两个边值鞅输运问题中数值的变化

Lucic[2003]和Jacquier与Roome[2015]。Hobson和Klimek[2015]推导了耦合最小化ATM II型远期启动跨期合约的模型自由价格的显式表达式，以及相应的次级对冲策略。特别地，他们证明了这种导数的最优鞅耦合集中在三点转移{p（x），x，q（x）}上，其中p和q是两个合适的递减函数。具体结果将在下面回顾。这种非特征化是在一个离散假设下获得的[Hobson and Klimmek，2015，假设2.1]，关于边际定律的支持：支持（u）-ν） +包含在有限区间E中，并支持（ν）-u）+包含在补体Ec中。与其在这种支持条件下工作，我们宁愿强加以下长期假设。假设3.1。假设下列性质成立：（i）度量u和ν属于Pd；（ii）δF有一个局部最大化子m。在本文其余部分中，在这种假设下工作的主要原因有两个：首先，它使酸处理更加统一，因为稍后我们将考虑Henry Labord`ere和Touzi[2013]对左右单调迁移计划的构造，如果边缘是绝对连续的，则它们的构造成立，而我们的假设是3.1（i）。此外，对于具有密度的边缘人，假设3。1（ii）相当于Hobson和Klimek[2015]中的离散假设（如下面的注释3.2所示），简化了下一节中对Henry Labord`ere和Touzi[2013]建筑的研究。备注3.2。让u，ν∈ pDb为u4ν。那么，霍布森和克里梅克[2015]中的假设2.1与我们的假设3.1（ii）是等价的。要看到这一点，让u，ν∈ p带u4ν。

首先，观察Supp（（u-ν） +）=cl（x∈ R*+:Z（x）-,x+)（pu（z）-对于某些情况，pν（z））dz>0 > 0），其中cl（A）表示任何子集A的闭包 R*+. 假设Hobson and Klimek[2015]中的假设2.1成立，即存在常数0≤ a<b以至于pu（x）-pν（x）>0表示x∈ （a，b）和pu（x）-pν（x）≤ 0代表x∈ （a，b）c.因此，δF在[a，b]上减小，在（0，a）和（b）上增大，∞). 因此，它在a处允许一个唯一的最大值，在b处允许一个唯一的最小值，假设3.1如下。相反，假设假设假设3.1成立。那么δF在m>0时允许一个全局最大值。此外，通过u和ν的凸阶，δF允许在/m>m处出现全局最小值。因此，对于所有x∈ 我们有pu（x）- pν（x）>0，而对于所有x∈ （m，~m）cwe有pu（x）-pν（x）≤ 0，霍布森和克里梅克[2015]中的假设2.1已经完成。备注3.3。假设3.1中的两个属性均在计分制变更下保留。事实上，我们已经在引理2.3中看到S（u），S（ν）属于Pd。关于假设中的性质（ii），请注意fs（u）（y）=Zypu（x）xdx=1-Z1/yxpu（x）dx，因此δFS（y）=FS（ν）- FS（u）=-Z1/yxx（δF）（x）dx。因此，δfsa有一个最大化器xS？当且仅当δF有一个极小值x？，满意的x=xS？。让我们回到无模型定价的远期启动跨越。考虑到Payoff（3.8）的形式，很自然地会尝试为其无模型子分拆价格获得一个最优鞅耦合，将计算方法的变化与Hobson和Klimmek[2015]的结果结合起来。为了方便读者，我们在下面的定理中总结了他们的主要结果。这是理论的结果。Hobson和Klimmek[2015]中的4和定理5.5适用于边缘u，ν具有密度的特殊情况（见第6.1小节）。因此，省略了它的证明。定理3.4。让假设3.1保持不变。

