部分信息下的非线性滤波与最优投资

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英文标题：
《Non-linear filtering and optimal investment under partial information
  for stochastic volatility models》
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作者：
Dalia Ibrahim, Fr\\\'ed\\\'eric Abergel (MAS, FiQuant)
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper studies the question of filtering and maximizing terminal wealth from expected utility in a partially information stochastic volatility models. The special features is that the only information available to the investor is the one generated by the asset prices, and the unobservable processes will be modeled by a stochastic differential equations. Using the change of measure techniques, the partial observation context can be transformed into a full information context such that coefficients depend only on past history of observed prices (filters processes). Adapting the stochastic non-linear filtering, we show that under some assumptions on the model coefficients, the estimation of the filters depend on a priorimodels for the trend and the stochastic volatility. Moreover, these filters satisfy a stochastic partial differential equations named \"Kushner-Stratonovich equations\". Using the martingale duality approach in this partially observed incomplete model, we can characterize the value function and the optimal portfolio. The main result here is that the dual value function associated to the martingale approach can be expressed, via the dynamic programmingapproach, in terms of the solution to a semilinear partial differential equation. We illustrate our results with some examples of stochastic volatility models popular in the financial literature.
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中文摘要：
本文研究了部分信息随机波动率模型中从期望效用中筛选和最大化终端财富的问题。其特点是，投资者可以获得的唯一信息是资产价格产生的信息，不可观测的过程将由随机微分方程建模。利用测量技术的变化，可以将部分观测环境转换为完全信息环境，使系数仅取决于观测价格的过去历史（过滤过程）。采用随机非线性滤波，我们证明了在模型系数的某些假设下，滤波器的估计依赖于趋势和随机波动的先验模型。此外，这些滤波器满足一个名为“Kushner-Stratonovich方程”的随机偏微分方程。在这个部分观测的不完全模型中，利用鞅对偶方法，我们可以刻画价值函数和最优投资组合。这里的主要结果是，与鞅方法相关联的对偶值函数可以通过动态规划方法表示为半线性偏微分方程的解。我们用金融文献中流行的随机波动率模型的一些例子来说明我们的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：非线性 Differential Mathematical coefficients Quantitative

随机波动率模型的非线性滤波和部分信息下的最优投资；弗里德里克·阿伯格尔*;2015年7月28日摘要本文研究了部分信息随机波动率模型中，从经验效用中过滤和最大化最终财富的问题。其特殊之处在于，投资者唯一可用的信息是资产价格产生的信息，不可观测的过程将由一个随机微分方程建模。利用测量技术的变化，可以将部分观测环境转化为完整的信息环境，从而使系数仅取决于观测价格的过去历史（过滤过程）。通过调整随机非线性滤波，我们表明，在一些关于模型系数的假设下，滤波器的估计取决于趋势和随机波动性的先验模型。此外，这些滤波器满足一个名为“Kushner Strato-novich方程”的随机偏微分方程。在这个部分观测的不完全模型中，利用鞅对偶方法，我们可以刻画价值函数和最优投资组合。这里的主要结果是，与鞅方法相关的对偶值函数可以通过动态规划方法表示为半线性微分方程的解。我们用金融文献中流行的随机波动率模型的一些例子来说明我们的结果。关键词s0.1。

部分信息、随机波动性、效用最大化、鞅对偶方法、非线性滤波、Kushner-Stratonovich方程、半线性部分微分方程。1引言数学金融的基本问题是经济主体在金融市场上进行投资，以最大化其最终财富的预期效用的问题。在连续时间模型的框架中，Merton（1971）首次通过Hamilton-JaccobiBellman方程和动态规划在Black-Scholes环境（完全信息）中研究了效用最大化问题。与金融市场模型一样，我们通常不完全了解所有参数，这些参数可能由不可观察的随机因素驱动。因此，我们正处于局部观测的效用最大化问题的情况下，Detemple[？]在文献中对其进行了广泛的研究，多坦和费尔德曼[？]，莱克纳[？]，[?], 默顿的环境有很多概括。自然的概括是通过随机过程对波动性进行建模。在本文中，我们考虑了一个金融市场，其中风险资产的价格过程遵循波动率模型，我们要求投资者只观察股票价格。所以我们是*巴黎中央经济学院，数学研究实验室，维涅斯大道，92290号，法国马拉布里，部分观察不完全市场框架，我们的目标是解决这一背景下的效用最大化问题。为了解决部分观测的问题，常用的方法是使用随机非线性滤波和测量值变化技术，以便将部分观测上下文转换为完整的信息上下文。

