关于保险风险过程的耗竭问题：新的非破产

在下文中，我们将更详细地分析三个模型，对于这三个模型，我们可以对耗竭问题有一个明确的理解：o具有指数索赔的经典Cramer-Lundberg模型，o伽马风险过程，o以及光谱负稳定风险过程。5.1指数索赔的经典Cramer-Lundberg模型[15]中介绍了所谓的经典或Cramer-Lundberg模型。风险过程X是从X>0开始的复合泊松过程，即Xt=X+ct-NtXi=1Zi，（29），其中假设索赔数量遵循强度为λ的泊松过程（Nt）t>0。这与代表索赔规模的正随机变量和iid随机变量（Zn）n>1无关。对于某些安全荷载系数θ>0，荷载溢价c的形式为c=（1+θ）λE[Z]。当索赔额以平均值1/u的指数分布时，该模型中的q-scalefunction的形式相对简单。在这种情况下，Lévy度量采用简单的f形式ν（dx）=λK（dx），其中K是与索赔规模相关联的指数概率度量。反过来，（5）中的拉普拉斯分量变成，ψ（s）=cs- λ[φK（s）- 1] ，s>0，（30），其中φK（s）=μu+s是指数分布的拉普拉斯变换（例如参见[13]）。在这种情况下，保险费率为c=λ（1+θ）u，其中θ>0是正安全负载。这样一个过程的路径是线性的，所以它相应的下降过程非常简单。tXtXτaGτaτaaYτa>aYτ-aXτatYtGτaτaYτ-aaYτA图2：复合泊松过程X的路径，相应的下降过程Y及其相关的消耗量。长期以来，该模型一直是教科书上的一个例子，可以显式计算破产相关数量的分布。这实际上是可能的，这要归功于q尺度函数的可处理形式，尽管这可能没有立即被认识到。

事实证明，就像破产问题一样，q尺度函数的这种易于处理的形式也允许对耗尽问题进行明确的研究。这里，我们给出了q标度函数的形式，并详细研究了这个特殊例子的耗尽问题。此外，我们还导出了定理1、2、3和4的耗尽随机变量分布的显式表达式f。在这种情况下，q尺度函数的表达式是已知的，由w（q）（x）=c（Φ（q）+u）给出- cλuc（Φ（q）+u）eΦ（q）x- λue-u-λuc（Φ（q）+u）十、（31）Φ（q）=2cq+λ- cu+p（q+λ）- cu）+4quc. 有关详细信息，请参见[11]。现在我们还需要函数λ和R（q）a的表达式。这些在下面的结果中给出。提议5。考虑Xtin（29）过程，其中Zi是相同独立的指数随机变量，平均值为1/u，且a>0是临界下降大小。那么，λ（a，q）=Φ（q）+λuhc（Φ（q）+u）- λuic（Φ（q）+u）（Φ（q）+u）ceΦ（q）+u-λu（Φ（q）+u）cA.- λu, （32）R（q）a（dy）=cλ（a，q）δ+λ（a，q）W′（q）（y）- W（q）（y）Y∈（0，a]dy，其中W（q）和W′（q）分别由（31）和d（33）给出。证据通过定义，λ（a，q）=W′（q）+（a）W（q）（a）。参考等式（31），我们可以看到W（q）是（0）上的可导函数，∞) 通过微分方程（31），我们可以直接得到，W′（q）（x）=Φ（q）W（q）（x）+λuch（Φ（q）+u）c- λuiφ（q）+u -λu（Φ（q）+u）cE-u-λu（Φ（q）+u）cx=Φ（q）W（q）（x）+λuc（Φ（q）+u）e-u-λu（Φ（q）+u）cx、 （33）定义（8）中的（31）和（33）组合产生第一个结果。由于W（q）是一个递增函数，质量为x=0，回想一下，在这种情况下（见[13]），W（q）（0）=1/c，我们有W（q）（dx）=W′（q）（x）dx+cδ（dy）。

