关于保险风险过程的耗竭问题：新的非破产

但在我们需要介绍一些对我们的分析至关重要的初步结果之前。3.光谱负Lévy过程的提取在本小节中，我们将介绍本文其余部分所需的一些概念和结果。LetX=（Xt）t>0是定义在过滤概率空间上的谱负Lévy过程(Ohm, F、 （Ft）t>0，P）。我们施加了与[1]中相同的限制，即X要么有无界变差路径，要么有界变差路径，以及相对于勒贝斯盖测度绝对连续的Lévy测度。此外，我们排除了具有单调路径的过程。因为X没有正跳跃，所以期望值EesXt存在于所有s>0，由E给出esXt=etψ（s），其中ψ（s）的形式为ψ（s）=a s+σs+Z∞（e）-x s- 1+s x1{x<1}）ν（dx），（5）其中a∈ R、 σ>0和ν是与过程相关的Lévy度量-X（有关莱维过程的详细说明，请参见[2,13]）。对于ψ的右逆，我们将Φ写在[0]上，∞). 形式上，对于每个q>0，Φ（q）：=sup{s>0:ψ（s）=q}。（6） 注意，由于X是一个光谱负的Lévy过程X，我们得到Φ（q）>0表示q>0（见[13]）。众所周知，对于每个q>0，都存在一个函数W（q）：R-→ [0, ∞) 使得W（q）（y）=0对于所有y<0满意z∞E-λyW（q）（y）dy=ψ（λ）- q、 λ>Φ（q）。（7） 这就是过程X的所谓q尺度函数{W（q），q>0}（见[13]），它是分析光谱负Lévy过程下降的一个关键概念。请注意，对于q=0，等式（7）定义了所谓的标度函数，我们只写W。在讨论提取之前，我们需要介绍与q尺度函数相关的附加函数。设W′（q）+为q标度的右导数函数。按照[16]中的表示法，我们用λ（a，q）：=W′（q）+（a）W（q）（a）表示q-尺度函数的右导数与a>0处的q-尺度函数的关系。

（8） 现在我们可以定义，对于任何a>0和p，q>0，映射Fp，q，a:R+→ R+Fp，q，a（y）：=λ（a，q）e-yλ（a，p）。（9） 此外，考虑q预解测度R（q）a（dy）=ERτae-qtYt∈戴特从[0，a]第一次退出时被杀死的Y的，可以用以下方式表示（见[18]，定理1），R（q）a（dy）：=hλ（a，q）-1W（q）（dy）- W（q）（y）dyi，y∈ [0，a]，（10）和函数（q） （a）=σhW′（q）（a）- λ（a，q）-1W′（q）（a）i（11）带（q） 当σ=0时（a）=0。（8）、（9）、（10）和（11）中的函数经常出现在本文中。以下定理将在我们的贡献中发挥关键作用。有关详细讨论和证明，请参阅[16]。定理1。考虑一个光谱负的Lévy过程X，这样X=X∈ R.M oreover，X有无界变化路径，或者有一个Lévy测度，它相对于Lebesgue测度是绝对连续的。让Y进一步表示（2）中定义的相关提款过程。让τabe表示（3）中的停止时间，这样我们就可以定义以下事件，对于给定的a>0，a={Xτa>u，Xτa∈ dv，Yτa-∈ dy，Yτa- A.∈ dh}和Ac=Xτa>u，Xτa∈ dv，Yτa=a, （12） 其中u，v，y和h表示满意≤ x、 y∈ [0，a]，v>x∨ （u+a）和h∈ （0，v）- U- a] 。然后，对于任何q，r>0，以下等式成立：Exhe-qτa-rGτaAi=W（q+r）（（x- u）∧ a） W（q+r）（a）Fq+r，q，a（v）- （十）∨ （u+a）））R（q）a（dy）ν（a）- y+dh）dv，（13）Exhe-qτa-rGτaAci=W（q+r）（（x- u）∧ a） W（q+r）（a）Fq+r，q，a（v）- （十）∨ （u+a）（q） （a）dv，（14）其中1是标准指示函数，ν是出现在（5），X中的X的Lévy度量∨ y=最大值（x，y），x∧ y=最小值（x，y），GT是（4）中定义的过程。我们注意到，上述定理适用于具有无界变分路径的谱负Lévy过程，或具有相对于Lebesgue测度绝对连续的Lévy测度的Lévy过程。这就是为什么我们把自己局限于这种过程。