然后存在唯一的最优耦合QHK（u，ν）∈M（u，ν）使得p（u，ν，CII）：=infQ∈M（u，ν）EQ[|Y- X |]=EQHK（u，ν）[|Y- X |]。（3.9）此外，QHK（u，ν）（dx，dy）=u（dx）LHK（x，dy），带有一个过渡内核LHKgiven byLHK（x，·）=δxx≤a+（l（x）δp（x）+u（x）δq（x）+（1）-l（x）-u（x））δx）a<x<b+δxx≥b、 （3.10）其中：1。a（resp.b）是δF的全局最大化子（resp.minimizer）；2.p:（a，b）→ [0，a]和q：（a，b）→ [b]，∞] 是方程δF（q（x））+δF（p（x））=δF（x），δG（q（x））+δG（p（x））=δG（x），x的连续递减函数解∈ （a，b）。(3.11)3. l、 u：（a，b）→ [0，1]由u（x）=x给出-p（x）q（x）-p（x）pu（x）-pν（x）pu（x），l（x）=q（x）-xq（x）-p（x）pu（x）-pν（x）pu（x）。（3.12）现在，简单应用上一节的计算结果变化，可以得出QHK（u，ν）很好地达到了I型远期启动跨座CIA的下限价格。这一结果补充了Hobson和Klimek[2015]中关于II型前向起跑跨骑CII的theone。我们首先展示了Hobson-Klimmek最优耦合的对称性。提案3.5。鞅测度QHK（u，ν）验证对称关系（QHK（S（u），S（ν））=QHK（u，ν），其中对称算子S在2.4中定义。证据让这对（pS，qS）定义量度QHK（S（u），S（ν））。一个简单的计算表明，测度S（QHK（S（u），S（ν））集中在{pS（1/x），x，qS（1/x）}。为了得到由该三带图得出的方程，首先回顾对称关系δFS（y）=-δG（1/y），δGS（y）=-δF（1/y）。（3.13）通过定义，（pS，qS）由两个方程表征：δFS（qS（x））+δFS（pS（x））=δFS（x），δGS（qS（x））+δGS（pS（x））=δGS（x）。因此，使用（3.13）我们得到了δF（1/qS（1/x））+δF（1/pS（1/x））=δF（x），δG（1/qS（1/x））+δG（1/pS（1/x））=δG（x）。因为函数x7→ 1/pS（1/x）和x7→ 1/qS（1/x）都是连续递减的，并且满足与对（p，q）相同的方程，它们是候选的。

因此，最优耦合的唯一性会产生结果。在这一点上，我们可以利用I型和II型前向起跳跨骑之间的对称关系，这是由S给出的*（CαII）（X，Y）=YY-αX= αYX-α= αCαI.（3.14）特别是，ATM跨座，即α=1，由S表示*（CII）（X，Y）=CI（X，Y）。由此产生的一个结论是以下命题，陈述了已公布的关于陆上型前跨起跑的结果，并对本节进行了总结。提议3.6。I型ATM远期启动跨座的下限价格也可通过最佳耦合QHK（u，ν），即P（u，ν，CI）：=infQ获得∈M（u，ν）EQYX- 1.= EQHK（u，ν）词. （3.15）证据。利用命题2.6和关系式（3.14），我们得到P（u，ν，CI）=P（S（u），S（ν），S*（CI））=P（S（u），S（ν），CII）=EQHK（S（u），S（ν））CII= EQHK（u，ν）词.因此，证据是完整的。4左右单调转移计划的对称性（2.5）中的优化问题与左右单调转移计划的概念密切相关。这两个概念都在Beiglb–ock和Juillet[2012]中引入，他们证明了凸序边值的存在性和唯一性，并证明了它们解决了（2.5）中形式为c（x，y）=h（y）的特定支付集的最大化和最小化问题-x） h可微，严格凸第一导数。Henry Labord`ere和Touzi[2013]将这些结果推广到更广泛的支付范围。此外，他们还给出了左单调转移计划的明确构造。

在这一部分中，我们想研究这些转移计划的对称性质，并特别指出，在正鞅的情况下，右单调计划可以通过改变数值从左单调部分得到，而不受影响。我们首先回顾了左右单调迁移计划的一般定义。定义4.1（Beiglb–ock和Juillet[2012]）。鞅测度Q∈ 如果存在Borel集Γ，M（u，ν）是左单调的（分别是右单调的） （R）*+)Q（Γ）=1使得对于所有（x，y-), （x，y+）和（x，y）在Γ中，我们不能有x<x和y-< y<y+（分别为x>x和y-< y<y+。我们表示ql（u，ν）（resp.QR（u，ν））左单调（resp.right monotone）迁移计划，带有边缘u，ν。下一个结果说明了两个单调迁移计划如何通过对称算子相互关联。提议4.2。算子S交换左单调和右单调转移计划，即S（QR（S（u），S（ν））=QL（u，ν）和S（QL（S（u），S（ν））=QR（u，ν）。证据我们只证明第一个等式，第二个等式紧随其后，因为S是对合。通过定义右单调转移计划QSR:=QR（S（u），S（ν）），存在一个Borel集ΓR （R）*+)这样QSR（ΓR）=1，对于所有（x，y-), ΓRwe中的（x，y+）（x，y）不能有x>xandy-< y<y+。设ΓSR:={（x，y）∈ （R）*+): （1/x，1/y）∈ ΓR}。我们显然有（QSR）（ΓSR）=QSR[y1ΓSR（1/X，1/Y）]=QSR[y1ΓR（X，Y）]=QSR（Y）=1。此外，由于（x，y）-), （x，y+）（x，y）∈ 仅当-), （1/x，1/y+）（1/x，1/y）∈ ΓR，我们不能有x<x和y-< y<y+。因此，我们有S（QR（S（u），S（ν）））∈ M（u，ν），因此通过左单调转移计划的唯一性（见Beiglb¨ock和Juillet[2012]中的定理1.5），我们得到S（QSR）=QL（u，ν）。备注4.3。