直接替换为定义（10）R（q）ayields的第二个结果。关于损耗相关量的主要结果以W（q）和λ（a，q）的形式给出，q=0。在本例中，这些表达式采用更简单的形式，并在下面的结果中给出。提议6。考虑Xtin（29）过程，其中Zi是相同独立的指数随机变量，平均值为1/u，且a>0是临界下降大小。那么，W（x）=μλ（1+θ）θ1 + θ - E-θ1+θx,W′（x）=μλ（1+θ）e-μθ1+θx，λ（a，0）=μθ（1+θ）（1+θ）euθ1+θa- 1.,F0,0，a（y）=μθ（1+θ）（1+θ）euθ1+θa- 1.经验-θy（1+θ）（1+θ）euθ1+θa- 1.,R（0）a（dy）=μλθeμθ1+θ（a）-y）- 1.Y∈（0，a]dy+λθ（1+θ）euθ1+θa- 1.δ（dy）。证据通过在命题中设置q=0，这是直接的？？和5，c=λ（1+θ）u，并使用定义（9）和（10）。简单地回忆一下Φ（0）=0。我们现在给出定理2、3和4中分布的显式表示，因为它们专门用于这种情况。提议7。考虑定义（29）形式的保险风险流程（Xt）t>0，初始水平X>0，并假设a>0为固定的临界提取规模。那么，Px（Xτa<0）=1-W（x）∧ a） W（a）1.-λ（a，0）u+λ（a，0）e-u（x）∨A.-（a）, （34）其中λ（a，0）和s标度函数W在命题6中给出。证据为了证明这个命题，我们使用Px的表达式Xτa<0理论2给出。但在这个模型中σ=0，所以我们有（0）（a）=0和px（Xτa<0）=1-W（x）∧ a） W（a）+W（x）∧ a） W（a）Zy∈[0，a]Zh>01.- E-λ（a，0）hν（x）∨ A.- y+dh）R（0）a（dy），（35）过程的Lévy度量Stisν（dx）=λue-uxdx。因此，通过将其替换为（35）中的内部积分，我们得到了zh>01.- E-λ（a，0）hν（x）∨ A.- y+dh）=Zh>01.- E-λ（a，0）hλue-u（x）∨A.-y+h）dh=λe-u（x）∨（a）euy-μu+λ（a，0）euy. 另一方面，我们有λ，λ。

（37）通过将（37）和（36）应用到（35）中，我们得到px（Xτa<0）=1-W（x）∧ a） W（a）+W（x）∧ a） λ（a，0）e-u（x）∨A.-a） W（a）（u+λ（a，0））命题8。考虑定义（29）形式的保险风险流程（Xt）t>0，初始水平X>0，并假设a>0为固定的临界提取规模。然后，1。在临界水位降之前观察到的最大水位降遵循一个不同的分布on（0，a）和狄拉克测度0，Px（Yτa）的混合-∈ dy）=θE-u1+θ（a）-y）- E-u（a）-y）Y∈（0，a]dy+θ（1+θ）e-u1+θa- E-uaδ（dy），2。超过临界压降Yτa的超调量- a服从指数分布，平均值为1/u，Px（Yτa- A.∈ dh）=ue-uhh>0dh。证据我们用定理3证明了这一点。这里σ=0，自然（0）（a）=0.1。通过插拔∞ν（a）- y+dh）=λe-u（a）-y） 在（18）中我们有px（yτa）-∈ dy）=λe-u（a）-y） R（0）a（dy）。（38）我们使用命题6.2中给出的R（0）a（dy）表达式来总结定理的第一部分。为了证明定理的第二部分，我们有ν（a）- y+dh）=λue-（a）-y+h）udh。（39）对于h>0，y∈ [0，a]。将（19）中的（39）替换为spx（Yτa- A.∈ dh）=ue-uhdh。我们现在提供了Gτaas和τaas的联合拉普拉斯变换以及耗尽速度的拉普拉斯变换的显式表达式。注意，gτa的拉普拉斯变换是λ（a，q）的一个简单函数，可以使用命题2和方程（32）以简单的方式进行计算。提案9。考虑定义（29）形式的保险风险流程（Xt）t>0，初始水平X>0，并假设a>0为固定的临界提取规模。然后，对于q，r>0,1。由exhe给出的τaan和gτais的二元拉普拉斯变换-qτa-rGτai=Φ（q）+uλ（a，q）- Φ（q）λ（a，q+r）eΦ（q）a，（40）与Φ（q）=（2c）-1.q+λ- cu+p（q+λ）- cu）+4quc,2.

