首次价格拍卖模型的半参数估计

和（i）对于每个∈ 一、 Si（F）={（v，x）：x∈ [x，x]，v∈ [v（x），v（x）]}，其中x<x，（ii）表示（v，x，I）∈ S（F），F（v | x，I；θ，γ）≥ cf>0，对于（x，I）∈ S（Fm），Fm（x，I）≥ cf>0，（iii）对于每个I∈ 一、 F（·|·，I；θ，γ）和fm（·，I）允许SI（F）和SI（fm）上的R+1连续有界部分导数，R>d+1。这些假设也可以在GPV（2000）中找到，尽管A2-（iii）在我们的案例中更强。也就是说，我们要求R相对于X的维数足够大，即R>d+1，这在半参数文献中常用，s eePowell、Stock和Stoker（1989）等。接下来的两个问题是第一阶段使用的内核和带宽。假设A3：（i）核KG（·）、K1g（·）和K2g（·）具有有界超立方体支撑和两次连续有界导数。（ii）RKG（x）dx=1，RK1g（x）dx=1，RK2g（b）db=1。我们使用符号Il（带下标）l) 表示有我l-许多竞标者lthauction和I（不带下标）l) 表示竞拍者众多。例如，假设有L=3个拍卖，拍卖中有2个、3个和2个投标人l = 分别为1、2和3。在这里l ∈ {1,2,3}，I=2，I=3和I=2，simplyI=2指的是有两个竞拍者的拍卖，即拍卖1或拍卖3。（iii）KG（·）、K1g（·）和K2g（·）的顺序为（R- 1).假设A4：带宽hG、H1和H2G满足：（i）hG→ 0和lhdglog→ ∞, 就像我→ ∞,（ii）h1g→ 0，h2g→ 0和LHD1GH2GLog L→ ∞, 就像我→ ∞.为了表示的简单性和符号的可处理性，在本文的其余部分中，我们将只考虑单变量X，即d=1，但在蒙特卡罗部分，当我们考虑d=2时，除外。

由于我们证明了收敛速度与d（命题2）无关，所以除了渐近方差的形式外，所有的渐近结果都适用于d>0，因为当我们从d=1移动到d>1时，我们只需要调整回归子的维数、多项式的阶数和渐近方差。参见（Ruppert and Wand，1994年，第3节），了解如何指定d=2的多项式的示例。为了描述我们的两步估计器，我们首先观察到，我们的目标是使用LPE对每个函数估计比率ψ（···）＝G（···）／G（··）／G（··）／G（···）／（见等式（3））。根据GPV（2000）中的命题1，我们知道G（·|·）在其整个支撑上是R+1次连续可微的，因此G（·|·）在其整个支撑上是R次连续可微的。考虑到每个函数的光滑性，我们建议使用一个LPE（R），即度R的LPE，用于G（·|·）和一个LPE（R）-1） 对于g（·|·）。为了保证第一步的一致性，可以选择la Stone（1982）的最佳带宽。然而，与GPV（2000）不同，我们不需要指定“边界带宽”，因为局部多项式方法不需要知道支撑端点的位置。因此，没有必要估计投标分布的支持边界。观察到，通过GPV（2000）中的命题1，我们也知道条件密度g（·|·）在支撑内部的一个封闭子集上是R+1次连续可微的。因此，靠近边界和支架边界的平滑度不是R+1。设Pρ（X；β）表示参数为β的X中ρ次多项式。然后对于每个I，^G（b | x）=arg minβGLX{l:我l=一} IXp=1nYGpl- PR（X）l- 十、βG）ohGKG十、l- xhG^g（b | x）=arg minβgLX{l:我l=一} IXp=1nYgpl- 公共关系-1（X）l- 十、βg）oh1gK1g十、l- xh1g,YGp在哪里l=（Bpl）≤ b） 安第格普l=h2gK2g英国石油公司l-bh2g.

