信息离散时间市场模型的无套利性

由于ex（e）满足NA（F，P），存在一个与P等价的概率R，因此ex（e）是（F，R）-鞅。根据引理4.11，命题4.12中的条件（4.33）在概率R下是平凡满足的eX（e）nI{eZRn=1}Fn-1.= 急诊室eX（e）nI{eZn=1}Fn-1.= 因此，通过命题4.12，我们得出结论，ex（e）-行政长官（e）τ=X- Xτ满足NA（G，P）。这就结束了对厄洛雷姆的证明。5明确的例子在本节中，我们回顾了介绍中介绍的这两个例子，并明确计算了Az’ema Supermaningales和arb itrage机会。有关更多示例，请参阅Aksamit etal。[2] Fontana等人[9]研究了连续时间设置。例1.2（续）。我们现在的设置与示例1.2相同。引理5.1。下面是一个例子。（a） 逐步扩大过滤G=（Gn）0≤N≤2.爱的人是比格={, Ohm}, G={, Ohm, {ω，ω}，{ω}，{ω}和G=σ({, Ohm, {ω}, {ω}, {ω}, {ω}}).（b） Gτ-= Gτ=Gτ+=G.证明。（a） 由于G的定义，它是微不足道的。注意Gτ-= G∨ σ{A∩ {n<τ}，A∈ Gn，n=1，2}=Gand Gτ=σ{A，A∩ {τ ≤ }n∈ Gn，n=0，1，2}=G。然后（b）继续。引理5.2。对于上述设置，以下属性适用。（a） 过程a，m，Z和Z由a=0，a=p1{ω，ω}，a=p1{ω，ω}+1{ω，ω，ω}给出。m=1，m=1，m=p1{ω，ω}+1{ω，ω，ω}。Z=1，Z=1- p1{ω，ω}，Z=0。eZ=1，eZ=1，eZ=1{ω，ω，ω}。（b） eZτ=1，τ=sup{n≥ 0:eZn=1}，τ是一个诚实的时间。（c） （2.5）中的停止时间为n byR=2，R=+∞, R（ω）=2，R（ω，ω，ω）=+∞.（d） （4.23）中的停止时间由σ（ω，ω）=2，σ（ω，ω）=1，σ（ω，ω）=+∞, σ(ω, ω) = 2, σ(ω) = 2, σ(ω, ω, ω) = +∞.证据根据（2.4）中Z和Z的定义，我们计算出Z=P（τ>0）=1，Z=P（τ>1 | F）=1{ω，ω}+1{ω，ω}（1）- p） ，Z=0eZ=p（τ≥ 0=1，eZ=P（τ）≥ 1 | F）=1，eZ=P（τ）≥ 2 | F）=1{ω，ω，ω}。A和m的计算是类似的。

断言（b）、（c）和（d）很容易检查。我们这里省略它。定理5.3。在目前的情况下，以下财产持有：（a）在市场Sτ中，信息为F的公共交易者和信息为G的内部人士都可以进行套利。（b） 在S市场中，只有掌握G信息的内幕人士才能进行套利。（c） 条件（3.17）和（4.31）失败。的确如此{S6=0}∩ {eZ=0}∩ {Z>0}={ω}，和{S6=0}∩ {eZ=1}∩ {Z<1}={ω}。（5.36）证据。在市场Sτ中，显然，通过取H=0，H（{ω，ω}）=0，H（{ω，ω}）=-公共交易者和投资者可以进行套利。而在市场S中，通过取HG=0，HG（{ω，ω}）=0，HG（{ω}）=1，HG（{ω}）=-1.只有内幕交易者可以根据策略进行套利（HGn）1≤N≤2只有G-可预测。条件（5.36）很容易验证。引理5.4。对于任何F-鞅M，下面的过程是G-鞅。MG=M，MG=M，MG=M- p1{ω}(M（ω）- M（ω））+（1- p） 1{ω}(M（ω）- M（ω））。证据注意m=0和m=pI{ω，ω}- I{ω}。我们计算z{2=τ}E[Mm | F]=1- p1{ω，ω}{ω，ω，ω}Mp1{ω，ω}- 1{ω}| F=1.- p1{ω，ω}{ω}EMp1{ω，ω}- 1{ω}| {ω, ω}= p1{ω}(M（ω）- M（ω）），1- Z{1=τ}E[Mm | F]=p1{ω}EMp1{ω，ω}- 1{ω}| F= (1 - p） 1{ω}(M（ω）- M（ω））。定理3.1和定理4.4的结合完成了引理的证明。推论5.5。下面的过程SG是一个G-鞅：SG=S，SG（{ω，ω}）=uS，SG（{ω，ω}）=dS，SG（{ω}）=uS，SG（{ω}）=udS，SG（{ω}）=dS，SG（{ω}）=dS。证据根据引理5.4，我们有sg（{ω}）=S（{ω}）+（1）- p） （d）- ud）S=dS，SG（{ω}）=S（{ω}）- p（d）- ud）S=dS，其中我们使用等式pu+（1- p） d=1。例1.3（续）。我们现在的设置与例1.3相同。

