信息离散时间市场模型的无套利性

事实上，如果（b）成立，R=R是微不足道的。相反，如果（c）成立，我们推导出E锌-1I{eZn=0}= E锌-1I{eZn=0}I{n≥R}= E锌-1I{eZn=0}I{n≥R}= 因此，我们得出结论{eZn=0} {Zn-1=0}对于所有n.步骤2：我们证明（c）<=>（d） 。如果（c）成立，很容易看出Ris是一个F-可预测的停止时间d，它的值为{R=n}={R=n- 1} ∈ Fn-1.相反地，根据R的可预测性，我们有0=E[eZR]=E[ZR-1]; 因此ZR-1=0，R=R。第3步：我们证明（b）<=>（e） 。显然，如果（b）成立，Y=0，Q=P。相反，如果（e）成立，对于所有n，Yn=0。因此，eZn{Zn-1> 0}Eh{eZn=0}|Fn-1i=Zn-1{eZn=0}=0和{eZn=0}={Zn-1=0}对于所有n.第4步：在这一步中，我们重点证明（a）和（b）之间的等价性。（a）=>（b） 。假设对于任何F-鞅M，停止过程Mτ满足NA（G）。考虑因素vn:=1{R>n}和vn:=X1≤K≤n{E[Vk|Fk-1] - Vk-1} . （3.18）很容易看出Mn:=Vn-eVnis是F-鞅。因此Mn∧τ= 1 -eVn∧τsatis fies NA（G）。然后存在一个等价的概率Q~ P以至于EVN∧τ是（G，Q）-鞅。因此∧τ≡ 因此，我们有0=EheVn∧τi=EX1≤K≤nZk-1.埃夫克=X1≤K≤氖Zk-1.E{R>k}|Fk-1.- 1{R>k-1}=X1≤K≤氖Zk-1{R>k}- EZk-1{R>k-1}= -X1≤K≤氖Zk-1{R=k}= -X1≤K≤氖Zk-1{eZk=0}Y1≤我≤k{eZi-1>0}= -X1≤K≤氖Zk-1{Zk-1> 0}{eZk=0}Y1≤我≤k{eZi-1>0}= -X1≤K≤内赫兹克-1{Zk-1> 0}{eZk=0}i=-X1≤K≤内赫兹克-1{eZk=0}i，其中我们使用了{Zk>0} {eZk>0} {eZk-1> 0}. 因此，对于所有n，{eZn=0}{Zn-1=0}和R≥ R.（b）=>（a） 它紧随定理3.5或推论3.8。这是定理的证明。两周期模型的一个有趣推论是3.10。考虑一个两阶段模型(Ohm, A=F，F:=（Fn）n=0,1,2，P），具有A-可测量的正随机时间τ。对于任何F-鞅M，过程Mτ满足NA（G）当且仅当τ为F-停止时间。证据

如果τ是F-停止时间，则Mτ满足任何F-鞅M的NA（G）是微不足道的。相反，对于随机时间τ，则Ohm:= {τ = 2}, Ohm:= {τ=1}和Ohm∪ Ohm= Ohm. 通过Z和Z的定义，我们推导出了eZ=1，eZ=1，eZ=IOhm, Z=1，Z=P(Ohm|F） ，Z=0。如果对于任何F-鞅M，停止过程Mτ满足NA（G），根据定理3.9，我们知道{eZ=0}=Ohm= {Z=0}∈ Fandτ是F-停止时间。3.1反向问题：在τ之前，上一节研究了我们从内幕人士的角度得出的套利机会结论。在本节中，如果我们知道内幕人士不能在市场上创造套利机会（G，Sτ），我们将研究市场上的等价性或后果。在证明下面的定理3.14之前，我们先从两个简单引理和一个命题开始。引理3.11。下面是一个例子。{n≤ τ}  {eZn>0} {Zn-1> 0}=Γ（n）：=nPeZn>0Fn-1.> 0o。（3.19）证据。这就足以证明非平凡等式{Zn-1> 0}=Γ（n）。事实上，由于P（eZn>0 | Fn）-1） I{Zn-1=0}= P（eZn>0=Zn）-1） =0，我们得到Γ（n） {Zn-1> 0}. 另一方面，由于锌-1IΓ（n）c= EeZnIΓ（n）c≤ EI{eZn>0}IΓ（n）c= 0，我们得到{Zn-1> 0} Γ（n）。这就是引理的证明。引理3.12。设R是P的等价概率。然后对所有n.