套利市场中的信贷泡沫：几何套利方法

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英文标题：
《Credit Bubbles in Arbitrage Markets: The Geometric Arbitrage Approach to
  Credit Risk》
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作者：
Simone Farinelli and Hideyuki Takada
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  We apply Geometric Arbitrage Theory to obtain results in mathematical finance for credit markets, which do not need stochastic differential geometry in their formulation. We obtain closed form equations involving default intensities and loss given defaults characterizing the no-free-lunch-with-vanishing-risk condition for corporate bonds, as well as the generic dynamics for credit market allowing for arbitrage possibilities. Moreover, arbitrage credit bubbles for both base credit assets and credit derivatives are explicitly computed for the market dynamics minimizing the arbitrage.
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中文摘要：
我们应用几何套利理论来获得信贷市场数学金融中的结果，信贷市场的公式中不需要随机微分几何。我们得到了包含违约强度和给定违约损失的闭式方程，刻画了公司债券风险条件为零的非免费午餐的特征，以及考虑套利可能性的信贷市场的一般动力学。此外，根据最小化套利的市场动态，明确计算了基础信贷资产和信贷衍生品的套利信贷泡沫。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Credit_Bubbles_in_Arbitrage_Markets:_The_Geometric_Arbitrage_Approach_to_Credit_Risk.pdf (338.25 KB)

2022-5-6 09:12:06 上传

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关键词：Differential Mathematical Applications Quantitative derivatives

套利市场中的信贷泡沫：信贷风险的几何套利方法Simone Farinlicore Dynamics GmbHScheuchzerstrasse 43CH-8006 ZurichEmail：simone@coredynamics.chandHideyuki东河大学高达信息科学系Narashino校区2-2-1-Miyama，Funabashi-ShiJ-274-8510 ChibaEmail:hideyuki。takada@is.sci.toho-u、 ac.JP2021年7月19日摘要我们应用几何套利理论获得信贷市场的数学金融结果，信贷市场在其公式中不需要随机微分几何。我们得到了包含违约强度和给定违约损失的封闭式方程，这些方程描述了公司债券在风险为零的情况下的非免费午餐，以及考虑套利可能性的信贷市场的一般动力学。此外，根据最小化套利的市场动态，明确计算了基础信贷资产和信贷衍生品的套利信贷泡沫。内容1简介2几何套利理论背景42.1经典市场模型。52.2市场模型的几何重构：原语。82.3套利市场中的泡沫。123随机过程的广义导数184信用风险194.1经典信用风险模型。204.2几何套利理论信用风险模式l。255信贷套利动力学和泡沫306结论311引言本文利用一种称为几何套利理论的特定结构来模拟信贷市场中的套利。GAT将经典随机金融嵌入随机微分几何框架，以描述套利行为。

这种方法的主要贡献在于将基本金融工具及其期限结构构成的市场建模为主要金融工具组合。然后，该市场的财务特征（如无套利和均衡）通过标准的不同几何结构（如曲率）进行表征，并与该组合中的自然连接相关联。在理论物理学中，主纤维束理论作为一种语言被大量利用，通过提供描述物理系统及其动力学的不变框架，自然法则可以得到最好的表述。这些想法可以被运用到数学金融和经济学中。市场是一个金融经济系统，可以用一个适当的原则来描述。市场规律在数量变化下的不变性等原理可以看作是规范不变性。计量理论是描述经济学的自然语言，这一事实是由Malaney和Weinstein在经济指数问题的背景下首次提出的（[？]，[We06]）。Ilinski（见[Il00]和[Il01]）和Young（见[Yo9]）提出将套利视为规范连接的曲率，这与一些物理理论无关。独立地，Cliff和Spe d（[SmSp98]）进一步发展了Flesakerand Hughston的开创性工作（[FlHu96]），并利用不同几何体的技术（间接由暗示性措辞表示）在随机建模之前降低资产模型的复杂性。可能是由于其处于随机金融和微分几何的交叉点上的边界性质，几乎没有进一步的数学研究，而且该主题被不公平地认为是一个异类主题，仍然局限于电子物理学（见[FeJi07]、[Mo09]和[DuFiMu00]）。

在[FFa15，Fa21]中，几何套利理论利用了Schwartz（[？]）中随机微分几何的形式背景，得到了严格的数学基础，Elworth（[EEl82]）、Emery（[Em89]）、Hackenbroch和Thalmaier（[HaTh94]）、Stroock（[St00]）和Hsu（[Hs02]）。GAT可以从不同的角度看待相同的概念，从而为数学金融带来新的见解，从而在没有随机差异几何背景的情况下理解新结果。这就是本文的主要贡献，信贷市场的无套利特征。更准确地说，我们假设不同到期日的ZF债券和公司债券都存在一种货币的市场，我们选择ZF债券作为基准。第4小节介绍了形式旋转。2.我们将证明以下结果。定理1（无套利信用市场）。设λ=λtand LGD=lgdt分别为公司债券的违约强度和违约损失。让PCorp、GOV和rCorp、GOV为公司和ZF债券的期限结构和短期利率。以下论断是等价的：（i）信贷市场模型满足了风险消失的非免费午餐条件。（ii）存在一个正的局部鞅β=（βt）t≥0以便在isfy的所有时间条件公司的贴现率和短期利率- rGovt=βtLGDtλt.（1）（iii）存在一个正的局部鞅β=（βt）t≥0使定义和期限结构始终满足条件PCorpt、sPGovt、s=Et"iexpA-ZstduβuLGDuλuò。（2） 无套利信贷市场的这种特征早已为人所知（见f.i.[Schoe00]，第39页），现在可以很容易地推断为几何套利理论的结果。此外，据我们所知，这是信贷市场的一个新结果。定理2（诺维科夫条件）。