这并不是限制性的，因为文献中的大多数风险保险流程都属于这一类，即它们是通过Lévy密度定义的。我们还注意到，在（12）中定义的事件中，临界水位下降是通过垂直过程X的跳跃来执行的，而它是在事件Ac上连续执行的。这两个事件以及定理1中的（13）和（14）中的预期包含了与耗竭问题有关的所有信息。本文的目的是在相关的保险模型下，为这些消耗相关随机变量的分布提供明确的表达式。4损耗问题的分析在本节中，我们使用第2节中描述的一般设置，其中X是一个光谱负的Lévy过程，要么是具有无界变化路径，要么是具有Lévy可测量的有界变化路径，Lévy相对于Lebes-gue测量是绝对连续的。本文的主要目的是研究由理论1中的量所指示的耗尽事件。原则上，我们可以通过（13）和（14）中的期望来研究所有相关质量的概率度量，以及消耗速度的拉普拉斯变换。这可以通过设置q=r=0和/或对（13）和（14）中的表达式进行积分来实现。这些表达式的显式程度将取决于q尺度函数的形式和模型的Lévy度量。尽管如此，在本节中，我们给出了一些一般性的结果，这些结果可以让我们深入了解这个问题。事实证明，在时间τa（由（3）给出）和破产时间τ（由（1）给出）之间存在联系。我们可以很容易地推断出τa≤ τa.s。

关于这件事Xτa>0, 而{τa<τ}意味着Xτa>0.此外，从这些量的定义中，我们可以看到，当初始s urplus x严格大于a时，xτ-a> 0，临界水位降的命中时间小于破产时间，即τa≤ τa.s.另一方面，当x<a时，在临界水位下降之前可能发生破产。我们现在可以陈述一个结果，它将破产事件和损耗问题联系起来。定理2。考虑一个保险风险过程（Xt）t>0，初始盈余x>0满足第2节的假设，并将a>0设为固定的临界提取规模。那么，Px（Xτa<0）=1-W（x）∧ a） W（a）+W（x）∧ a） W（a）Zy∈[0，a]Zh>01.- E-λ（a，0）hν（x）∨ A.- y+dh）R（0）a（dy），（15）其中W是标度函数，νX和R（0）的Lévy度量由（10）定义，q=0。证据我们注意到PxXτa<0= 1.- Px（Xτa>0）和Px（Xτa>0）=PxXτa>0，Yτa>a+ 二甲苯Xτa>0，Yτa=a.然后把q=r=u=0，对v积分（13）和（14）∈ [x]∨ A.∞), Y∈ [0，a]和h∈ （0，v）- a] 我们有px（Xτa>0）=W（X∧ a） W（a）“Zy”∈[0，a]Zv>x∨aF0,0，a（v- 十、∨ a） Zh∈（0，v）-a] ν（a）- y+dh）dv！R（0）a（dy）+Zv>x∨aF0,0，a（v- 十、∨ （a）（0）（a）dv.由于F0,0，ais由（9）定义，使用富比尼定理，前面的表达式给出spx（Xτa>0）=W（X∧ a） W（a）“eλ（a，0）x∨阿兹∈[0，a]Zh>0e-λ（a，0）（x）∨（h+a））ν（a- y+dh）R（0）a（dy）+（0）（a）#。（16） 我们注意到→ -∞ 对v积分（13）和（14）∈ [x]∨ A.∞), H∈ （0，v）- a] 还有y∈ [0，a]r=q=0，ZaR（0）a（dy）Z∞ν（a）- y+dh+（0）（a）=1。

