关于保险风险过程的耗竭问题：新的非破产

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英文标题：
《On the Depletion Problem for an Insurance Risk Process: New Non-ruin
  Quantities in Collective Risk Theory》
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作者：
Zied Ben-Salah, H\\\'el\\`ene Gu\\\'erin, Manuel Morales and Hassan Omidi
  Firouzi
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  The field of risk theory has traditionally focused on ruin-related quantities. In particular, the socalled Expected Discounted Penalty Function has been the object of a thorough study over the years. Although interesting in their own right, ruin related quantities do not seem to capture path-dependent properties of the reserve. In this article we aim at presenting the probabilistic properties of drawdowns and the speed at which an insurance reserve depletes as a consequence of the risk exposure of the company. These new quantities are not ruin related yet they capture important features of an insurance position and we believe it can lead to the design of a meaningful risk measures. Studying drawdowns and speed of depletion for L\\\'evy insurance risk processes represent a novel and challenging concept in insurance mathematics. In this paper, all these concepts are formally introduced in an insurance setting. Moreover, using recent results in fluctuation theory for L\\\'evy processes, we derive expressions for the distribution of several quantities related to the depletion problem. Of particular interest are the distribution of drawdowns and the Laplace transform for the speed of depletion. These expressions are given for some examples of L\\\'evy insurance risk processes for which they can be calculated, in particular for the classical Cramer-Lundberg model.
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中文摘要：
传统上，风险理论领域主要关注与破产相关的数量。特别是，多年来，人们对所谓的预期贴现惩罚函数进行了深入的研究。尽管与破产有关的数量本身就很有趣，但它们似乎并没有捕捉到保护区的路径依赖性质。在本文中，我们的目的是展示提取的概率特性，以及保险准备金因公司风险敞口而耗尽的速度。这些新的数量与破产无关，但它们捕捉到了保险头寸的重要特征，我们相信这可以导致设计有意义的风险度量。研究列维保险风险过程的提取和消耗速度代表了保险数学中一个新颖且具有挑战性的概念。在本文中，所有这些概念都是在保险环境中正式引入的。此外，我们利用最近在列维过程涨落理论中的结果，导出了与耗尽问题有关的几个量的分布表达式。特别有趣的是水位下降的分布和消耗速度的拉普拉斯变换。这些表达式是针对可以计算的列维保险风险过程的一些例子给出的，特别是对于经典的Cramer-Lundberg模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--

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PDF下载：
--> On_the_Depletion_Problem_for_an_Insurance_Risk_Process:_New_Non-ruin_Quantities_.pdf (384.82 KB)

2022-5-6 09:25:12 上传

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关键词：Applications distribution Differential Quantitative risk theory

关于保险风险过程的耗竭问题：集体风险理论中的新非破产量*Zied Ben Salah+蒙特里亚大学盖林大学雷恩大学1曼努埃尔·莫拉莱斯大学*蒙特里亚哈桑大学奥米迪·菲鲁齐大学*蒙特里亚大学初稿：2013年10月9日。本版本：2018年8月15日。风险理论领域传统上关注破产相关数量。特别是，多年来，人们对所谓的预期贴现惩罚函数[9]进行了深入研究。尽管与废墟相关的数量本身就很有趣，但它们似乎并没有捕捉到保护区的路径相关属性。在这篇文章中，我们的目的是展示提款的概率特性，以及保险服务因公司风险而耗尽的速度。这些新的质量与破产无关，但它们捕捉到了保险头寸的重要特征，我们相信它可以导致设计有意义的风险度量。研究Lévy保险风险过程的提取和消耗速度代表了保险数学中一个新颖且具有挑战性的概念。在本文中，所有这些概念都是在保险环境中正式引入的。此外，利用Lévy过程的波动理论[16]的最新结果，我们推导了与损耗问题有关的几个量的分布表达式。特别令人感兴趣的是水位下降的分布和消耗速度的拉普拉斯变换。

这些表达式适用于Lévy保险风险过程的一些例子，特别是经典的Cramer-Lundberg模型。1引言传统上，集体风险理论主要关注破产问题，该问题被很好地封装在[9]中引入的预期贴现惩罚函数（EDPF）的概念中。这种所谓的GerberShiu函数是破产时间（即，一家企业的储备水平第一次变为负）、破产前的盈余和破产时的损失的函数。EDPF已被广泛研究并推广到各种场景，现在有各种各样的模型可用于EDPF的表达式。所有这些模型都将不同程度的复杂性融入到画面中。特别是，在过去十年中，所谓的Lévy保险风险过程一直是人们关注的对象，主要是因为它们很好地推广了Cramer-Lundberg模型，同时通过对此类过程的完善的波动理论，为破产理论领域带来了新的见解。已经提出了几个Lévy过程家族作为风险模型，我们现在有了一个完善的模型*作者们感谢密歇根大学的Erhan Bayraktar教授最初的投入，正是这些投入促成了这项工作。作者还要感谢CNRS、其UMI 3457和CRM提供的研究基础设施。该研究部分由加拿大自然科学和工程研究委员会（NSERC）+加拿大蒙特利尔大学资助。电子邮件：bensalah@dms.umontreal.ca——埃尔马。UMR CNRS 6625。雷恩大学1。博利厄校区，35042雷恩塞德斯。法国电子邮件：海伦。guerin@univ-rennes1。fr§数学和统计系。蒙特利尔大学。第6128页成功。市中心。魁北克蒙特利尔。H3C3J7。加拿大

