两个边值鞅输运问题中数值的变化

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英文标题：
《Change of numeraire in the two-marginals martingale transport problem》
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作者：
Luciano Campi, Ismail Laachir, Claude Martini
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper we apply change of numeraire techniques to the optimal transport approach for computing model-free prices of derivatives in a two periods model. In particular, we consider the optimal transport plan constructed in \\cite{HobsonKlimmek2013} as well as the one introduced in \\cite{BeiglJuil} and further studied in \\cite{BrenierMartingale}. We show that, in the case of positive martingales, a suitable change of numeraire applied to \\cite{HobsonKlimmek2013} exchanges forward start straddles of type I and type II, so that the optimal transport plan in the subhedging problems is the same for both types of options. Moreover, for \\cite{BrenierMartingale}\'s construction, the right monotone transference plan can be viewed as a mirror coupling of its left counterpart under the change of numeraire. An application to stochastic volatility models is also provided.
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中文摘要：
在本文中，我们将数值变化技术应用于最优运输方法，以计算两阶段模型中衍生品的无模型价格。特别地，我们考虑了在{HobsonKlimmek2013}中构造的最优运输计划，以及在{BeiglJuil}中引入并在{Brenier鞅}中进一步研究的最优运输计划。我们证明，在正鞅的情况下，适用于类型I和类型II的{HobsonKlimmek2013}交换前向启动跨座的适当数值变化，因此，对于两种类型的选项，分边问题中的最优运输计划是相同的。此外，对于{Brenier鞅}的结构，右单调转移计划可以被视为其左对应物在数值变化下的镜像耦合。还提供了随机波动率模型的应用。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Change_of_numeraire_in_the_two-marginals_martingale_transport_problem.pdf (502.98 KB)

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关键词：Mathematical Differential Construction Applications Quantitative

两个边际运输问题中的数值变化*Luciano Campi+Ismail LaachirClaude Martini§2016年2月29日摘要本文中，我们将计分法的变化应用于最优运输方法，以计算两期模型中衍生品的无模型价格。特别是，我们考虑了霍布森和克里梅克[2015]提出的最佳交通计划，以及贝伊格洛克和朱埃[2012]提出并在亨利·拉伯德和图兹[2013]进一步研究的交通计划。我们证明，在正鞅的情况下，适用于Hobson和Klimmek[2015]交换类型I和类型II的远期启动跨座的适当数值变化，因此，对于两种类型的方案，分边问题中的最优运输计划是相同的。此外，对于Henry Labord`ere and Touzi[2013]的结构，右单调迁移计划可以被视为其左对应物在数字变化下的镜像耦合。还提供了随机波动率模型的应用。关键词和短语：稳健套期保值、模型独立定价、模型不确定性、最优运输、计分变更、远期启动跨座。JEL分类：C61、G11、G13。2010年理学硕士分类：91G20，91G80。1引言设u和ν为正半直线R上的两个概率测度*+:= (0, ∞), 具有单位均值且满足凸阶意义下的u4ν，即Rfdu≤所有凸函数的Rfdνsf:R*+→ R.Strassen[1965]的一个经典定理证明了离散时间鞅=（Mt）t=0=（1，X，Y）和X的存在性~ μ和Y~ ν. 设M（u，ν）表示这种离散鞅的所有可能定律的集合，这些离散鞅具有预先指定的边缘u，ν。

如果我们将过程M解释为agiven股票的价格，任何函数C（x，y）都可以被视为写在该股票上的路径依赖期权。受模型不确定性问题的推动，最近出现了大量关于为给定选项C的价格找到无模型上限（或下限）问题的文章，其中包括最大化（或最小化）所有度量Q的预期等式[C（X，Y）]∈ M（u，ν）。事实上，任何这样的度量Q都对应于基础资产价格的某种模型。在无模型设置中，这样的价格被要求是鞅（因此没有套利），并且*这项工作得到了ANR项目ISOTACE（ANR-12-MONU-0013）的部分支持。我们要感谢罗伯特达朗的支持。感谢联合王国经济学院的皮埃尔·安托斯泰尔和杰斯泰尔·亨利·霍布森的评论ENSTA ParisTech and Zeliade Systems，法国。§Zeliade Systems，法国。有预先规定的边际u和ν，这可以像往常一样通过布里登-利岑伯格公式从观察欧洲看涨期权价格中推断出来。因此，在这种情况下，M（u，ν）是一组自然的pricingmeasures。上界supQ∈例如，M（u，ν）EQ[C（X，Y）]基本上对应于超级复制给定支付的最便宜的半静态策略的成本。下限有一个解释，作为子复制价格。最近，人们使用基于最优运输的方法来解决这些优化问题。在这方面，Beiglb–ock和Juillet[2012]对鞅运输问题进行了深入分析，并证明了对于某一类支付，最优概率是特殊类型的，称为左单调和右单调转移计划。