我们观察到，作为前面结果的副产品，左单调变换平面的存在通过对称算子免费给出其右单调类似物的存在，反之亦然。此外，还要注意，上述结果完全适用于一般情况，例如，即使边缘没有密度。在Beiglb¨ock和Juillet[2012]的结果基础上，Henry Labord`ere和Touzi[2013]特别指出，对于验证广义Pence-Mirrlees型条件Cxyy>0（或Cxyy<0）的更大类别的支付，QL（u，ν）达到上限（2.5）（见他们的定理5.1）。我们在下面的定理中总结了他们的结果。定理4.4（Henry Labord\'ere和Touzi[2013]）。让C：（R）*+)→ R是一个可测函数，使得偏导数Cxyy存在且Cxyy>0。在假设3.1下，左单调变换方案QL=QL（u，ν）是求解鞅输运问题p（u，ν，C）：=supQ的最优耦合∈M（u，ν）EQ[C（X，Y）]。为了应用计分法的变化，首先请注意*（C） 我们有*（C） xyy（x，y）=-xyCxyyx、 y, x、 y>0。（4.16）因此，当且仅当S*（C） xyy<0。这个基本的注释允许我们通过改变计价单位来确定支付Cxyy<0的模型自由价格界限。这与[Henry Labord`ere and Touzi，2013，备注5.2]中的镜像耦合类似，其中边缘在R中有支撑。对称算子S和S允许为R处理这种情况*+-支持边缘体。观察定理4.4中的结果在比我们的假设3.1（ii）更一般的条件下成立。为了使这个观察更精确，让C（x，y）是一个满足Cxyy<0的结果。

因此S*（C） 根据命题2.6，我们得到P（u，ν，C）=P（S（u），S（ν），S*（C） ）=EQL（S（u），S（ν））[S*（C） （X，Y）]=ES（QL（S（u），S（ν））[C（X，Y）]。因此，P（u，ν，C）由S（QL（S（u），S（ν））获得，这等于命题4.2中的QR（u，ν）。我们可以用类似的方式证明，如果Cxyy>0（分别Cxyy<0），则（2.5）中的下限由QR（u，ν）（分别QL（u，ν））实现。备注4.5。我们说，如果支付函数C满足*（C） =C.对于任何对称性，验证稍微放松的广义Spence-Mirrlees条件Cxyy≥ 0，我们可以使用（4.16）得到Cxyy（x，y）=-xyCxyy（x，y），因此Cxyy=0。对y进行两次积分，对x进行一次积分，我们可以看到C的形式必然是C（x，y）=φ（x）+ψ（y）+h（x）（y）-x） ，对于某些函数ψ、ψ和h.4.1左、右单调转移计划的显式构造和数值的变化在本节中，我们简要回顾了Henry Labord`ere和Touzi[2013]执行的左单调转移计划的显式构造，并展示了如何使用数值的变化来生成，基本上是免费的，通过对称算子，从其左单调对应物得到基本的右单调输运方案。我们强调假设3.1仍然有效。为了方便读者，以下定理描述了QLin Henry Labord`ere和Touzi[2013]的明确特征。定理4.6。让假设3.1保持不变。

左单调转移计划QL由QL（dx，dy）=u（dx）LL（x，dy）和转移核LL（x，·）=δxx给出≤x？+（qL（x）δLu（x）+（1）-qL（x））δLd（x））x>x？，其中qL（x）：=x-Ld（x）Lu（x）-Ld（x），x？∈ R*+是δF和Ld的唯一最大化子，是（0，∞), 这样：对于x，Ld（x）=Lu（x）=x≤ 十、ii）Ld（x）<x<Lu（x），对于x>x？；iii）在间隔（x？）上？，∞), LDI减小，Luis增大。此外，Ldis是唯一的toF解决方案-1ν（Fu（x）+δF（Ld（x））=G-1ν（Gu（x）+δG（Ld（x）），x>x？，（4.17）和由关系式Fν（Lu（x））=Fu（x）+δF（Ld（x）），x>x？给出的路易斯？。（4.18）证据。我们参考Henry Labord`ere和Touzi[2013]中的定理4.5。关于单一最大化器的更多细节，请参见第3.4节。构造对称支付函数的方法如下：在[0,1]×R上选择其值*+首先，然后是（x，y）∈(1, ∞) ×R*+, 设置C（x，y）=yC（1/x，1/y）。人们可以很容易地检查C是否令人满意*（C） =C。现在，利用S（QL（S（u），S（ν））=QR（u，ν）这一事实，以及前面定理中给出的左单调转移计划的特征，我们可以研究量化QR和QL是如何相互关联的。请注意，因为两个边缘体都支持R*+,我们在这里使用的对称关系与Henry Labord`ere和Touzi[2013]中注释5.2中的对称关系不同。提案4.7。让假设3.1保持不变。然后右单调转移计划qr由qr（dx，dy）=u（dx）LR（x，dy）给出，其中转移核r（x，·）：=δxx≤x？+（qR（x）δRu（x）+（1）-qR（x））δRd（x））x>x？其中1。x？=1/xS？是δF的唯一极小值；2.当x>0时，Rd（x）=LSu（1/x），Ru（x）=LSd（1/x）；3.转移概率由qR（x）=xRu（x）（1）给出-qSL（1/x）），对于x>0。证据引理2.3，如果u，ν∈ p检验u4ν，然后用对称算子S检验它们的图像是否符合相同的条件，即：S（u），S（ν）∈ Pand S（u）4 S（ν）。

