首次价格拍卖模型的半参数估计

之所以使用I，是因为每次拍卖都有I个投标人。为了复制GPV（2000）es激励器，我们根据最佳速率选择带宽。因此，带宽的顺序是L-1/9用于HGX和第二步带宽HX和L-1/10用于HGX频段，第二步带宽为HF和hfx。具体而言，我们使用hG=1.06^σx（IL）-1/9，hgx=1.06^σx（IL）-1/10，hgb=1.06^σb（IL）-1/10其中^σ带^σx如上文所定义。第二步带宽为hfv=1.06^σ^v（nt）-1/10，hfx=1.06^σx（nt）-1/10和hx=1.06^σx（L）-1/9，其中是修剪后剩余的观察数。所有带宽见表1。对于GPV（2000），我们还需要计算boun-dary带宽。符号常量比率pPEHG2。978×1.06×σx（IL）-1/6.5h1g2。978×1.06×^σx（IL）1/4.5h2g2。978×1.06×σb（IL）-1/4.5GPV 1/1。06×σx（IL）-1/9hgb1。06×σb（IL）-1/10hgx1。06×σx（IL）-1/10GPV第二Stefff^v1。06×σ^vn-1/10thfx1。06×σxn-1/10thx1。06×^σxL-1/9边界hδλδ>0 n-1/2表1：d=1时的带宽。我们使用1000个复制进行估计，其中在每个复制中，我们：（i）使用截断正态分布随机生成私有值；（ii）计算相应的投标Bpl使用（2）；（iii）使用（4）和（5）估算分布和密度函数；（iii）确定伪私有值^Vpl对应于Bpl; （iv）使用此伪私有值样本，使用样本矩条件Illx获得^θl=1IXp=1θlnf（^Vp）l|一、 X；θ) = 0. （12） 现在，我们快速验证该数据生成过程是否满足假设A1–A6。由于我们设计实验的方式，立即验证假设A1-A4是否满足。在我们的估计中，我们将限制我们从紧集中查找参数的注意力，因为对数似然是凹的，并且满足假设A5（i）-（iii）。

虽然我们没有给出推导过程，但我们可以使用中值定理来限制动量条件相对于V的斜率。该斜率最高，但在V=0.055时有界，满足5（iv）。尽管繁琐，我们仍然可以使用中值定理来验证A6（i）、（ii）和（v）。同样，A6（iii）的第一部分遵循正则条件和大数定律，第二部分和A6的其余部分通过设计得到满足。我们介绍了我们的估计器（lab eled SP）以及GPV（2000）估计密度和true0 5 10 15 20 25 3000.020.040.060.080.10.12伪私有价值概率密度函数TRUEGPVSPFigure 1：估值密度。TRUE指的是真实密度，而SP和GPV分别指的是半参数和GPV（2000）估计量。垂直线对应于仅GPV估计器所需的试验。密度，均在图1中的中值X处进行评估。很明显，我们的估计器非常接近真实密度，这表明它的性能相当好。接下来，我们用v=30计算（11）中的预期收益。实际预期收入为∏T rue=5.9，使用我们的估计得出的收入为∏SP=5.8，而使用GPV得出的收入为∏GP V=4.6，这意味着我们的估计更接近真实值。4.2二维C子房网X=（X，X）T~ 日志N,1 0.80.8 1, 和V | X~ 对数N（uv（X），σv（X）），两者均位于0.055和30。与之前一样，我们在所有拍卖中确定I=5名投标人，但考虑（uv（x），σv（x））的三种不同规格：（I）（1+x/x，1）；（ii）（1+X+X，1）；和（iii）（1+X/X，exp（0.01（X+X）））。

