一种新的分析方法来解决由于

（25）然后减去等式（23）或等式（24）给出的平价违约值。我们将这种方法称为混合VAPA（混合波动率调整平价违规调整）方法。我们提醒，平价违规调整仅与看跌期权相关，而与看涨期权无关。对于多股息情况，PA没有明确的公式可用。然而，本着本文的精神，我们可以建议将多重股息PA计算为有效看跌期权（类似于单一股息情况）。然后，我们可以使用已经开发的混合VA近似值对这些有效看跌期权进行估值。事实上，人们几乎可以毫不费力地将等式（23）概括为：P（L）=P（L）eff=\'DLexp(-rTD）Φ(-b）-\'SΦ(-b） ，（26）2018年6月9日13:32应用数学金融离散变量，其中Dl是最后一次股息，Tdi是最后一次股息支付的时间，`S=S-§DSand¨DL=DL+~DKexp（rTD），其中依次为¨DS≡X0<ti<TDTD- tiTDdiexp(-rti）和DK≡X0<ti<TDtiTDdiexp(-rti）。由于已将股息和未调整的金额都考虑在内→ DL]。此外，公式（26）中的波动性也根据标准HybridVA近似公式进行调整[即，修正由公式（25）给出，其中现在T→ t方程式中的所有求和。（7） 和（9）属于（0，TD）区间，不包括最终股息]。等式（24）的多股息概括可能以类似的方式进行，但有一个重要区别——等式（26）所代表的有效看跌期权不包括进一步的递归平价违规调整，而等式（24）的概括应包括以下递归项：P（S）（tN）=NXi=1(-1） N-iP（S）eff（ti），其中tiare除息天数和tN是[在（0，T）区间内]最后一次分红的时间。

事实上，对于Liquidatorcase，在除息日Ti崩溃为零的过程（1）的所有路径将继续保持在零，并且在下一个除息日Ti+1没有任何超过di+1的路径恢复的机会，而对于幸存案例，这种恢复总是可能的。我们强调，我们的PA方法的主要思想是将其视为有效的多重分割投入（清算人政策为香草型，幸存者政策为数字型）。使用HybridVA算法计算此类有效看跌期权价值是额外的一步。事实上，我们可以利用任何其他近似值来实现这一目的（显然优先考虑高精度算法）。在下一节中，我们将综合比较之前报告的关于看涨期权和看跌期权的最佳分析方法（Spot VA、Strike VA、Hybrid和TE方法），以及相应的CN数值法和新开发的Hybrid VA和Hybrid VAPA分析方法。我们还注意到，新开发的混合VA方法（及其平价违规调整后的看跌期权扩展：混合VAPA方法）基本上是基于Bos和Vandermark（2002）以及Beneder和Vorst（2001）的启发思想。后一种方法不允许计算波动率调整的高阶修正。这种修正可以通过扩展Bos等人（2003）的结果来计算，他们提出了一种更复杂、但也更严格的波动率调整方法。为了分析的完整性，我们扩展了Bos等人（2003）的分析，计算了相应的HybridVA-2近似公式（HybridVA方法的第二种[更严格、更复杂的]版本）。所有相关公式和推导细节见附录A。HybridVA-2的结果也将与下一节中的数值和其他分析近似值进行比较。3.

结果：不同分析方法与CN数值的最终比较我们使用两个具有大型离散变量的欧式期权样本家族展示了我们的发现。对于这两个系列，我们采用贴现率r=6%和波动率σ=30%（我们还将使用贴现率曲线和波动率进行CN建模），S=100.0美元，K=100.0美元，到期期限T从1.0年到11.00年不等（增量为一年）。First family在t=364/365点（即最短期限期权到期前一天（t=1））只有一次d=50.0的预期股息支付；因此，我们可以观察到唯一股息接近到期的限额（对于T=1期权）与2018年6月9日13:32应用数学金融离散化限额（对于T=11期权），以及唯一股息相对接近原点的相反限额之间的明显过渡。第二个家族与图中所示的家族相同。2和3：在ti=0.5、1.5、2.5等的情况下，其定期年度股息支付di=9，10.5年的成绩。第一个家族主要用于对我们分析的分析模型进行“压力测试”，而第二个家族，正如我们已经提到的，可能代表现实生活中的情况。表1。比较不同的分析方法与单个股息调用的CN数值结果。第一列显示了CN数值结果。