让信贷市场充满活力- rGovt=βtLGDtλt，（3）对于正半鞅（βt）tandE~nexpcZTdtAtLGDt1- LGDtXt- （rCorpt）- rGovt）~atQt（K）a^o<+∞,（4） 式中qt（K）：=W+tWtt~ χ（K）。（5） 然后，信贷市场满足了无自由流动的需求，风险消失。此外，应用最近发现的关于市场套利的资产泡沫扩展的结果，在定理47中，我们可以显式地计算由基础资产和信用衍生品组成的信用市场的套利泡沫。这又是一个新的结果。本文件的结构如下。第2节回顾了经典的随机金融和几何套利理论的结果。本文为一个资产定价为It^Oprocess的市场提供了一个指导性的例子。[FFa15、Fa21]、[FaTa20]、[FaTa20Bis]和[FaTa21]中省略了证据。第3节提供了定义随机过程的广义导数的数学背景，这是下文所需的，因为与信用风险相关的典型过程具有跳跃性，尤其是rdo不允许Nelson的强意义上的导数。第4节回顾了信用风险的基本原理，并介绍了两种基本模型类型，结构模型和简化模型（基于强度）。在第5节中，第2节中介绍的几何套利理论工具箱将用于验证无套利信贷市场的结果。第6节结束。2几何套利理论背景在本节中，我们解释了[FFa15，Fa21]中介绍的几何套利理论的主要概念，并在[FaTa20]、[FaTa20Bis]和[FaTa21]中进行了回顾和扩展，我们参考这些概念进行证明和示例。这可以看作是GAT对市场风险的重新表述。2.1经典市场模型在本小节中，我们将总结经典设置，将在第节（？）中重新表述不同的几何术语。

我们基本上遵循[HuKe04]和最终参考[DeSc08]。我们假设连续时间交易，交易日期为[0+∞[.这种假设足够普遍，可以嵌入有限和有限离散时间的情况，以及连续时间内具有有限原点的情况。请注意，虽然在现实世界中，交易只在离散时间发生，但这些都是未知的，几乎可以是时间连续统中的任何点。这激发了连续时间随机变量的技术效应恩斯。不确定性由过滤的概率空间建模(Ohm, A、 P），其中P是统计（物理）概率测度，A={At}t∈[0,+∞[A的一个增加的亚σ-代数族]∞及(Ohm, A.∞, P） 是一个概率空间。假设过滤A满足通常条件，即o右连续性：对于所有t∈ [0, +∞[.oA包含A的所有空集∞.该市场由许多资产组成，指数为j=1，N、 其名义价格由向量值半鞅S[0]给出+∞[×Ohm → 用（St）t表示∈[0,+∞[适用于过滤A.储存过程（Sjt）t∈[0,+∞[描述时间t=0时第j项资产的价格，即现金单位。更准确地说，我们假设存在第0项资产，即现金，严格正半鞅，它根据St=exp（Rtdu-ru）演化，其中可预测半鞅（rt）t∈[0,+∞[代表现金账户提供的持续利率：人们总是提前知道自己银行账户的利率是多少，但这可能会不时发生变化。因此，现金账户被视为本地无风险资产，而不是其他资产，即风险资产。

在下文中，我们将主要使用贴现价格，定义为^Sjt:=Sjt/St，以当前现金单位表示资产价格。我们指出，没有必要假设资产价格为正。但是，必须至少有一个严格的积极因素，在我们的例子中是现金。如果我们希望通过选择其他资产而不是现金作为参考来重新规范价格，即通过将其纳入我们的资产清单，那么该资产必须具有严格的正价格过程。更准确地说，一般的价格是一种资产，其名义价格由严格正随机过程（Bt）t表示∈[0,+∞[，这是一个由原始资产j=0，1，2，…，N组成的投资组合。原始资产的贴现价格用半鞅^Sjt:=Sjt/Bt表示。我们假设不存在交易成本，允许卖空。请注意，交易成本的存在可能是现实模型的一个严重限制不一定由价格过程（St）产生∈[0,+∞[：允许使用价格以外的其他信息来源。所有代理都可以访问相同的信息结构，即过滤A。策略是一个可预测的s-tochastic过程x:[0+∞[×Ohm → 描述投资组合持有量。随机过程（xjt）t∈[0,+∞[表示随着时间的推移，投资组合持有的第j个资产组合的数量。

