一种新的分析方法来解决由于

因此，我们选择不实施自由边界解算器，而是仅针对看跌期权，使用固定边界2018年6月9日13:32应用数学金融离散化美国CN PSOR方案：VN（0≤ T≤ T=0，V（0）≤ T≤ T=K- S（12）边界条件，其中指数N对应于离散化网格的上限，指数1对应于下限。这一选择相对容易证明，因为众所周知，如果现货跌至零水平，早期操作始终是美式看跌期权的首选选项（有关讨论，请参见Hull（2006））。为了使我们的陈述完整，我们还陈述了（标准）初始条件（对于美国和欧洲CN解算器都是相同的）：V（T）=max（K）- Si，0），（13）表示put[和V（T）=max（Si）- K、 0）对于呼叫]，其中1≤ 我≤ N.虽然欧洲CN方案的边界条件选择远不简单，但文献中通常没有讨论。我们通过重申Haug等人（2003）的一些核心结果开始对边界条件的分析，其中离散股息期权定价在方法上是一致的。Haug et al.（2003）报告了一项重要的观察结果，即看跌期权定价取决于分割政策，即假设如果现货价格下跌非常低，公司将支付多少，并正式称为S（t）-（一）- di<0，其中dii是在Tian的预测股息支付，上下标是指ti之前的瞬间。提出了两种政策：生存政策→■di=0]和清算人政策[di]→■di=S（t）-i） ]。

尽管在实践中，在困难时期，生存政策更为谨慎，但出于建模目的，通常会明确或隐含地采用清算政策，因为它将股息di（S）作为S:~d（l）i（S（t）中的一个连续函数提供-i） ）=min（S（t）-i） ，di），（14），而幸存者政策有一个不连续性：~d（s）i（s（t-i） ）=diH（di- S（t）-i） ），（15）式中，H（a）是阶梯函数[H（a<0）=0，H（a≥ 0) = 1].现在很明显，在离散股息支付日（以及，对于欧洲期权，边界条件）调整网格时，都应该特别小心。当我们通过依赖政策的股息支付在网格上反向工作时，资产价格会随着股息金额的增加而上升。因此，我们必须引入位移（t-i） =S（t+i）+di，由于衍生产品价格要求的连续性，这反过来又导致方程v-[S，t]-i] =V+[S-■di，t+i]，（16）（适用于欧洲CN方案）或其美国对应版本V-[S，t]-i] =最大值（V+[S]-~di，t+i]，K- S（t+i）），（17），我们仅提供Put版本。具有离散股息的股票的欧洲CN边界条件公式远不明显，并且与其连续股息类似物（如Sivenet al.（2009））有显著差异。我们将以清算人政策（14）为例来说明这个问题。显然，我们必须调整边界条件的标准连续红利版本[其形式为VN（0≤ T≤ T=0和V（0）≤ T≤ T）=K exp(-r（T）-t） )- 性爱(-q（T）- t） ，其中q是一个连续股息收益率]转化为一个表达式，其中包含一些与股息相关的离散负资产价格排除约束。然而，似乎有几种可能的方法可以做到这一点。

