首次价格拍卖模型的半参数估计

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英文标题：
《Semiparametric Estimation of First-Price Auction Models》
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作者：
Gaurab Aryal, Maria Florencia Gabrielli and Quang Vuong
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We propose a semiparametric method to estimate the density of private values in first-price auctions. Specifically, we model private values through a set of conditional moment restrictions and use a two-step procedure. In the first step we recover a sample of pseudo private values using Local Polynomial Estimator. In the second step we use a GMM procedure to estimate the parameter(s) of interest. We show that the proposed semiparametric estimator is consistent, has an asymptotic normal distribution, and attains the parametric (\"root-n\") rate of convergence.
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中文摘要：
我们提出了一种半参数方法来估计首次价格拍卖中私人价值的密度。具体来说，我们通过一组条件矩限制对私有值进行建模，并使用两步过程。在第一步中，我们使用局部多项式估计来恢复伪私有值样本。在第二步中，我们使用GMM程序来估计感兴趣的参数。我们证明了所提出的半参数估计是一致的，具有渐近正态分布，并且达到了参数（“根-n”）的收敛速度。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> Semiparametric_Estimation_of_First-Price_Auction_Models.pdf (648.55 KB)

2022-5-6 12:00:42 上传

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关键词：参数估计 半参数 distribution Restrictions Quantitative

首次价格拍卖模型的半参数估计*高拉布阿拉大学Chicagoaryalg@uchicago.eduMariaFlorencia Gabrielli+科尼塞特和国家大学Cuyoflorgabrielli@gmail.comQuangVuong纽约Universityqvuong@nyu.eduJune2015年12月23日摘要我们提出了一种半参数方法来估计首次价格拍卖中的私人价值密度。具体而言，我们通过一组条件力矩限制对私有值进行建模，并使用两步程序。在第一步中，我们使用局部多项式估计器恢复伪私有值样本。在第二步中，我们使用GMM程序来估计感兴趣的参数。我们证明了所提出的半参数估计是一致的，具有渐近正态分布，并且达到了参数（“根-n”）的收敛速度。关键词：经验拍卖，半参数估计，局部多项式，GMM。JEL代码：C14，C71，D44。*我们感谢Stéphane Bonhome、Han Hong（合编）、Isabelle Perrigne和三位匿名推荐人，感谢他们富有洞察力的评论和建议，改进了论文的内容和阐述。通常情况下适用。+Krishna（2002）指出，从理论角度来看，拍卖被建模为不完全信息的博弈，其中参与者（卖方/买方和投标人）之间的对称信息是一个关键特征；McAfee和McMillan（1987）；威尔逊（1992）。从应用的角度来看，由于拍卖被广泛用于分配商品和服务，许多数据集可用于实证研究。通过假设观察到的出价是考虑中的潜在拍卖模型的均衡结果，结构化方法提供了一个分析拍卖数据的框架，其中理论模型和经验模型密切相关。

这种方法的主要目的是恢复拍卖模型的结构元素。在过去的五年里，这一研究领域得到了长足的发展。估算模型的困难很多。首先，拍卖模型通过均衡策略导致非线性经济计量模型。第二，拍卖模型可能不会导致封闭形式的解决方案，这使得计量经济学模型的推导更加困难。第三，拍卖模型的估计需要对均衡策略进行数值计算。Perrigne和Vuong（1999）记录了这方面的一些重要工作；Paarsch和Hong（2006）；Athey和Haile（2007）；Perrigne和Vuong（2008）等。我们区分了两种估计结构拍卖模型的方法：直接法和间接法。直接法是首先发展起来的，它们依赖于参数经济计量模型。从私人价值的潜在分布的具体情况开始，直接方法的目标是估计表征这种分布的参数向量。在这类方法中，有两种主要的估算程序。第一种方法，由Paarsch（1992）提出；Donald和Paarsch（1993）是一个全参数设置，使用基于最大似然的估计程序，需要计算均衡策略。由于计算要求很高（见Donald和Paarsch，1993），在实践中只考虑非常简单的分布。

此外，由于投标分布的支持取决于估计的参数，因此它具有非标准的限制分布（见平野和波特，2003）。鉴于此，Donald和Paarsch（1993）开发了一种分段伪极大似然估计，需要计算均衡策略，该策略可以使用特定参数分布获得。La offont、Ossard和Vuong（1995）介绍了第二种方法，这种方法在计算上更方便。根据收入等价定理，作者提出了一种基于模拟的方法，避免了eq uilibrium策略的计算，因此允许对价值分布进行更一般的参数说明。最近，Guerre、Perrigne和Vuong（2000）（以下简称GPV（2000））开发了另一种完全非参数的间接方法。这种方法依赖于一种简单但至关重要的观察，即利用投标人优化问题的一阶条件，该值可以表示为（相应）投标的函数，以及观察到的投标的分布和密度。该函数是均衡策略的逆函数，以非参数方式识别模型。因此，与直接法相比，该方法从观测投标的分布开始，以估计未观测私人价值的分布，而无需计算贝叶斯纳什均衡策略或其逆。这自然需要两步程序。在第一步中，使用（比如）对观察到的投标的分布和密度进行核估计时，获得了伪私有值的样本。在第二步中，该伪值样本用于非参数估计其密度。尽管完全非参数（核）估计器灵活且对误判具有鲁棒性，但它几乎没有缺点。