在随后的列中，给出了不同的解析近似及其与CN数值相关的相对差异。中国（中国）中国（中国）中国（中国）中国（中国）中国（中国）中国（中国）中国（中国）中国（中国）中国（中国）中国（中国）中国（中国）中国（中国）中国（中国）中国（中国）中国（中国）中国（中国）中国（中国）中国（中国）中国（中国）中国（中国）中国（中国）混合（混合）混合（混合）混合（混合）混合（混合）混合（混合）混合（混合）混合（混合）混合（混合）混合（混合）混合）混合（混合）混合）混合（混合）混合（混合）混合）混合（混合）混合（混合）的（混合）混合）的（混合）的（混合）混合）混合（混合）混合）的（混合）的（混合）的（混合）的（混合）的（混合）在在在在在在在在在在在在在（混合）的（混合）的（混合）的（混合）的（混合）的（混合）的（混合）的）的）混合）的）的）的）的15.3 6.81 1.2 6.77 0.64 9.01 9.22 2.3 10.23 13.6 8.08-10.37.39 -17.9 9.14 1.5 9.03 0.25 11.23 11.30 0.6 13.05 16.2 10.28 -8.5 9.35 -16.7 11.41 1.6 11.22 -0.16 13.38 13.34 -0.3 15.81 18.2 12.44 -7.0 11.40 -14.8 13.60 1.6 13.34 -0.37 15.45 15.33 -0.8 18.50 19.8 14.55 -5.8 13.45 -13.0 15.70 1.6 15.38 -0.58 17.43 17.25 -1.0 21.09 21.0 16.59 -4.8 15.46 -11.3 17.70 1.5 17.33 -0.59 19.32 19.10 -1.2 23.58 22.0 18.54 -4.0 17.40 -9.9 19.61 1.5 19.20 -0.610 21.12 20.86-1.2 25.96 22.9 20.40-3.4 19.28-8.7 21.42 1.4 20.99-0.611 22.84 22.56-1.2 28.25 23.7 22.19-2.9 21.08-7.7 23.15 1.4 22.69-0.7表2。多红利调用的不同分析方法与CN数值结果的比较。第一列显示了CN数值结果。在随后的列中，给出了不同的解析近似值及其与CN数值相关的相对差异。这些结果与图。

2.中国的。中国的。中国的，中国的，中国的，中国的，中国的，中国的，中国的，中国的，中国的，中国的，中国的，中国的，中国的，中国的，中国的，中国的，中国的，中国的，中国的，中国的，中国的，中国的，中国的，中国的，中国的，中国的，混合的，混合的，混合的，混合的，混合的，混合的，混合的，混合的，混合的，混合的，混合的，混合的，混合的，混合的，混合的，混合的，混合的，混合的，混合的，混合的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的，他们的-0.8 15.02-0.2 15.05 0.0 15.02-0.14 16.24 15.82-2.616.67 2.8 16.01 -1.4 16.21 -0.2 16.24 0.0 16.22 -0.25 17.07 16.33 -4.3 17.77 4.1 16.70 -2.2 17.04 -0.2 17.05 -0.2 17.04 -0.26 17.66 16.51 -6.5 18.64 5.5 17.11 -3.1 17.62 -0.2 17.60 -0.4 17.62 -0.27 18.08 16.41 -9.2 19.37 7.1 17.31 -4.3 18.03 -0.3 17.96 -0.7 18.02 -0.38 18.37 16.06 -12.5 19.99 8.8 17.34 -5.6 18.32 -0.3 18.17 -1.1 18.31 -0.39 18.57 15.56 -16.2 20.53 10.5 17.25 -7.1 18.52 -0.3 18.27 -1.7 18.50-0.410 18.72 14.87-20.6 21.02 12.3 17.06-8.8 18.65-0.4 18.27-2.4 18.64-0.411 18.81 14.01-25.5 21.47 14.1 16.79-10.7 18.73-0.4 18.21-3.2 18.73-0.4表1给出了单红利系列认购的结果。尽管不同的近似值通常在某些极限下表现良好，而在其他极限下表现更差，但新开发的混合VA和混合VA-2近似值在所有条件下都表现良好。令人惊讶的是，在这个例子中，TE方法表现最差，在较小的T极限下产生了不令人满意的结果。如果考虑到TE方法的更多扰动阶数（我们有一个由Veigaand Wystup（2009）的作者提供的代码，其中只有前两个阶数可用），可能会减少分歧的大小，但这些测试超出了当前工作的范围。