事实上，在构建了aJune 9之后，2018年13:32应用数学金融离散时间相关贴现股息总额在（t，t）区间D（t）=Xt≤钛≤Tdiexp(-r（ti）- t） ）并回顾上一小节中的不同方法，可以建议至少3种不同版本的下边界条件：V（0≤ T≤ T）=K exp(-r（T）- t） )- 麦克斯（S）-~D（t），0，（18）V（0）≤ T≤ T）=[K exp(-r（T）- t） ）+D（t）]- S、 （19）V（0）≤ T≤ T）=[K exp(-r（T）- t） ）+DK（t）]- 麦克斯（S）-~DS（t），0），（20）式中~DK（t）≡Xt≤钛≤Ttidiexp(-r（ti）- t） ）和)DS（t）≡Xt≤钛≤T（T-ti）diexp(-r（ti）- t） ）t.这些版本可分别解释为前一小节中相应的点、走向和混合BS近似值。通过选择Sclose为零，我们可以减少等式。（18-20）到更简单的表示V（0≤ T≤ T）=K exp(-r（T）- t） ）+\'D，其中\'D分别为0、D或DK。如果没有进一步的分析，就不清楚等式是什么。（18-20）最好与eq一起使用。（18） （19）是特别强的候选人。[请注意，与看跌期权不同，调用与等式（18-20）类似的问题无关，因为函数max（SN-如果SNI选择在适当的高水平，并且上边界条件可以直接以VN（0）的形式选择，那么D（t），0）永远不会返回零≤ T≤ T）=SN-~D- K exp(-r（T）- t） ）]。下面我们采用一种简单的方法进行建模测试，将我们的3个版本的欧洲CN看跌期权方案（分别带有边界条件（18-20））与相应的美国方案进行比较。rf出于演示目的，我们将使用一个PutOption样本系列展示我们的发现：我们采用贴现率r=6%和波动率σ=30%，S=100.0美元，K=100.0美元，到期期限T从1.0年到11.00年（增加一年）。此外，我们在t=6.5年时选择d=70.00美元的单一预测股息支付。

结果如图1所示。我们可以很容易地看到，直到第一（也是唯一）派息日，等式给出的边界条件。（18-20）一致并导致牙科CN结果。t=6.5年后，情况发生变化，出现实质性差异。最重要的是，我们注意到只有EQ给出的边界条件。（18） 得出与相应的美式看跌期权结果一致的结果。事实上，欧洲期权价格应该总是比美国期权价格低——这是有边界条件（18）的CN方案所显示的行为，但没有边界条件（19）或（20）。为了消除任何剩余的疑虑，我们还将我们的CN结果[与边界条件（18）]与标准蒙特卡罗（MC）方案（参见Wilmott（2006）的描述）进行了比较，并在除息日进行了清算人式的路径调整。我们的对照MC代码有10条路径，与CN结果非常匹配（11次看跌期权的差异均小于0.05%）。再次重申，EuropeanCN方案的边界条件不确定性仅适用于Puts，这一点很重要。对于看涨期权，任何边界条件的选择（有或没有最大函数，有或没有股息分割）都会导致相同的结果，这与Haug等人（2003）的观察结果一致，即公司股息政策可能只影响看跌期权，而不影响看涨期权。2.3 CN数值与分析结果的定性比较现在，我们可以用基准数值方法对不同的分析方法进行初步（定性）比较[CN格式与点类型边界条件联合声明9，2018 13:32应用数学金融离散化0.010.020.030.040.050.060.00 4 12V[$]T[年]CN点BCCN打击BCCN混合BCCN美国计算机图1。

比较不同版本的欧洲CN方案（边界条件的选择不同）和相应的美国CN方案（详见正文）（18））给出的看跌期权结果。我们将使用一个欧洲呼叫和Puts的样本系列来展示这一点。我们采用浮动贴现率r=6%和浮动隐含波动率σ=30%（我们也将用作CN建模的浮动波动率），S=100.0美元，K=100.0美元，到期期限T从1.0年到11.00年（增加一年）。该家族还定期派发对外直接投资（FDI）=9美元（ti=0.5、1.5、2.5等）的年度股息，10.5年的标记，可以说代表了现实生活中的情况，例如在一张表格上的期权，但有限的寿命（例如由于商品储量限制）矿业股票。我们还注意到，我们的测试用例比例如Haug等人（2003）所考虑的测试用例具有更高的红利；Vellekoop和Nieuwenhuis（2006年）。我们有意将所有近似值推到其适用范围极限，以提供易于观察到的证据，证明它们与数值一致（或不一致）。请注意，对应的数值结果是图。第2节和第3节也以表格形式呈现。这里和下面我们用过t=0.05，Smax=500，Smin=0和对于我们的CN建模，S=1.25。2018年6月9日13:32应用数学金融离散变量5。015.025.035.00 4 8 12V[$]T[年]SpotStrike VASpot VAHybridCN支票呼叫。。。。。。。。。图2。对不同分析方法得出的多红利系列看涨期权的结果进行比较（详见本文正文；图3给出了相应的看跌期权结果）。点近似由等式给出。(3); 罢工近似-通过等式。(4); 混合近似-通过等式。(5); VA点近似-通过等式。（3） 公式（7）给出了调整后的波动率；VA Strike近似值——由等式得出。