后来，Henry Labord`ere和Touzi[2013]为满足所谓的广义Pence-Mirrlees条件（Cxyy>0）的更一般的支付类别C提供了此类临时转移计划的明确构建。（1.1）最后，Hobson和Klimmek[2015]构建了另一个最优转移计划，给出了II型远期启动跨座的模型自由子系统复制价格，其支付| X- Y |不满足上述条件（1.1）。在本文中，我们研究了在自由定价模型中，数值变化对鞅最优运输方法的影响。据我们所知，到目前为止，在优化交通和稳健定价方面，还从未使用过数字变化。对于支持R的边缘人，我们将关注上述最佳转移计划*+, i、 e.我们将考虑具有给定边值的正鞅。我们的主要结果可以简单地表述如下：关于Hobson和Klimmek[2015]的最佳耦合度量，结果表明，第一类和第二类的正向启动跨座与第1次打击之间的数值交换变化，其中第一类的正向启动跨座的收益由| YX给出-1|. 因此，对于两种类型的前向启动跨座，这就产生了分边问题中的最优运输计划是相同的。使用不同的方法，这补充了Hobson和Klimmek[2015]关于II型前向起跑跨骑的研究结果。另一方面，关于Beiglb–ock和Juillet[2012]以及Henry Labord`ere和Touzi[2013]的左右单调最优运输计划，数值的变化可以被视为正鞅的镜像耦合。更准确地说，我们将证明，通过适当地改变数值，可以在不受左单调对应方影响的情况下获得右单调运输计划。

还研究了这种变换对广义Spence-Mirrleescondition的影响。通过改变数值也将证明其他不变性。本论文的扩展版本可在Laachir[2015]博士论文中找到。本文的结构如下。我们在第二节中介绍了数值的变化，并证明了它的主要性质。在第3节中，我们考虑了前向起始跨骑，并将Hobson和Klimmek[2015]中的结果推广到了I型前向起始跨骑。在第4节中，我们给出了正鞅的左、右单调转移计划中数值变化的应用。在最后的第5节中，我们研究了u和ν随数字变化而不变的对称情况。这种情况包括Black-Scholes模型和随机波动率模型，现货和波动率之间没有相关性（参见雷诺和图兹[1996]）。符号：o设X为某个可测空间上定义的任意随机变量(Ohm, F） 。我们用LQ（X）表示X在某些量度Q下的定律。对于X在Q下的期望，我们不同地使用旋转等式[X]或Q[X]。o我们用P=P（R）表示*+) R上的全概率测度集u*+:= (0, ∞), 配备Borelσ-B（R*+), setP=P（R*+) :=(u ∈ P:ZR*+xu（dx）=1）。所有度量的子集∈ 对于Lebesguemeasures，正密度（例如pu）用Pd表示如果u，ν∈ P、 然后Fu，Fν表示它们各自的累积分布函数。我们还使用旋转δF表示两者之间的差异，即δF=δFu，ν=Fν- Fu对于任何函数q（x），我们使用符号q（x）：=1- q（x）和Gu（x）：=Rxyu（dy）表示任何度量单位u的累计期望值。

最后id表示身份函数。2.数值变化Jamshidian[1989]在利率模型的背景下首次引入了数值变化技术，并被证明是衍生品定价的一个非常强大的工具（见Geman等人[1995]，[Jeanblanc等人，2009年，第2.4节]和其中的其他参考文献，以了解更多细节）。在这里，我们看到这样的技术可以有效地转换为无模型环境。我们考虑一个两阶段的金融市场，其中一个无风险资产的价格与一个相同，另一个有风险资产的贴现价格演变由过程（Mt）t=0=（1，X，Y）建模。分别对t=1和t=2时的价格建模的随机变量X和Y定义在标准可测空间上(Ohm, F） ，在哪里Ohm = Ohm× Ohm具有Ohm= Ohm= R*+F=B(Ohm). 对于任何ω=（ω，ω）∈ Ohm, 我们设置X（ω）=ω和Y（ω）=ω。我们设置的最终成分是两个边际定律u和ν，它们分别是关于(Ohm, B（R+）和(Ohm, B（R+），因此X（resp.Y）具有定律u（resp.ν）。在整篇论文中，我们将在以下假设下工作：假设2.1。边缘u和ν具有单位平均值，并满足凸序意义上的u4ν，即Rfdu≤所有凸函数f:R的Rfdν*+→ R.设M（u，ν）表示(Ohm, F） 这样X~ u，Y~ ν、 M是鞅。正如我们在导言中所说，根据Strassen[1965]中的一个经典定理，我们知道之前的假设保证了这样一个集合是非空的。2.1一维对称算子作为一个初步步骤，我们首先考虑静态环境下的数值变化，即边缘定律。