这里我们不展示看跌期权的结果，因为对于这个特定的单一股息示例，奇偶性违规金额相当小(PL≈ 0.04），而看跌期权近似的质量由相应的调用结果通过标准奇偶关系（10）近似确定，该关系近似成立。然而，请注意，2018年6月9日13:32应用数学金融离散数据表3。多股息看跌期权（Liquidatorcase）的不同分析方法与CN数值结果的比较。第一列显示CN结果。在随后的列中，给出了不同的解析近似及其与CN数值相关的相对差异。这些结果与图3相对应。混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合，混合26.0.0 23.26 0.0 23.24-0.1 23.24-0.14 26.8726.66 -0.9 26.64 -0.9 26.89 0.0 26.87 0.0 26.87 -0.1 26.86 -0.15 29.92 29.64 -0.9 29.50 -1.3 29.98 0.2 29.84 -0.3 29.98 0.2 29.89 -0.16 32.33 32.20 -0.4 31.69 -2.0 32.69 1.1 32.13 -0.6 32.71 1.1 32.31 -0.17 34.06 34.42 1.0 33.21 -2.5 35.07 2.9 33.74 -1.0 35.13 3.1 34.06 0.08 35.12 36.36 3.5 34.10 -2.9 37.19 5.9 34.70 -1.2 37.33 6.3 35.16 0.19 35.59 38.07 6.9 34.47 -3.1 39.09 9.8 35.12 -1.3 39.32 10.5 35.69 0.310 35.56 39.58 11.3 34.42-3.2 40.79 14.7 35.09-1.3 41.15 15.7 35.73 0.511 35.14 40.90 16.4 34.02-3.2 42.32 20.4 34.71-1.2 42.84 21.9 35.38 0.7对于单一股息案例，剩余股息政策案例的平价违规值可能要高得多。

例如，对于表1中考虑的单一股息族，对应的生存率奇偶校验冲突值附言≈ 0.42 0.04.表2给出了多红利系列调用的结果。新开发的HybridVA和Hybrid VA-2近似法在所有项T中都表现良好，尽管简单的Hybrid VA方法在T>8时开始与数值法略有不同。在这个例子中，这种方法和混合VA-2一样有效（两种方法产生的结果基本相同）。表3给出了CN数值计算的多股息看跌期权族的结果，以及清算人股息政策案例的一种性能更好的分析方法。请注意，对于平价违约调整（PA），混合PA结果的P计算基于混合方法PUT公式；P混合VAPA结果的计算基于混合VA方法PUT公式；和P混合VAPA-2结果的计算基于混合VA-2方法Put公式。显然，PA方法大大优于非PA类似物。此外，与相应的多股息认购结果类似，Hybrid VAPA和HybridVAPA-2在近似精度方面明显领先。4.讨论在结论中，我们回顾了现有的离散红利欧式期权的解析近似，并提出了一种新算法，与其他方法相比，该算法通常具有更高的精度。此外，我们花了大量精力来阐明基准数值算法边界条件的正确选择：有限差分Crank-Nicolson格式。最后，我们全面研究了一个很少被提及的看跌期权奇偶性违规现象，并成功地将我们新开发的分析方法应用于计算相应的奇偶性违规调整（对于具有离散股息的看跌期权，需要anyBS风格的近似）。