（4） 公式（9）给出了调整后的波动率；最后是数值结果——用初始条件（13）和边界条件（18）对等式（11）进行建模。从分析图中可以得出几个结论。2和3：o所提供的分析近似值均不适用于较长期期权（包括看涨期权和看跌期权），因为较简单的即期和行权方法与基准数值结果存在显著差异有趣的是，看涨期权和看跌期权的数值结果表明，它们与最佳分析近似值（混合和Strikeeva）的差异在性质上存在差异：看涨期权通常遵循走向VA和混合平均趋势，而较长日期的看跌期权在混合和走向VA曲线下方都有显著偏差看跌期权和看涨期权的数值曲线与其分析对应项之间的偏差在性质上存在差异，这意味着违反了看跌期权奇偶关系（10）：如果保留了奇偶性，则数值与上述任何一种分析近似值之间的偏差为2018年6月9日13:32应用数学金融离散化10。020.030.040.050.060.00 4 8 12V[$]T[年]SpotStrike VASpot VAHybridCN支票存款。。。。。。图3。多股息看跌期权系列的不同分析方法给出的结果比较（详情请参见本文；相应的看涨期权结果如图所示）。

2).看跌期权和相应的看涨期权是一样的。因此，我们可以阐述本文要解决的两个主要问题：（1）观察到的奇偶违反现象是真实的吗？如果是，那么如何解释它？（2） 是否可以开发一个简单的BS型近似值，更好地匹配基准数值结果，用于对具有大型离散变量的股票进行欧洲看涨期权和看跌期权定价？因此，以下两小节将讨论这两个问题。2018年6月9日13:32应用数学金融离散变量2。4奇偶校验违反现象根据我们的知识，奇偶校验违反现象首先由Hauget al.（2003）描述，然而，术语“违反”本身并未使用——作者推导并提出了奇偶校验关系的修正形式（见Haug et al.（2003）的等式（8））。由于缺乏对平价关系变化形式的强调，Haug et al.（2003）的一些读者可能忽略了修正关系与传统关系之间的重要差异，甚至包括那些在其后续出版物中引用本文的读者。因此，在我们看来，重要的是重新审视这个问题，并明确平价违反现象的一些原因。让我们考虑一个股票过程S（t），在t=tdt时有一个确定的股息支付，为简单起见，假设r=0。如果股息支付是有保证的，并且是有价值的（例如，通过在托管账户中持有相应的金额），那么通过对每个可观察股票价格S（T）（S（T）>0的解释，我们在支付时有标准的对等关系：C（T）- P（T）=S（T）- K

（21）如果D（tD）=const（如上所述），那么很容易在t=0时构建一个没有中间净现金流的投资组合，并在t时与等式（21）的右侧相匹配。人们需要购买股票S，做空K（在t=t时偿还）和做空D（在t=TD时偿还）。此类投资组合的初始净成本为S（0）- K- D.重要的是，支付净额的准确时间（D）- t=现金（t=现金流量）- K、 如我们所愿。因此，我们满足了用于推导标准平价关系（10）的两个条件，即我们在t=t时构建了支付（21）的投资组合，并证明在区间0<t<t时不存在非零现金流。因此，修改后的巴黎关系保持为：C（0）- P（0）=S（0）- K- D、 （22）这（在我们的分析扩展到R6=0的情况下）相当于等式（10）。然而，在清算人/幸存者股息政策（如第2.2小节所述）到位的情况下，上述论点不起作用，因为t=Td时的付款不取消的概率为非零。事实上，如果S（tD）<D，那么我们将不会收到弥补相应空头头寸所需的D金额，而只会收到S（tD）（如果清算人保单到位）或0（如果选择了幸存者保单）。因此，标准奇偶关系（22）失败。然而，真正的看跌期权平价可以通过计算预期的缺失现金流（例如，通过风险中性估值技术；详情见Hull（2006））。但在股息日之前，股票价格遵循标准的几何布朗运动，因此可以应用原始的Black-Scholes公式。