（17） 利用这句话，我们推断（16）给出了x≤ aPx（Xτa>0）=W（X）W（a）“Zy∈[0，a]Zh>0e-λ（a，0）hν（a）- y+dh）R（0）a（dy）+（0）（a）#=W（x）W（a）“1-Zy∈[0，a]Zh>01.- E-λ（a，0）hν（a）- y+dh）R（0）a（dy））#，对于x>a，Px（xτa>0）=Zy∈[0，a]Zx-aν（a）- y+dh）R（0）a（dy）+Zy∈[0，a]Z∞十、-ae-λ（a，0）（h+a）-x） ν（a）- y+dh）R（0）a（dy）+（0）（a）=1-Zy∈[0，a]Z∞十、-A.1.- E-λ（a，0）（h+a）-十）ν（a）- y+dh）R（0）a（dy）=1-Zy∈[0，a]Zh>01.- E-λ（a，0）hν（x）- y+dh）R（0）a（dy）。证明了这个定理。定理2令人感兴趣，因为Px[Xτa<0]实际上是在规模a的临界水位下降之前发生破产的概率，即在区间[0，τa]内准备金降至零水平以下的概率。在第4节。1.我们首先给出了消耗相关量概率测度的一般表达式。由于从风险管理的角度来看，研究在临界水位下降时间之前未出现RUIN时的耗竭问题可能有意义，我们还计算了事件{τa<τ}上耗竭相关量的分布。这在第4节中进行。2.4.1耗尽量分布定理3。考虑一个保险风险过程（Xt）t>0，初始盈余x>0满足第2节的假设，并将a>0设为固定的临界提取规模。然后，1。临界水位降之前观测到的水位降的概率分布如下，Px（Yτa-∈ (dy)=R（0）a（dy）Z∞ν（a）- y+dh）Y∈（0，a]+（0）（a）δ（dy），（18）2。超调量超过临界降深Yτa的概率分布- a如下，Px（Yτa- A.∈ dh）=Zaν（a）- y+dh）R（0）a（dy）1h>0+（0）（a）δ（dh），（19）3。在临界水位下降之前达到的最大储量水平Xτa遵循转换指数分布，即Px（Xτa∈ dv）=λ（a，0）e-λ（a，0）（v）-x） v>xdv。证据为了证明这个结果，我们使用定理1当→ -∞ r=q=0。通过整合，1。

为了你∈ [0，a），我们有[I{Yτa]-∈dy}]=R（0）a（dy）Z∞xF0,0，a（v- x） dvZ∞ν（a）- y+dh），对于y=a，P（yτa-= a） =（0）aR∞xF0,0，a（v- x） dv。2.对于h>0，我们有ex[I{Yτa-A.∈dh}]=Z∞xF0,0，a（v- x） dvZaν（a）- y+dh）R（0）a（dy），对于h=0，P（yτa=a）=R∞xF0,0，a（v- x） dv（0）（a）3。最后，Px（Xτa∈ dv）=exi{Xτa∈dv}i=F0,0，a（v- x） dvZaR（0）a（dy）Z∞ν（a）- y+dh+（0）（a）.使用（17）和（9）得到结果。从定理3中，我们注意到Yτ的分布-Yτa的a和-a不依赖于初始盈余X和利维过程X的任何特征，临界水位下降前的最大储量水平xτa的分布始终是从初始盈余x偏移的指数分布。该结果是同一结果的典型扩展，我们研究了具有参数q的指数分布随机时间方程之前的最大储量水平xeqa的分布。现在我们把注意力转移到随机时间τa和gτa上。我们首先给出一个有趣的结果，与耗尽τa的速度有关-Gτa。这是[16]中未指出的从理论1到理论1的直接结果，但对表达式（13）中所有成分的实际评估至关重要。提议1。在与定理1相同的假设和定义下，随机变量Gτa和τa-Gτ是独立的。证据可以很容易地验证定理1中的陈述在较弱的条件下仍然适用于qand r。事实上，（13）中的结果适用于q>0和q+r>0，而不仅仅适用于原始陈述中指出的q，r>0。事实上，当我们想在定理1给出的表达式中考虑q和q+r尺度函数时，证明中出现了关于q和r的条件。由于标度函数sw（q）、W（q+r）正好定义为q，q+r>0。根据定义，Gτa和τa-Gτa是正的P-几乎肯定是有限的随机变量。