然后可以用鞅方法或动态规划方法来解决这个问题。Dothan和Feldman研究了具有不完全信息的模型[？]在线性高斯滤波中使用动态编程方法，Lakner[？]，[?] 通过鞅方法解决了部分优化问题，并给出了线性高斯滤波的特例。Pham和Quenez[？]处理了部分信息随机波动率模型的情况，其中他们结合了随机过滤技术和鞅对偶方法来描述效用最大化问题的价值函数和最优投资组合。他们研究了两种情况：假设模型的风险是独立的高斯过程的情况和Karatzas Zhao[？]研究的贝叶斯情况。在本文中，我们处于Pham和Quenez[？]研究的相同框架中，但这里我们假设不可观测的过程是由随机微分方程模拟的。更准确地说，股票的不可观测漂移和随机波动率的不可观测漂移由随机微分方程建模。这种情况下的主要结果是，过滤器对风险的估计取决于趋势和随机波动性的先验模型。这一结果有两个原因：首先，我们需要选择趋势和随机波动的模型，这样风险动态只能用它们来描述。其次，我们需要选择这些模型，使风险动力学的系数满足一些规律性假设，如全局Lip*****z条件，并引入一些有限阶矩。我们证明，过滤器对风险的估计满足一个名为“Kushner Stratonovich方程”的随机偏微分方程。

但这些方程是在有限维空间中取值的，无法显式求解，因此可以使用数值逼近来求解它们。此外，我们还研究了有限维滤波器（如Kalman-Bucy滤波器）的情况。我们用几个流行的随机波动率模型的例子来说明我们的结果。在将原来的部分信息问题替换为完全信息问题（仅限于观察价格的过去历史）之后，就可以使用经典理论来解决随机控制问题。在这里，我们将感兴趣的鞅方法来解决我们的效用优化问题。由于不完全的约化市场，我们利用随机控制理论补充鞅方法来解决相关的对偶优化问题。在[？]中，他们也使用了鞅方法，但他们研究了对偶优化器消失的情况。本文的主要结果是，相关对偶问题的解可以表示为半线性部分微分方程的解，该方程也依赖于滤波器和随机波动率。本文的组织结构如下：在第二节中，我们描述了模型并提出了最优化问题。在第3节中，我们使用非线性过滤技术和测量技术的变化，以便将部分观测环境转换为完整的信息环境，从而使系数仅取决于观测价格的过去历史（过滤过程）。在第4节中，我们展示了滤波器估计依赖于趋势和随机波动性的先验模型。我们用金融文献中流行的随机波动率模型的例子来说明我们的结果。最后，在第5节中，我们使用鞅对偶方法来解决效用最大化问题。

我们证明了对偶值函数和对偶优化器可以用半线性偏微分方程的解来表示。因此，原始值函数和最优端口也依赖于此解。研究了幂函数和对数效用函数的特殊情况，并以随机波动率模型为例说明了我们的结果，我们可以给出线性方程的一个封闭形式。2.问题的表述(Ohm, F、 P）是一个具有过滤F={Ft，0的完全概率空间≤ T≤ T}满足通常条件，其中T>0是固定的时间范围。金融市场由一项风险资产和一个银行账户（绑定）组成。在整个连续时间范围[0，T]内，假设界的价格为1，风险资产具有动态性：dStSt=utdt+g（Vt）dWt，（2.1）dVt=f（βT，Vt）dt+k（Vt）（ρdWt+p1）- ρdWt，（2.2）dut=ζ（ut）dt+θ（ut）dWt。（2.3）过程Wand Ware定义了两个独立的布朗运动(Ohm, F、 P）和-1.≤ ρ ≤ 1是相关系数。这是一个标准的布朗运动，与W无关。漂移u={ut，0≤ T≤ T}是不可观测的，遵循高斯过程。过程βtca可以被视为另一个不可观测过程的函数，该过程也有一个随机微分方程。我们假设函数g、f、k、ζ和θ确保上述随机微分方程解的存在唯一性。Lipschitz条件是有效的，但我们在这个阶段不会对参数施加这些条件，因为我们不希望从一开始就排除一些众所周知的随机波动模型。