通过注释3.3，我们发现δFS=δFS（u），S（ν）有一个局部最大化子，定理4.6给出了一个左单调转移平面qsl:=QL（S（u），S（ν），如定理4.6所示。综上所述，由于我们已经知道S（QSL）=QR（u，ν）（见命题4.2），因此对于所有有界可测函数f：（R），必须检查度量值Q定义为＠Q（dx，dy）：=u（dx）LR（dx，dy），内核LR定义为陈述，满足＠Q[f（X，Y）]=S（QSL）[f（X，Y）]*+)→ R.这可以通过使用x？的公式直接计算来实现？，在声明中，他和鲁吉文。因此省略了细节。备注4.8。作为前面命题的副产品，我们得到了三重态（x？，Rd，Ru）的QRin项的特征，其中x？>0是δF的唯一极小值，Rd是R上的正连续函数*+, 这样：i）Rd（x）=Ru（x）=x，对于x≥ 十、Rd（x）<x<Ru（x），对于x<x？；ii）Rd（分别为Ru）在（0，x？）上增加（分别为减少）；iii）转换核LR，即QR（dx，dy）=u（dx）LR（x，dy），由r（x，·）=δxx定义≤x？+（qR（x）δRu（x）+（1）-qR（x））δRd（x））x>x？式中qR（x）：=x-Rd（x）Ru（x）-Rd（x）。最后，可以检查Rdand Ruare解决方案toF-1ν（Fu（x）+δF（Ru（x））=G-1ν（Gu（x）+δG（Ru（x））（4.19）Gν（Rd（x））-Gu（x）=Gν（Ru（x））-Gu（Ru（x））。（4.20）5对称边缘情况在本节中，我们研究边缘u，ν满足S（u）=u和S（ν）=ν的特殊情况。在这种情况下，我们会说边缘u和ν是对称的。请注意，在本文中使用“对称”一词的原因是，每个到期日对应的波动率在对数远期货币中是对称的。Carrand Lee[2009]和Tehranchi[2009]等进一步研究了对称模型。特别是在Carr和Lee[2009]中，这一概念被称为对称性（PCS）。

他们还提供了许多对称模型的示例，参见【Carr和Lee，2009年，第3节和第4节】。波动率与现货零相关的随机波动率模型是对称模型的典型例子。考虑一种情况，其中u和ν是某些股票价格过程S的两个连续时间的边缘，其动力学遵循随机波动率模型DST=StpVtdWt，S=1dVt=α（t，Vt）dt+β（t，Vt）dwt，其中Wand是两个独立的布朗运动。然后，简单地应用Girsanov的理论得到S（u）=u和S（ν）=ν（参见[Renault and Touzi，1996年，命题3.1]）。这包括作为特例的布莱克-斯科尔斯模型。以下命题给出了对称模型满足的另一个性质。重新调用m（resp.~m）表示δFu，ν的唯一最大化子（resp.minimizer）。提议5.1。假设u和ν是对称的，假设3.1成立。然后唯一极小值m满足m>m，由m=m给出，结果m<1。证据设m是δFu的单个最大化子，ν和/m是其最小值，其存在性由u和ν的凸阶保证。从备注3.3中我们知道，δFS（u）的最小值mS，S（ν）验证了关系m=~mS。因为u和ν是对称的，那么m=1/~m。因为u4ν，我们有m<~m，因此m<1。例5.2（对称对数正常情况）。我们给出了一个对称模型的例子，其中定律u和ν是对数正态分布u~ ln-σu, σu!, ν ~ ln-σν, σνσu<σν。它们的概率密度和累积分布函数由pi（x）=x给出√2πσiexp-（ln（x）+σi）2σi, Fi（x）=1+erfln（x）+σi√2σi, i=u，ν，其中erf是由erf（x）定义的误差函数=√πRxe-tdt，x∈ R.在这种情况下，δF的最大值和最小值m:=Fν- Fu可以显式计算。