更准确地说，我们有，G（b | x，I）=hGLX{l:我l=一} IXp=1eT（XTI，R+1WG2XI，R+1）-1XR+1，l公斤十、l- xhG（英国石油公司）l≤ b） =LhGLnILX{l:我l=一} IXp=1eTXTI，R+1WGxXI，R+1nI！-1XR+1，l公斤十、l- xhG（英国石油公司）l≤ b） )；（4） ^g（b | x，I）=h1gh2gLX{l:我l=一} IXp=1eT（XTI，RWG2XI，R）-1XR，lK1g十、l- xh1gK2g英国石油公司l- bh2g=Lh1gh2gLnILX{l:我l=一} IXp=1eTXTI，RWgxXI，RnI！-1XR，lK1g十、l- xh1gK2g英国石油公司l- bh2g,（5） 去哪里∈ {R，R+1}，eis是Rι中的单位向量，第一个条目中包含一个1，nI=ILI，LI=#{l : 我l= 一} ，Xι，l= [1（X）l- x） 。（十）l- x） ι-1] Tis aι×1向量，XI，ι=1（X）- x） 。（十）- x） ι-1.1（XnI- x） 。（XnI）- x） ι-1.第一行和第二行的回归系数的nI×ι矩阵是否相同，其他行是否相似，WGx=diaghGKG十、l- xhG; Wgx=诊断h1gK1g十、l- xh1g,其中，KG（·）、K1g（·）和K2g（·）是一些有界支撑的核，hG、h1g、H2G是一些带宽（见假设A3和A4）。给定（4）和（5），（伪）私有值是givenby^Vpl= 英国石油公司l+我l- 1^ψ（Bp）l|Zl). （6） 与GPV（2000）不同，^ψ不受所谓的边界效应的影响，这是核估计中遇到的一个典型问题，因此我们不需要剔除与（Bp）联合分布的支持边界“太接近”的观测值l, Zl). 我们估算程序的第二步如下。我们建议在以下条件矩限制中使用伪私有值样本，即M（^V，Z；θ）Z≈ 对于某些已知函数M（·，·；θ）：R→ Rqandθ∈ RPQ≥ p、 例如，我们可以使用e[ln（Vpl) | Zl] = θ′0,1Zl. （7） V ar[ln（Vpl) | Zl] = [exp（θ′0,2Zl)]. （8） 正如inKrasnokutskaya和Seim（2011年）所说的那样；巴贾里、霍顿和塔代利斯（2014年）。这组条件力矩限制转化为以下一组非条件力矩限制，Em（^V，Z；θ）≈ 0，（9）式中m（·，·；θ）：R→ RQI是已知的。

鉴于（9），我们建议通过θ来估计θ，其中θ=arg minθ∈Θ^STL（θ）Ohm^SL（θ），（10）式中^SL（θ）=1/LPLl=11/Il圆周率lp=1m（^Vp）l, Zl; θ） 及Ohm 是q阶的正定义矩阵。理想情况下，我们希望指定以下一组条件力矩限制E[M（V，Z；θ）|Z]=0，这将导致无条件力矩限制E[M（V，Z；θ）]=0。因此，ifSL（θ）=1/LPLl=11/Il圆周率lp=1m（Vpl, Zl; θ） 不可行估计器θ是这样的，即θ=arg minθ∈ΘSTL（θ）OhmSL（θ）。备注：可行估计量^θ和不可行估计量^θ的渐近分布密切相关，但不相同，见命题2。3渐近性质在这一节中，我们证明了θ的两步半参数估计^θ是一致的和渐近正态分布的。此外，我们还证明，如果在第一步中选择适当的带宽来估计G（·|·）和G（·|·），我们的估计器可以达到参数一致的收敛速度。正如我们将在下文中讨论的那样，鉴于byStone（1982），不能选择最佳带宽，即一步带宽，相反，我们的选择意味着在实践中，任何人都需要欠平滑。我们还讨论了我们的结果所依据的假设。3.1一致性你的第一个结果表明，θ是θ的（强）一致估计量。此外，即使在第一步中使用最佳带宽估计G（·|·）和G（·|·），也会出现这种情况，即Stone（1982）提出的带宽。为了看到这一点，我们注意到“最佳一步”带宽满足我们上面的假设A4（d=1），因为它们的形式为hG=λG日志LL1/（2R+3）；h1g=λ1g日志LL1/（2R+1）；h2g=λ2g日志LL1/（2R+1），其中λG、λ1g和λ2g是严格的正常数。

