两个边值鞅输运问题中数值的变化

事实上，它们是方程ln（y）=2∑∑∑∑∑∑∑∑ν的y中的解- σulnσνσu+σ∑∑ν，其中给定SM=exp-σuσνσν- σulnσνσu+σuσν!1/2m=m。注意，m<1<~m。下面的两个图1和图2说明了左右单调迁移计划（Ld，Lu）和（Rd，Ru），以及Hobson和Klimmek[2015]提出的基本三点带递减迁移计划。图1给出了函数δF的行为，特别显示了其最大m和最小m的位置。图1：左侧和右侧单调转移平面图2：Hobson-Klimmek转移平面5。1对称化支付具有较低的模型风险在本小节中，我们展示了如何利用边际的对称性来降低期权的模型风险。量R（u，ν，C）=P（u，ν，C）- P（u，ν，C）是与给定收益相关的模型风险的自然指标。显然，模型无风险收益包括收益C，它可以写成C（x，y）=ψ（x）+ψ（y）+h（x）（y）- x） ，因为在这种情况下R（C）=0。下面的命题表明，在某些条件下，甚至在对称边缘情况下，逆命题也是成立的。在下面的命题中，我们需要一些对偶理论。我们定义了对应于P和P asD（u，ν，C）的对偶问题：=sup（ψ，ψ，h）∈Hu（ν）+ν（ψ），D（u，ν，C）：=inf（ψ，ψ，H）∈Hu（ψ）+ν（ψ），其中H（resp.H）表示所有三元组的集合（ψ，ψ，H）∈ L（u）×L（ν）×L取该值- 十）≤ C（x，y）（分别为φ（x）+ψ（y）+h（x）（y）- 十）≥ C（x，y））对于所有x，y∈ R*+. 此外，如果P（u，ν，C）=D（u，ν，C）（分别P（u，ν，C）=D（u，ν，C）），则下界（分别为上界）不存在对偶间隙。提议5.3。设C是一个payoff，使得R（C）=0。假设对偶问题D已实现，且不存在对偶间隙。然后，就存在函数∈ L（u），ψ∈ L（ν），h∈ Lsuch thatC（x，y）=ψ（x）+ψ（y）+h（x）（y）- x） ，Q- a、 e。

Q∈ M（u，ν）。证据设C是一个payoff，使得R（C）=0，并且不存在二元间隙。性质R（C）=0意味着对于所有Q，等式[C（X，Y）]=P（u，ν，C）∈ M（u，ν）。此外，由于对偶问题已实现，因此存在对偶函数φ，ψ，h，使得u（φ）+ν（ψ）=P（u，ν，C）和C（x，y）≥ ψ（x）+ψ（y）+h（x）（y）- x） ，Q- a、 e.（5.21）自所有Q∈ M（u，ν）有边值u和ν以及鞅性质，我们有p（u，ν，C）=EQ[C（X，Y）]=EQ[ν（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）- 十） ]，Q∈ M（u，ν）。因此，我们有eq[C（X，Y）- ~n（X）- ψ（Y）- h（X）（Y）- 十） ]=0，Q∈ M（u，ν）。与（5.21）相结合，得到C（x，y）=ψ（x）+ψ（y）+h（x）（y）-x） ，Q-a.e.适用于所有Q∈ M（u，ν）。备注5.4。我们记得Beiglb¨ock等人[2013]考虑了（2.5）中关于线性增长的上半连续支付的两边际鞅极小化问题P，并证明了在某些合适的条件下存在无度差。对于原始最大化问题，可以推导出类似的结果。一般来说，相应对偶问题的值函数并不总是得到的。最近的论文Beiglb¨ock等人[2015]提出了对偶问题的准确定松弛，导致“无对偶缺口”结果扩展到存在对偶优化器的任何Borel Payoff。现在，让边缘u和ν是对称的，让C是任何线性增长的连续支付。根据命题2.6，我们得到P（u，ν，C）=P（u，ν，S）*（C） ），P（u，ν，C）=P（u，ν，S）*（C） ，表示R（u，ν，C）=R（u，ν，S）*（C） ）。特别地，这给出了R（Cα）≤ R（C）对于payoff s Cα=αC+（1-α） S*（C） 与α∈ [0, 1]. 在财务方面，这意味着新的支付α降低了模型风险。注意C（R）=C。

此外，我们还有R（S）*（Cα））=R（Cα），由于S是对合，我们得到R（C1）-α） =R（Cα）。另一方面，C1/2=（C+S*（C） ）/2=（Cα+C1-α） /2，由于R（Cα）在1/2左右的对称性，我们得到R（C1/2）=RCα+C1-α≤R（Cα）+R（C1）-α） =R（Cα）+R（Cα）=R（Cα）。因此，α=1/2实现了投资组合Cα6的最小模型风险。本文介绍了正鞅的两个边际转移问题中的数值方法的变化。特别是，我们研究了Hobson和Klimek[2015]最优耦合在数值变化下的对称性，它将I型与II型前向StartStradle交换。因此，我们证明了通过Hobson-Klimmek转移计划，两种期权的下限价格都已达到。另一方面，根据Henry Labord`Ere和Touzi[2013]对Beiglb¨ock和Juillet[2012]提出的最优转移计划的构造，我们还证明了数值变换的变化交换了左右单调转移计划，前者在鞅的正耦合下起作用，因此后者在鞅的正耦合下起作用。本文最后给出了对称对数正态边值情况下的一些数值例子。参考主义。贝格尔博克和N.朱利埃。关于边际鞅约束下的最优运输问题。《概率年鉴》，2012年。贝格洛克先生、亨利·劳德埃先生和彭克纳先生。期权价格的模型独立界限——大众运输方法。金融斯托赫。，17(3):477–501, 2013. 内政部：10.1007/s00780-013-0205-8。贝格洛克先生、纳茨先生和图兹先生。鞅最优运输的完全对偶性。arXiv预印本arXiv:1507.006712015。P·卡尔和R·李。Put调用对称：扩展和应用。数学《金融》，19（4）：523-5602009。

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