信息离散时间市场模型的无套利性

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英文标题：
《Non-arbitrage for Informational Discrete Time Market Models》
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作者：
Tahir Choulli and Jun Deng
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  This paper focuses on the stability of the non-arbitrage condition in discrete time market models when some unknown information $\\tau$ is partially/fully incorporated into the market. Our main conclusions are twofold. On the one hand, for a fixed market $S$, we prove that the non-arbitrage condition is preserved under a mild condition. On the other hand, we give the necessary and sufficient equivalent conditions on the unknown information $\\tau$ to ensure the validity of the non-arbitrage condition for any market. Two concrete examples are presented to illustrate the importance of these conditions, where we calculate explicitly the arbitrage opportunities when they exist.
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中文摘要：
本文研究离散时间市场模型中，当一些未知信息$\\tau$部分/完全并入市场时，无套利条件的稳定性。我们的主要结论有两个。一方面，对于一个固定的市场，我们证明了无套利条件在一个温和的条件下保持不变。另一方面，我们给出了未知信息$\\tau$的等价充要条件，以保证无套利条件对任何市场的有效性。给出了两个具体的例子来说明这些条件的重要性，其中我们明确计算了存在套利机会时的套利机会。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：离散时间 无套利 Mathematical Differential Applications

信息离散时间市场模型的无套利Stahir Choulli*和邓军+2018年9月16日摘要本文主要研究离散时间市场模型中，当一些未知信息τ部分/完全并入市场时，非ar比特率条件的稳定性。我们的主要结论有两个。一方面，对于固定市场，我们证明了无套利条件是在温和条件下成立的。另一方面，我们给出了未知信息τ的充分必要等价条件，以确保无套利条件对任何市场的有效性。本文给出了两个具体例子来说明这些条件的重要性，其中我们明确计算了存在套利机会时的套利机会。1导言在本文中，我们关注离散时间市场模型，其中我们考虑了一个实值随机过程S=（Sn）0≤N≤N用有限离散时间{0，1，…，N}表示。流程通常代表风险资产。首先，让我们详细说明定义和符号。我们假设给定一个随机基(Ohm, A、 F:=（Fn）0≤N≤N、 P）过程S=（Sn）0≤N≤Nis适应了过滤F。我们说，一个过程X在过滤H:=（Hn）0的情况下描述了无套利条件≤N≤N（以下简称NA（H））对于任何可预测过程H:=（Hn）0≤N≤N、 （即Hn∈ 嗯-1） 就这样≤N≤NHnXn≥ 0，我们有X1≤N≤NHnXn≡ 0，P- a、 s.（1.1）过程H可以解释为一个人在一段时间内动态持有的交易策略。如果达到峰值，无套利条件意味着不可能一无所获。

无套利条件和等价鞅测度之间的等价性本质上是由于Dalang、Morton和Willinger[6]的工作，参见不同的方法sch achermayer[13]和Rogers[12]。定理1.1（达朗·莫顿·威林格）。当且仅当存在等价鞅测度时，过程X满足无套利条件。在这种情况下，可以选择具有一致有界密度dQ/dP的等价鞅测度qc。它被命名为资产定价的基本定理。在本文中，我们考虑了两个具有不同信息水平的经济主体，一个具有公共可用信息F，另一个具有*对应于：tchoulli@ualberta.ca，数学与统计科学系。，加拿大埃德蒙顿艾伯塔大学+中国北京国际商业与经济大学银行与金融学院（insider of Banking and Finance，University of International Business and Economics，China Beijing）。我们的目标是研究拥有额外信息（以下描述为随机时间τ）的内幕人士是否可以进行套利。外部信息τ可以是默认事件的发生时间、内部人员可能获得的知识以及过程的最后通过时间等。对于连续时间设置，我们参考了Aksamit等人[1]、Acciaio等人[3]、Choulli等人[5]、Coculescu等人[7]、Fontana等人[9]和Song[14]的最新研究成果。我们从两个例子开始，说明随机时间τ和市场的相互作用如何影响无套利条件。例1.2。

