部分信息下的非线性滤波与最优投资

（4.3）其中，对于x=（m，b），h（x）=m，h（x）=b，T表示转置算子。有了这些符号，信号观测过程（Xt，Yt）满足（A.1）和（A.2）：dXt=A（Xt）dt+G（Xt）dMt+B（Xt）dWt（4.4）dYt=dWt+h（Xt）dt（4.5）4.1.1估计u和βt我们现在做出一些假设，这些假设将有助于展示我们的结果。假设oi）函数A、G和B是全局Lipschitzii）Xhas fine second moment.oiii）最后一刻。引理4.2。设（X，Y）为（4.4）和（4.5）的解，并假设h具有线性增长条件。如果假设i）和ii）满足，则（A.4）满足。此外，如果假设ii）满足，则（A.6）满足。证据在[？]中给出（参见引理4.1.1和引理4.1.5）。下面的结果表明，我们需要引入趋势和随机波动性的先验模型，以便描述（4.1）中（~ut，~βt）的动力学，因此我们可以从命题a.2中推导滤波器估计（ut，βt）的动力学，从而推导出（ut，βt）的动力学。更准确地说，我们表明，这些估计基本上取决于波动率Vt的模型。我们需要选择Vt的动力学，以便验证以下两个步骤。o第一步：如（4.1）中所述描述（~ut，~βt）的动力学。我们表明，这种描述主要取决于Vt的模型。事实上，如果我们用t^o的公式来描述它们的动力学，我们仍然有vt^o的应用，因此我们只需要用vt^ot^o的公式来描述vt，以便从它们的动力学中消失。这可以通过定义βt来实现，但要考虑变量β的选择，更精确地选择f（βt，Vt）。

我们将在第4.1.1.段中举例说明这一点第二步：验证一些规律性假设。我们在（4.1）中描述了（~ut，~βt）的动力学，我们必须进一步检查动力学的系数是否验证了一些规律性假设，以便使用非线性滤波理论的上述结果。现在，我们给出关于过滤问题的结果：命题4.3。我们认为存在一个函数：R→ R使得Vt=Υ（Υut，Υβt）。如果有了这个函数，Xt=（ut，βt）的动力学可以在（4.4）和假设i）、ii）和iii）中描述，那么条件分布αt:E[φ（Xt | FYt）]满足以下库什纳-斯特拉托诺维奇方程：dαt（φ）=αt（Aφ）dt+αth+Bφ- αt（h）αt（φ）dWt+αth+Bφ- αt（h）αt（φ）dWt。（4.6）对于任何φ∈ B（R）（有界可测函数的空间R）→ R） 。运算符在（A.9）中给出。此外，（ut，βt）的动力学满足以下随机微分方程：dut=αt（a）dt+[αt]hφ+b- αt（h）αt（φ）]dWt+[αthφ+b- αt（h）αt（φ）]dWt，dβt=αt（a）dt+[αthφ+b- αt（h）αt（φ）]dWt+[αthφ+b- αt（h）αt（φ）]dWt。证据根据μtandβt的模型，我们从μtandβt的定义中得出，Vt仍然出现在μtandβt的动力学中。当Vt=Υ（Υut，Υβt）时，我们可以描述（A.1）中的信号过程Xt=（*u，*βt）的动力学。另一方面，根据（4.5）给出的观测过程定义，我们发现传感器函数h=（h，h）具有线性增长条件。因此，当假设i）、ii）和iii）得到验证时，我们可以从引理4.2中推断出条件（A.4）和（A.6）得到了证明。

因此，（4.6）中αt的动力学是从命题A.2推导出来的。（ut，βt）的动力学仍有待推导。让我们如下考虑函数φ和φ：对于x=（m，b），φ（x）=m和φ（x）=b。然后，可以通过用φ（分别φ）替换φ，从（4.6）推导滤波器ut（分别βt）。这里的问题是Kushner-Stratonovich方程（4.6）适用于任何有界Borel可测φ。但由于φ（resp.φ）没有界，我们继续在一个固定的水平上截断φ（resp.φ），使其趋于一致。为此，让我们引入函数（ψk）k>0，定义为ψk（x）=ψ（x/k），R中的x，其中ψ（x）=1如果| x |≤ 1exp（|x|-1 | x|-4） 如果1<|x |<22如果|x |≥ 2.然后使用中给出的下列关系式：→∞φψk（x）=φ（x），|φ（x）ψk（x）|≤ |φ（x）|，limk→∞As（φψk）（x）=Asφ（x）。然后，通过将等式（4.6）中的φ替换为φψ和支配收敛定理中的k，我们可以将极限传递为k→ ∞ 然后我们推导出ut:=αt（φ）（分别为βt:=αt（φ））满足上述动力学。4.1.2方程（4.6）解的存在性和唯一性我们现在充分考虑信号观测系统的系数，以证明方程（4.6）有唯一解，见Bain和Crisan[？，第4章]。我们定义了以下空间，在其中我们证明了独特性。让我们定义测度值随机过程的空间，在这个空间中我们证明方程（4.6）解的唯一性。必须选择该空间，使其仅包含任何线性增长函数的积分为有限的度量。

