一种新的分析方法来解决由于

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《New analytic approach to address Put - Call parity violation due to
  discrete dividends》
---
作者：
Alexander Buryak and Ivan Guo
---
最新提交年份：
2014
---
英文摘要：
  The issue of developing simple Black-Scholes type approximations for pricing European options with large discrete dividends was popular since early 2000\'s with a few different approaches reported during the last 10 years. Moreover, it has been claimed that at least some of the resulting expressions represent high-quality approximations which closely match results obtained by the use of numerics.   In this paper we review, on the one hand, these previously suggested Black-Scholes type approximations and, on the other hand, different versions of the corresponding Crank-Nicolson numerical schemes with a primary focus on their boundary condition variations. Unexpectedly we often observe substantial deviations between the analytical and numerical results which may be especially pronounced for European Puts. Moreover, our analysis demonstrates that any Black-Scholes type approximation which adjusts Put parameters identically to Call parameters has an inherent problem of failing to detect a little known Put-Call Parity violation phenomenon. To address this issue we derive a new analytic approximation which is in a better agreement with the corresponding numerical results in comparison with any of the previously known analytic approaches for European Calls and Puts with large discrete dividends.
---
中文摘要：
开发简单的Black-Scholes型近似值来为具有大量离散股息的欧洲期权定价的问题自2000年初以来就很流行，在过去10年中报告了几种不同的方法。此外，有人声称，至少一些结果表达式表示高质量的近似值，这些近似值与通过使用数值计算得到的结果非常匹配。在本文中，我们一方面回顾了以前提出的Black-Scholes型近似，另一方面回顾了相应的Crank-Nicolson数值格式的不同版本，主要关注其边界条件的变化。出人意料的是，我们经常观察到分析结果和数值结果之间存在重大偏差，这对于欧洲看跌期权来说可能尤其明显。此外，我们的分析表明，任何Black-Scholes型近似，如果将Put参数调整为与调用参数相同的参数，都存在无法检测到鲜为人知的Put调用奇偶校验违反现象的固有问题。为了解决这个问题，我们推导了一种新的解析近似方法，与之前已知的具有大离散红利的欧式看涨期权和看跌期权的解析方法相比，它与相应的数值结果更为一致。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--

---
PDF下载：
--> New_analytic_approach_to_address_Put_-_Call_parity_violation_due_to_discrete_dividends.pdf (1019.58 KB)

2022-5-6 12:21:33 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：分析方法 Quantitative expressions QUANTITATIV derivatives

2018年6月9日13:32应用数学金融离散IVidends新的分析方法解决离散dividend Salexander BURYAK和IVAN导致的看跌期权违约GUOaburyak@bigpond.net.auAbstract开发简单的Black-Scholes型近似值来为具有大离散红利的欧洲期权定价的问题自2000年初以来就很流行，在过去10年中报告了几种不同的方法。此外，有人声称，至少有一些结果表达式表示高质量的近似值，这些近似值与使用数值计算得到的结果非常匹配。在本文中，我们一方面回顾了以前提出的Black-Scholes型近似，另一方面回顾了相应的Crank-Nicolson数值格式的不同版本，主要关注其边界条件的变化。出乎意料的是，我们经常观察到分析结果和数值结果之间存在很大的偏差，这对于欧洲看跌期权来说尤其明显。此外，我们的分析表明，任何Black-Scholes型近似都会将Put参数调整为与调用参数相同的参数，其固有的问题是无法检测到鲜为人知的Put调用奇偶校验违反现象。为了解决这个问题，我们推导了一种新的分析方法，与之前已知的任何具有大离散红利的欧式看涨期权和看跌期权的分析方法相比，该方法与相应的数值结果更为一致。关键词：看跌期权平价，股票期权，离散股利，分析定价。简介：2000年初，人们开始关注具有大量离散红利的欧式期权的精确定价问题：Beneder和Vorst（2001）；弗里斯林（2002）；博斯和范德马克（2002）；Boset al.（2003）；Haug等人。