众所周知，对于r，q>0，二元拉普拉斯变换Exhe-rGτa-q（τa）-Gτa）表征了Gτa和τa的联合分布-Gτa（参见示例[6]）。很明显，Exhe-rGτa-q（τa）-Gτa）i=Exhe-qτa-（r）-q） Gτai，以及Gτa和τa的二元拉普拉斯变换的表达式-Gτ可以通过定理1中的（13）和（14）得到。由于a的乘积（ndi）和q的乘积（ndir）仅取决于a的函数，因此a的乘积（ndir）和q的乘积（ndir）仅取决于a的函数。提议2。考虑一个保险风险过程（Xt）t>0，初始盈余x>0满足第2节的假设，并将a>0设为固定的临界提取规模。当q>0，q+r>0时，τa和gτa的二元拉普拉斯变换由exhe给出-qτa-rGτai=λ（a，q）λ（a，q+r）Zy∈[0，a]Zh>0ν（a）- y+dh）R（q）a（dy）+（q） （a）！。（20） 证据。现在，就像在命题1的证明中一样，我们注意到定理1的结果仍然是有效的≥ 0和r+q≥ 0.德宁大学→ -∞ 并将（13）和（14）关于v，h和y的积分，得到-qτa-rGτai=Zv>xFq+r，q，a（v- x） dvZy∈[0，a]Zh>0ν（a）- y+dh）R（q）a（dy）+（q） （a）！。根据Fq+r，q，a（.）的定义（9），我们有∞xFq+r，q，a（v- x） dv=λ（a，q）λ（a，q+r）。用最新的方程式代替雅思，Exhe-qτa-rGτai=λ（a，q）λ（a，q+r）Zy∈[0，a]Zh>0ν（a）- y+dh）R（q）a（dy）+（q） （a）！。备注1。将r=0放入（20）中，τais的拉普拉斯变换由ex给出E-qτa=Zy∈[0，a]Zh>0ν（a）- y+dh）R（q）a（dy）+（q） （a）。使用q=0的（20）和（17）由exhe给出的Gτais的拉普拉斯变换-rGτai=λ（a，0）λ（a，r）。（21）在下面，我们将提供耗尽随机变量τa的拉普拉斯变换表达式-Gτa.定理4。

考虑一个保险风险过程（Xt）t>0，初始盈余x>0满足第2节的假设，并假设a>0是一个固定的临界提取规模。然后，对耗尽速度τa进行拉普拉斯变换-Gτais由exhe给出-q（τa）-Gτa）i=λ（a，q）λ（a，0）Zy∈[0，a]Zh>0ν（a）- y+dh）R（q）a（dy）+（q） （a）！。证据通过命题1，我们知道Gτa和τa-对于独立变量q，则τe>exhaar-rGτaiExhe-q（τa）-Gτa）i=Exhe-rGτa-q（τa）-Gτa）i=Exhe-qτa-（r）-q） Gτai。（22）我们现在可以通过设置q来找到方程式（22）右端的表达式*= q和r*= R- q和使用（20）。换句话说，自从q*> 0和q*+ R*> 0，我们就可以写xhe了-qτa-（r）-q） Gτai=Exhe-Q*τa-R*Gτai=λ（a，q）*)λ（a，q）*+ R*)Zy∈[0，a]Zh>0ν（a）- y+dh）R（q）*)a（dy）+（q）*)（a） ！。替换q*= q和r*= R- 将q转化为（24）并使用命题2中的等式（22）和等式（21）得出结果。4.2风险管理中损耗量的分布在本节中，我们研究第4.1节中讨论的给定事件的损耗量条件分布表达式Xτa>0. 这个集合保证了在临界水位下降时间之前不会发生破坏。在下一节中，我们使用符号P（；A）和E[；A]表示P（。∩ A） 和E[.1A]。提议3。考虑一个保险风险过程（Xt）t>0满足第2节的假设，初始盈余x>0，并将a>0设为固定的临界提取规模。然后，1。在给定事件的临界水位下降之前观察到的水位下降的条件分布Xτa>0isPxYτa-∈ dy | Xτa>0=R（0）a（dy）eλ（a，0）x∨aRh>0e-λ（a，0）（x）∨（h+a））ν（a- y+dh+（0）（a）δ（dy）1-雷∈[0，a]Rh>01.- E-λ（a，0）hν（x）∨ A.- y+dh）R（0）a（dy），2。