{eZn=0}={eZRn=0}和{Zn-1=0}={ZRn-1=0}，其中ezrn:=R（τ）≥ n | Fn）和ZRn-1:=R（τ）≥ n | Fn-1).证据因为Ezhi{eZRn=0}i=EhI{τ≥n} I{eZRn=0}I=0和EhZn-1I{ZRn-1=0}i=EhI{τ≥n} 我{eZRn-1=0}i=0，我们得到{eZRn=0} {eZn=0}和{ZRn-1= 0}  {Zn-1= 0}. R和P的对称作用完成了引理的证明。提案3.13。设X是F-鞅。那么下面这些是等价的。（a） 尽管如此，我们有XnI{eZn=0}Fn-1.= 0.（3.20）（b）Xτ是概率Q:=QNn=1qn下的G-鞅，其中qn：=锌-1eZnI{n≤τ}+I{n>τ}PeZn>0 | Fn-1.I{n≤τ}+I{n>τ}-1.证据。

首先，我们注意到，概率Q自P以来定义得很好eZn>0 | Fn-1.I{n≤由于引理3.11，τ}+I{n>τ}>0。为了完成证明，我们计算PeZn>0 | Fn-1.I{n≤τ}+I{n>τ}情商XnI{n≤τ }Gn-1.= EXnI{eZn>0}Fn-1.I{n≤τ }= -EXnI{eZn=0}Fn-1.I{n≤τ }.这就结束了这个命题的证明。在剩下的部分中，我们考虑以下符号。Q（e）：=NYn=1eZnZn-1I{Zn-1> 0}+I{eZn=0<Zn-1} +I{Zn-1=0}!1+EI{eZn=0<Zn-1}Fn-1.-1. P~ P.下面，我们陈述了本小节中的主要定理，它表明了如果市场（G，Xτ）排除了任何F-适应可积过程X的套利机会，我们可以得出什么结论。定理3.14。设τ为随机时间，X为F-适应可积过程。那么followinger是等价的。（a） Xτ满足NA（G，P）。（b） X（e）满足NA（F，P），其中X（e）n:=XnI{eZn>0}。证据（a）==>（b） 。如果Xτ满足NA（G），则存在概率QG:=QNn=1（1+KGn） P~ Psuch证明Xτ是（G，QG）-鞅，其中1+KGn>0和E1 + KGn | Gn-1.= 1，对于所有n.ByJeulin[10]，存在两个Fn可测量的随机变量yf和φnsuch1 + KGnI{n≤τ}=YFnI{n≤τ}+φnI{n=τ}。（3.21）因此≤τ}=E1 + KGnI{n≤τ }Gn-1.= EYFnI{n≤τ}+φnI{n=τ}Gn-1.=I{n≤τ}Zn-1EYFneZn+φn做，FnFn-1.=I{n≤τ}Zn-1EeZnYFn+φn做吧，FneZnI{eZn>0}！Fn-1.哪里Do，Fn=eZn- 兹南Do，FnI{eZn=0}=（eZn- Zn）I{eZn=0}=0。因此，我们得到了ni{Zn-1> 0}Zn-1eYnI{eZn>0}Fn-1!= I{Zn-1> 0}，andeYn:=YFn+φnDo，FneZn>0，在集合{eZn>0}上。定义L byLk:=kYn=1eYnI{eZn>0}+I{eZn=0<Zn-1} +I{Zn-1=0}> 0.很容易检查L是（F，Q（e））-鞅，即。

等式（e）LnLn-1.Fn-1.= 一人一人≤ N≤ N由于Xτ是一个（G，QG）-鞅，due到（3.21），我们得出0=eXnI{n≤τ }YFnI{n≤τ}+φnI{n=τ}Gn-1.= EXneZnYFn+φn做，FnFn-1.I{n≤τ}Zn-1.因此，在Fn下采用条件期望-1在上述等式中，使用事实{eZn>0} {Zn-1> 0}，我们明白了XneZnI{eZn>0}Zn-1eYnFn-1.= 0.（3.22）然后，我们推断1+EI{eZn=0<Zn-1}Fn-1.等式（e）X（e）LnLn-1.Fn-1.= EXneZnI{eZn>0}Zn-1eYnFn-1.= 因此，LX（e）是Q（e）和X（e）满足NA（F，Q（e））和NA（F，P）的F-鞅。（b）==>（a） 。