新的定价框架：期权和债券

首先，通过执行步骤#1和#2，我们得到Φ[α（τ）]=*expiTZtdτα（τ）nXk=1ηkа（τ）- （tk）+tk，η（9）=T- tTZtdt′∞Z-∞dηp（η）expiηTZt′dτα（τ）~n（τ- t′）n、 然后，让我们执行步骤#3，Φ[α（τ）]=*T- tTZtdt′∞Z-∞dηp（η）expiηTZt′dτα（τ）~n（τ- t′）n+n=e-λ（T）-（t）∞Xn=0（λ（T）- t） ）nn！[T]- tTZtdt′（10）×∞Z-∞dηp（η）expiηTZt′dτα（τ）~n（τ- t′）]n=expλTZtdt′∞Z-∞dηp（η）exp{iηTZt′dτα（τ）~n（τ）- t′）]- 1..因此，我们找到了由公式（3）Φ[α（τ）]=exp定义的特征函数Φ[α（τ）]的方程λTZtdt′∞Z-∞dηp（η）exp{iηTZt′dτα（τ）~n（τ）- t′）]- 1.. （11） 此外，我们选择响应函数φ（t）=δ（t），（12）作为示例，其中δ（t）是δ函数。在这种情况下，我们对特征函数Φ[α（τ）]Φ[α（τ）]=expλTZtdτ∞Z-∞dηp（η）（eiηα（τ）- 1). （13） 现在，有了等式（13）和定义（4）和（5），我们可以很容易地得到平均值<F（t）><F（t）>=λ∞Z-∞dηp（η）η，（14）和相关函数<F（t）F（t）><F（t）F（t）>=λ∞Z-∞dηp（η）ηδ（t）-t） +<F（t）><F（t）>。

（15） 3.期权定价方程及其解。1.一个新的无套利积分微分定价方程，具有式（13）给出的特征函数Φ[α（τ）]，并假设无价格且无风险的市场，恒定的无风险利率r，以及由式（13）给出的几何散粒噪声动机控制的资产价格动态。（1） 引入了一种新的无套利积分微分期权定价方程C（x，t）t+（r-q）C（x，t）x（16）+λ∞Z-∞dηp（η）C（x+η，t）- C（x，t）- （eη）- 1)C（x，t）十、- rC（x，t）=0，其中x=lnSK，（17）和C（x，t）是欧洲看涨期权非分割支付资产的价值，S是由等式（1）决定的资产价格，K是履约价格，r是风险期权，该期权赋予所有人在预定日期（到期时间t）以特定价格（履约价格K）购买资产的权利，但没有义务。自由利率ra t e，q是连续支付的股息收益率，这是一个常数，p（η）是公式（2）中涉及的概率密度函数。欧式看涨期权的最终条件（或支付函数）为isC（S，T）=max（S- K、 0），（18），其中T是期权到期时间。如果我们考虑公式（17），那么我们可以写出公式（18）asC（x，t）=K max（ex- 1, 0) . （19） 因此，Eqs引入了新的广义期权定价框架。（16） 和（19）。要计算欧式看跌期权p（x，t）的值，我们有相同的方程asEq。（16） 而终端条件isP（S，T）=max（K- S、 0）。（20） 借助于等式（17），欧式putoption的终端条件（20）为p（x，T）=K max（1- 例如，0）。

（21）如果我们从C（x，t）到C（S，t），其中x和S通过等式（17）相互关联，那么我们可以用下面的形式写出n个期权定价等式（16）C（S，t）t+（r-q） SC（S，t）S（22）+λ∞Z-∞dηp（η）C（Seη，t）- C（S，t）- （eη）- 1） SC（S，t）s- rC（S，t）=0，终端条件由式（18）或式（20）给出。对n期权进行估值时，通常会考虑到期时间- t而不是时间t。考虑到赋予所有者在到期日t出售资产的权利而非义务的期权。T→ -（T）- t） ，（23）我们可以将等式（16）表示为-C（x，T）- （t）（T）- t） +（r）-q）C（x，T）- （t）x+λ∞Z-∞dηp（η）C（x+η，T）- （t）- C（x，T）- （t）- （eη）- 1)C（x，T）- （t）十、(24)-rC（x，T）- t） =0，而看涨期权的终端条件（19）变为C（x，t- t） | t=t=C（x，0）=K最大值（ex- 1,0），（25）和看跌期权的终端条件（21）变成SP（x，T）- t） | t=t=P（x，0）=K最大值（1- 例如，0）。（26）3.2积分微分方程的精确解3。2.1调用选项求解等式（24），根据（2.5）给出的终端条件，我们将使用格林函数法。根据定义，格林函数G（x- x′，T- t） 满足积分微分方程-G（x）- x′，T- （t）（T）- t） +（r）-q）G（x）- x′，T- （t）x+λ∞Z-∞dηp（η）{G（x+η）-x′，T- （t）- G（x）- x′，T- t） （27）-（eη）- 1)G（x）- x′，T- （t）x}- rG（x）- x′，T- t） =0，且终端条件g（x- x′，T- t） | t=t=G（x- x′，0）=δ（x- x′，（28）式中T-这是成熟的时刻。具有格林函数G（x）-x′，T-t） 我们用公式C（x，t）中的条件（25）写出等式（24）的解- t） =K∞Z-∞dx′G（x- x′，T- t） ma x（ex′）- 1,0），（29）和等式（24）的解，其中条件（26）在形式p（x，T）中- t） =K∞Z-∞dx′G（x- x′，T- t） 马x（1）- ex′，0）。

（30）由Eqs引入的格林函数。（27）和（28）可以通过傅里叶变换方法找到。格林函数G（x）- x′，T- t） readsG（x）- x′，T- t） =2π∞Z-∞dkeik（x）-x′）G（k，T）- t） ，（31）式中G（k，t）-t） 是由g（k，t）定义的格林函数的傅里叶变换- （t）=∞Z-∞dxe-ikxG（x，T）- t） 。（32）关于G（k，T）- t） 式（27）的形式为T（k，G）- （t）（T）- t） =[-r+ik（r）-q） （33）+λ∞Z-∞dηp（η）eikη- 1.- ik（eη）- 1)]G（k，T）- t） ，而终端条件（28）变为g（k，t- t） | t=t=G（k，0）=1。