为了比较估计器的性能，我们使用了L=200、100、50拍卖的模拟数据。根据假设A3，我们选择了三重核（35/32）（1）的乘积-符号恒定速率LPEHGJ2。978×1.06×σxj（IL）-1/8.5h1gj2。978×1.06×^σxj（IL）1/9.5h2g2。978×1.06×σb（IL）-1/9.5GJ1。06×σxj（IL）-1/12hgb1。06×σb（IL）-1/13hgxj1。06×σxj（IL）-1/13GPV第二Stefff^v1。06×σ^vn-1/13thfxj1。06×σxjn-1/13thxj1。06×σxjL-1/12边界hΔλδ>0 n-1/3表2：d=2时的带宽。u） （|u |≤ 1） 在我们的第一步中。像以前一样，我们根据A4选择两个带宽，每个协变量一个。与GPV估计器相比，在确保欠平滑的同时。为了复制GPV（2000）估计器，我们根据最佳速率选择带宽。因此，带宽的顺序是L-1/12用于HG和第二步带宽hxjand L-1/13对于HgxJan和第二步带宽hfvand hfxj，对于j=1,2，见表2。我们遵循与d=1完全相同的步骤来估计参数，只是现在我们有三个不同的样本大小，n=L×I∈ {250,500,1000}和三种不同的均值和方差规格，我们使用Θ=[0.055,30]×[0.001,2]。总共有9种不同的病例，因此有9种不同的密度。下面的图2显示了私人价值相对于我们的估值器（虚线）和GPV估值器（虚线）的真实密度。如图2所示，即使只有50次拍卖，我们的估计器也表现得非常好，而GPV（2000）是不可行的，因为在修剪之后，我们只剩下很少的观察结果。每种密度的估计收入如表3所示。

和以前一样，我们的估计器仍然表现相对较好。（u（X），σ（X））1 2罗菲特200 100 50 200 50 200 50∏t rue6。2.6.1 6.0 5.9 5.7 5.7 6.9 7.0 7.0∏SP5。5.2 4.8 5.4 5.5 5.5 6.6 6.5 6.5 6.5∏GP V4。2.3.6–4.8 2.9–4.6 4.0–表3：最佳收入：每列对应三组均值和方差，每个单元格包含（11）中定义的最佳收入，图2.5扩展中每种密度一个。在本节中，我们说明了如何将我们的程序扩展到更一般的拍卖模型。5.1约束保留价第2节中考虑的模型的第一个自然扩展是对称IPV First price拍卖模型，具有约束保留价，无论是公布的还是随机的。5.1.1公布的保留价公布的约束性保留价（r>V）构成参与制作的筛选装置。正如GPV（2000）所指出的，在这种设置中，贝叶斯纳什均衡策略仍然由（2）给出，但潜在投标人的数量I变得不可观察，并且通常与观察到的数量I不同*, 已提交投标书的实际投标人的(≥ r） 。因此，除了投标人私有价值的潜在分布之外，该模型还有一个新的结构元素，即I。如GPV（2000）所示，定义均衡策略的微分方程可以写成Vp=ξ（Bp，G*, F（r），I）=Bp+I-1.G*（Bp）g*（Bp）+F（r）1-F（r）g*（英国石油公司）,对于p=1，我*G在哪里*（·）是观察到的投标的截断分布，条件是相应的私有值大于或等于r。如果可以估计i和F（r），该等式是类似于第2节的两步程序的基础。特别是l = 1.L和p=1。

如果英国石油公司l≥ r0l上面的方程式变成了SVPl= 英国石油公司l+我l- 1.G*（英国石油公司）l|我l, Zl, θ） g*（英国石油公司）l|我l, Zl, θ） +F（r | Z）l, θ))1 - F（r | Il, Zl, θ） ）g*（英国石油公司）l|我l, Zl, θ)),Z在哪里l= （r0l, 十、l) θ是未知的真参数向量。设h（·| X）l, γ） 是潜在投标人数量的概率质量函数，Il, 已知一个有限参数γ。在l-在第次拍卖中，只有当a的私人估价高于服务价格时，潜在投标人p才会出价。因此，在这次拍卖会上，实际竞拍者的数量是I*l= 1/Il圆周率lp=1（Vpl≥ r0l),这是一个带参数的二项式随机变量（Il, 1.- F（r0l|十、l, θ)). 鉴于此，我们建议使用以下力矩条件进行投标，以及观察到的投标人数量[Vpl|副总裁l≥ ξ（r0）l), 十、l; γ] =XIl≥2m（I）l, r0l, 十、l; θ） h（I）l|十、l; γ） ，E[I]*l|我l, Zl] =xil≥2Il[1 -F（r0l|十、l; θ） ]h（I）l|十、l; γ） ，E[I]*2.l|我l, Zl] =xil≥2[1 -F（r0l|十、l; θ） [F（r0l|十、l; θ） +Il(1 -F（r0l|十、l; θ） ）]，其中矩函数m（·，·，·，·；·）可以类似于（8）中的函数。5.1.2在某些情况下，如在木材和葡萄酒拍卖中，卖方可能会决定在拍卖时不公布保留价格。因此，底价被认为是秘密的或随机的。由于投标人在提交标书时并不知道这一点，这一事实给模型带来了一种必须考虑的新的不确定性。为了在这个模型中展示我们两步程序的基本方程，我们首先需要引入额外的符号。为了使旋转尽可能简单，我们考虑了没有观察到的对象异质性的模型。这不是限制性的，因为放松这一假设意味着分布和密度函数将被它们的条件对应物所取代。让Vbe评估风险中性卖家对拍卖对象的私人价值。