由于X（e）满足NA（F，P），存在一个与P等价的概率R，使得X（e）是（F，R）-鞅。根据引理3.12，命题3.13中的条件（3.20）在概率R，即ER下由X（e）满足X（e）nI{eZRn=0}Fn-1.= 急诊室X（e）nI{eZn=0}Fn-1.= 因此，通过命题3.13，我们得出结论：X（e）τ=Xτ满足NA（G，P）。这就结束了对厄洛雷姆的证明。备注3.15。Aksamit等人[1]和Choulli e t等人[5]的相关工作通过使用可选的随机积分和可预测特征，证明了连续时间半鞅设置中类似和其他更深入的结果。让我们指出，命题3.2中的G-鞅也可以写成可选随机积分的离散时间版本。4对]]τ的无套利+∞[[在本节中，我们将讨论诚实时间τ后无套利的稳定性。我们回顾一下下面的定义。定义4.1.随机时间τ是诚实的，如果对于任何n，存在一个Fn可测量的r.v.τnsuchthatτ1{τ<n}=τn{τ<n}。有关诚实时间的更多细节，我们参考Jeulin[10]和Barlow[4]。对于最短时间τ上的h，我们将下列停止时间σ：=inf{n联系起来≥ 1:Zn<1}，σ：=inf{n≥ 1：锌-1<1}和σ：=inf{n≥ 1:eZn<1}。（4.23）引理4.2。

对于（4.23）中的真实时间τ和停止时间，以下公式适用于所有1≤ N≤ N（a） {eZn<1} {Zn-1<1}和{eZn<1} {Zn<1}。（b） σ是F-可预测的停止时间，σ≤ σ和σ≤ σ.（c） τ≥ σ和Zn-1，{τ<n}上的eZn<1。证据（a） 注意到了吗1.-eZn{Zn-1=1}i=E(1 - 锌-1） 1{Zn-1=1}= 0.（4.24）因此，{Zn-1= 1}  {eZn=1}。由于锌≤eZn，我们有{eZn<1} {Zn<1}。（b） 自{σ≤ n} ={Zn-1< 1} ∈ Fn-1.我们得出结论，σ是可预测的。不等式σ≤ σ和σ≤ σ紧随（a）之后。（c） 注意这一点I{n>τ}I{Zn-1=1}= E(1 - 锌-1） I{Zn-1=1}= 0，andEhI{n>τ}I{eZn=1}I=Eh（1-eZn）I{eZn=1}I=0。因此，锌-集{n>τ}上的1<1和zn<1。这就结束了引理的证明。下面的引理描述了F和G下条件期望之间的联系。为了证明这一点，我们参考了Jeulin[10]。引理4.3。设Y为可积A-可测随机变量。那么，下面的例子就成立了。（a） 在集合{n>τ}上，GNI下的条件期望由[Y | Gn]1{τ<n}=E给出y1{τ<n}|Fn1.-eZn{τ<n}。（4.25）（b）在集合{n>τ}上，Gn下的条件期望-1.再见-1] 1{τ<n}=Ey1{τ<n}|Fn-1.1.- 锌-1{τ<n}。（4.26）此外，如果Y是Fn可测量的，我们有[Y | Gn]-1] 1{τ<n}=EhY（1-eZn）|Fn-1i1- 锌-1{τ<n}。（4.27）以下定理描述了Stocastic区间上F-鞅和G-鞅之间的关系]]τ+∞[.对于连续时间设置，我们咨询Jeulin[10]。定理4.4。设M为F-鞅，τ为诚实时间。那么下面的过程cm（a）n:=Mn∨τ- Mτ-X1≤K≤n1- Zk-1{τ<k}EhMk（1）-eZk）|Fk-1i是G-鞅。证据虽然它可以从Jeulin[10]中推导出来，但我们选择在这里给出一个直接的证明。

