套利市场中的信贷泡沫：几何套利方法

然后我们可以定义Nelson的广义随机导数：DQ（~nt）：=-Q（D~nt）：正向广义导数，D*Q（νt）：=-Q（D）*ηt）：向后广义导数，D（ηt）：=-Q（D~nt）：平均广义导数。（58）如果广义导数是正则的，则该过程具有经典意义上的随机性。这种构造只是广义函数理论对更广泛的随机过程的一种直接的路径提升，而这类随机过程在严格意义上不先验地考虑Nelson导数。我们将在处理信用风险时利用这一特性，因为许多过程都与jumpsoccur有关。4信贷风险在介绍了几何套利理论之后，我们可以解决Fasset违约及其恢复的问题。4.1经典信用风险模型我们总结了信用风险建模的标准方法。我们遵循[JaPr04]和[FrSc11]。建模默认值基本上有两种可能性：一种是结构模型类型s，另一种是简化形式（基于强度）模型类型。它们之间的差异可以通过观察者假定已知的信息来表征。结构模型假设观察者拥有与企业管理者相同的信息集，即对企业所有资产和负债的完整了解。在大多数情况下，这种知识会导致一个可预测的默认时间。相比之下，简化模型假设观察者拥有与市场相同的信息集，即对企业状况的不完全了解。在大多数情况下，这种不完善的知识会导致无法进入故障时间。正如[JaPr04]中所强调的，这些模型并不像人们通常认为的那样是不连续和不相交的模型类型，而是包含不同信息的同一个模型。

结构模型和简化模型之间的关键区别不在于默认时间的特征（可预测与不可访问），而在于观察者可用的信息集。事实上，随着信息集的变化，结构模型可以转化为简化模型，并且变得不那么明确，从企业经理可以观察到的信息到市场观察到的信息。模型类型的选择应该基于观察者可用的信息集，而不是根据预测性能来比较模型类型。出于一般风险管理目的，相关信息集是市场上可用的信息，因此应首选结构模型。相比之下，如果一个人对一家公司的高风险债务或相关信用衍生品感兴趣，那么简化形式的模型是更好的方法。让我们利用第2小节中介绍的市场模式l来介绍标准设置，以考虑违约和差异信息。信贷风险管理部门调查一个实体（公司、银行、个人），该实体借入资金，承诺根据预先指定的合同协议返还这些资金，并且可能在资金（全部）偿还之前违约。为此，我们引入了一个允许两种资产（现金账户除外）的市场，即不可违约资产（如ZF债券）和可违约资产（如公司债券）。定义32（信息结构）。要对不确定性进行建模，有两种方法：(Ohm, A、 市场过滤：这是A={At}t∈[0,+∞[迄今为止用于市场风险，代表所有市场参与者可获得的信息。o全球过滤：这是G={Gt}t∈[0,+∞【代表债券发行公司管理层提供的信息。假设全球过滤包含市场过滤。即： GTT≥ 0

除非另有规定，条件概率和预期指的是市场过滤，即Pt[·]=P[·| At]和Et[·]：=e[·| At]。定义33（默认和恢复模式）。假设Dcorpt是可违约资产的市场价值默认指示器：Xt:=1.时间t0时处于违约状态的公司债券，时间t时处于非违约状态的公司债券。（59）o违约时间：τ：=inf{t≥ 0 | Xt=1}。（60）o条件违约概率：pAt，s:=Pt[τ≤ s |τ>t]。（61）o结构模型：Let（Et）t≥0是具有默认阈值Emin的公司权益流程。默认指标的结构模型如下所示：Xt:=1{Et≤艾敏。（62）在市场上可以观察到公司股权动态，即 σ（{Es|s）≤ t}），它通常由it^o对市场过滤系数=Et（αEt（Et）+σEt（Et））dWt的差异给出。（63）o强度模型：整体过滤G包含过滤σ（{τ，Ys|s）≤ t}）由“时间到结果”和状态变量Yt向量生成，该向量遵循It^o的微分。默认指标是由τ引起的Cox过程，强度为正（λt）t≥0，对应于以下规格：Xt:=1{∧-1（E）≤t} ，（64）式中∧t:=Rtdhλhand E~ Exp（1）是一个指数分布的随机变量违约损失：如果在时间t存在违约，则在时间t+时的恢复值由（1）给出- LGDt）DCorpt-. 随机过程（LGDt）t≥0在市场过滤中可见。34号提案。两个模型中的默认概率为：o结构模型：pAt，s=Pt[Es]≤ Emin | Et≥ 艾敏]。（65）o强度模型：pGt，s=1- E"iexpA-Zstdhλh~aGtò。（66）关于结构性信贷风险模型的一个已知事实总结如下。35号提案。