它的收敛速度很慢，这使得它很难适应多维拍卖协变量（维度诅咒），并且在支持的边界处表现不佳。为了解决这些问题，我们提出了一种半参数方法，其中第一步是完全非参数的，因为我们使用Fan和Gijbels（1996）的局部多项式估计（LPE），而不是核来获得投标密度和分布，在第二步中，我们通过一组条件矩限制对私有值进行建模，并使用广义矩法（GMM）估计（有限）参数。然后我们得到了估计量的渐近性质。使用LPE的优点是，它在边界上表现良好，通过使用条件矩限制，我们可以容纳大量的协变量，这使得我们的方法对PV（2000）也很有用，它还建立了一致的一致性，并使用Ibragimov和Has’minskii（1981）提出的极小极大理论，确定了这种估计的最佳收敛速度。应用性工作。例如，见Jofre Bonet和Pesendorfer（2003年）；Rezende（2008）；李和郑（2009）；Athey、Levin和Seira（2011年）；Krasnokutskaya和Seim（2011）；Athey、Coey和Levin（2013年）；Groeger（2014）使用了类似的、全参数或半参数的、基于间接矩的程序来容纳大量协变量。然而，它们都没有为估计量提供任何渐近性质。我们通过证明我们的程序是一致的，渐近正态的，并且达到了参数收敛速度，为这篇文献做出了贡献。对于符号可处理性和相对清晰的阐述，我们主要关注具有独立私人价值和非约束保留价格的对称首价密封投标拍卖模型。

一旦这个简单情况的渐近性质得到描述，扩展估计程序以适应更一般的拍卖环境是乏味的，但在概念上是直截了当的——只有渐近方差会改变，而不是收敛速度。更一般地说，我们的方法扩展到使用非参数间接过程估计的模型，包括不对称投标人的拍卖。让副总统l, p=1，我l, l = 1.L表示第三方投标人对该项目的私人价值l这是一个幻化的物体。让Zl≡ （十）l, 我l) ∈ Rd+1表示外生变量的向量，它包括协变量Xl以及我看到的投标人数量l. 为了对私有值进行建模，我们假设存在一些已知且有效的s光滑函数M（·，·；θ）：Rd+2→ Rqand参数向量θ∈ 这样，q≥ 在某些真参数θ下，这些值满足以下条件动量约束集[M（V，Z；θ）| Z]=0，（1），其中期望值与值分布F（·| Z；θ，γ）有关，γ作为（可能的有限维）干扰参数。然而，这些时刻条件是不可行的，因为它们是不可观测的。但是，在平衡状态下，投标B=s（V，Z；θ，γ），其中s（·）是投标策略，它直接通过B依赖于参数向量θ，因为~ G（·| Z；θ，γ）（say），并间接通过V，因为V~ F（·Z；θ，γ）。这意味着（1）可以通过asE自然表达M[s-1（B，Z；θ，γ），Z；θ]Z= 0，这需要计算平衡策略及其逆。由于两个不同的原因，这可能需要计算。首先，必须对参数（θ，γ）的任何试验值进行此类计算。

第二，在更一般的拍卖模型中，例如当价值有关联或投标人对称时，均衡策略s（·，·；θ，γ）及其逆的计算更复杂且成本更高。因此，我们建议用非参数（局部多项式）估计器^V=^ξ（B，Z）（而非逆策略）替换方程（1）中的V，以使矩条件可行且可操作。因此，可行的条件矩约束成为可能M[^ξ（B，Z），Z；θ]Z≈ 0.我们提出了一个两步半参数过程：首先，我们使用LPE获得^V=^ξ（B，Z）值的非参数估计；其次，我们使用GMM程序获得θ的估计。与最广泛使用的基于Parzen-Rosenblatt核的估计器不同，LPE在接近支持边界时不会表现出不良行为（seeFan和Gijbels，1996），因此我们不必调整任何出价。这为我们的程序提供了一个显著的优势，因为否则我们将不得不削减投标，这是内生变量，这将意味着自动削减私人价值，从而影响时刻。Lavergne和Vuong（1996）在标准的计量经济学框架中，只对外生变量进行了调整；罗宾逊（1988）。我们证明了我们的估计是一致的，渐近正态的，并且在参数点一致收敛√我很喜欢。众所周知，非参数估计器的收敛速度比传统的估计慢√它们的比率与外生变量向量的维数负相关，即所谓的维数灾难。这使得这些估计器在应用中不太理想，尤其是当观测值数量有限和/或外生变量数量相对较大时。我们的估计器没有这个缺点，因为它的收敛性与外生变量的维数无关。