在随机基础上(Ohm, A、 F:=（Fn）0≤N≤2，P），我们考虑一个两周期离散模型S:=（Sn）0≤N≤2.在哪里Ohm = {ω，ω，ω，ω}代表不确定性和自然过滤F:=（Fn）0≤N≤2是由byF驱动的={, Ohm}, F={, Ohm, {ω，ω}，{ω，ω}和F=σ({, Ohm, {ω}, {ω}, {ω}, {ω}}).设u和d是两个常数，使得u>1和0<d<1。假设S（{ω，ω}）=uS，S（{ω，ω}）=dS，S（{ω}）=uS，S（{ω}）=udS，S（{ω}）=udS，S（{ω}）=dS。股价上涨（或下跌）的概率为p（或q=1）- p） 。我们假设无风险利率为零，pu+（1- p） d=1，即S是物理概率=（p（ω），p（ω），p（ω），p（ω））=（p，pq，pq，q）下的F-鞅。说明了股票价格随时间的演变→ SuSuS，ωudS，ωdSudS，ωdS，ω考虑随机时间τ=1，在{ω}2上，否则。（1.2）显然，τ不是F-停止时间，因为{τ=1}/∈ F.一个简单的计算结果显示了停止的市场Sτ：=（Sn∧τ)0≤N≤2由τ=S，Sτ（{ω，ω}）=uS，Sτ（{ω，ω}）=dS，Sτ（{ω}）=uS，Sτ（{ω}）=udS，Sτ（{ω}）=dS，Sτ（{ω}）=dS决定。股票价格Sτ随时间的演变如图所示→ SuSuS，ωudS，ωdSdS，ωdS，ω那么，我们可以很容易地证明，市场Sτ中存在xi st套利机会。事实上，在时间1的场景{ω，ω}上卖空将产生一个确定的收益。示例1.3。我们假设与例1.2相同的设置，并假设S（{ω，ω}）=uS，S（{ω，ω}）=dS，S（{ω}）=uS，S（{ω}）=udS，S（{ω}）=udS，S（{ω}）=dS。设置物理概率P asP=（P（ω），P（ω），P（ω），P（ω））=(1 - d） （u）- d） ，（美国）- 1)(1 - d） （u）- d） ，λu- 1u- d、 （1）- λ） u- 1u- D,其中0<λ<1。

然后，很容易看出S是P下的F-鞅，由S给出→ SuSuS，ωudS，ωdSdS，ωdS，ω考虑随机时间τ=1，在{ω}2上，否则。（1.3）可以很容易地证明Sτ=S，因为τ对{ω，ω}情景下的S没有影响。因此，Sτ中不存在套利机会。受这两个例子的启发，我们打算找到关于τ或/和S的必要和充分条件，以使市场Sτ或S- Sτ仍然满足n套利条件。在最后一节中，我们将回到这两个例子，来探讨为什么非套利条件在例子1.2中失败，在例子1.3中成立。论文的结构如下。第2节回顾了一些与随机时间和过滤逐步扩大相关的符号和定义。在第3节中，我们证明了在随机区间[[0，τ]]上的一些温和等价条件下，固定F-鞅S的无套利条件保持不变；在第4节中，我们针对随机区间]]τ上的无套利条件+∞在最后一节中，我们给出了两个例子来说明第3节和第4节中条件的重要性。此外，我们明确地构造了存在套利机会时的套利机会(Ohm, A、 F:=（Fn）0≤N≤N、 P），我们假设e给定了一个F-适应过程S=（Sn）0≤N≤n表示风险资产价格和一个假定为常数1的无风险资产。在市场中，我们考虑两个经济主体，一个具有公共信息F，一个具有外部信息τ和F的内部人。这两个经济主体构成了公共信息市场（F，S）和内部信息市场（F，S，τ）。我们首先回顾与随机时间τ相关的一些旋转和定义：Ohm → Z+这将在本文中得到确定。