正如GPV（2000）所观察到的，如上所述，hG、H1和H2G是在该论文中给定命题1和A2-（iii）时估计G（·|·）和G（·|·）的最佳带宽选择。因此，A4意味着我们的一致性结果可以在第一阶段使用以最佳可能速率收敛的LPE时建立。假设A5：（i）参数s paceΘ Rpis紧且θ在Θ的内部，（ii）识别假设：E[m（V，Z；θ）]=0当且仅当θ=θ，（iii）supθ∈ΘLLXl=1Il我lXp=1公里（Vp）l, Zl; θ） k- ekm（V，Z；θ）k= oas（1），（iv）m（V，Z；θ）是V–t中的Lipschitz，这里存在一个可测函数K（Z），E[K]<∞ 以至于五、 V′∈ [V，V]，θ ∈ Θ,m（V，Z；θ）- m（V′，Z；θ）≤ K（Z）五、-V′.设mk（·，·）是m（·，·）对其k电荷的偏导数。假设A6：（i）m（V，Z；θ）是V中的Lipschitz：存在一个可测函数K（Z），E[K]<∞, 以至于五、 V′∈ [V，V]，θ ∈ Θ,m（V，Z；θ）- m（V′，Z；θ）≤ K（Z）|V- V′|。（ii）m（V，Z；θ）是θ中的Lipschitz：存在一个可测函数K（Z），E[K]<∞ 以至于θ, θ′∈ Θ，V∈ [V，V]，V，θ- m（V，Z；θ′）≤ K（Z）θ - θ′.（iii）supθ∈ΘLLXl=1Il我lXp=1m（Vp）l, Zl; θ) -E[m（V，Z；θ）]= oas（1）和E[m′（V，Z；θ）]OhmE[m（V，Z；θ）]是非正弦的。（iv）su pθ∈920km（V，Z；θ）k≤ K（V，Z）与E[K（V，Z）]<∞,如前所述，在我们的案例中，A2-（iii）比GPV（2000）中的A2-（iii）更强。因此，他们的命题1也适用于我们的框架。（v） m（v，Z；θ）是v中的Lipschitz：存在一个可测函数K（Z），E[K]<∞ 以至于五、 V′∈ [V，V]，θ∈ Θ,m（V，Z；θ）- m（V′，Z；θ）≤ K（Z）|V- V′|。（vi）su pθ∈920km（V，Z；θ）k≤ K（V，Z）与E[K（V，Z）]<∞.（vii）E[m（V，Z；θ）]<∞, 其中，期望值与（V，Z）的联合cdf有关。假设5和6由GMM估计中使用的正则性条件暗示（seeNewey和McFadden，1994）。

