定理24（气泡分解和类型）。设T=+∞ τ表示市场模型中所有风险资产的到期时间。STA管理一个唯一的（直到P-消失集）分解St=~St+Bt，（44），其中B=（Bt）t∈[0，T]是满足所有j=1。

，NBjt=Sjt- E*t"iZτtdCjuexpA-Zutds rs~a+expAZτtds rs~aSjτ{τ<+∞}ò{t<τ}，（45）转化为基本值和泡泡值之和。如果j=1的资产价格存在一个非平凡的泡沫，N，存在一个概率测度P*等价于P，对于P，我们有三种，而且只有三种可能性：类型1：关于P和P的bjis局部超鞅或次鞅*, 如果P[τ=+∞] > 0.类型2：关于P和P的Bjtis局部超鞅或s次鞅*, 但不是一致可积的超鞅或次鞅，如果Bjtis无界但具有P[τ<+∞] = 1.类型3:Bjtis是一个严格的局部超P-或子P-和P*-鞅，如果τ是有界停止时间。接下来我们分析衍生品的情况。定义2.5（或有权益的套利基础价格和基本价值）。让我们在定义（22）的背景下考虑一个欧式期权，该欧式期权由或有权益给出，对于N个实变量的适当实值函数G，在T时刻具有唯一的支付（ST）。在基础资产支付无息asV的情况下，定义了或有索赔基本价格及其相应的套利泡沫*t（G）：=Et~nk expC-ZTtrsdsaG（ST）1{T<+∞}^ot<t}==E*涅expC-ZTtrsdsaG（ST）1{T<+∞}^ot<t}Bt（G）：=Vt（G）- 五、*t（G），（46），其中，对于（41），P中定义的基础资产而言，魟是最小值*最小套利测度与（Vt（G））t∈[0，T]是欧式期权的价格过程。如果基础资产支付股息，则定义如下：*t（G）：=Et~nk expC-ZTtrsdsaGASTexpACTST（T- t） ~a~at<+∞}^ot<t}==E*涅expC-ZTtrsdsaGASTexpACTST（T- t） ~a~at<+∞}^ot<t}Bt（H）：=Vt（G）- 五、*t（G），（47），其中cjtsjt是第j项资产的瞬时股息率。备注26。

如果市场是完整的，那么λ=0和Kλ={~n}，其中是唯一风险中性概率测度相对于统计概率测度的Radon-nykodim导数。（22）和（24）中对完整市场的定义与Jarrow、Protteran和Shimbo在[JPS10]中对基础资产和或有权益的基本价值和资产泡沫价格的定义一致，证明它们是允许套利的市场的自然延伸。推论27。定义22）中基础资产的泡沫贴现值，以及定义为“Bt:=expC”中支付股息的基础资产的或有目标的泡沫贴现值-ZtrsdsaBt“B（G）t:=expC-ZtrsdsaB（G）t（48）满足等式“Bjt=Djt”-"AE*TDjτ{τ<+∞}+ E*t^i“Cjτ{τ<+∞}ó-“Cjt"a{t<τ}”Bt（G）=“Vt（G）- E*t"iGASTexpACTST（t- t） ~a~at<+∞}ò{t<t}。（49）其中“Cjt:=expC-ZtrsdsaCjt“G:=expC-ZTrsdsaG“Vt（G）：=expC-ZtrsdsaVt（G）（50）是第j项资产的贴现现金流、贴现或有权益支付以及衍生工具的贴现价值。定理28。以下陈述适用于任何具有T的市场模型≤ +∞ 考虑到套利：（a）解决最小套利问题的市场投资组合、资产价值和期限结构沿时间相同分布，它们的收益集中且连续不相关：（[xt；Dt；rt]）t∈[0，T]是关于统计概率测度P（[Dxt；DDt；Drt]）T的一个识别过程∈[0，T]居中且具有消失的自方差函数，（51）特别是，资产价值、名义和期限结构的条件和总预期随时间保持不变：E[xt]≡ 常数E[Dt]≡ 常数E[rt]≡ 常数[Dxt]≡ 0电子[滴滴涕]≡ 0E[Drt]≡ 0.（52）投资组合名称的方差与变量的方差是一致的：Var"ADjt"aVarcxjText·Dta≥,（53）对于所有指数j=1。

，N.（b）第j项资产的泡沫贴现值的预期和方差readE[“Bjt]=E^iDjt-“Cjtó- E*^iDjT-“CjTóVar（“Bjt）=Var"ADjt-“Cjt"a+Var*"ADjT-“CjT"a- 2冠状病毒*"ADjt-“Cjt，DjT-“CjT"a（54）（c）或有权益G（ST）对基础资产readE[“Bt（G）]=E[“Vt（G）]的泡沫贴现值的预期和方差- E*"iGASTexpACTST（T- t） Var（“Bt（G））=Var（“Vt（G））+Var*AGASTexpACTST（T- t） ~a~a。（55）3随机过程的广义导数在随机微分几何中，人们希望将随机分析的构造从RN的开放子集提升到N维可微分流形。为了达到这个目的，需要图表不变的定义，因此需要一个满足通常链式规则而不是^o引理的随机演算（参见[HaTh94]），第7章，以及第4章第200页开头的注释）。这就是为什么关于几何ar比特率理论的论文主要关注的是Stratonovich意义上的随机积分和导数，而不是^o意义上的随机积分和导数。当然，在计算结束时，Stratonovich积分可以转化为它的^o。请注意，作为一个基本的投资组合方程，自筹资金条件不能直接用Stratonovich积分形式化表示，但用它的^o积分表示，然后再转化为Stratonovich积分，因为这是一种非预期条件。定义29。设我是一个实区间，Q=（Qt）t∈概率空间上的一个RN值随机过程(Ohm, A、 P）。

过程Q确定了σ-代数a的三个σ-子代数族：（i）“过去”Pt，由RNby all映射Qs中Borel集的前像生成：Ohm → RNfor0<s<t.（ii）“未来”Ft，由所有映射Qs在RNfor0中的Borel集s的前像生成：Ohm → RNfor0<t<s.（iii）“当前”Nt，由映射Qs在RNfor0中的Borel集s的前像生成：Ohm → 注册护士。设Q=（Qt）t∈伊贝：继续。假设存在以下极限，Nelson的随机导数定义为dqt:=limh→0+E"iQt+h- QthPtò：正向导数，D*Qt:=limh→0+E"iQt- Qt-啊Ftò：后向导数，DQt:=DQt+D*Qt：平均导数。（56）设S（I）所有过程的集合Q使得t7→ Qt，t7→ DQT和t 7→ D*从I到L的连续映射(Ohm, A） 。设C（I）S（I）关于normkQk:=supt的完成∈我kQtkL(Ohm,A） +kDQtkL(Ohm,A） +kD*QtkL(Ohm,（A）.（57）备注30。随机导数D，D*和D分别对应于它的^o\'s、预期积分和t o Stratonovich积分（参见[11]）。过程空间C（I）包含所有It^o过程。如果Q是一个马尔可夫过程，那么在向前和向后导数的定义中，西格玛代数Pt（“过去”）和Ft（“未来”）可以被西格玛代数Nt（“现在”）代替，参见第6章。1和8.1英寸（[11]）。随机导数可以在ω中逐点定义∈ Ohm 类外的广义函数。定义31。问：我Ohm → Rn在测试过程中应为连续线性函数Ohm →Rn，用于φ（·ω）∈ C∞c（I，RN）。我们的意思是，对于固定ω∈ Ohm 函数Q（·，ω）∈ D（I，RN），连续分布的拓扑向量空间。