此外，我们假设Vis根据H（·）分布，定义在与F（·）相同的支持度上，H（·）是常识。Elyakime、La Aff ont、Loisel和Vuong（1994）发现，在首次密封投标拍卖中，r=V。此外，投标人的均衡策略是一个微分方程的解，通常无法明确求解。见李和佩里恩（2003）。我们感谢匿名推荐人建议我们给出该模型的即时条件。然而，这个微分方程可以改写为f ollowsVp=ξ（Bp，H，G，I）=Bp+（I- 1)g（Bp）g（Bp）+h（Bp）h（Bp）,对于p=1，I.如Perrigne和Vuong（1999）所述，由于底价是保密的，所有潜在投标人都会提交投标书。因此，我经常被人观察。上述方程式可作为两步程序的基础，类似于第2节所述的程序。也就是说，在第一步中，观察到的投标和底价可用于非参数估计分布（·）、其密度g（·）以及分布H（·）及其密度H（·）。接下来，可以使用上述等式恢复伪私有值，以确定一组力矩条件，在第二步中预先设定感兴趣的参数θ。我们在结束这一部分时指出，由于收入等值原则，Myerson（1981）；Riley和Samuelson（1981），我们的方法也被用于研究其他标准拍卖，如第三价格拍卖，Kagel和Levin（1993），全付费拍卖。5.2对称关联私人价值（APV）模型假设私人价值之间存在独立性，这可能是有限制的，因为人们可以预期私人价值之间存在一定程度的关联或正相关。

因此，我们框架的另一个自然扩展是考虑对称APV模型所包含的更一般的模型类。责任意味着，如果一个投标人对拍卖对象的估价较高，那么其他投标人也可能会对拍卖对象的估价较高。La offont和Vuong（1996）在一般框架内，即在关联价值（AV）模型中研究了识别和理论限制的问题。特别是，它们表明，任何对称AV模型在观测上都等价于某些对称APV模型，因为效用函数仅与观测到的投标值不同。因此，当只有观察到的投标数据可用时，Inlaffont和Vuong（1996）的结果表明，如果我们有识别，可以考虑APV模型。我们感谢其中一位裁判的建议。这些结果可根据要求提供。我们在此简要说明，当观察到所有投标且底价不具约束力时，如何使我们的估算程序适应此类模型。设Yp=maxp′6=pVj。定义APV模型中均衡策略的微分方程可以写成如下Vp=ξ（Bp，G）≡ Bp+G0，B | B（Bp | Bp）G0，B | B（Bp | Bp），受边界条件s（V）=V的约束，其中G0，B | B（X | X）=FY |V（s-1（X）），B=s（Y）。指数“1”指任何投标人，因为投标人被认为是事先对称的。该方程也是识别结果和估计程序的基础。详情请参见Errigne和Vuong（1999）。Li、Perrigne和Vuong（2002）所示的理论限制表明，投标文件G（·）的联合分布可以通过对称APV模型合理化，当且仅当（i）G（·）是对称且有关联的，且（ii）函数ξ（·，G）在其支持下严格增加。此外，如果这两个条件都满足，那么私人价值的联合分配F（·）就被确定。

