新的定价框架：期权和债券

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英文标题：
《New Pricing Framework: Options and Bonds》
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作者：
Nick Laskin
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  A unified analytical pricing framework with involvement of the shot noise random process has been introduced and elaborated. Two exactly solvable new models have been developed. The first model has been designed to value options. It is assumed that asset price stochastic dynamics follows a Geometric Shot Noise motion. A new arbitrage-free integro-differential option pricing equation has been found and solved. The put-call parity has been proved and the Greeks have been calculated. Three additional new Greeks associated with market model parameters have been introduced and evaluated. It has been shown that in diffusion approximation the developed option pricing model incorporates the well-known Black-Scholes equation and its solution. The stochastic dynamic origin of the Black-Scholes volatility has been uncovered. The new option pricing model has been generalized based on asset price dynamics modeled by the superposition of Geometric Brownian motion and Geometric Shot Noise. To model stochastic dynamics of a short term interest rate, the second model has been introduced and developed based on Langevin type equation with shot noise. A new bond pricing formula has been obtained. It has been shown that in diffusion approximation the developed bond pricing formula goes into the well-known Vasicek solution. The stochastic dynamic origin of the long-term mean and instantaneous volatility of the Vasicek model has been uncovered. A generalized bond pricing model has been introduced and developed based on short term interest rate stochastic dynamics modeled by superposition of a standard Wiener process and shot noise. Despite the non-Gaussianity of probability distributions involved, all newly elaborated models have the same degree of analytical tractability as the Black-Scholes model and the Vasicek model.
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中文摘要：
引入并详细阐述了一个包含散粒噪声随机过程的统一分析定价框架。已经开发了两个完全可解的新模型。第一种模式旨在评估期权价值。假设资产价格随机动态遵循几何散粒噪声运动。建立并求解了一个新的无套利积分微分期权定价方程。看跌期权奇偶性已经被证明，希腊人已经被计算出来。引入并评估了另外三个与市场模型参数相关的新参数。结果表明，在扩散近似下，发展的期权定价模型结合了著名的Black-Scholes方程及其解。Black-Scholes波动率的随机动力学起源已经被揭示。基于几何布朗运动和几何散粒噪声叠加的资产价格动力学模型，对新的期权定价模型进行了推广。为了对短期利率的随机动力学进行建模，第二个模型是基于带散粒噪声的朗之万型方程建立的。得到了一个新的债券定价公式。研究表明，在扩散近似下，所发展的债券定价公式进入了著名的Vasicek解。Vasicek模型的长期平均和瞬时波动率的随机动力学起源已经被揭示。在标准维纳过程和散粒噪声叠加的短期利率随机动力学模型基础上，引入并发展了广义债券定价模型。尽管所涉及的概率分布具有非高斯性，但所有新开发的模型都具有与Black-Scholes模型和Vasicek模型相同的分析可处理性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-5-6 11:15:55 上传

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关键词：Quantitative Mathematical distribution Differential mathematica

新的定价框架：期权和邦德斯尼克·拉斯金*TopQuark Inc.多伦多，ON，M6P 2P2摘要介绍并阐述了一个涉及热噪声随机过程的统一分析框架。发展了两个完全可解的新模型。第一个模型旨在评估期权价值。假设资产价格随机动态遵循几何规律。建立并求解了一个新的无套利积分微分期权定价方程。看跌期权平价已经被证明，希腊人已经被计算出来。引入并评估了与市场模型参数相关的另外三种新的贪婪。研究表明，在扩散近似下，发展的期权定价模型结合了著名的BlackScholes方程及其解。Black-Scholes波动的随机动力学起源已经被揭示。在几何布朗运动和几何散粒噪声的假设下，基于资产价格动力学，对新的期权定价模型进行了推广。得到并求解了广义无套利积分微分期权定价方程。在此基础上，引入并计算了新的广义伽马方程。为了模拟短期利率的随机动力学，引入并发展了第二个模型，该模型基于带散粒噪声的Langevintype方程。已经发现，该模型*电子邮件地址：nlaskin@rocketmail.comprovides一个术语结构。一个新的债券定价公式已经建立。