注意It^o随机积分ztx·dS=Ztxu·dSu，（6）和Stratonovich随机积分ztxo dS:=Ztx·dS+Ztd hx，Si=Ztxu·dSu+Ztd hx，Siu（7）对于积分器（S）和被积函数（x）的选择是非常明确的，只要策略是可接受的，这意味着它对于某些v是可接受的≥ 0，即x=（xt）t∈[0,+∞[是一个可预测的半鞅，其It^o积分为fiesrtx·dS≥ -v代表所有t≥ （7）中的括号h·、·i表示两个过程的二次协变量。在一般情况下，策略不需要是半鞅，但如果我们想很好地定义二次协变量和Stratonovich积分，我们必须要求这个额外的假设。关于道德整合的细节，我们参考附录Ain[Em89]，它总结了权威[80]的第七章。投资组合价值是过程{Vt}t∈[0,+∞[vt:=Vxt:=xt·St.（8）当且仅当t时的投资组合价值给定时，可接受的策略x称为自我融资这意味着投资组合收益是策略的It^o积分，价格过程是积分：投资组合价值的变化纯粹是由于资产价值的变化。自我融资条件可以用不同的形式重写为DVT=xt·dSt。（10） 正如[BjHu05]中所指出的，如果我们想利用Stratonovich积分来重新表述自我融资条件，同时保持其经济解释（这对于随后的数学金融构造是必要的），我们写EVT=V+Ztxuo dSu-Ztd hx，Siu（11）或等效YDVT=xto dSt-d hx，坐下。

（12） 市场模型的套利策略（简称套利）是一种可接受的自我融资策略x，对于某些水平T>0，以下条件之一适用：oP[Vx<0]=1和P[VxT≥ 0]=1，oP[Vx≤ 0]=1和P[VxT≥ 0]=1，P[VxT>0]>0。[DeSc08]第9章给出了无套利条件的拓扑刻画。鉴于资产定价的基本原理，无套利条件被一个强条件所取代，即所谓的风险为零的无免费午餐。定义3（套利）。让进程（St）[0+∞[be a s鞅和（xt）t]∈[0,+∞[采用可接受的自我融资策略。让我们考虑交易时间T≤ ∞. 当时的投资组合财富由Vt（x）：=V+Rtxu·dSu给出，我们用k表示L的子集(Ohm, AT，P）包含所有此类VT（x），其中x是任何可接受的自我融资策略。我们定义oC:=K- L+(Ohm, 在第页）C:=C∩ L∞+(Ohm, 在第页）\'C:L中C的关闭∞关于范数拓扑VV:=（Vt）t∈[0,+∞[Vt=Vt（x），其中x为V-容许值.o VVT：=及物动词（Vt）t∈[0,+∞[∈ VV: V-容许自我融资策略的终端财富。我们说S满足o（NA），无套利，当且仅当C∩ L∞(Ohm, AT，P）={0}（NFLVR），没有风险消失的免费午餐，当且仅当∩ L∞(Ohm, AT，P）={0}（NUPBR），无风险有界的无界利润，当且仅当某些V>0时VVTI在LF中有界。[DeSc94]和[Ka97]阐明了这三种不同类型套利之间的关系，并证明了以下结果。定理4。（NFLVR）<=> （NA）+（NUPBR）。（13） Delbaen和Schachermayer在1994年证明了定理5（连续时间内资产定价的第一基本定理）（参见[DeSc08]第9.4章，尤其是主要定理9.1.1）。让我们来看看∈[0,+∞[和（^St）t∈[0,+∞[b]是有界半鞅。

有一个等价的鞅测度P*对于折扣价格，当且仅当市场模型满足（NFLVR）时。这是1990年证明的达朗-莫顿-威林格定理（见[DeSc08]，第6章）在离散时间条件下对连续时间的推广，其中（NFLVR）放宽为（NA）条件。Dalang Morton-Willinger定理将Harrison and Pliska定理（见[DeSc08]，第2章）推广到任意概率空间，该定理适用于有限概率空间的离散时间。在资产定价方面，鞅测度法的一个等价替代方法是定价核（状态价格偏差）法。定义6。让我们来看看∈[0,+∞[是一个半鞅，描述我们市场模型中资产的价格过程。正半鞅（βt）t∈[0,+∞[被称为S的定价内核（或状态价格因子）当且仅当（βtSt）t∈[0,+∞【是一个P-鞅。如[HuKe04]（第7章，定义7.18、7.47和定理7.48）所示，对于特定的num’eraire选择，apricing核的存在性等价于等价鞅测度的存在性。如果我们希望数值是任意的，就像我们最初为模型选择的数值一样，那么我们还必须假设定价核β是局部P-鞅。定理7。让我们来看看∈[0,+∞[和（^St）t∈[0,+∞[有界半鞅.过程^S允许一个等价的鞅测度P*当且仅当S（或^S）有一个定价核β，这是局部鞅。2.2市场模型的几何重构：Primitives我们将介绍第2.1节中介绍的市场模型的更一般表示，它更适合套利建模任务。定义8。