为此，利用引理4.3-（b），我们计算了厘米（a）nGn-1i=EhMn{τ<n}-1.- 锌-1{τ<n}Eh锰（1）-eZn）|Fn-1iGn-1i=EhMn{τ<n}Gn-1i-1.- 锌-1{τ<n}Eh锰（1）-eZn）|Fn-1i=0。这就结束了定理的证明。下面的命题是为一类G-半鞅构造一个G-鞅密度。提案4.5。以下过程bn（a）n:=-X1≤K≤n{τ<k}E[1{eZk<1}|Fk-1] +X1≤K≤n1- Zk-11-eZk{τ<k}（4.28）是一个G-鞅，使得1+bN（a）n>0。证据首先，我们证明了bn（a）是G-鞅。为此，我们使用L emma 4.3-（b）计算EhbN（a）n | Gn-1i=-1{τ<n}E[1{eZn<1}|Fn-1] +E1.- 锌-11-eZn{τ<n}Gn-1.= -1{τ<n}E[1{eZn<1}|Fn-1] +1{τ<n}E[1{eZn<1}|Fn-1] = 0.接下来，我们展示1+bN（a）n>0。Indeed1+bN（a）n=1- 1{τ<n}E[1{eZn<1}|Fn-1] +1 - 锌-11-eZn{τ<n}≥ 1{τ≥n} +1- 锌-11-eZn{τ<n}>0。n（a）的可积性源于EbN（a）n≤ 2n。这就完成了eproposition的发布。下面，我们陈述本节的第一个主要定理。定理4.6。考虑一个诚实时间τ和一个F-鞅S。表示概率测度q（a）~ 密度为D（a）n的P：=E（Y（a））nwhereY（a）n:=（1）-eZn）1{Zn-1<1}Eh{eZn=1}|Fn-1i- (1 - 锌-1） 1{eZn=1}，Y（a）=0。（4.29）那么以下是等价的：（a）S是a（Q（a），F）-鞅；（b） S与D（a）和Y（a）正交；（c） E（bN（a））n（Sn）- 锡∧τ） 是一个G-鞅，其中bn（a）由（4.28）给出。因此，上述三个等价条件都意味着（d）S- Sτ满足NA（G，P）和NA（G，Q（a））。证据首先，我们注意到Y（a）是F-鞅，1+Y（a）>0。事实上，1+Y（a）n=（1）-eZn）1{Zn-1<1}Eh{eZn=1}|Fn-1i+1{eZn<1}+Zn-1{eZn=1}>0，其中我们使用了在集合{eZn<1}上，1+Y（a）n≥ 1和包含{eZn=1} {Zn-1> 0}，因为{Zn-1= 0}  {eZn=0}。因此，D（a）是严格正鞅。（a）和（b）之间的等价性是显而易见的。

在下面，我们试图证明（a）和（c）之间的等价性。回想一下bn（a）n=-X1≤K≤n{τ<k}E[1{eZk<1}|Fk-1] +X1≤K≤n1- Zk-11-eZk{τ<k}。（4.30）由于引理2.5，我们推断出Sk1-eZk{τ<k}|Gk-1i={τ<k}1- Zk-1EhSk{eZk<1}|Fk-1i，嗯Sk{τ<k}|Gk-1i={τ<k}1- Zk-1EhSk（1）-eZk）|Fk-1i。自Sn+1以来- S（n+1）∧τ=Sn- 锡∧τ+ Sn+1{n+1>τ}，我们推导出（bN（a））n+1S（n+1）∧τ| Gn+1i=E（bN（a））nEh（1+bN（a）n+1）S（n+1）∧τ| Gni=E（bN（a））nEhSn- 锡∧τ+ Sn+1{n+1>τ}+Sn+1bNGn+1{n+1>τ}Gni=E（bN（a））n锡- 锡∧τ+EhSn+1（1-eZn+1）Eh{eZn+1=1}|Fni | Fni{n+1>τ}1- 锌-E（bN（a））nn{n+1>τ}EhSn+1{eZn+1=1}Fnio=E（bN（a））n（Sn- 锡∧τ） +E（bN（a））nnEhSn+1n（1-eZn+1）Eh{eZn+1=1}|Fni- (1 - Zn）1{eZn+1=1}o|Fnio{n+1>τ}1- Zn=E（bN（a））n（Sn）- 锡∧τ） +E（bN（a））nEQ（a）[Sn+1 |Fn]{n+1>τ}1- 锌。因此，（a）意味着（c）。相反，如果（c）h变大，我们有eq（a）[Sn+1 |Fn]{n+1>τ}1- Zn=0，等式（a）[Sn+1 | Fn]1{Zn<1}=0。注意等式（a）[Sn+1 | Fn]1{Zn=1}=0，对于所有n。因此，我们得出以下结论：[Sn+1 | Fn]=0，对于所有n，这结束了定理的证明。备注4.7。我们从定理4.6中观察到，即使Y（a）是F-鞅，过程Y（a）n- Y（a）n∧τ=Pk≤n（1）-eZk）Eh{eZk=1}| Fki{k>τ}使NA（G）失效，因为这是一个G增加过程。