在结构模型中，违约时间是一个可预测的停止时间，对应于屏障的第一次击中时间τ=inf{t≥ 0 | Et≤ 艾敏。（67）备注36。停止时间τ是一个非负随机变量，使得事件{τ≤ t}∈ 每个t≥ 0.如果存在一系列停止时间（τn）n，则停止时间是可预测的≥例如，τnis随n增加，对于所有n，τn<τ≥ 0和limn→+∞τn=τ几乎可以肯定。实际上，一个可预测的停止时间所描述的事件“已知”发生在它发生之前，因为它是由一个不断增加的停止时间序列来通知的。就市场过滤而言，这无疑是结构化模型的情况。从本质上讲，尽管违约是一个不确定的事件，从技术上讲是一个意外事件，但对全球观察者来说，它并不是一个“真正的意外”，因为通过观察公司股权价值的路径，几乎可以确定地预测到违约。str StructuralModel的关键特征是市场信息集的可观察性 σ（{Es|s）≤ t} ）而不是违约是可预测的事实。关于简化形式信用风险模式ls（参见[JaPr04]）的另一个已知事实是Proposition 37。在简化模型中，默认时间是一个完全不可访问的停止时间，即对于每个可预测的停止时间S，事件{ω∈ Ohm | τ（ω）=S（ω）<+∞} 几乎肯定会消失。简化模型和结构模型之间的关系是什么？将默认时间τ从命题35中的可预测停止时间转换为前位置37中的不可访问映射时间的原因是，在对公司股权价值的时间观察之间，我们不知道股权价值是如何演变的。因此，在我们下一次观察之前，违约可能会意外发生（完全出乎意料）。

如果将观察者持有的信息集从G变为A，则默认为可预测停止时间的结构模型可以转化为风险率模型，默认为不可访问停止时间：EpGt，s在= 1.- 埃特佩普-Zstduλuò=1- 埃普A-Zstdu hu~a，（68），其中h表示确定性危险函数。在两次过滤中，他如何停止过滤。结构模型在确定生成默认时间的结构中起作用。但是，当观察者获得的信息减少或模糊时，人们需要投射到一个较小的过滤上，然后默认时间变得完全不可访问，一个跳跃点过程的补偿器∧1-XT成为感兴趣的对象。如果compensator可以写成∧t=Rtdhλh的形式，那么过程（λt）t≥0根据观察者的信息集，可以解释为瞬时违约率。在这个例子中，我们从命题34推导出命题38。结构和强度模型通过以下关系λt=lims进行关联→t+sPt[Es]≤ Emin | Et>Emin]。（69）提案39。对于结构性和简化信用模型，如果市场模型满足无套利且风险为零的条件，则公司债券的无风险贴现价值为≥ tDCorpt=E*T(1 - LGDτ）1{τ≤s} +1{τ>s}DCorps.（70）证据。让St表示公司债券的价值和现金流强度。ThenSt=E*托尼兹+∞tdh chexpC-日德鲁。（71）因此，DCorpt=E*托尼兹+∞tdh chexpC-Zhtdu rua^o=E*托尼兹+∞tdhδ（h- τ)(1 - LGDh）1{h≤s} +1{h>s}DCorps^o=E*T(1 - LGDτ）1{τ≤s} +1{τ>s}DCorps].（72）是否有可能在Nelson的DEFAULT指标的差异适当性基础上对模型类型进行特征化？40号提案。