超调量在临界降深Yτa上的条件分布- 一个给定的事件Xτa>0isPxYτa- A.∈ dh | Xτa>0=E-λ（a，0）（x）∨（h+a）-十、∨a） Raν（a）- y+dh）R（0）a（dy）1h>0+（0）（a）δ（dh）1-雷∈[0，a]Rh>01.- E-λ（a，0）hν（x）∨ A.- y+dh）R（0）a（dy），3。事件发生时，在规模严重缩减之前达到的最大储备水平的有条件分布Xτa>0isPxXτa∈ dv | Xτa>0=λ（a，0）e-λ（a，0）（v）-十、∨（a）房车-aRaν（a）- y+dh）R（0）a（dy）+（0）（a）1.-雷∈[0，a]Rh>01.- E-λ（a，0）hν（x）∨ A.- y+dh）R（0）a（dy）v>x∨副词。证据从定理2中可以清楚地看出px（Xτa>0）=W（X∧ a） W（a）1-Zy∈[0，a]Zh>01.- E-λ（a，0）hν（x）∨ A.- y+dh）R（0）a（dy）！。（23）使用u=0和r=q=0的定理1得出：1。为了你∈ [0，a），我们有px（Yτa）-∈ dy；Xτa>0）=R（0）a（dy）W（X∧ a） W（a）Z∞十、∨aF0,0，a（v- （十）∨ a） ）Zh∈（0，v）-a] ν（a）- y+dh）dv（24）和y=a，PYτa-= A.Xτa>0=W（x）∧a） W（a）（0）（a）R∞十、∨aF0,0，a（v- 十、∨ a） dv。利用富比尼定理和（24）中的方程（9），我们得到了pxYτa-∈ dy；Xτa>0=W（x）∧ a） W（a）R（0）a（dy）eλ（a，0）x∨aZh>0e-λ（a，0）（x）∨（h+a））ν（a- y+dh+（0）（a）δ（dy）（25）定理的第一部分通过使用（25）和（23）得到。对于h>0，我们有Ex{Yτa-A.∈dh}；Xτa>0=W（x）∧ a） W（a）Z∞十、∨（h+a）F0,0，a（v）- 十、∨ a） dvZaν（a）- y+dh）R（0）a（dy），（26）对于h=0，PYτa=a；Xτa>0=W（x）∧a） W（a）R∞十、∨aF0,0，a（v- 十、∨ a） dv（0）（a）。定理第二部分的证明是通过将最后一个等式（26）和（23）应用到条件分布的定义中来完成的。3.在最后，对于v>x∨ aPx（Xτa）∈ dv；Xτa>0）=W（X∧ a） W（a）F0,0，a（v）- 十、∨ （a）Zv-氮杂ν（a）- y+dh）R（0）a（dy）+（0）（a）dv。（27）使用（27）和（23）完成证明。提议4。考虑一个保险风险过程（Xt）t>0满足第2节的假设，初始盈余x>0，并将a>0设为固定的临界提取规模。

然后，对于q，r>0，我们有-qτa-rGτa；Xτa>0i=W（q+r）（X∧ a） W（q+r）（a）λ（a，q）λ（a，q+r）Zy∈[0，a]Zh>0e-λ（a，q+r）（x）∨（h+a）-十、∨a） ν（a）- y+dh）R（q）a（dy）+（q） （a）！。（28）证据。与前面命题的证明一样，在定理1的（15）和（16）中加入u=0，并将它们与v、h和y积分，以及切换积分dv和dh积分，即可得到结果。我们注意到，总的来说Xτa>0, τa-Gτa和Gτa不再是自变量（尤其是当扩散系数σ为正时）。5三个Lévy保险风险过程的例子我们在本节研究了三个风险过程X的例子，它们满足第2节所述的一般设置，从初始s urplus X开始≥ 0，没有布朗运动部分，即拉普拉斯指数σ=0（5）。因此，第4节中的结果适用于我们的问题，它们为我们提供了充分研究消耗问题的工具。由于所研究的模型中σ=0，集合Acin定理1为空，且系数为（q） （a）不会出现在续集中。在本文中，我们的目标是计算相关保险风险过程中与损耗相关的随机变量的分布表达式。事实证明，当模型的q尺度函数具有可处理形式时，理论1、2、3和4中的结果导致消耗相关随机变量分布的显式表达式。事实上，我们将看到q尺度函数的可处理形式分别由（8）、（9）和（10）中定义的函数λ、Fp、q、a和R（q）继承。这些函数是定理1、2、3和4的一般表达式中的关键成分。在本节中，我们将展示一些有趣的保险模型示例，这些模型具有可处理的q-标度函数，导致损耗随机变量分布的相对简单的表达式。