耗尽速度τa的拉普拉斯变换-Gτais由Exhe给出-q（τa）-Gτa）i=Φ（q）+uλ（a，q）- Φ（q）λ（a，0）eΦ（q）a.回想一下λ（a，.）在6号提案中给出。证据σ=0时，自然如此（0）（a）=0.1。过程X的Lévy度量是ν（dx）=λue-uxdx和soR∞ν（a）- y+dh）=λe-u（a）-y） 。现在使用Propos 2，因为它专门用于本案例y ields，Exhe-qτa-rGτai=λ（a，q）λe-uaλ（a，q+r）Zy∈[0，a]euyR（q）a（dy）。（41）使用now命题5，我们可以计算下列积分λe-微蓝∈[0，a]euyR（q）a（dy）=λλ（a，q）W（q）（a）- λe-uaμλ（a，q）+1ZaeuyW（q）（y）dy.（42）为了完成证明，最好找到一个表达式。通过在命题中使用等式（31）？？，我们有μyW（q）（y）dy=Φ（q）+u（Φ（q）+u）c- λue（Φ（q）+u）a- eλu（Φ（q）+u）ca. （43）现在，通过将等式（43）和（42）组合成（41），我们得到-qτa-rGτai=λ（a，q+r）W（q）（a）- （u+λ（a，q））Φ（q）+u（Φ（q）+u）c- λueΦ（q）a- E-u-λu（Φ（q）+u）cA.分别使用W（q）（a）和λ（a，q）的表达式（31）和（32），我们推断：-qτa-rGτai=λ（a，q+r）（Φ（q）+u）c- λueΦ（q）ac（Φ（q）+u）ceΦ（q）+u-λu（Φ（q）+u）cA.- λu=（Φ（q）+u）（λ（a，q）- Φ（q））eΦ（q）aμλ（a，q+r）。这就完成了证明。2.以类似的方式，使用命题中的表达式将定理4专门化到这种情况下？？结果是5。在下面的命题中，我们提供了给定事件{Xτa>0}的耗尽量的条件分布。在{Xτa>0}事件的存在下，表示τa和τain的联合拉普拉斯变换也很有趣，因此我们在下面的命题中讨论了这一点。提议10。考虑定义（29）形式的保险风险流程（Xt）t>0，初始水平X>0，并假设a>0为固定的临界提取规模。然后，1。二甲苯Yτa-∈ dy | Xτa>0= λe-u（a）-y） R（0）a（dy）1[0，a]（y），2。

二甲苯Yτa- A.∈ dh | Xτa>0=ue-λ（a，0）（x）∨（h+a）-十、∨（a）-uhdh1-λ（a，0）u+λ（a，0）e-u（x）∨A.-a） h>0,3。二甲苯Xτa∈ dv | Xτa>0=λ（a，0）e-λ（a，0）x∨a（e）-λ（a，0）v-E-（λ（a，0）+u）v+ua）1-λ（a，0）u+λ（a，0）e-u（x）∨A.-a） v>x∨adv，4。告密-qτa-rGτa；Xτa>0i=W（q+r）（X∧a） W（q+r）（a）（u+Φ（q））（λ（a，q）-Φ（q））μλ（a，q+r）1.-λ（a，q+r）u+λ（a，q+r）e-u（x）∨A.-（a）.证据为了证明这个命题，我们需要使用命题3和命题4.1。为了说明第一部分我们如何计算（25）中给出的表达式。事实上，通过考虑x和a之间的不同情况，我们得到了pxYτa-∈ dy；Xτa>0=W（x）∧ a） W（a）λe-u（a）-y） R（0）a（dy）1.-λ（a，0）u+λ（a，0）e-u（x）∨A.-（a）. （44）在另一边，到了（34）我们有了pxXτa>0=W（x）∧ a） W（a）1.-λ（a，0）u+λ（a，0）e-u（x）∨A.