对于任意随机时间τ，我们将以下两个Az'Ema Supermaningaleszn:=P[τ>n | Fn]和Zn:=P[τ]≥ n |Fn]，（2.4）和F-停止时间r:=inf{n≥ 0:Zn=0}，R:=inf{n≥ 1：锌-1=0}和R:=inf{n≥ 0:eZn=0}。（2.5）为了结合来自随机时间τ的信息，我们将过滤F放大G=（Gn）0≤N≤NGn:=Fn∨ σ(τ ≤ n） 。（2.6）在文献中，G被称为渐进式放大过滤，它是包含SF并使τ成为停止时间的最小过滤。内幕信息市场的精确特征是（G，S，τ）。引理2.1。对于任何随机时间τ和（2.5）中的停止时间，以下保持不变。（a） 对于所有n，{Zn-1= 0}  {eZn=0} {Zn=0}。（b） R≤ R≤ R=R+1。（c） 关于{n≤ τ}，Zn-1和2均为阳性。因此，τ≤ R.证明。（a） 注意Ehezn{Zn-1=0}i=E锌-1{Zn-1=0}= 因此，{Zn-1= 0}  {eZn=0}。由于锌≤eZn，我们有{eZn=0} {Zn=0}。（b） 我们观察到{R=n}={Zn-1= 0} ∩S0≤我≤N-2{Zi>0}= {R=n- 1}. 因此R=R+1，是一个可预测的停止时间。不等式R≤ r从（a）开始依次类推。（c） 注意这一点I{n≤τ}I{Zn-1=0}= E锌-1I{Zn-1=0}= 0，andEhI{n≤τ}I{eZn=0}I=EheZnI{eZn=0}I=0。因此，锌-1和z在集合{n上是严格正的≤ τ}和τ≤ R.备注2.2。Dellacherie和Meyer[8]证明了这三个集合{Z-= 0}、{Z=0}和Z=0在连续时间设置中具有相同的d\'ebut，离散时间不共享。引理2.3。Az’ema supermartingale（Zn）0≤N≤NHA的分解如下。锌=锰- An，mn:=P[τ>n |Fn]+X0≤K≤nP[τ=k | Fk]，An:=X0≤K≤nP[τ=k | Fk]，（2.7），其中（mn）0≤N≤Nis是F-鞅和（an）0≤N≤Nis是一个F适应的增长过程。证据这足以证明（mn）0≤N≤这是一个F-鞅。

为此，我们计算EHMN+1Fni=Phτ>n+1Fni+X0≤K≤n+1EhP[τ=k | Fk]Fni=Phτ>n+1Fni+X0≤K≤nPhτ=k | Fki+Phτ=n+1Fni=P[τ>n |Fn]+X0≤K≤nP[τ=k | Fk]=mn。这就结束了引理的证明。备注2.4。一般来说，分解Z=m- A不是Doob Meyer分解。下面的引理描述了F和G下条件期望之间的联系。为了证明这一点，我们参考了Jeulin[10]。引理2.5。设Y为可积且可测的随机变量。那么，下面的例子就成立了。（a） 在集{n<τ}上，Y在Gnis下的条件期望由[Y |Gn]1{τ>n}=E给出y1{τ>n}|FnZn{τ>n}。（2.8）（b）在集合{n≤ τ} ，在Gn下Y的条件期望-再见-1] 1{τ≥n} =Ey1{τ≥n} |Fn-1.锌-1{τ≥n} 。（2.9）此外，如果Y是Fn可测量的，我们有[Y | Gn]-1] 1{τ≥n} =EhYeZn | Fn-1锌-1{τ≥n} 。（2.10）3关于[[0，τ]]的无套利在本节中，我们将证明当市场在随机区间τ停止时，无套利条件在一个温和条件下保持不变。此外，我们给出了必要和充分的条件（关于τ或（2.5）中的停止时间），以保证任何市场Sτ的无套利条件的稳定性。下面的定理刻画了F-鞅和G-鞅之间的关系。对于连续时间设置，我们参考Jeulin[10]。定理3.1。设M为F-鞅，τ为随机时间。那么下面的过程cm（b）n:=Mn∧τ-X1≤K≤nZk-1{τ≥k} 嗯MkeZk | Fk-1i，（3.11）是G-鞅。证据虽然它可以从Jeulin[10]中推导出来，但我们选择在这里给出一个直接的证明。