对于具有清算人政策的单一股息情况，此类计算会导致标准BS看跌期权定价公式给出的平价违约值P=D exp(-rTD）Φ(-b）- SΦ(-b） ，（23）式中，K由未贴现的单一股息值D代替，TDI为单一股息支付时间，D和TDI也代替b波段表达式中的K和T。注意，对于单一股息情况P公式不需要任何波动性调整。类似的计算表明，对于带有幸存者策略的单一股息情况，相应的结果如下所示：P=D exp(-rTD）Φ(-b） ，（24）再次无需进行波动性调整。对于多红利情况，没有精确的奇偶违反表达式可用，我们不知道以前报告的任何解析近似。2018年6月9日13:32应用数学金融离散变量2。到目前为止，这项工作中描述的calls和putsAll分析方法的5种新的分析Black-Scholes型近似可分为三组：（1）尝试调整一些BS公式参数的简单启发式方法，但不考虑离散股息影响的波动性（即期、罢工和混合方法）（2）尝试调整一些BS公式参数的方法，然后调整波动性以确定修正（即期VA和罢工VA）（3）渐近展开方法（TE方法）很容易注意到，虽然有三种类型1的简单方法（即期法、罢工法和混合法），但仅报告了两种相应的波动率调整方法（即期VA和罢工VA）。此外，这些经波动性调整的方法使用了点和点近似作为起点，这代表了一个相当糟糕的选择。将混合近似作为起点更为自然。

的确，我们的无花果。2和3清楚地表明，即使没有任何进一步的波动性调整，混合近似[Eqs.（5）]也与数值相当吻合。现在我们可以更进一步，以最直接的方式构造混合VA近似：（i）我们从等式开始。（5） 股息分为两部分（D=DS+DK）；（ii）然后我们计算由等式定义的波动率调整。（7） 和（9），但有DS≡X0<ti≤TT-tiTdiexp(-rti）和DK≡X0<ti≤TtiTdiexp(-rti），即我们独立计算Ds和DkD部分的演化调整[为了区分新获得的εSandεk与其对应的点和走向VA近似值，我们将其表示为ε（h）Sandε（h）kblow]；（iii）最后，我们将新的波动率调整系数计算为（1+ε（h）S）和（1）的直接乘积- ε（h）K）：\'σh=σ（1+ε（h）S）（1- ε（h）K）≡ σ(1 - εH）。（25）注意，由于股息分割（通常用于实际情况），新的扰动参数εHis通常显著小于εSorεkb≈ DK≈ D/2）和ε（h）和ε（h）Kin（1+ε（h）S）（1）的相反符号贡献- ε（h）K）积。综上所述：混合近似[由等式（5）给出]由σ的波动率调整扩展→ “∑H[由式（25）给出]明确描述了我们的新近似，我们称之为混合VA近似。我们进一步注意到，对于看涨期权的混合VA近似是最终的，而对于看跌期权的混合VA近似需要进一步调整，以考虑价格违规现象。对于单一股息情况，等式（23）[清算人股息政策-有效看跌期权]和等式（24）[存续股息政策-有效看跌期权]给出了平价违规调整（PA）。因此，我们可以简单地计算由第二个OFEQ给出的奇偶校验冲突调整后的看跌期权。（5） 根据等式进行额外的波动性调整。