-（a）（45）将（45）和（44）应用于（25）得到定理第一部分的结果。2.为了展示这一部分，我们还计算了（26）中给出的表达式。在简化了表示离子wehavePx之后Yτa- A.∈ 卫生署；Xτa>0=W（x）∧ a） W（a）ue-λ（a，0）（x）∨（h+a）-十、∨（a）-uh卫生署。（46）再次应用（46）和（45）到（26）证明定理第二部分的结果。3.这一部分可以通过计算（27）中给出的表达式并使用（45）来证明。事实上，经过一些简化，我们得到了PxXτa∈ dv；Xτa>0=W（x）∧ a） W（a）λ（a，0）e-λ（a，0）x∨A.E-λ（a，0）v- E-（λ（a，0）+u）v+uadv。（47）为了结束证明，我们只需要将（47）和（45）替换为（27）。定理的最后一部分可以通过计算（28）中的表达式直接显示出来。从（40）中可以清楚地看出λZy∈[0，a]euyR（q）a（dy）=Φ（q）+uλ（a，q）- Φ（q）λ（a，q）e（Φ（q）+u）a.（48）因此，如果我们将（48）应用于（28）中的表达式，并简化表达式，那么证明是完整的。备注2。在定理10的假设下，可以看出。根据理论10的第一部分，事件{Yτa-∈ dy}与事件{Xτa>0}无关。事实上，通过回忆（38）我们有PxYτa-∈ dy | Xτa>0= λe-u（a）-y） R（0）a（dy）=Px（yτa-∈dy）。

因此，知道Xτ并不影响临界降深Yτa之前最大降深的分布-.2.根据定理10的第二部分，如果x<a，那么随机变量Yτa- 给定的{Xτa>0}遵循h参数u+λ（a，0）的指数分布。换句话说，PxYτa- A.∈ dh | Xτa>0= （u+λ（a，0））e-（u+λ（a，0））hh>0.3。从（τa，Gτa）的联合拉普拉斯变换，我们推导出Gτa和τa-Gτaare事件上的独立变量Xτa>0. 因此，耗尽随机变量τa的拉普拉斯变换-Gτa，给定事件Xτa>0伊塞克斯-q（τa）-Gτa）| Xτa>0i=u+Φ（q）μλ（a，q）- Φ（q）λ（a，0）。5.2伽马风险过程伽马风险模型在[5]中引入，定义为xt=x+ct- St，（49），其中，假设总索赔过程（St）t>0遵循伽马从属函数，且Lévy测度ν（dx）=αx-1e-βxdx，x>0，其中α，β>0。荷载溢价c的形式为c=（1+θ）E[S]f或某个安全荷载系数θ>0。反过来，（5）中的拉普拉斯指数变成，ψ（s）=cs- αln（1+sβ）。s>0时，我们建议读者参考[8]来讨论风险理论中的从属模型。在本节中，我们将提供Xτa，Xτa，Yτa的表达式-和Yτa- 与Xt=ct给出的进程X相关的ass- 首先，为了找到这些表达式，我们需要首先为x提供W（x）。让过程x从x>0开始。基于[13]第8章给出的关于谱负Lévy过程生存概率的结果，1- φ（x）=ψ′X（0+）W（X）如果ψ′X（0+）大于00，否则，（50）其中φ（X）是破产概率，ψXis是X的拉普拉斯指数。另一方面，[5]给出了Xt=ct的生存概率的另一个表达式- 当S是伽马次心音时。也就是说，1- φ（x）=θ1+θXn>0（1+θ）nM*n（x），（51），其中M（x）=βRxR∞βtu-1e-UDT=1+βxE（βx）。