为此，我们计算厘米（b）nGni=EhMnI{n≤τ }-锌-1{n≤τ}EhMneZn | Fn-1iGn-1i=EhMneZn | Fn-1锌-1{n≤τ }-锌-1{n≤τ}EhMneZn | Fn-1i=0，在上面的第二个等式中，我们使用事实（由于引理2.5-（b））第Mn{τ≥n} |Gn-1i=Zn-1{τ≥n} 嗯MneZn | Fn-1i。这就结束了定理的证明。在下面的命题中，我们构造了一个G-鞅，作为一类G-半鞅的m-鞅。提议3.2。以下过程bn（b）n:=-X1≤K≤n{τ≥k} E[1{eZk>0}|Fk-1] +X1≤K≤nZk-1eZk{τ≥k} （3.12）是一个G-鞅，使得1+bN（b）n>0表示所有n≥ 1.证据。首先，我们证明了bn（b）是G-鞅。为此，我们使用引理2.5-（b）计算EhbN（b）nGni=E-1{τ≥n} 呃{eZn>0}Fn-1i+Zn-1eZn{τ≥n}Gn= -1{τ≥n} 呃{eZn>0}Fn-1i+E锌-1eZn{τ≥n}Gn= -1{τ≥n} 呃{eZn>0}Fn-1i+1{τ≥n} 呃{eZn>0}Fn-1i=0。其次，我们检验了BN（b）的可积性。事实上，E[|bN（b）n |]≤ n+X1≤K≤氖Zk-1eZk{τ≥k}= n+X1≤K≤内赫兹克-1{eZk>0}i≤ 2n。最后，我们来看看1+bN（b）n>0。Indeed1+bN（b）n=1- 1{τ≥n} E[1{eZn>0}|Fn-1] +锌-1eZn{τ≥n}≥ 1{τ<n}+Zn-1eZn{τ≥n} >0。这就完成了命题的证明。备注3.3。事实上，P1≤K≤n{τ≥k} E[1{eZk>0}|Fk-1] 是G自适应递增过程P1的G补偿器≤K≤nZk-1/eZk{τ≥k} 。引理3.4。局部鞅N的随机指数E（N）是E（N）N=Y1的形式≤K≤n（1+Nk）。（3.13）证据。计算随机指数很简单。现在，我们准备好陈述本节的第一个主要定理。定理3.5。考虑任意随机时间τ和F-鞅S。表示概率测度~ 密度为Dn的P：=E（Y）nwhereYn:=eZn{Zn-1> 0}Eh{eZn=0}|Fn-1i- 锌-1{eZn=0}，Y=0。