因此，我们将（边缘）对称算子S定义为作用于（R）上概率测度空间的算子*+, B（R）*+)) 给定的BY（u）：=L掼（1/X），u∈ P（R）*+), （2.2）其中“u”是由“u（A）=u（X1A）定义的概率度量，适用于任何A∈ B（R）*+).备注2.2。从财务角度讲，S（u）是在新概率XdP下，t=1时无风险资产价格的规律。这是通常的量度变化，与数字变化有关。模拟解释适用于S（ν）。注意，如果∈ P、 也就是说，它有单位平均值，然后是S（u）∈ Ptoo，因为S（u）[X]=u[X/X]=1。在哪里∈ Pd对于密度pu，新的测量值S（u）也有一个密度，这是由ps（u）（x）=pu（1/x）x，x>0，（2.3）给出的，因此我们特别有S（u）∈ 警察局。此外，S是对合，即So S=id。的确，我们有o 对于所有有界可测函数f，S（u）[f（X）]=S（u）[Xf（1/X）]=u[（X/X）f（X）]=u[f（X）]。为了将来的参考，我们在下面的引理中总结了我们的发现，它也包含了很少的其他性质，例如算子S保持凸序的事实。引理2.3。（2.2）中定义的对称算子满足以下性质：1。S是保持P中凸阶的对合，即SoS=id和ifu，ν∈ p满足u4ν，然后满足S（u）4 S（ν）。如果u的密度为pu，则测量值S（u）的密度由（2.3）中的pS（u）给出。如果u∈ P、 那么对于所有y>0，我们有f（u）（y）=1-Gu（1/y）和GSu（y）=1-Fu（1/y）。证据为了证明性质1，必须证明S保持测度的凸阶。让u，ν∈ 对于任何凸函数f，Rfdu≤Rfdν。由于S（u）和S（ν）都有单位质量和相同的第一时刻，这足以证明对于任何正常数K，L我们有（u）[（KX- 五十） +]≤ S（ν）[（KX-五十） +]。现在S（u）[（KX- 五十） +]=u[X（K/X- 五十） +]=u[（K- LX）+]，对于ν也是如此。

自7世纪以来→ （K）- Lx）+是一个凸函数，结果如下。上述房产2已被证实，因此仍需展示房产3。我们只展示了左边的等式，同样的参数可以用来得到另一个。根据S的定义，我们有Fs（u）（y）=S（u）（X≤ y） =u[X1（1/X≤y） ]=u[X]- u[X1（X≤1/y）]1=1-Gu（1/y）。因此，证据是完整的。2.2对称二边鞅问题在这一小节中，我们考虑两个周期设置下的数值变化。让我们成为分配给每个Q的运算符∈ M（u，ν）度量S（Q）定义为byES（Q）[f（X，Y）]=EQY-f十、 Y, 对于每个有界可测函数f.（2.4）引理2.4。操作员满足以下属性：1。S（Q）是以M（S（u），S（ν）为单位的概率，它满足oS=id，即S是对合。2.S（M（u，ν））=M（S（u），S（ν））。证据1.首先，让我们证明S（Q）∈ M（S（u），S（ν））表示Q∈ M（u，ν）。Y在S（Q）下有定律（ν）的事实源于S的定义。关于X，根据Q下的鞅性质，我们有（Q）[f（X）]=EQY-f十、= 情商Xf十、,对于所有只依赖于x的有界可测函数f，因此我们得出结论，因为x在Q下有定律u。它仍然显示鞅性质：ES（Q）[yf（x）]=EQYYf十、= 情商F十、= 情商XXf十、.现在通过Q下的鞅性质，我们得到了EQ[YXf（X）]=ES（Q）[Xf（X）]，这意味着（Q）[Y | X]=X。S是对合的事实从定义开始就紧随其后。2.为了证明S（M（u，ν））=M（S（u），S（ν）），我们注意到，这个命题中的性质1暗示了一个包含。另一个包含是对称算子S是对合的结果。备注2.5。注意，对称算子S可以看作是S的投影∈M（u，ν）。