这里E（x）=R∞徐-1e-udu是指数积分函数，M*n（x）=RxM*（n）-1） （十）- y） M′（y）dy是n次卷积，其中M′（y）=βE（βy）。作为ψ′X（0+）=c- ψ′S（0+）=c-αβ和c=α（1+θ）β，我们有ψ′X（0+）=αθβ>0。现在，通过使（50）和（51）相等，我们可以得到W（x）的表达式。更精确地说，我们有，W（x）=β（1+θ）αXn>0（1+θ）nM*n（x）。（52）取（52）中W（x）的导数，W′（x）=β（1+θ）αXn>0（1+θ）n（M）*n） ′（x）=β（1+θ）αXn>0（1+θ）nZxM*（n）-1)x（x）- y）* M′（y）dy.（53）这就得到了λ（a，0），λ（a，0）=W′（a）W（a）=Pn>0（1+θ）n（M）的以下表达式*n） ′（a）Pn>0（1+θ）nM*n（a）。（54）使用（52）、（53）和（54）还可以提供F0,0、a（x）和R（0）a（dy）的表达式。提议11。考虑定义（49）形式的保险风险流程（Xt）t>0，初始水平X>0，并将a>0设为固定的临界提取规模。那么，Px[Xτa<0]=1-W（x）∧ a） W（a）+W（x）∧ a） e-β（x）∨a） W（a）Gβ，β（x∨ （a）- Gβ+λ（a，0），β（x∨ （a）.式中，Gγ、β（v）、λ（a，0）和W（a）由（55）、（54）和（52）给出。证据再次像我们在上一小节中所做的程序一样，为了证明这个命题，我们需要使用定理2。这里σ=0，所以很自然（0）（a）=0。我们只需要计算定理2中给出的Px[Xτa<0]表达式中的积分。过程Stisν（dx）=αx的Lévy测度-1e-βxdx。因此，通过将其替换为RV-aν（a）- y+dh）我们有zh>01.- E-λ（a，0）hν（x）∨ A.- y+dh）=αZ∞1.- E-λ（a，0）h（十）∨ A.- y+h）-1e-β（x）∨A.-y+h）dh=αE（β（x）∨ A.- y） )- eλ（a，0）（x）∨A.-y） E（（β+λ（a，0））（x∨ A.- y） ),式中，Eis是本征积分函数。现在，定义以下函数。Gγ，β（v）=Z∞E-γhZa（v+h）- y）-1eβyR（0）a（dy）dh，（55）对于γ，v>0。很明显，Gβ，β（a）=eβaα，因为αZaE（β（a- y） R（0）a（dy）=1。因此，通过应用数值方法，我们可以计算函数Gγ，β。要结束证明，只需在（15）中应用（55）。

因此，我们有px（Xτa<0）=1-W（x）∧ a） W（a）+W（x）∧ a） e-βx∨aW（a）Gβ，β（x∨ （a）- Gβ+λ（a，0），β（x∨ （a）.现在，我们将为每个随机变量Yτa的分布提供表示-安迪·τa- a、 提议12。考虑定义（49）形式的保险风险流程（Xt）t>0，初始水平X>0，并假设a>0为固定的临界提取规模。然后，1。Yτa的分布-, 在尺寸a的临界降深之前观察到的最大降深为：Ex[1{Yτa-∈dy}]=αE（β（a）- y） R（0）a（dy），2。a级临界降深的超调量为：Ex[1{Yτa-A.∈dh}]=αe-β（a+h）Za（v+h）- y）-1eβyR（0）a（dy）dh。证据因此σ=0（0）（a）=0.1。很明显，R∞ν（a）- y+dh）=αE（β（a- y） ）。通过将其插入（18），我们得到了ex1{Yτa-∈dy}]=αE（β（a）- y） R（0）a（dy）。为了证明定理的第二部分，我们有ν（a）- y+dh）=αe-β（a）-y+h）（a）- y+h）-1dh。