在st结构模型中，默认指标ReadsText=lims的广义Nelson正向导数→t+sPt[Es]≤ Emin | Et>Emin]。（73）证据。违约概率不能用asPt[Es]来表示≤ Emin | Et>Emin]=Et{Es≤Emin}{Et>Emin}Et{Et>Emin}== Et{Es≤艾敏}.因此，我们获得了→t+sPt[Es]≤ Emin | Et>Emin]==lims→t+Lim→0+Pt[Es+h≤ Emin | Et>Emin]- Pt[Es≤ Emin | Et>Emin]h==lims→t+Lim→0+Et"iEs+h≤Emin | Et>Emin}- 1{Es≤Emin|Et>Emin}hò==lims→t+DA{Es≤Emin | Et>Emin}=DAXt，（75），其中Nelson的导数D必须在广义上理解。41号提案。对于强度模型，关于全局过滤，默认指示器读数的广义导数dDGxt=λt（76）证明。我们可以将（64）重新表述为一个结构模型asXt=1{∧-1（E）≤t} =1{-∧t+（E）≤0}，（77）因此pgt，s=P[-∧s+E≤ 0 | {-∧t+E>0}∩ Gt]（78）通过这些改编模仿命题40的证明，我们得到了dGxt=lims→t+sP[-∧s+E≤ 0 | {-∧t+E>0}∩ Gt]==lims→t+sA1- E"iexpA-Zstdhλh~aGtò~a=lims→t+E"iexpA-Zstdhλh~aλs因此，通过比较命题38、40和41，我们可以得出定理42。结构模型承认一个强度公式，其中强度由关于市场过滤的theNelson正向导数给出。4.2几何套利理论信用风险模型现在可以利用第2节中介绍的几何套利理论工具，尤其是命题18，对第4.1小节中描述的信贷市场进行分析。信用定义（43）。（简单的）信贷市场由ZF资产（SGovt）构成∈[0，T]带现金流（CGovt）T∈[0，T]和公司资产（SCorpt）T∈[0，T]现金流（CCorpt）T∈[0，T]。

信贷资产定义为一个投资组合，包括在公司资产中的多头头寸和在政府资产中的短头头寸：SCredt:=SCorpt- scred和CCredt:=CCorpt- CCredt。在定义8之后，让（DGov、PGov）和（DCorp、PCorp）分别作为与政府和企业资产对应的标准，以及相应的期限结构。信用量表（DCred，PCred）定义为：DCredt:=DCorpt- DGovt:=exp"ARtds rs"a- SGovt），o贴现现金流：“CCredt:=exp"ARtds rs"a-“CGovt），o瞬时远期利率：fCredt，s:=fCorpt，s- fGovt，s，o短期利率：rCredt:=lims→t+fCredt，s，o期限结构：PCredt，s:=exp"A-h"aRstdhfCredt。信用量表代表了为任意期限的债券和一种货币的给定评级建立信用市场模型所需的所有相关信息。不同的评级对应不同的信用标准。在定义8和10的向量表示法中，我们有选择xCred:=[-1，+1]+，Dt:=[DGovt，DCorpt]+rt:=[rGovt，rCorpt]+DCredt=DxCredtrCredt=rxCredt。（80）第44号提案。信贷资产指标满足以下属性：o指标：DCredt=（1）- LGDtXt）DCorp- 德戈夫特。（81）o期限结构：PCredt，s=PCorpt，sPGovt，s.（82）o短期利率：rCredt=rCorpt- rGovt。（83）我们可以将定理13应用于信贷市场，以刻画无套利的特征。定理45（无套利信贷市场）。设λ=λtand LGD=LGD分别为公司债券的违约强度和违约损失。以下论断是等价的：（i）信贷市场模型满足了风险消失条件下的无免费午餐。（ii）存在一个正的局部鞅β=（βt）t≥0使得在isfy的所有时间条件Rcredt=βtLGDtλt的情况下。

（84）（iii）存在一个正的局部鞅β=（βt）t≥0使定义和期限结构始终满足条件Pcredt，s=Et"iexpA-ZstduβuLGDuλuò。（85）证据。根据定理13（iii），对于N=2，政府（x=[1,0]+）和企业（x=[0，-1] +（NFLVR）条件为PGovt，s=Et[βsDGovs]βtDGovtPCorpt，s=Et[βsDCorps]βtDCorpt（86），通过将政府资产交给num’eraire（即DGovt≡ 1） ，我们从第一个方程中得到≡ 1，因此是rGovt≡ 0.我们通过设置Adon-Nykodym导数asdP来定义（Dt）tb的等价鞅测度*dP:=βT，（87），并利用βT=Et^idP重写第二个方程*dPóasPCorpt，s=Et[βsDCorps]βtDCorpt=E*t[1- LGDsXs]。（88）在等式的两边-ss:=t，我们得到了orpt=LGDtλ*t、 （89）因为，通过使用Heaviside函数和违约时间重写违约指标，LGDt=LGDτΘ（t- τ） Xt=Θ（t）- τ） E*t[DA（LGDtXt）]=E*t[DA（LGDt）Xt）|{z}=δ（t-τ）Θ（t）-τ）=0+LGDtDA（Xt）]=LGDtλ*t、 （90）其中λ*这是关于P的默认强度*. 因此，g政府资产作为一个数字rairerCredt=rCorpt=LGDtλ*t=βtLGDtλt，（91），即（ii），与（iii）等价。公关工作已经完成。定理1直接来自定理45。我们现在可以将16号提案和18号提案应用于信贷市场，以发现满足无免费午餐和风险消失条件的动态。我们有一个版本，如果满足Novikov的瞬时市盈率增长条件，则（NFLVR）与（ZC）的等价性成立。推论46。