这些规则性条件对力矩函数施加了适当的微分限制，排除了某些类型的力矩条件。例如，这些假设排除了定义分位数的矩条件。设ρτ（s）=| s |+（2τ）- 1） τ在哪里∈ (0, 1). 然后，在这种情况下，Koenker（2005）分别给出了条件和无条件力矩条件[ρ（V，Z；θ（τ））]=E[|V]- Z′θ（τ）|+（2τ）- 1） ]=0，E[Zρ（V，Z；θ（τ））]=E[Z（|V-Z′θ（τ）|+（2τ）- 1))].相应的样本力矩条件为lxl=1Il我lXp=1Zl（| Vp）l- Z′lθ(τ) | +(2τ - 1)).由于函数| s |并非处处可微，我们的方法不适用，因为我们使用泰勒级数展开。现在，我们证明了估计量是一致的。提议1。将^θ定义为（10）。然后，在A1-A5^θa.s-→ θ.证据在附录中。这是建立渐近性的第一步，但是，可以使用经验过程的结果来考虑非光滑力矩条件。通常，这些条件使分布函数F（···；·）和随机等连续性具有充分的可微性。由于矩条件的一个参数是非参数估计的，因此在我们的框架中验证随机等连续性可能很困难。我们要感谢其中一位裁判的观察。估计量的分布。此外，为了使^θ一致，无需在第一步中对分布和密度函数进行平滑处理。3.2渐近正态假设^θ是θ的（强）一致估计，在命题2中，我们在一些额外的正则性条件下建立了它的渐近分布和一致收敛速度。

由于最佳带宽选择需要在半参数过程中进行欠平滑，因此我们必须修改带宽选择。因此，为了使^θ达到参数一致的收敛速度，我们需要为我们的第一步指定带宽，排除最佳选择，而且这意味着对^G（·|·）和^G（·|·）进行了欠平滑的估计，如A4所示。下面是一张照片。假设A4。安：带宽hG、H1和H2G满足（i）√LhR+1G→ 0和log L√LhG→ 0，就像我→ ∞,（二）√LhR1g→ 0,√LhR2g→ 0和log L√Lh1gh2g→ 0，就像我→ ∞ ,（iii）h1g=h2g。假设H1和h2gvanish的速率相同，是为了简化证明中的符号。事实上，选择任何一对严格小于最佳带宽的带宽就足够了。提议2。将^θ定义为（10）。然后，在A1-A3，A4下。A和A5-A6，我们有√L（^θ）- θ） d-→ N（0，∑），通常遇到的另一个典型特性与外生变量的维数相关的足够大的平滑度有关，如A2-（iii）所示。对于多变量情况（d>1），这些条件变成：（i）√LhR+dG→ 0和log L√LhdG→ 0，就像我→ ∞.（二）√LhR+d-11g→ 0,√LhR2g→ 0和log L√Lhd1gh2g→ 0，就像我→ ∞.我每个人在哪里∈ 一、 ∑=Var（ψ），其中ψ=-1/IIXp=1（（CT）OhmC）-1COhmm（Vp1，X，I；θ）+2“XII（I- 1） N（Yp1，I）f-1m（X，I）g（Yp1，I）- EhXII（I）- 1） N（Yp1，I）f-1m（X，I）g（Yp1，I）I#），C=E[m（V，X，I；θ）/θ] ，Ypl≡ （英国石油公司）l, 十、l)N（Yp1，I）=[m（Vp1，X，I；θ）/g（Bp1 | X，I）]g（Bp1 | X，I）。命题2之所以重要，有几个原因。首先，它建立了我们的半参数估计有一个标准的极限分布。由于大多数经济计量测试都依赖于它，所以非正态性是基本的。第二，虽然在我们的估计过程的第一步中使用了慢估计量来恢复伪私有值，但利息参数的估计量以尽可能最好的速率收敛。