(2003); Vellekoop和Nieuwenhuis（2006年），目前正在重新引起人们的注意[见Amaro de Matos等人（2009年）；Siven等人（2009年）；Veiga和Wystup（2009年）]，这至少在一定程度上可以归因于最近股市的大幅调整以及股价下跌导致的预期股息收益率的相关增加。有趣的是，在Beneder和Vorst（2001）中；博斯和范德马克（2002）；Boset al.（2003）建议对传统Black-Scholes（BS）公式中的走向、现货或波动性参数（基于预测股息和其他参数的实际值）进行简单的结构修改（参见Hull（2006）第259页）。此外，有人认为，一些结果表达式代表了高质量的近似值，与基于Crank-Nicolson算法的相应数值结果非常匹配[例如，在Bosand Vandermark（2002）；Bos等人（2003）]。后来是贝内德和沃斯特（2001）的近似值；博斯和范德马克（2002）；Bos等人（2003年）受到Haug等人（2003年）的批评；Vellekoop和Nieuwenhuis（2006），其中提出了更精确但本质上是数值的方法。这些数值方法将不是我们研究的重点。一方面，我们回顾了之前报道的分析近似，另一方面，我们在不同版本的数值格式之间进行选择，主要关注其边界条件的变化。然后，在阐明了我们对基准数值格式的选择之后，我们对现有的具有大型离散变量的欧式期权的解析近似与基于Crank-Nicolson的建模结果进行了初步的定性比较。

出乎意料的是，我们观察到欧洲看涨期权和看跌期权的分析结果和数值结果之间存在实质性差异，看跌期权的差异在质量上更为显著。这可以用一种鲜为人知的Put-Call奇偶校验违反现象来解释，据我们所知，Haug等人（2003）在文献中首次提到了这种现象。这种奇偶性违规仅存在于离散（非连续）红利模型中，其原因是红利导致的期权支付形状的变化，以及由此产生的与传统对数正态过程诱导分布的偏差。在单一（大额）股息支付的最简单情况下，我们可以很容易地在2018年6月9日13:32 Applied Mathematic Finance Discreted IV中获得一个精确的解析表达式，用于计算奇偶校验违反值。然而，尚未报告多股息情况的分析结果。我们通过为调用和put开发一种新的更高质量的分析近似方法来解决这个问题，除了其他功能外，它还能够考虑奇偶校验冲突调整。在概述了新方法的细节之后，我们将现有和新开发的分析方法与CN数值法进行了最终的定量比较，并确认我们的新算法优于其他分析方法。2.方法在本文中，我们专注于分析股票过程St，其在各个时间点ti随股息数量的下降而下降，并在其他时间（即股息支付之前、之间和之后）遵循几何布朗运动，波动率σ为：=rSt-X0<ti≤Tdiδ（t- （ti）dt+σStdWt（1），其中r是无风险利率，δ是狄拉克-德尔塔函数，WT是维纳过程（详情参见Hull（2006））。本节首先回顾了离散红利期权的现有解析近似。

然后，我们开始讨论所使用的基准数值方法的更多细节，并将相应的数值结果与不同的分析近似值进行比较。最后，我们讨论了观察到的差异，并概述了成功解决这些差异的新解决方案。2.1回顾现有的Black-Scholes型分析近似在2000年初，Frishling（2002）的工作通过强调具有离散红利的欧式期权的传统分析BS结果与相应的数值结果之间的显著差异问题，引发了讨论。它指出，离散股息股票的看跌期权不允许直接使用传统的BS公式：C=SΦ（b）- K exp(-rT）Φ（b），P=K exp(-rT）Φ（b）- SΦ(-b） ，（2）在我们使用常用符号的情况下，C和P分别是看涨期权和看跌期权；Sis对应的当前股票价格（现货价格），K是执行价，T是期权的期限（到期时间），Φ是累积高斯分布函数，并通过其常规表达式给出：b=[ln（S/K）+（r+σ/2）T]/（σ）√T）和b=b-σ√T表达式（2）可以很容易地扩展，以允许通过改变S来考虑具有连续股息收益率的股票→ 性爱(-qT）。事实上，这定义了计算离散股息股票期权的最传统（尽管不是最准确）近似值，对应于EQ给出的基本过程。(1). 下面我们将其称为普通的点调整近似值或简单的点调整近似值。