对于政府债券被选为num’eraire且公司债券动态（DCorpt）t被弱限制DCorpt=D′指定的市场-林→0DCorp，and rCorpt=D′的-林→0rCorp，tof It^o流程（DCorp，t）t（rCorp，t）并满足SDEdDCorp，t=DCorp，t（αCorp，tdt+σCorp，tdWt）drCorp，t=aCorp，tdt+bCorp，tdWt（92），其中o（Wt）t∈[0,+∞[是RK中的标准P-布朗运动，对于某些K∈ N、 o（α公司，t）t∈[0,+∞[，（σ公司，t）t∈[0,+∞[和（rCorp，t）t∈[0,+∞[分别是R-、RK-和RK-值的可预测随机过程，o（αt）t、（σt）t和（rt）tsatisfylims→t+Es[αCorp，t]=αCorp，t，lims→t+Es[rCorp，t]=rCorp，t，lims→t+Es[σCorp，t]=σCorp，t，（93）o（σCorp，t）这是一个独立的过程，o（σCorp，t）和（Wt）皮重独立过程。如果满足Novikov条件，则无免费午餐的风险条件为零，当且仅当零曲率条件满足andE~nexpCZTdtAtLGDt1时，这种情况才成立- LGDtXt- rCorpt~atQt（K）a^o+∞, （94）式中qt（K）：=W+tWtt~ χ（K），（95）是一个卡方分布的实随机变量。定理2源自推论46，因为任何D′过程都可以通过一系列满足推论aslim假设的It^o’s过程来正则化→0DCorp，t（）=dcorp（）和lim→0rCorp，t（）=rCorpt（（96）表示所有的（·ω）∈ C∞c（[0，T]，R）证明。唯一需要证明的是不平等（94）。一方面德戈夫特≡ 1DCorpt=（1）- LGDtXt）DCorp。（97）另一方面，（92）rea dsDCorp，t=DCorp，expcZtAαCorp，u+σCorp，uσCorp，ucdu+ZtσCorp，udWua，（98）的解，因此，D log（DCorp，t）=αCorp，t+σCorp，t Corp，t Corp，t++σCorp，t++σCorp，t++σCorp，tσ公司，，WT≡ 因为{1dGt}的曲率为49dGt+100≡1） +rGovt |{z}=0=0，（101），插入式（100）中，得出αCorp，t+rCorp，t+σCorp，tσCorp，t++σCorp，tWt2t=0。

（102）通过在lims的两侧申请→t+Es[·]我们得出结论，αCorp，t+rCorp，t+σCorp，tσCorp，t+=0。（103）因此，公式（28）中的被积函数是指政府设定的数值，σ公司，t+σCorp，tσCorp，t+-1"Aα公司，t+rCorp，t"a=σCorp，tσCorp，t+。（104）方程式（99）在插入（103）D Log（DCorp，t）+rCorp，t"a=σCorp，uσCorp，u+W+tWt4t后变为。（105）另一方面，（97）中的第二个等式导致toD log（DCorpt）=-LGDtλt1- LGDtXt，（106）和Thereferim→0σ公司，t+σCorp，tσCorp，t+-1"Aα公司，t+rCorp，t"a=ALGDtλt1- LGDtXt- rCorpt~atQt（K），（107）插入到Novikov条件（28）中，证明了不等式（94）。5信贷套利动力学和泡沫我们现在应用套利市场泡沫的结果，如第2小节所述。我们的简单信贷市场模型包括两种基本资产，一种政府债券和一种公司债券。我们允许套利，只需假设潜在套利的总量被市场力量最小化，如[Fa21，FaTa21]中详细解释的。定理47（信贷套利动力学和信贷市场的套利泡沫）。以下声明适用于定义为43Dt的信贷市场模型：=[DGovt，DCredt]+rt:=[rGovt，rCredt]+xt:=[xGovt，xCredt]+（108）和≤ +∞ 考虑套利：（a）解决最小套利问题的市场投资组合、资产价值和期限结构沿时间相同分布，它们的收益集中且连续不相关：（[xt；Dt；rt]）t∈[0，T]是身份证。