电子邮件：morales@dms.umontreal.ca^Hassan Omidi Firouzi。数学与统计系。蒙特利尔大学。第6128页成功。市中心。魁北克蒙特利尔。H3C3J7。加拿大电子邮件：omidifh@dms.umontreal.caliterature关于这个话题。为了深入讨论这些过程作为风险模型的适用性，读者请参阅[8,17]及其参考文献。事实证明，Lévy过程的首次通过问题已经得到了很好的理解，该领域的最新结果已经应用于破产问题，以获得有趣的见解（例如，参见[3,4,12]）。在本文中，我们再次关注Lévy保险风险过程，因为这类随机过程具有广泛的工具可利用性。通过最初为研究首次通过时间问题而开发的概念，我们现在可以研究超越破产问题的问题，这些问题与过程的路径属性有关，给出了一幅关于损耗如何发生的生动画面。与市场崩盘概念相关的金融方面研究了损耗和提取速度等数量[19]。事实上，在财务方面，人们会有兴趣知道一定规模的提款速度和频率。在保险业，这些问题尚未得到研究，尽管f法案认为这些概念从保险风险管理的角度来看是有意义的。清楚地知道你的保险准备金是如何受到提取的影响，以及提取的速度和频率，对于设计风险管理工具可能很有用。这些数量提供的风险度量与破产事件无关，而是与储备的耗竭特征有关。然而，由于保险模型的跳跃性，这个问题在技术上具有挑战性。本文的目的是双重的。

一方面，我们的目标是从风险管理的角度将耗尽问题作为一个有意义的问题引入集体风险理论。我们在经典风险理论框架内正式定义了新的非破产量，并讨论了它们相对于传统破产相关量的主要特征和优势。事实上，有趣的是，所有可用的研究都集中在与破产相关的数量上，这些数量本质上无法解释保险准备金是如何随时间耗尽的。因此，尽管破产理论为保险准备金的破产问题提供了一个很好的概率图景，但它无法解释同样代表保险准备金风险的其他特征，如其耗尽速度和提取频率。从长远来看，破产事件是一个令人担忧的问题，但风险管理者也会密切关注任何一系列特别大的提款，尤其是如果它们发生得特别快的话。因此，关注破产事件忽略了其他也会影响保险公司偿付能力和财务规划的风险事件。第二个目标是实际推导几个与耗尽相关的随机变量分布的压力离子。事实证明，单边Lévy过程的波动理论[16]的最新结果可用于推导这些消耗相关量的表达式。推导这种压力的关键是驱动保险风险模型的过程的尺度函数。正如我们所讨论的，只有在标度函数的简单形式可用的情况下，才能简化消耗问题中随机变量分布的一般表达式和非显式表达式。

因此，我们推导了一类Cramer-Lundberg模型的显式表达式，该模型由具有指数跳跃的复合泊松过程驱动。毫不奇怪，在风险理论文献中，这个简单的例子总是给出封闭形式解的例子。耗尽问题也不例外，在这种情况下，我们给出了几个与耗尽相关的随机变量分布的显式表达式。我们还对具有简单标度函数的保险风险模型的其他例子进行了类似的分析，即gammasubordinator和稳定的过程族。本文件组织如下。在第2节中，我们介绍了一个基于Lévy风险过程的通用模型，我们定义了损耗问题、损耗和损耗速度的概念以及相关变量。Lévy过程的波动理论给出了一些初步结果。在第四节中，我们研究了一个保险Lévy风险过程的损耗问题，并给出了损耗随机变量分布的一般表达式。最后，在第5节中，我们推导了Lévy过程的三个例子中与消耗有关的所有量f的显式表达式。2保险风险模型的耗竭问题我们考虑一个非常一般的设置，它推广了标准的Cramer-Lundberg模型。本文考虑一个保险风险过程X=（Xt）t>0，从初始盈余X>0开始，X是一个谱负Lévy过程。出于技术上的原因，我们将自己限制在具有无界变差路径或有界变差路径的过程，以及相对于勒贝格测度绝对连续的Lévy测度。为了避免平凡的反射过程，我们排除了路径单调的过程。

按照惯例，符号Ex和Px将表示与从x开始的过程相关的预期和概率度量，如果过程从零开始，我们将使用简单的符号E和P。请注意，这样的模型包含传统风险模型的所有元素，并包括[4,7,10,17]中研究的其他风险模型。事实上，固定利率溢价包含在X的位移中，所谓的扰动包含在X的布朗分量中，纯聚集目标包含在X的跳跃部分中，可以设置为复合泊松过程或有限活动过程。考虑到这一点，我们假设过程X具有正漂移，使得E[X]>0。请注意，在传统的破产理论中，这种假设既有技术原因，也有实践原因。从技术上讲，这是必要的，以避免X几乎肯定会变为负值的可能性，而从实际角度来看，这是有意义的，因为在保险业中，使用加载保费是常见的做法。实际上，根据安全载荷，在X范围内写入漂移分量是标准的。例如，请注意，如果Xt=ct，我们可以恢复经典的Cramer-Lundberg模型- 其中，stc:=（1+θ）E[S]和S是一个复合泊松过程，用于对总索赔进行建模。正安全负荷θ>0时的漂移c是收取的保险费率。在耗尽问题的背景下，我们不需要这个条件。