此外，我们可以假设漂移utca由utg（Vt）代替，也就是说，我们有一个因子模型。此外，我们假设g（x），k（x）>0，并且（2.2）的解不会爆炸，也就是说，解不会触及0或0∞ 在有限的时间内。最后一个条件可以从费勒的爆炸试验中得到验证，见[？，第348页]。在续集中，我们用FS={FSt，0表示≤ T≤ T}（分别为FV={FVt，0≤ T≤ T}）由价格过程S（分别由随机波动率V）产生的过滤。我们也用byG={Gt，0表示≤ T≤ T}价格过程产生的市场过滤的自然P-增强S.2.1优化问题πT是交易者在时间T决定投资于风险资产的财富的分数，1-π是投资于边界的财富的一部分。我们假设交易策略是自我融资的，那么与投资组合π对应的财富过程由Rπ=X定义，并满足以下SDE：dRπt=Rπtπtutdt+πtg（Vt）dWt.函数U:R→ 如果R是C类严格递增、严格凹的函数，则称为效用函数。我们假设投资者希望最大化其最终财富的预期效用。因此，优化问题是asJ（x）=supπ∈AE[U（RπT）]，x>0，（2.4），其中A表示容许控制集（πT，0）≤ T≤ T）哪些是FS适应的，并且满足可积条件：ZTtg（Vs）πsds<∞ P- a、 s.（2.5）我们所处的环境是，当投资者希望最大化terminalwealth的预期效用时，投资者可获得的唯一信息是资产定价产生的信息，因此在部分观测不完全模型中会导致效用最大化问题。

为了解决这个问题，我们的目标是将其简化为一个具有完整信息的最大化问题。为此，利用来自市场本身的所有信息来不断更新不完全已知数量的知识变得非常重要，而这正是随机过滤技术有用的地方。3.还原到完整的观察环境让我们考虑以下过程：＠ut:=utg（Vt），（3.1）＠βt：=p1- ρk（Vt）-1（f（βt，Vt）- ρk（Vt）|ut），（3.2）我们假设他们验证了可积性条件：ZT | |ut |+| |βt | dt<∞ a、 在这里，μ和β皮重是不可观察的过程，可以解释风险的市场价格。这些信息与资产的布朗成分有关。其次是随机波动的布朗运动。我们还介绍了以下过程：Lt=1-ZtLsh)usdWs+)βsdWsi。（3.3）我们将采用过滤理论的常规假设。假设1。过程L是一个鞅，即E[LT]=1。在这个假设下，我们现在可以定义一个新的概率度量P，相当于P on(Ohm, F） 其特征为：dPdP | Ft=Lt，0≤ T≤ T.（3.4）然后Girsanov的变换确保了Wt=Wt+Ztusds是（~P，F）-布朗运动，（3.5）~Wt=Wt+Ztβsds是（~P，F）-布朗运动。（3.6）（3.7）此外，我们还发现（~ut，~βt）与布朗运动无关~Wt，~Wt.因此，P下（S，V）的动力学变为：dStSt=g（Vt）dWt，（3.8）dVt=ρk（Vt）dWt+p1- ρk（Vt）dWt.（3.9）我们现在陈述一个引理，它将在下面高度相关。这个引理的证明类似于Pham和Quenez[？]中的引理3.1。引理3.1。在假设1下，过滤G是（~W，~W）的放大过滤。证据该证明的草图概括为两个步骤：首先，我们证明过滤G等于放大的渐进过滤FS∨FV。