已经证明，在扩散近似下，开发的债券定价公式进入了著名的Vasiˇcek解。Vasiˇcek模型的长期平均和瞬时波动率的随机动力学起源已经被揭示。基于标准维纳过程和散粒噪声叠加建立的短期利率随机动力学模型，引入并发展了广义债券定价模型。尽管涉及概率分布的非高斯性，所有新阐述的模型都具有与Black-Scholes模型和Vasiˇcek模型相同的分析可处理性。这种情况允许我们推导出期权和债券价值的简单精确公式。关键词：金融衍生品基本面、散粒噪声、期权定价方程、格林函数、看跌期权平价、希腊人、布莱克斯科尔斯方程、短期利率、Vasiˇcek模型、有效期限结构、债券定价公式。内容1简介42资产价格随机动力学62.1几何散粒噪声运动。62.2散粒噪声的功能特性。73期权定价方程及其解103.1一个新的无需任意年龄的积分微分定价方程。103.2积分微分方程的精确解。123.2.1呼叫选项。123.2.2卖出期权。164看涨期权平价165希腊人175.1普通希腊人。185.2新希腊人。215.2.1高斯j umps模型。215.2.2希腊语κ。215.2.3希腊u。235.2.4希腊语。

. . . . . . . . . . . . . . . 256布莱克-斯科尔斯方程276.1微分近似。276.2期权定价公式。286.3布莱克-斯科尔斯方程的解。296.3.1扩散近似下的函数L（L）。306.3.2扩散近似下的函数L（L）。326.3.3差分近似下期权定价方程的求解。336.4差异近似的希腊人。336.4.1希腊织女星。336.4.2布莱克·斯科尔斯希腊人。347广义期权定价框架347.1几何布朗运动和几何散粒噪声。347.2广义无套利积分微分期权定价公式。357.3广义希腊语。388短期利率动态428.1朗之万方程（带散粒噪声）。428.2债券价格。438.2.1有效期限结构。438.2.2术语结构方程。458.3 Vasiˇcek型号。468.3.1扩散近似值。468.3.2长期平均和瞬时波动率。478.3.3均值和方差。499广义短期利率模型509.1带散粒噪声的Vasiˇcek模型。509.2债券价格：通用公式。519.2.1广义项结构方程。

5410结论5511附录A：求解BlackScholes方程的格林函数法5712附录B：希腊ΘCin扩散近似601结果本文的目的是介绍和阐述一种新的期权和债券价值的统一分析框架。期权定价方法基于资产价格动态，该动态由随机微分方程建模，并考虑了热噪声。它导致资产价格的几何散粒噪声运动。建立并求解了一个新的无套利积分微分期权定价方程。获得了欧洲看涨期权和看跌期权估值的新精确公式。证明了看跌期权的有效性。希腊人的计算是基于期权定价方程的解。介绍并评估了三个与市场模型参数相关的新希腊人。研究表明，已开发的期权定价框架结合了著名的Black-Scholes方程[1]。Bla-ckScholes方程及其解来自我们的积分微分方程，在特殊情况下，我们称之为“微分近似”。微分近似中的几何散粒噪声模型解释了Black-Scholes模型中波动的随机动力学起源。债券定价分析方法基于带有散粒噪声的La ngevin型随机微分方程来模拟短期利率动态。它会导致短期利率的非高斯随机运动。得到了一个债券定价公式，并证明该模型提供了一个有效的期限结构。新的解决方案Pricek-Gincork。

Vasiˇcek解决方案由我们的Bond定价公式在微分近似下得出。Vasiˇcek长期平均和瞬时波动率的随机动力学起源已经被揭示。本文的主要结果用等式表示。（1） ，（2），（16），（22），（43），（47），（120）-（124），（132），（145），（150），（157），（159），（178），（182）和（191）。基于积分微分定价方程的精确解，获得了评估普通买入期权和卖出期权的新公式。表1和表2中列出了这些公式。论文的结构如下。以秒计。2.引入几何散粒噪声运动，并将其应用于资产价格动态建模。本文给出了一个新的无套利积分微分方程。3.已经证明，格林函数法是求解该方程的有效数学工具。对于欧式看涨期权和看跌期权，已经找到了这个方程的精确解析解。看跌期权奇偶性已在Sec中得到证明。4.G里克斯包括三个新引进的希腊人，是按秒计算的。5.三个新的参数与散粒噪声过程定义中涉及的市场参数有关。资产价格跳跃的高斯模型被认为是三个新希腊人的公式。积分微分期权定价方程的微分近似已在第。6.研究表明，著名的Black-Scholes方程及其波动性来自微分近似下的积分微分定价方程。布莱克-斯科尔斯方程的解直接从积分微分定价方程的精确解开始。