我们把它放在这里纯粹是出于实用的原因，因为通常的做法是保险费。考虑一般Lévy风险模型的一个优点是，我们可以使用Lévy过程的波动理论的工具和方法，允许对毁灭性问题有更深入的理解，但也允许对消耗性问题有更深入的理解，这可以证明产生关于储量风险的同样有趣的信息。关于Lévy风险模型的更广泛讨论，请参考[8]。在本文中，我们将把这一设置专门化为三个Lévy过程的例子，这三个例子已经在文献中以塞鲁因问题为背景进行了研究。破产理论的一个主要研究对象是破产时间τ，当X=X时，它代表保险风险过程的首次通过时间X小于零，即τ：=inf{t>0:Xt<0}，（1）其中我们设置τ=+∞ 如果Xt≥ 0表示所有t>0。在本文中，我们关注的主要对象是以两个不同的随机时间为主要构建单元的耗尽问题。为了彻底定义这些概念，我们需要引入一些符号。我们定义了给定Lévy进程X byXt:=inf06s6tXsandXt:=sup06s6tXs的运行内界和运行上界。现在，我们描述了X的损耗问题。我们首先定义了与给定风险过程X相关的下降过程Y=（Yt）t>0，以beYt:=Xt- Xt，t>0。（2） 然后，在水位下降过程Y的a>0级上的首次通过时间定义为τa:=inf{t>0:Yt>a}。（3） 众所周知，τa<∞ P-几乎肯定（见[1]，定理1）。就像（1）中的破产时间一样，（3）中的这个新随机时间包含有关储备潜在风险行为的相关信息。其分布可用于衡量可能对保护区财务健康产生负面影响的路径相关事件的可能性。

随机时间τ记录了服务中的水位下降大于之前商定的临界水平a的时间。可以在随机时间（3）的基础上建立一组有趣的相关故事-信号域变量。首先，我们需要定义一个有助于构建有意义的非破产数量的过程。t之前X到达其运行上限的最后一次时间，用Gt表示，定义为Gt:=sup{s≤ t:Xs或Xs-= Xs}。（4） 因此，尺寸为a的临界水位下降的时间τao以及以下数量表征了X的开采问题：o储量在临界水位下降前最后一次达到最大水平的时间，Gτa；o耗尽速度τa-Gτa；o观测到临界水位降之前达到的最大储量水平，Xτa；o临界水位下降前的最低储量水平，Xτa；o在尺寸为a，Yτa的临界水位降之前观察到的最大水位降-;o a级临界降深的超调量，Yτa- a、 XtτaGτaXτaXτaYτa>aaYtYτaYτ-aτaGτaa图1:Xt=10+t+2Bt的路径- St，相应的下降过程Y，以及它们相关的消耗量，其中（Bt）t≥0是标准布朗运动，S是独立的复合泊松过程，Lévy测度ν（dx）=e-2岁。显然，这些变量包含了关于保险如何随着时间的推移而耗尽的信息。所有这些量都包含了有关临界水位下降事件的相关知识。风险管理者可能有兴趣获得关于A级临界水位下降时间分布的信息，即Px（τa6 t）。这提供了储备在给定时间间隔内面临临界水位下降的可能性的信息。在消耗速度的分布中可以找到更有价值的信息，这个随机变量表明临界下降的速度有多快。

Adrawdown在长时间内发生的情况并不比突然发生的情况更令人担忧。关于临界水位下降之前的最大和最小储量水平分布以及临界水位下降之前记录的最大水位下降的信息，有助于揭示耗尽事件的结构。了解临界水位下降的幅度（或非临界水位下降的幅度）也很有趣，也就是说，当临界水位下降发生时，临界水位下降超过临界水位a的程度。事实上，a级本身可以通过超调量的分布来设定。由于这种分布是一个函数，我们可以根据某些水平的可能性来决定临界下降规模。有趣的是，在临界水位下降之前，通过最低储备水平的分配，破产和耗竭之间存在联系。我们将看到，如果表达式可用，我们可以计算破产发生的概率，在规模a的临界下降之前。一般来说，就像在破产问题中一样，关于此类数量的概率特性的知识可能与风险管理应用有关。虽然关键的提款并不像破产那样意味着公司的立即毁灭，但足够大的提款可能是风险管理者需要考虑的一个警告信号。这些信息加上有关这些关键提取发生的速度的知识，可用于设计风险措施和/或管理政策，以确保储量的可解决性。一旦引入了这些非破产量，本文的目的是推导与耗尽问题相关的这些随机变量的概率测度的表达式。这将为莱维保险风险流程的三个示例提供详细信息。