第一个包裹体很明显，另一个包裹体很明显∨ FV G是根据vt可以由log（St）的二次变化来估计这一事实推导出来的。其次，从（3.8）、（3.9）和g（x），k（x）>0的事实来看，我们得到了由（~W，~W）产生的过滤，我们现在对风险过程做出以下假设~u,~β.T∈ [0，T]，E||uT|+E|βT|<∞ （3.10）在这个假设下，我们可以引入~u,~β:ut:=E[t|Gt]，（3.11）βt:=E[βt|Gt]。（3.12）让我们用H表示定义为Ht=Lt的（~P，F）鞅。现在，我们的目标是构造P等价于~P的限制(Ohm, G） 。首先，让我们考虑Baye\'s公式的条件版本：对于任意P可积随机变量X（X∈ L（P）），我们有：E[X | Gt]=~E[XHt |Gt]~E[Ht |Gt]。（3.13）然后通过取X=Lt，我们得到：~Lt:=E[Lt | Gt]=E[Ht | Gt]。（3.14）因此，从（3.4）（3.14）中，我们对G有以下限制：dPdP | Gt=Lt。最后，从Bain和Crisan（命题2.30）和Pardoux（命题2.2.7）中，我们得到以下结果：命题3.2。以下过程与Wand Ware无关（P，G）-布朗运动。Wt=Wt+Zt（)us- us）ds:=~Wt-Ztusds，Wt=Wt+Ztβs-βsds:=~Wt-Ztβ-sds。这些过程在过滤理论中被称为创新过程。它们包括μ和β的真实值与其估计值之间的距离：然后，通过创新过程，我们可以在全观测模型的框架内描述（S，V，R）的动力学：（Q）=dStSt=g（Vt）utdt+g（Vt）dWt，dVt=ρk（Vt）ut+p1- ρk（Vt）βtdt+ρk（Vt）dWt+p1- ρk（Vt）dWt，dRπt=Rπtπtg（Vt）utdt+g（Vt）dWt.4 filteringw我们已经证明，条件参数可以用来将最初的部分信息问题替换为完全信息问题，而完全信息问题只依赖于观察价格的过去历史。

但是简化过程涉及滤波器的估计u和βt。我们的滤波问题可以总结如下：根据引理3.1，我们有G=FW∨然后向量（~W，~W）对应于观测过程。另一方面，我们的信号处理是由（∑ut，∑βt）给出的。因此，过滤问题是在给定观测数据G=FWWW的情况下，表征（~ut，~βt）的条件分布。我们在本节中展示了过滤估计如何依赖于漂移和随机波动性的模型。利用非线性滤波理论（见附录），我们可以推断滤波器估计满足一些随机偏微分方程，称为“Kushner-Stratonovich方程”。通常，这些方程是有限维的，因此很难显式求解。因此，为了简化情况并获得最优投资组合的封闭形式，我们将对一些模型案例感兴趣，当我们可以推导出有限维滤波器时。4.1一般情况：假设该过程是以下随机微分方程的|uand|β皮重解：utβt=aadt+ggggDWTWTWT+bbbbDWTWTWT（4.1）其中，我们表示f或简化函数a:=a（~ut，~βt），a:=a（~ut，~βt）。。。。。。。b=b（～ut，～βt），布朗运动（Wt，Wt）与（Wt，Wt）无关。另一方面，观察过程的动力学（~W，~W）由以下公式给出：~Wt~Wt= DWTWTWT+utβtdt（4.2）备注4.1。为了避免在续集中出现混淆，我们有：G=FWWW=FY。注释1。让我们用：Xt来表示=utβt, Yt=~Wt~Wt, A=aa, G=gggg, B=bbbbMt=WTWTWTWt=WTWTWT, h=啊K=（BBT+GGT）。