我们的估计过程的第二个主要优点是，尽管我们关注的是符号度量，但半参数估计的私人价值例子却非常丰富√L比率可在纽维和麦克法登（1994）中找到；鲍威尔（1994年）。Campo、Guerre、Perrigne和Vuong（2011）给出了一个半参数估计器的例子，该估计器收敛速度慢于参数率，但不受维数诅咒的影响——其速度与d无关。在没有保留价格的拍卖中，我们的方法为（基于矩的）半参数过程提供了一个框架，该过程可用于估计更一般的拍卖，如Li和Perrigne（2003年）、对称和非对称关联值、Li、Perrigne和Vuong（2002年）的有约束力或随机保留价格的拍卖；Campo、Perrigne和Vuong（2003），只要时刻条件足够平稳（稍后定义）。这排除了基于分位数的力矩条件。在简短的扩展中，我们展示了半参数过程如何应用于这些拍卖，包括具有未观察到的异质性的拍卖。显而易见，允许这些特征将影响渐近方差，但不会影响收敛速度，除非拍卖具有未观察到的异质性。这是因为为了适应未观察到的异质性，我们需要一个三步半参数过程——新的步骤是使用经验特征函数估计未观察到的异质性的密度。因此，我们是否能够实现这一目标尚不清楚√L一致性，但对这种半参数估计的渐近性质的适当分析超出了本文的范围，留待将来研究。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们介绍了理论模型，从中导出了s结构计量经济模型和我们的半参数估计。

第四节建立了估计量的渐近性质，第四节给出了一些蒙特卡罗实验来说明我们过程的性质。第5节提出了一些张力，我们在第6节中得出结论。附录收集了我们结果的证据。2.模型2。1对称IPV模型我们提出了结构计量经济模型的基准理论模型，即具有非约束储备价格的对称IPV模型。虽然这在某种程度上限制了应用，但它允许我们以更透明的方式开发计量经济学程序。A关于在经验拍卖中使用分位数的例子，seeHaile、Hong和Shum（2003）；Marmer、Shneyerov和Xu（2013）；吉梅内斯（2014）。一件不可分割的物品被拍卖给我l风险中性的投标人被认为是事先相同的。竞标者的总数可能因拍卖而异。私人价值以V表示，我们假设每个估值Vpl, l = 1.五十、 p=1，我l, 根据F（·| Z）分布l; θ、 γ），其中θ∈ Rp是感兴趣的参数，γ是一个讨厌的参数，可以是有限维的，也可以是有限维的，甚至是一个空集。F（·|·）的支持度为[V]l,五、l], 用0≤ 五、l= V（Z）l) < 五、l= V（Z）l) < ∞. 其中，莱利和萨缪尔森（1981年）已经证明了这一点l, 我l≥ 2均衡出价Bpl在l此次拍卖由英国石油公司进行l= s（副总裁）l, Zl) = 副总裁l-F（副总裁）l|Zl; θ、 γ）我l-1ZVpl五、lF（v|Z）l; θ、 γ）我l-1dv，（2）其中s（·，·）是唯一的对称Bayes-Nash均衡策略，该策略是单调的和可微分的。设G（·| Z）l; θ, γ) ≡ G（·Z）l) 和g（·| Z）l; θ, γ) ≡ g（·Z）l) 观察到的投标文件的分布和密度l分别是thauction。根据GPV（2000），V值可以被识别为VPl= ξ（Bp）l, Zl) = 英国石油公司l+我l- 1G（Bpl|Zl)g（Bpl|Zl), p=1，我l; l = 1.L

（3） 2.2与GPV（2000），（3）类似的两步估计构成了我们计量经济模型的基础。与GPV（2000）的不同之处在于，将私人价值作为一组时刻条件进行建模。因此，对G（·|·）和G（·|·）的了解将引导我们建立一个GMM框架。然而，这些功能在实践中是未知的，但可以很容易地根据观察到的投标进行估计。这建议采用以下两步程序。在第一步中，我们使用非参数LPE恢复伪私有值样本。第二步与GPV（2000）的非参数第二步不同，因为我们使用（参数）GMM过程来获得θ的估计量。在介绍我们的两步估计之前，值得一提的是，我们的一些假设与GPV（2000）中的假设相似甚至完全相同。这并不奇怪，因为我们的方法学与他们的方法学密切相关。特别是，我们关注GPV（2000），并指出何时需要进行一些修改。我们的前两个假设与数据生成过程和（Vp）潜在联合分布的平滑度有关l, Zl).假设A1：（i）Zl= （十）l, 我l) ∈ Rd+1，l = 1, 2, . . . , L是独立且相同地分布为Fm（·，·）和密度Fm（·，·）。（ii）每个l, 副总裁l, p=1，我l在z上独立且相同分布l作为密度为F（·|·；θ，γ）的F（·|·；θ，γ），其中θ∈ Rp和γ可以是有限的、有限的或空的。设I为I的一组可能值l. 我们使用(*) 表示支持*, 并使用SI(*) 在有投标人时取消支持。假设A2:I是{2，3。