回想一下随机时间τ=1，在{ω}2上，否则（5.37）逐步扩大过滤G=（Gn）0≤N≤2给出了byG={, Ohm}, G={, Ohm, {ω，ω}，{ω}，{ω}和G=σ({, Ohm, {ω}, {ω}, {ω}, {ω}}).引理5.6。对于上述设置，我们有A=0，A=λ1{ω，ω}，A=λ1{ω，ω}+1{ω，ω，ω}。m=1，m=1，m=λ1{ω，ω}+1{ω，ω，ω}。Z=1，Z=1- λ1{ω，ω}，Z=0。eZ=1，eZ=1，eZ=1{ω，ω，ω}。因此，eZτ=1，τ是一个诚实的时间。证据计算遵循与引理5.2相同的时间表。定理5.7。过程S保持为G-鞅。因此，在市场Sτ和S中不存在套利机会- τS；同时{S6=0}∩ {eZ=0}∩ {Z>0}=, 及{S6=0}∩ {eZ=1}∩ {Z<1}=. （5.38）证据。这是很容易看到的[sm | F]=Es(λ - 1)1{ω}+ 1{ω}| F= 0，我们使用的事实是s≡ {ω，ω}上的0。因此，过程S保持为G-鞅，不存在套利。致谢：Tahir Choulli和Jun Deng的研究得到了加拿大自然科学和工程研究委员会的资助，该委员会获得了G121210818的粗略拨款。参考文献[1]Aksamit A.，Choulli T.，Deng J.和Jeanblanc M.：半鞅模型的随机视界无套利，http://arxiv.org/abs/1310.1142, 2013.[2] Aksamit，A.，C houlli，T.，Deng，J.，和Jeanblanc，M.：逐步扩大环境中的套利，将发表在《世界科学评论：关于随机投资组合、套利信用和信息风险的工作》上，中国，2014年。[3] Acciaio，B.，Fontana，C.，Kardaras，C.：金融模型中的第一亲套利和过滤放大，http://arxiv.org/abs/1401.7198，2014[4]巴洛M.T.：一项过滤研究被扩展为包括诚实的时间，Z。

1978年，盖比特，瓦赫谢因利奇特瑟里，44307-323。[5] 丘利，T.，阿克萨米特，A.，邓，J.，和Jeanblanc，M.：诚实时代下的无套利，http://arxiv.org/abs/1404.0410，2014[6]Dalang，R.C.，Morton A.，和Willinger W.：随机证券市场模型中的等价鞅测度和无套利。《随机学：概率与随机过程国际期刊》29.2185-2011990。[7] Coculescu，D.，Jeanblanc，M.，和Nikeghbali，A.：违约时间，无套利条件和概率度量的变化。《金融与随机》，16（3），513-5352012。[8] Dellacherie，C.和Meyer，P-A.：概率与潜力，第V-VIII章，赫尔曼，巴黎，1980年。[9] Fontana，C.和Jeanblanc，M.和Song，S.：关于诚实时代产生的套利。《金融与随机》，2013年。[10] 朱林，T.：半鞅与Grossissement d\'un e过滤，数学课堂讲稿，第833卷，柏林斯普林格-海德堡-纽约，1980年。[11] 《计算随机性与鞅问题》，第714卷，斯普林格，1979年。[12] 罗杰斯，L.C.G.：等价鞅测度和无套利。《随机学：概率与随机过程国际期刊》51.1-2，41-491994。[13] Schachermayer，W.：有限时间内资产定价基本定理的希尔伯特空间证明。保险：数学与经济11.4249-2571992。[14] Song，S.Q.：Sτ无套利条件-在逐渐扩大的过滤中，http://arxiv.org/abs/1405.4474, 2014.[15] 他，S.W.，王，C.K。，严J.A.：半鞅理论与随机演算，Taylor&Francis US，1992。