（3.14）那么以下是等价的：（a）S是（F，Q）-鞅；（b） S与D和Y正交；（c） E（bN（b））nSn∧τ是G-鞅，其中bn（b）由（3.12）给出。因此，上述三个等效条件都意味着：（d）Sτ满足NA（G，P）和NA（G，Q）。证据首先，我们注意到概率测度Q定义良好，等价于P。事实上，很容易检查（Yn）是否是F-鞅和1+Yn=eZn{Zn-1> 0}Eh{eZn=0}|Fn-1i+1{eZn>0}+（1- 锌-1） 1{eZn=0}>0，我们在集合{eZn>0}上使用了+伊恩≥ 1和包含{eZn=0} {Zn-1<1}，因为{Zn-1= 1}  {eZn=1}。因此，D是严格正鞅。（a）和（b）之间的等价性是显而易见的。在下文中，我们将重点讨论（a）和（c）之间等价性的证明。回想一下bn（b）n=-X1≤K≤n{τ≥k} E[1{eZk>0}|Fk-1] +X1≤K≤nZk-1eZk{τ≥k} 。（3.15）由于引理2.5，我们推断出SkeZk{τ≥k} |Gk-1i={τ≥k} Zk-1EhSk{eZk>0}|Fk-1i，嗯Sk{τ≥k} |Gk-1i={τ≥k} Zk-1EhSkeZk | Fk-1i。（3.16）为此，我们计算出（bN（b））n+1S（n+1）∧τGn+1i=E（bN（b））nEh（1+bN（b）n+1）S（n+1）∧τGni=E（bN（b））nEhSn∧τ+ Sn+1{n+1≤τ }+ bN（b）n+1Sn∧τ+ Sn+1bN（b）n+1{n+1≤τ }Gni=E（bN（b））n锡∧τ+EhSn+1eZn+1Eh{eZn+1=0}Fni{n+1}≤τ}Zn- E（bN（b））nn{n+1≤τ}EhSn+1{eZn+1=0}Fnio=E（bN（b））nSn∧τ+E（bN（b））nnEhSn+1neZn+1Eh{eZn+1=0}Fni- Zn{eZn+1=0}oFnio{n+1≤τ}Zn=E（bN（b））nSn∧τ+E（bN（b））nEQhSn+1Fni{n+1≤τ}Zn。因此，（a）意味着（c）。相反地，如果（c）h变大，我们有eq[Sn+1 |Fn]{n+1≤τ}Zn=0，等式[Sn+1 | Fn]1{Zn>0}=0。注意[Sn+1 | Fn]1{Zn=0}=0，对于所有n。因此，我们得出结论：[Sn+1 | Fn]=0，对于所有n，这就完成了定理的证明。备注3.6。我们从定理3.5中观察到，即使Y是F-鞅，停止的过程Yn∧τ=Pk≤neZkEh{eZk=0}|Fk-1i{k≤ τ}不满足NA（G），因为它是一个G-递增过程。

这也揭示了定理M3.5中条件的重要性。备注3.7。值得注意的是，一般来说，对于F-鞅M，如果Mτ满足NA（G），我们不能得出M与Y正交的结论。也就是说，让Y到m的投影为Yn=Hn锰mn，在哪里∈ Fn-1和m是一个F-鞅，与m正交。如果Y不为空，则m i不相同。根据定理3.1，很容易看出mτ是G-鞅。然而，除非Y为空，否则m不能与Y正交。推论3.8。设M是F-鞅。如果对于所有n，{eZn=0}={Zn-1= 0}. （3.17）那么下列属性成立：（a）（Mn）∧τ） n≥1不适用（G）；（b）E（bN（b））nMn∧τN≥1是一个G-鞅，其中bn（b）由命题3.2中的（3.12）给出；（c） （3.14）中给出的概率测度Q与P一致。特别是，当所有n的Zn>0时，上述三个特性保持不变≥ 0.下面，我们陈述了本节的第二个主要定理，其中我们给出了施加在随机时间τ（或（2.5）中的停止时间）上的必要条件和有效条件，以保证停止过程Mτ满足任何F-鞅M的NA（G）。定理3.9。考虑（2.5）中定义的随机时间τ和相关停止时间。然后，以下是等价的：（a）对于任何F-鞅M，停止过程Mτ满足NA（G）。（b） {eZn=0}={Zn-1=0}对于所有n.（c）R+1=R=R.（d）Ris，都是F-可预测的停止时间。（e） 通过（3.14）定义的概率Q与P证明一致。定理的证明需要经过四个步骤。在第一步中，我们证明（b）<=>（c） 。第二个步骤集中在（c）<=>（d） 。第三步涉及（b）<=>（e） 。在最后一步中，我们证明（a）<=> （b） 。第一步：（b）和（c）之间的等价性是显而易见的。