对于任何有界可测函数f:R*+→ R、 我们有ES（Q）[f（X）]=EQ[yf（1/X）]=EQ[Xf（1/X）]=S（u）[f（X）]，其中第二个等式是由于鞅性质。因此，S（Q）被投影到产品空间R的第一个坐标中*+×R*+等于S（u）。类似地，我们可以看到S（Q）在第二个坐标上的投影是S（ν）。让C：（R）*+)→ R是任何线性增长的连续函数，即| C（x，y）|≤ κ（1+x+y）对于某些常数κ>0。通过求解下列鞅最优运输问题，可以计算此类导数的上下模型自由价格边界：P（u，ν，C）：=infQ∈M（u，ν）EQ[C（X，Y）]，P（u，ν，C）=supQ∈M（u，ν）EQ[C（X，Y）]。（2.5）他们通过过去几年由几位作者开发的对偶理论，对支付的次级和超级复制价格进行了解释（见备注5.4）。下面的命题展示了这种模型自由界相对于数值变换变化的对称性。提议2.6。让我们来确定报酬*（C） （x，y）：=yC（x，y）表示x，y>0。然后p（S（u），S（ν），S*（C） ）=P（u，ν，C），P（S（u），S（ν），S*（C） ）=P（u，ν，C）。（2.6）证据。我们只证明P的等式，P的等式可以用相同的参数来表示。在S*（C） 我们有p（S（u），S（ν），S*（C） ）=supQ∈M（S（u），S（ν））EQ[S*（C） （X，Y）]=supQ∈M（S（u），S（ν））EQ[yc（1/X，1/Y）]。使用引理2.4中的性质2和S的定义*（Q） ，我们有SUPQ∈M（S（u），S（ν））EQ[yc（1/X，1/Y）]=supQ∈S（M（u，ν））EQ[yc（1/X，1/Y）]=supQ∈M（u，ν）ES（Q）[yc（1/X，1/Y）]=supQ∈M（u，ν）EQ[C（X，Y）]=P（u，ν，C），这给出了结果。我们通过展示对称算子是如何*在提案2.6中介绍了对可对冲索赔空间的影响，我们定义了asH（u，ν）=C:（R）*+)→ R：存在∈ L（u），ψ∈ L（ν），h∈ 五十、 C（x，y）=ψ（x）+ψ（y）+h（x）（y）- x） Q-a、 e。

Q∈ M（u，ν）.这个集合包含了所有可以通过半静态投资股票和普通期权复制的收益。事实证明，这个集合是对称算子S不变的*或者，换句话说，半静态投资组合的集合不取决于数字的选择。提议2.7。集合H（u，ν）是S不变的*, i、 e.S*（H（u，ν））=H（S（u），S（ν））。证据让C∈ H（u，ν），即存在函数∈ L（u），ψ∈ L（ν），h∈ Lsuch thatC（x，y）=ψ（x）+ψ（y）+h（x）（y）- x） Q- a、 e。Q∈ M（u，ν）。让我们*（C） （x，y）：=yC（1/x，1/y）对于所有的x，y>0，且设▽ψ（x）=xа（1/x），аψ（y）=yψ（1/y），аh（x）=（1/x）-1/xh（1/x）），x，y>0。这类功能验证了∈ L（S（u）），ψ∈ L（S（ν）），~h∈ 我们可以通过直接计算来检验*（C） （x，y）＝ψ（x）＋ψ（y）＋h（x）（y）- x） ，Q-a、 e。Q∈ M（S（u），S（ν））。此外，由于S（M（u，ν））=M（S（u），S（ν）），我们有以下等价物：EQ[|C（X，Y）- ~n（X）- ψ（Y）- h（X）（Y）- 十） |]=0，Q∈ M（u，ν）<=> ES（Q）hs*（C） （X，Y）- ~n~n（X）-ψ（Y）-~h（X）（Y）- 十）i=0，Q∈ M（u，ν）<=> EQhs*（C） （X，Y）- ~n~n（X）-ψ（Y）-~h（X）（Y）- 十）i=0，Q∈ M（S（u），S（ν））。亨斯*（C） （x，y）＝ψ（x）＋ψ（y）＋h（x）（y）- x） ，Q- a、 e。，Q∈ M（S（u），S（ν）），即S*（C）∈ H（S（u），S（ν））.3远期启动跨座的无模型定价在本节中，我们应用我们对数值变化的结果来计算I型远期启动跨座的无模型子复制价格，这补充了Hobson和Klimek[2015]中获得的结果。在他们的文章Hobson和Klimmek[2015]中，考虑了在支付| Y的期权价格上计算无模型lowerbound的问题- X |到期时。这是一个II型前向StartStradle的例子，其对任何攻击α>0的支付由CαII（x，y）=| y给出- αx |，x，y>0，（3.7），而I型前向起跳跨骑的打击α>0由CαI（x，y）给出=yx- α, x、 y>0，（3.8）cf。