这种选择的原因是，我们希望允许信号和观测过程的系数是无界的。设ψ：R→ R是任意x的函数ψ（x）=1+| | x | |∈ 将Cl（R）定义为连续函数φ的空间，使得φ/ψ∈ Cb（R）（有界连续函数的空间）。让我们用Ml（R）表示有限测度M的空间，使得M（ψ）<∞. 特别是，这意味着u（φ）<∞ 无论如何∈ Cl（R）。此外，我们赋予Ml（R）相应的弱拓扑：Ml（R）中的测度序列（un）收敛到u∈ Ml（R）当且仅当iflimn→∞un（φ）=u（φ），适用于所有φ∈ Cl（R）。定义4.4.o类U是所有Yt适应的Ml（R）值随机过程（u）t>0的空间，具有cádlág路径，因此，对于所有t>0，我们有EZt（us（ψ））ds< ∞.o 类U是所有Yt适应的Ml（R）值随机过程（u）t>0的s步，具有cádlág路径，使得过程mu属于类U，其中过程mu定义为：mut=exp（Ztus（hT）dYs-Ztus（hT）us（h）ds）现在我们陈述方程（4.6）解的唯一性结果，参见本章定理4.19和Crisan[？，第4章]命题4.5。假设（4.3）中定义的函数A、K和h具有两个连续可微分分量，且其一阶和二阶导数都有界。那么方程（4.6）在类U.4.6中有唯一的解。滤波器满足的方程是有限维的，无法精确求解。这些滤波器必须进行数值求解，但在具体应用中，滤波器永远无法精确实现，因此为了避免这种困难，提出了一些近似方案。例如，扩展卡尔曼滤波器基于当前估计值周围状态方程的非线性化，参见例如Pardoux[？]。这种方法在数学上并不合理，但在实践中得到了广泛应用。

偏微分方程方法，其基于信号的非正规条件分布的密度是偏微分方程的解这一事实，参见例如Bensoussan[？]和Pardoux[？]。此外，我们还可以使用Gobet el al[？]使用的近似方案其中包括离散线性Zakai方程，然后从Kllianpur-Striebel公式（A.5）推导条件分布αt的近似值。4.1.3应用在本节中，我们将介绍两种类型的模型：一种是我们无法应用命题4.3中的结果来推导出滤波器估计的模型，另一种是命题4.3中的模型。3.可以申请吗。让我们考虑以下情况：dstst=utdt+eVtdWt（4.7）dVt=λV（θ- Vt）dt+σVρdWt+σVp1- ρdWt（4.8）dut=λu（θu）- ut）dt+σudWt，uN（m，σ），（4.9）这里，模型的风险由以下公式给出：△ut=uteVt△βt=λV（θ）- Vt）σVp1- ρ-ρp1- ρut把它的公式放在∧ut和βt上，我们有以下动力学：∧ut=~u+Ztλuθe-Vsds+~usσV- λu-λV（θ）- V）+σVds+ZtσVe-VsdWs-Ztρ∑V|usdWs-Ztp1- ρ∑V|usdWs。βt=-ZtλV（θ）- Vs）σVp1- ρds-ZtλVρp1- ρdWs-ZtλVdWs-ρp1- ρdus。另一方面，从*βt的定义来看，我们可以用*和*βt表示Vt，如下所示：Vt=-σVp1- ρλVβt-σVρλV|ut+θ。（4.10）如果我们在上述动力学中替换vt，我们可以推导出（～ut，～βt）可以如（A.1）中所述，其中：A（m，b）=λ|θuexpσVp1- ρλVb+σVρλVm- θ!+σV-λu- σVp1- ρb- σVρmMb（m，b）=- ρσVm；b（m，b）=-σVmp1- ρ; g（m，b）=σVexpσVp1- ρλVb+σVρλVm- θ!.安达（m，b）=-λVb-λVρp1- ρm-ρp1- ρa（m，b）；b（m，b）=-λVρp1- ρ-ρσVp1- ρmb（m，b）=-λV+ρσVm；g（m，b）=-ρp1- ρexpσVp1- ρλVb+σVρλVm- θ!; g=g=0。在（4.10）中，（μt，~βt）的动力学如（A.1）所述，但关于全球Lipschitz条件的假设i不满足，则无法应用命题4.3。备注4.7。