而不是计算股息收益率q并应用S→ 性爱(-qT）改变可以等效地减去股息D的现值≡X0<ti≤Tdiexp(-rti），2018年6月9日13:32应用数学金融从Sto获取的离散变量S=S-X0<ti≤Tdiexp(-rti）并在等式（2）中的任何地方改变为严重：C=SΦ（b）- K exp(-rT）Φ（b），P=K exp(-rT）Φ（b）-~SΦ(-b） ，（3）S→调整也应在频带内进行。此外，Frishling（2002）报告了另一种也非常传统的计算离散股息的近似方法——不是改变Sin公式（2），而是可以调整走向Kinstead:C=SΦ（b）-~K exp(-rT）Φ（b），P=~K exp(-rT）Φ（b）- SΦ(-b） ，（4）式中，K=K+X0<ti≤Tdiexp（r（T-ti），同样，在带宽系数中也进行了相同的调整。下面我们将把这种近似称为普通罢工调整近似或简单罢工近似。在提供Eqs之后。（3） （4）近似Frishling（2002）停止概述分析结果，并指出，如果使用相同的波动率，并且在除息日支付股息，这两个结果可能会通过低估[公式（3）]或高估[公式（4）]与数值模拟显著不同。这是因为对于香草现货和香草罢工近似值，库存过程（1）与罢工严格相关，但波动率σ没有改变以反映这一点。Bos和Vandermark（2002）同意Frishling（2002）的这些结论，但除此之外，他们还提出了另一个BS近似值（该近似值也通过合理的理论验证得到了支持）：C=\'SΦ（b）-\'K exp(-rT）Φ（b），P=\'K exp(-rT）Φ（b）-\'SΦ(-b） ，（5）式中\'S=S- DSand？K=K+DKexp（rT），其中DK≡X0<ti≤TtiTdiexp(-rti）和DS≡X0<ti≤TT-tiTdiexp(-rti）=D-DK。

据称，近似值（5）与基于CN的数值结果非常吻合，但没有提供数值建模的细节。下面我们将这种近似称为混合近似。Beneder和Vorst（2001）采用了不同的近似方法。他们首先指出，如果具有离散股息的股票过程的局部波动率是恒定的，那么没有股息诱导跳跃的相应过程[其中Sis调整为S=S]-X0<ti≤Tdiexp(-rti）]应具有非恒定的局部波动率：■σS（S，D，t）=σ（t）SS- 其中D（S）j=NXi=j（t）diexp(-rti），其中，N是（0，T）区间内的股息支付数量，总和仅包括2018年6月9日13:32应用数学金融离散时间T之后发生的股息支付[其中j（T）是在时间点或之后发生的第一次股息支付的指数：tj-1<t≤ tj]。例如：D（S）j（0）=D（S）≡ D.此外，可以在（0，t）间隔上对相应的方差σS（S，D，t）进行平均，以获得：σS=σvuutSS- D（S）！tT+X1<j<NSS- D（S）j！tj- tj-1T+T-tNT≡ σ（1+εS），（7），其中tn是（0，T）区间内最后一次股息支付的时间。要使用公式（7），只需在点近似系统中用“σ”代替σ即可。(3). 下面我们将这种近似称为即期波动率调整近似（或即期VA近似）。请注意，如果股息支付仅发生在t=0附近，则¨σS≈ σ具有很高的精确度。值得注意的是，Bos等人（2003年）独立于Beneder和Vorst（2001年）提出了一个更严格支持的∑Svolatility调整版本，根据Haug等人（2003年）的分析；Vellekoop和Nieuwenhuis（2006）提供了与数值结果稍好的一致性。