鉴于他们的结果，Li、Perrigne和Vuong（2002）在与GPV（2000）相同的sprite中提出了两步完全非参数过程。然而，对于有效的模型，必须对每个尺寸I（即每个给定数量的投标人）执行程序。关于估算，上述方程式建议了一个两步程序，类似于第2节中描述的针对每个I类投标人的程序。在第一步中，可以非参数地估计比率GB | B（··）／GB | B（···）／然后可以恢复伪私有值。在第二步中，可以使用GMM程序来估计给定I的初始值的潜在分布参数。众所周知，在有关联的情况下，收敛速度比独立的情况下慢；这源于Li、Perrigne和Vuong（2002）中的命题2。特别是，该提议给出了可以在我们的框架中使用的带宽的明确形式，因为这些选择满足我们的假设A4。一他们认为同质拍卖；参见inLi、Perrigne和Vuong（2002）的脚注10。5.3不对称模型假设投标人事先相同可能构成限制，在某些情况下，需要放松这一假设。然而，不对称拍卖模型导致了没有封闭形式解的微分方程系统。因此，直接方法变得极难实施。然而，使用我们的间接程序，参数可以在结构上进行估计，而无需求解平衡策略或其逆解。5.3.1不对称IPV模型根据Perrigne和Vuong（2008）的论述，我们假设所有投标人都事先知道不对称性。设F（·），FI（·）是观察到身份的I bidders的私有值分布，设G（·），G0I（·）为相应的投标分配；参见Flambard和Perrigne（2006）。

然后我们可以将微分方程组表示为vp=Bp+Pp′6=pg0p′（Bp）G0p′（Bp），p，p′=1，一、 这自然会导致一个两步程序，与之前类似。5.3.2不对称APV模型为简单起见，我们只考虑两种类型的投标人。也就是说，该模型假设一维向量（V，…，V1I，V，…，V2I）作为F（·）共同分布，F（·）在其第一个和最后一个变量中可交换。我们可以这样解释这个结构。每个子群都是对称的，由于F（·）是有关联的，所以私有值之间存在普遍的正相关性。Perrigne和Vuong（1999）表明，特定类型均衡竞价策略的特征是以下微分方程组的解，V1p=ξ（B1p，G）≡ B1p+G0B*,B | B（B1p，B1p | B1p）G0B*1p，B | B（B1p，B1p | B1p）/（B）*, B） ，p=1，2，IV2p=ξ（B2p，G）≡ B2p+G0B，B*|B（B2p，B2p | B2p）G0B，B*|B（B2p，B2p | B2p）/（B，B）*), p=1，2，一、 B在哪里*t=maxp6=1，p∈ItBtp，Bt=maxp∈ItBtp，对于t=1，2。Campo、Perrigne和Vuong（2003）表明，该识别F（·，…，·），并使用非参数两步程序来估计模型。与上文类似，两步半参数程序将涉及在获得G0B的非参数估计值后，使用上述方程组恢复伪私有值*,B | B（·，···）和G0B，B*|然后通过一组动量条件估计θ的参数。AsCampo、Perrigne和Vuong（2003）已经表明，不对称APV的带宽选择与对称情况下的带宽相似，likeLi、Perrigne和Vuong（2002）。这意味着我们可以按照对称APV中相同的步骤来选择带宽。5.4未观察到的H不确定性在一些拍卖中，即使在对拍卖协变量Z进行调节后，也有可能l, 出价仍然相互关联。

除了关联，这种关联可能是拍卖特征的结果l∈ R++，数据中缺失，但投标人观察到。这种拍卖被称为具有未观察到的异质性的拍卖。在这一小节中，我们提出了一种可能的方法，以使我们的半参数过程适应Krasnokutskaya（2011）研究的具有乘法不可观测异质性的拍卖。如后所述，在这种情况下，在我们的命题2中导出的收敛速度和交感方差将不适用。但是确定精确的渐近性质超出了本文的范围。我们首先介绍新的和相关的符号和假设。假设A8：（i）让Vpl=~Vpl×Ul是投标人p的价值所在l使…成为…的样子l⊥~Vpl你呢l⊥ Zl.（ii）给定Z随机变量Vpl,~Vpl分别以F（·| Z）和|F（·| Z）的形式独立且相同地分布。（ii）Ul在E（ln（U））=0的拍卖中，作为FU（·）独立且相同地分布。总之，Ul在所有拍卖中都是独立的，并且在每个带有协变量Z的拍卖中都是独立的l每个投标人都会得出自己的“真实价值”~Vpl从~F（·| Z）l) 根据副总裁的说法l. 让我们（·| Z）l, Ul) 当观察到的和未观察到的协变量为Z时，表示投标策略l你呢l, 分别，并让s（·| Zl) = s（·Z）l, Ul= 1） 当美国l= 1，即没有未观察到的异质性。Krasnokutskaya（2011）表明，在假设A8:s（Vpl|Zl, Ul) = ~s（~Vp）l|Zl)×Ul这样出价才能让Bp满意l=~Bpl×Ul, 在哪里？Bpl投标者p的出价是否在拍卖中l 当l= 1.