推论4.8。对于任意F-鞅M，如果对于所有n{eZn=1}={Zn-1= 1}. （4.31）那么下列属性成立：（a）过程Mn- 锰∧τsatis fies NA（G）；（b）E（bN（a））n（Mn- 锰∧τ)N≥1是G-鞅，其中bn（a）由命题4.5中的（4.28）给出；（c） （4.29）中给出的概率度量Q（a）与P一致。下面，我们在本节中陈述了我们的第二个主要定理，其中我们给出了对运行时间τ（或（4.23）中的停止时间）施加的必要和有效条件，以保证进程M- Mτ满足任意F-鞅M的NA（G）。定理4.9。考虑（4.23）中定义的真实时间τ和相关停车时间。

然后，下列等式是等价的：（a）对于任何F-鞅M，过程Mn- 锰∧τsatis fies NA（G）。（b） {eZn=1}={Zn-1=1}表示所有n.（c）σ+1=σ=σ。（d） σ是F-可预测的停止时间。（e） 通过（4.29）定义的概率Q（a）与P证明一致。定理的证明需要经过四个步骤。在第一步中，我们证明（b）<=>（c） 。第二步的重点是（b）<=>（d） 。第三步涉及（b）<=>（e） 。在最后一步中，我们证明（a）<=> （b） 。第一步：（b）和（c）之间的等价性是显而易见的。事实上，如果（b）成立，σ=σ是微不足道的。相反地，如果（c）成立，我们推导出e(1 - 锌-1） I{eZn=1}= E(1 - 锌-1） I{eZn=1}I{n<σ}= E(1 - 锌-1） I{eZn=1}I{n<σ}= 因此，我们得出结论{eZn=1} {Zn-1=1}对于所有n.步骤2：我们证明（b）<=>（d） 。如果（b）成立，很容易看出σ是F-可预测的停止时间。相反，由于σandEh（1）的可预测性- 锌-1） I{eZn=1}I=E(1 - 锌-1） I{n<σ}= 呃(1)-eZn）I{n<σ}I=0，我们得出结论{eZn=1} {Zn-1=1}对于所有n.步骤3：我们证明（b）<=>（e） 。if（b）适用于Y（a）=0和Q（a）=P。相反，如果（e）适用，Y（a）n=0表示所有n。因此，（1）-eZn）1{Zn-1<1}Eh{eZn=1}|Fn-1i=（1）- 锌-1） 1{eZn=1}=0和{eZn=1}={Zn-1=1}对于所有n.步骤4：我们证明（a）<=>（b） 。假设对于任何F-martin gale M，停止过程Mτ满足NA（G）。考虑F-鞅mn:=X1≤K≤N{eZk=1}- Eh{eZk=1}|Fk-1i.很容易看出这一点- 锰∧τ= -P1≤K≤nEh{eZk=1}|Fk-1i{τ<k}。注意，Mn- 锰∧τ是满足NA（G）的可预测递减过程。因此它是空的。然后，我们推导出0=E[Mn- 锰∧τ] =X1≤K≤nEhEh{eZk=1}|Fk-1i{τ<k}i=X1≤K≤奈（1）- Zk-1） 因此，{eZk=1} {Zk-1=1}对于所有k，逆蕴涵紧跟定理4.6或推论4.8中的s。

这个定理的证明到此为止。4.1反向问题：在τ之后，上一节研究了我们从内幕人士的角度得出的套利机会结论。在本节中，如果我们知道内幕人士不能在市场上进行套利（G，S），我们将研究其在市场上的等价性或后果- Sτ）。在证明下面的定理4.13之前，我们先从两个简单引理和一个命题开始。引理4.10。下面是一个例子。{n>τ} {eZn<1} {Zn-1<1}=nPeZn<1Fn-1.> 0o。（4.32）证据。这就足以证明非平凡等式{Zn-1<1}=nPeZn<1Fn-1.> 0o。事实上，由于P（eZn<1 | Fn）-1） I{Zn-1=1}= P（eZn<1=Zn）-1） =0，我们得到NPeZn<1Fn-1.> 0o{Zn-1< 1}. 另一方面，由于脚趾(1 - 锌-1） InPeZn<1 | Fn-1.=0o= E(1 -eZn）InPeZn<1 | Fn-1.