注意这里有一个常数函数。我们也可以选择例如βt=ut，在这种情况下，我们仍然可以仅用*和*βt来描述VT。但是如果我们采用βt另一个过程，在这种情况下，我们不清楚VT是否只能用*和*βt来描述。现在让我们考虑另一个例子：Hes ton ModeldStt=utdt+pVtdWt，dVt=λV（θ）- Vt）dt+σVpVtρdWt+p1- ρdWt,dut=λu（θu- ut）dt+σudWt，uN（m，σ），这里的风险由¨ut=ut给出√vt和∧βt=λV（θ）- Vt）σV√Vtp1- ρ-ρp1- ρut。同样，在上述情况下，我们可以描述（4.3）中的|u和|βtas的动力学，但假设i）不满足。现在我们给出一些例子，说明命题（4.3）可以应用，因此我们可以推导出滤波器估计。我们将对随机因素Garch模型和随机因素Log Ornstein-Uhlenbeck模型感兴趣。随机因素Garch模型：让我们考虑以下Garch模型：dStSt=pVtutdt+dWt,dVt=βt（θ）- Vt）dt+σVVtρdWt+p1- ρdWt,dut=λu（θu- ut）dt+σudWt，uN（m，σ），dβt=λββtdt+σβdWtβN（m，σ）。其中，Wand Ware独立于Wand Ww，其中u和β分别遵循均值m（分别为m）和方差σ（分别为σ）的正态分布。在这里，模型的风险由以下公式给出：△ut=utand△βt=βt（θ- Vt）p1- ρVt-ρp1- ρut.为了计算模型中的滤波器估计值，我们将使用命题4.3。为此，我们需要取θ=0。因为，如果我们把它的公式应用于θ6=0的情况下，我们得到了一个系数不是Lipschitz的动力学，也就是说，假设i）没有得到验证，因此命题4.3不能应用。为此，我们取θ=0。

假设θ=0，那么根据它的公式，我们得到：dutβt= A.utβtdt+GutβtdMt。其中函数A、G和B如下所示：兆字节=λu(θu- m） λβb+ρ（λβ+λu）ρm-ρλuθuρ, G兆字节=-ρσuρ0σβ（b+ρρm）.式中ρ=p1- ρ且函数B为空，因此我们处于信号过程xt:=（)ut，)βt）和观测过程Yt:=（)Wt，)Wt相互独立的情况。这意味着算子带B将在Zakai和Kushner-Stratonovich方程中消失。对于这个模型，命题4.3的假设是满足的，那么任意φ的条件分布α由：dαt（φ）=αt（Aφ）dt给出+αthφ- αt（h）αt（φ）dWt+αthφ- αt（h）αt（φ）dWt。这里算符A由（A.7）给出，其中K=GGT。因此，滤波器估计的动态如下所示：dut=λu（θu- ut）dt+αt（hφ）- utdWt+αt（hφ）- βtutdWt，dβt=λββt+ρ（λβ+λu）ρut-ρλuθuρdt+αt（hφ）-utβtdWt+αt（hφ）- βtdWt。在数值上，为了模拟αt，我们可以使用Gobetet al[？]开发的近似格式或Pardoux研究的扩展卡尔曼滤波器[？，第6章]。此外，我们还考虑了另一个可以应用命题（4.3）的例子：