著名的Black-Scholes希腊欧式看涨期权（European看涨期权）是从新的通用Gr-EEK中复制出来的，采用了差分近似法。表3总结了欧洲看涨期权的Black-Scholes方法。通用期权定价框架已在Sec中介绍。7.广义的概念来自于在资产价格动态方程中容纳几何布朗运动和几何散粒噪声的叠加。实现这一想法的结果是一个普遍化的定价公式。作为广义定价方程的解，得到了欧洲看涨期权和看跌期权的新估值公式。对这些公式的特殊极限情况进行了推导和讨论。广义的希腊人已经被创造出来并经过计算。表4显示了广义希腊人的新公式。以秒计。8短期利率由带有散粒噪声的Langevistochastic微分方程建模。我们找到了一个新的债券定价公式，并证明新模型提供了有效的期限结构。债券定价公式是积分微分期限结构方程的解。著名的短期利率Vasiˇcek模型及其长期平均和瞬时波动性源自我们的差分近似模型。也有证据表明，Vasiˇcek债券定价公式是根据新的债券定价公式在差分近似下得出的。需要强调的是，我们的模型是非高斯的，而Vasiˇcek模型是高斯的，即我们的模型和Vasiˇcek模型的短期利率概率分布是不同的。

有趣的是，尽管存在这种差异，但两种模型的均值和方差完全相同。本文引入并发展了广义债券定价模型。9.基于标准维纳过程和散粒噪声叠加建模的短期利率随机动力学。发现了一个新的债券定价公式，并表明广义模型提供了一个有效的期限结构。找到并求解了广义项结构方程。必须强调的是，尽管涉及概率分布的非高斯性，所有新开发的期权和债券的定量模型都具有与Black-Scholes模型[1]和Vasiˇcek模型[2]相同的分析可处理性。分析的可操作性使人们能够获得新的精确的简单公式来评估期权和债券的价值。本文的主要结果和发现已在结论中进行了总结和讨论。附录A发展了求解欧式看涨期权Black-Scholese方程的格林函数方法。在没有将Black-Scholes方程转化为热方程的初步变换的情况下，可以直接获得已知的解。

据我们所知，实施的格林函数方法尚未在任何地方出现。附录B是一个演练，展示了在差分近似中，新希腊式Θcgo的方程转化为著名的布莱克-斯科尔斯希腊式θ公式。2资产p r ice随机动态2。1几何散粒噪声运动假设资产价格S（t）遵循随机微分方程ds=SF（t）dt，（1）随机力F（t）由散粒噪声过程建模（见[3]中的等式（6）），F（t）=nXk=1ηkа（t- tk），（2）如果资产价格的随机跳跃ηkof在统计上是独立的，并以概率密度函数p（η）分布，则随机时间点tk（即资产价格跳跃的到达时间）在时间间隔[t，t]上均匀分布，因此它们的总数n服从参数λ的泊松定律，确定性函数ν（t）是响应函数。假设由式（2）定义的散粒噪声过程F（t）描述了不同影响因素对资产价格动态的影响。单次激发噪声脉冲ηk~n（t- tk）描述了一段信息的影响，该信息在时间t的最后时刻tkon可用，振幅ηk响应于资产价格脉冲的幅度η（t-tk）。振幅η是随机的统计自变量，取决于可用的市场信息。

我们还假设每个脉冲具有相同的函数形式，或者，用她的话来说，一个通用响应函数φ（t）可以用来描述资产价格动态。我们称之为由等式引入的随机动力学。（1） （2）几何热噪声运动。2.2爆炸噪声的特征函数通过定义，随机力F（t）的特征函数Φ[α（τ）]为Φ[α（τ）]=*expiTZtdτα（τ）F（τ）+, （3） 其中α（τ）是一个任意的充分光滑函数，h。。。我代表随机力F（t）中所有随机性的平均值。特征函数包含关于随机力F（t）的统计矩的所有信息。例如，F（t）的平均值可以计算为函数导数<F（t）>=iΔΔα（t）Φ[α（τ）]|α（τ）=0，（4），而相关函数<F（t）F（t）>由二阶函数导数<F（t）F（t）>=iΔΔα（t）Δα（t）Φ[α（τ）]|α（τ）=0给出。（5） 为了评估特征函数Φ[α（τ）]，我们需要确定inEq所涉及的三个随机性来源的概率特征。(2). 因此，假设这三个随机性来源相互独立，我们有三个统计上独立的平均程序[3]：1。在区间[t，t]上均匀分布的时间点上求平均，h。。。信息技术- t=nYk=1T- TTZTTK。。。。(6)2. 平均随机资产价格跳跃，这是统计上独立的，并分布在概率密度函数p（η），h。。。iη=nYk=1∞Z-∞dηkp（ηk）。。。。(7)3. 平均价格跳跃的随机数n，h。。。in=e-λ（T）-（t）∞Xn=0（λ（T）- t） ）nn！。。。，（8） 这实际上是泊松概率密度函数的平均值，λ是价格跳跃的到达率，即单位时间内的跳跃次数。现在我们可以计算Φ[α（τ）]。