=0o≤ EI{eZn<1}InPeZn<1 | Fn-1.=0o= 0，我们得到{Zn-1< 1} NPeZn<1Fn-1.> 0o。这就结束了引理的证明。引理4.11。设R是P的等价概率。然后对所有n.{eZn=1}={eZRn=1}和{Zn=1}执行以下操作-1=1}={ZRn-1=1}，其中ezrn:=R（τ）≥ n | Fn）和ZRn-1:=R（τ）≥ n | Fn-1).证据SinceEh（1）-eZn）I{eZRn=1}I=EhI{τ<n}I{eZRn=1}I=0和Eh（1- 锌-1） I{ZRn-1=1}i=EhI{τ<n}i{eZRn-1=1}i=0，我们得到{eZRn=1} {eZn=1}和{ZRn-1= 1}  {Zn-1= 1}. R和P的对称作用完成了引理的证明。提案4.12。设X是F-鞅。那么下面这些是等价的。（a） 尽管如此，我们有XnI{eZn=1}Fn-1.= 0.（4.33）（b）X- Xτ是概率Q:=QNn=1q（a）n下的G-鞅，其中Q（a）n：=1.- 锌-11-eZnI{n>τ}+I{n≤τ }PeZn<1 | Fn-1.I{n>τ}+I{n≤τ }-1.证据。首先，由于引理4.10，我们注意到概率Q定义得很好。

为了完成屋顶，我们计算PeZn<1 | Fn-1.I{n>τ}+I{n≤τ }情商XnI{n>τ}Gn-1.= EXnI{eZn<1}Fn-1.I{n>τ}=-EXnI{eZn=1}Fn-1.I{n>τ}。这就结束了这个命题的证明。在剩下的部分中，我们考虑以下符号。等式（e）：=NYn=11-eZn1- 锌-1I{Zn-1<1}+I{eZn=1>Zn-1} +I{Zn-1=1}!1+EI{eZn=1>Zn-1}Fn-1.-1. P~ P.下面，我们陈述了这一小节中的主要定理，它表明了如果市场（G，X- Xτ）排除了任何F-适应可积过程X的套利机会。定理4.13。设τ为F-诚实时间，X为F-适应可积过程。那么下面这些是等价的。（a） X- Xτ满足NA（G，P）。（b） eX（e）satis fies NA（F，P），其中eX（e）n:=XnI{eZn<1}。证据（a）==>（b） 。如果X-Xτ满足NA（G），存在概率QG:=QNn=1（1+KGn） P~ Psuch那个X- Xτ是（G，QG）-鞅，其中1+KGn>0和E1 + KGn | Gn-1.= 1.为了所有人。根据Jeulin[10]中的命题（5.3），存在一个Fn可测量的YFnsuch1 + KGnI{n>τ}=YFnI{n>τ}。（4.34）因此，I{n>τ}=E1 + KGnI{n>τ}Gn-1.= EYFnI{n>τ}Gn-1.=I{n>τ}1- 锌-1EYFn（1-eZn）Fn-1..因此，我们得到（1）-eZn）I{Zn-1<1}1 - 锌-1YFnI{eZn<1}Fn-1!= I{Zn-1<1}.定义L byLk:=kYn=1YFnI{eZn<1}+I{eZn=1>Zn-1} +I{Zn-1=1}> 0.很容易检查L是（F，eQ（e））-鞅，即EeQ（e）LnLn-1.Fn-1.= 一人一人≤ N≤ N自从X- Xτ是a（G，QG）-鞅，due到（4.34），我们推导出0=eXnI{n>τ}YFnGn-1.= EXn（1）-eZn）YFnFn-1.I{n>τ}1- 锌-1.因此，在Fn下采用条件期望-在上述等式中，使用事实{eZn<1} {Zn-1<1}，我们得到了Xn（1）-eZn）I{eZn<1}1- 锌-1YFnFn-1.= 0.（4.35）然后，我们推断1+EI{eZn=1>Zn-1}Fn-1.EeQ（e）前（e）LnLn-1.Fn-1.= EXn（1）-eZn）I{eZn<1}1- 锌-1YFnFn-1.= 因此，LeX（e）是等式（e）和满足NA（F，eQ（e））和NA（F，P）下的F-鞅。（b）==>（a） 。