第三，我们的半参数估计不受维数灾难的影响。最后，命题2可用于对θ进行推理。文献中已经有一些实证论文符合我们的框架。例如，Krasnokutskaya和Seim（2011年）；Athey、Levin和Seira（2011）使用半参数或全参数过程估计拍卖模型，如果我们忽略未观察到的异质性，这两个pap都满足我们的所有假设。在本节结束时，我们对我们的程序，尤其是LPE的程序，提出了几点值得一提的观点。首先，LPE回归在计算上比标准最小二乘法更复杂，因为模型必须适用于每个观测数据点。使用“蛮力”方法，大约需要L×Il建立局部线性回归比建立“全局”线性回归需要更长的时间；seeSeifert、Brockmann、Engel和Gasser（1994年）。这不需要考虑内核计算和带宽选择中的所有计算。许多选择带宽h的方法依赖交叉验证，Fan和Gijbels（1995）；Prewitt和Lohr（2006年）。这就需要反复求解LPE最小化问题。复杂度随着d的增加而增加，因为我们需要更高次的多项式，这很难计算。因此，必须注意使用“更快”的方法来解决最小化问题。范和马伦（1994）；Hall and Wand（1996）建议使用“更新”和线性“装箱”来实现此目的。第二，在平衡状态下，正如引言中提到的，G（b | Z）≡ F（s）-1（b；θ，Z）| Z），感兴趣的参数θ通过ψ（·）的第一阶段非参数估计直接或间接地进入力矩条件。

这使得我们的估计程序不同于广泛研究的半参数方法，例如Chamberlain（1992），其中感兴趣的参数不进入讨厌的（非参数）第一阶段估计，因此我们失去了一些效率。如果第一步也是参数化的，那么对于候选θ，将计算干扰函数，然后在最小化步骤中，θ将两次输入力矩条件。然而，对于非参数的第一步，我们不必确定θ，而是以更高的方差或更低的效率为代价。但确定效率的确切损失需要我们确定非常规情况下的半参数效率，这被认为是一个难题，Ibragimov和Has\'minskii（1981）；纽伊（1990）；张伯伦（1992）；Bickel、Klaassen、Ritov和Wellner（1993），这超出了本文的范围。4.蒙特卡罗实验，我们想通过两组蒙特卡罗实验来观察我们提出的估计器的性能。在第一组中，我们考虑一维拍卖特征，即d=1，在第二组中，我们考虑d=2。在这两种情况下，我们确定了投标人数量Il= 共5人l = 1.五十、 当d=1时，L=200，但当d=2时，我们让L为200，100或50。我们使用两个标准来评估估计器的性能。第一种是可视化方法，我们使用我们的程序呈现估计的密度，为了便于比较，我们还使用GPV（2000）方法呈现真实密度和估计的密度。第二种方法是比较卖方的最佳事前预期收入。

为了计算所有这些方法，现在可以很容易地使用统计编程语言（如R）实现。我们要感谢其中一位评审。收入我们首先使用插件法选择最优保留价，r=1-^F（r）^F（r），Myerson（1981），然后计算相应的（最大化的）预期收入Krishna（2002）∏（r）=Ir（1）-^F（r））I-1+Zvr（1-^F（t））t（I- 1） ^F（t））（I-2） ^f（t）dt. （11） 与图表一样，我们计算了与半参数估计、GPV（2000）估计和真实密度相对应的收入。由于估计价值密度的最终目标是选择最佳拍卖，比较不同估值器的收入是判断估值器性能的一种好方法——收入越接近真实值，估值就越好。我们展示了所有这些结果，同时将X计算为其中值，并发现根据这两个指标，我们的估计器表现良好。4.1一维C波~ ln（0，1）在0.055和30处截断以满足A2-（i）和V | X~ F（·| Z；θ，γ）=ln（1+X，1）在0.055和30处截断，因此θ=（1，1）和γ={}. 在估算时，我们假设R=3。根据假设A3，我们选择了三重核（35/32）（1）- u） （|u |≤ 1） 对于我们第一步估计中涉及的三个核。我们根据A4选择带宽。一特别地，我们认为e hG=2.978×1.06^σx（IL）-1/6.5，h1g=2.978×1.06^σx（IL）-1/4.5，h2g=2.978×1.06^σb（IL）-1/4.5，其中^σ带^σx分别是观测投标和对象异质性的估计标准偏差。系数2.978×1.06源自所谓的经验法则（见H"ardle，1991）。