（56）对于h>0，y∈ [0，a]。在（19）中用（56）代替[1{Yτa]-A.∈dh}]=αe-β（a+h）Za（v+h）- y）-1eβyR（0）a（dy）dh。5.3光谱负稳定过程在本节中，我们正在研究a级撤资过程Y中第一次通过时间的最小运行时间。事实上，我们研究了当XT是一个具有稳定参数α的谱负稳定过程时，第一段时间的运行最小值低于0的概率∈ (1, 2).此外，我们给出了每个随机过程Xτa，Yτa的分布的表示-安迪·τa- a与上面给出的主流程X关联。设Xt为稳定参数α的谱负稳定过程∈ （1,2）和拉普拉斯指数φ（s）=sα，对于s>0。此外，（5）中的Lévy度量是ν（dx）=x的βx1+αdx，β>0。可以看出（例如参见[14,16]）w（q）（x）=αxα-1E′α，1（qxα），（57）对于x，q>0，其中Eα，1（x）=Pk>0zkΓ（1+αk）是Mittag-Le-finger函数，Γ是gamma函数。提议13。

设Xt为稳定参数α的稳定过程∈ （1,2）并设a>0为临界降深尺寸。那么λ（a，q）=α- 1a+qαaα-1E′α，1（qaα）E′α，1（qaα），（58）R（q）a（dy）=αyα-2E′α，1（qyα）α - 1λ（a，q）- Y+qαy2α-2λ（a，q）E′α，1（qyα）阿迪。（59）证据。取（57）对x的导数，用λ（a，q）代入（8）（分别在R（q）和agivenby（10）中）得到（58）（（59））。作为命题13的一个特例，我们有λ（a，0）=α- 1a和R（0）a（dy）=（αayα-2.- αyα-1） dy.（60）14号提案。考虑一个稳定参数为α的谱负稳定过程（Xt）t>0∈ （1,2）当初始盈余x>0时，将a>0设为固定的临界提取规模。然后px（Xτa<0）=1-十、∧ aaα-1+ β十、∧ aaα-1.H0,0,0（x∨ a） α- Hλ（a，0），λ（a，0），0（x∨ （a）其中λ（a，0）由（58）给出，ga，α，0（v）由（61）定义。证据为了证明这个命题，我们需要再次使用定理2。过程的Lévy度量-Xtisν（dh）=βh1+αdh表示β>0。因此，通过将其替换为Rh>01.- E-λ（a，0）hν（x）∨ A.- y+dh）我们有zh>01.- E-λ（a，0）hν（x）∨ A.- y+dh）=Zh>x∨A.-Y1.- eλ（a，0）（x）∨A.-y） e-λ（a，0）hβh1+αdh=βα“（x∨ A.- y） α- eλ（a，0）（x）∨A.-y） Zh>x∨A.-yαe-λ（a，0）hh1+αdh#。现在定义γ，γ，q（v）=Z∞E-γ-hZae-γyR（q）a（dy）（v）- y+h）α+1dh。（61）我们可以使用数值方法来计算给定值v的Hγ，γ，q（v）。对于特殊情况γ=γ=0，v=a和q=0，我们有h0,0,0（a）=ZaR（0）a（dy）（a）- y） α=αβ，（62）因为Zaz∞β（a）- y+h）1+αR（0）a（dy）=1。为了结束证明，将（61）和（62）替换为（15）是足够的。因此，经过一些简化后，我们得到px（Xτa<0）=1-十、∧ aaα-1+ β十、∧ aaα-1.H0,0,0（x∨ a） α- Hλ（a，0），λ（a，0），0（x∨ （a）15号提案。考虑一个稳定参数为α的谱负稳定过程（Xt）t>0∈ （1,2）当初始盈余x>0时，将a>0设为固定的临界提取规模。然后，1。