在这里，我们将仅限于分析贝内德和沃斯特（2001）的斯波特瓦近似版本（为了不被最小差异方法的分类所淹没）。然而，值得注意的是，与Beneder和Vorst（2001）相比，Bos等人（2003）也概述了VA近似的另一个版本：strike VA近似的可能性。请注意，Bos等人（2003年）的作者没有提供这种新方法的最终明确表达，只是提到这可以“轻松完成”。因此，我们选择通过简单的等式推广来表示近似值。（6） （7）与Bos等人（2003）的相应表达式相比，其形式更为简单。然而，我们注意到，通过修改我们的附录A公式（在附录A的最后一个公式中设置αi=0），可以获得Bos等人（2003）风格的strike VA波动率调整表达式。与上述Beneder和Vorst（2001）的香草点近似推广类似，香草走向近似[由等式（4）给出]，走向调整为K=K+X0<ti≤Tdiexp(-r（ti）- T））]可作为进一步波动性调整的基础。然后，使用类似于spot VA情况的参数，我们可以将等式（6）改写为：△σK（S，D，t）=σ（t）SS+D（K）j，（8），其中D（K）j=j（t）Xi=1diexp(-rti），其中，总和仅包括在时间t之前发生的分割付款[其中j（t）是在时间t点或之前发生的最后一次分割付款的指数：tj≤ t<tj+1。例如：D（K）j（T）=D（K）N≡ D.此外，可以在（0，t）区间上对相应的方差σK（S，D，t）进行平均，以获得：σK=σvuttt+X1<j<NSS+D（K）j！tj- tj-1T+SS+D（K）N！T-tNT≡ σ(1 - εK），（9），其中tn是（0，T）区间内最后一次股息支付的时间。使用Eq。

（9） 在等式给出的走向近似系统中，只需将σ替换为¨σ。（4） 下面我们将这个新的近似称为strike VA近似。2018年6月9日13:32应用数学金融离散IVidends注意，如果股息支付仅发生在t=t附近，那么‘∑K≈ σ具有高度的准确性。重要的是，点VA和走向VA近似基本上代表同一一般摄动法的不同版本，具有不同的零阶近似（分别为普通点近似和普通走向近似），并且具有不同的相应小参数εS=D/S1- D/S（用于点VA）和εK=D/S1+D/S（用于点VA）。就D而言→ S、 我们可以预期strike VA近似优于spot VA近似，因为前者的ε（εK）要小得多→ 0.5对εS→ ∞).然而，即使εK≈ 0.5可能太大，无法提供高质量的近似值。在结束本小节并开始描述我们的数值基准技术之前，我们想提及另一种基于渐近精确泰勒级数展开的有趣的近期方法（Veiga和Wystup的TE方法（2009））。我们感谢这项工作的作者与我们分享他们的代码，允许快速复制他们的结果，我们将与第3节中的其他方法进行比较。还需要指出的是，上述任何方法给出的Put和Call值都满足著名的Put-Call奇偶关系：K exp(-（右）- P=Sexp(-qT）- C、 （10）（关于推导细节，参见Hull（2006）。2.2对Crank-Nicolson方案的审查我们的目的是证明我们选择基准直接数值建模的合理性，该模型基于Crank-Nicolson（CN）方案的一个相当传统的版本。

然而，即使在这里，我们也面临一些关于其数值实现细节的不确定性，这需要解决。控制期权价格动态的传统Black-Scholes方程如下所示：五、T- rV+rS五、S+σS五、S=0，（11）其中资产价格（即期）为S，（浮动）波动率为σ，时间为t，远期利率的期限结构为r（t）[为简单起见，我们只考虑浮动利率r（t）=r]。从到期日T开始，使用有限差分方案，在资产价值Si（其中i=1,2,3，…，N）的有限差分网格上对该方程进行反向积分。CN方法在金融应用和其他领域都很有名。对这些方法及其变化的良好评价可以在Wilmott等人（1995）中找到；塔维拉和兰德尔（2000年）。本质上，有限差分系统是通过使用直接LU方法（通常用于欧式期权定价）或所谓的投影连续超松弛（PSOR）方法（通常用于美式期权定价）来解决的。关于CN的大多数现有文献都致力于美式定价期权的讨论（见赵等人（2007年）；Ehrhardtand Mickens（2008）），而关注欧洲选项的作品则少得多（参见，例如，Sivenet al.（2009），了解一个相对罕见的例子）。一般来说，美式期权的CN算法要比欧式期权复杂得多，并且涉及所谓的自由边界问题公式（见Wilmott等人（1995年）；Tavella和Randall（2000）详细介绍）。然而，在这项工作中，我们专注于欧洲选项，只需要美国CN solver来校准/澄清我们选择的欧洲模拟边界条件。