该过滤器是根据一般的Kushner Stratonovich方程（A.2）推导出来的，但该过滤器的优点是它是一个有限维过滤器。有限维滤波器：随机因子Log Ornstein-Uhlenbeck模型让我们考虑以下Log Ornstein-Uhlenbeck模型：dStSt=eVtutdt+dWt（4.11）dVt=λV（θ）- Vt）dt+σVρdWt+σVp1- ρdWt（4.12）dut=λu（θu）-ut）dt+σudWt。（4.13）然后从|utand|βtand It^o的公式的定义来看，系统的风险具有以下动态性：dutβt=A（t）utβt+ b（t）dt+G（t）dWtWt！+B（t）WtWt！。这里是A=-λuρ[λu-λV]ρ-λV, b=λθu-ρρλuθu!, G=σu-ρρσu!B=0-ρλV-λV！。式中ρ=p1- ρ.因此，使用[？]中的定理10.5.1，我们可以推导出滤波器的以下随机微分方程：dutβt=A（t）utβt+ b（t）dt+（B（t）+Θt）dWtWt！。（4.14）其中Θ是信号的条件协方差矩阵（2×2），满足以下确定性矩阵Ricatti方程：dΘt=AΘt+ΘtAT+GGT- ΘtΘTt-ΘtBT- BΘt.（4.15）我们还可以考虑随机波动率Vt的平均θ是ut的线性函数的情况。例如，假设θ=ut时（St，Vt，ut）的上述动力学。因此，滤波器估计（ut，βt）验证（4.14）。这里G和B是上面给出的同一个矩阵，但A和B由A给出=-λuρ[λu- λV]ρ-λμλVσVρ-λV, b=λμθμλVσVρ-ρρλuθu.备注4.8。

此外，如果我们考虑斯蒂恩斯坦模型，我们有关于过滤器估计的上述结果，其中股票具有动态性：dStSt=|Vt|utdt+dWt以及（4.12）和（4.13）给出的s t ochasticvolatility vt和漂移utare。5组合优化的应用在展示我们的结果之前，让我们回顾一下交易者的目标是解决以下优化问题：J（x）=supπ∈AtE[U（RπT）]x>0，（5.1），其中Rπ在完整信息上下文中的动力学由以下公式给出：dRπT=RπTπTg（Vt）utdt+g（Vt）dWt.这里是一组允许的控制πt，这些控制πt是FS适应的过程，取它们的值为紧U R、 满足可积条件：ZTtg（Vs）πs<∞ P.a.s.（5.2）我们已经证明，利用非线性滤波理论，部分观测组合问题转化为完全观测问题，并在财富动态中加入额外的滤波器，可以应用鞅或偏微分方程方法。在这里，我们将感兴趣的鞅方法，以解决我们的优化问题。使用鞅方法代替偏微分方程方法的动机是，我们不需要对容许控制施加任何约束（见备注5.16）。由于约化市场模型的不完全性，由于随机因子V的存在，我们不得不求解相关的对偶优化问题。为此，我们通过使用偏微分方程方法来补充鞅方法，以明确地解决对偶问题。

对于CARA的效用函数，验证结果表明，在市场系数的某些假设下，对偶值函数和对偶优化器与半线性偏微分方程的解有关。5.1鞅方法在给出关于对偶问题解的结果之前，让我们先提醒一下关于鞅方法的一些一般结果。不完全市场中的鞅方法基于一个（P，G）-局部鞅族的对偶优化问题。对偶公式的重要结果是[？]中给出的鞅表示定理对于（P，G）-关于创新过程的局部鞅，Wand W.引理5.1（鞅表示定理）。设A为任意（P，G）-局部鞅。然后，存在一个G-适应过程φ和ψ，pa.s.平方可积且at=ZtφsdWs+ZtψsdWs。（5.3）现在，我们的目标是描述优化问题的对偶形式。我们现在做出以下假设，这将在续集中有用：ZTutdt<∞,ZTνtdt<∞ P- a、 s.（5.4）对于任何G-适应过程，ν={νt，0≤ T≤ T}，满足（5.4），我们引入（P，G）局部鞅严格正：ZνT=exp-ZtusdWs-ZtνsdWs-Ztusds-Ztνsds（5.5）当E[ZνT]=1时，过程Z是一个鞅，然后存在一个与P等价的概率测度qe：dQdP | Gt=ZνT。这里u是与资产布朗运动W相关的风险，该风险的选择使得Q是一个等价的鞅测度，即过程ZνR是一个（P，G）-局部鞅。另一方面，ν是与随机波动的布朗运动相关的风险，该风险将被确定为下面定义的对偶问题的最优解。因此，从它的公式来看，过程Zν满足：dZνt=-νt ZusdWs+νsdWs.