我们还没有报道希腊人的相关结果，但我们的近似的简单形式允许以一种更直接的方式获得它们。我们注意到，在更简单的表示中，我们的方法推广了Beneder和Vorst（2001）]的启发式波动率修正公式，并且不允许计算下一次扰动阶以获得额外的精度。然而，我们也提出了不同版本的方法，该方法利用了Bos等人（2003）更复杂方法的优点，原则上，该方法可以计算更高的扰动阶数（详见附录AJune 9，2018 13:32应用数学金融离散变量）。此外，我们认为，所提出的想法可能有助于为其他类型的离散红利期权（包括障碍期权、美式期权等）开发更好的快速算法/近似值。看涨期权结果可直接用于计算局部波动面[如Wilmott（2006）]。致谢作者感谢NAB批发银行MRQS集团的支持和有用的建议，特别是沃夫·弗里什林和斯蒂芬·埃德尼指出了这项工作的总体主题和许多有见地的讨论。作者还感谢Uwe Wystup和Carlos Veiga分享他们的TE方法代码。附录A Bos等人的激励细节。

（2003）style Hybrid VA-2公式：考虑广义混合框架：0≤ αi≤ 1，^DS（t）≡Xt<ti≤Tαidiexp(-r（ti）- t） ）和^DK（t）≡X0≤钛≤t（1）- αi）diexp(-r（ti）- t） ）和调整后的库存流程^St=St-^DS（t）+^DK（t），d^St=r^Stdt+^σ（^St，t）^StdWt。特别是，αi=1给出了点近似模型，αi=0给出了走向近似模型，αi=（T-ti）/T给出了混合近似模型。然后，本地波动率可以用常数波动率σ（St，t）=σ1+DS（t）表示-^DK（t）^St！。根据微扰理论（见Bos等人（2003年）的附录B），隐含波动率σ（K，T）可近似为σ（K，T）=TZTE^σ经验rt+Xs，l，kσt, Tdt。其中Xs，l，kσ是s=ln的布朗桥的时间σt值s-^DS（0）到k=lnK+^DK（t）经验(-（右）长度l=σT。

（2002年1月）一个离散问题，风险杂志，第115-116页。Haug，G.，Haug，J.and Lewis，A.（2003年9月），《回到基础：离散分割问题的新方法》，Wilmott杂志，第37-47页。赫尔，J.C.（2006）期权、期货和其他衍生品，第6版，新泽西州：皮尔逊教育公司，J.西文，M.苏查内基和R.鲍尔森（2009）障碍期权和块状股息，威尔莫特期刊，1（3），第167-171页。Tavella，D.和Randall，C.（2000）金融工具定价：有限差分法，纽约：Wiley&Sons。2018年6月9日13:32应用数学金融离散IVidends18亚历山大·布里亚克和伊万·古韦加，C.和怀斯图普，U.（2009）离散股息期权及其衍生品的封闭公式，应用数学。《金融》，16（6），第517-531页。Vellekoop，M.H.和Nieuwenhuis，J.W.（2006年9月）离散变量资产上衍生品的有效定价，应用数学。《金融》，第13（3）页，第265-284页。《金融衍生工具的数学》，剑桥：剑桥大学出版社。Wilmott，P.（2006）Paul Wilmott on Quantitative Finance，第二版，Chichester:John Wiley&Sons Ltd.Zhao，J.，Davidson，M.和Corless，R.M.（2007）美国期权定价的紧凑有限差分法，J.Comput。阿普尔。数学206页，306-321。