随机奇异控制问题的凸对偶性

因此，我们有（P u)  V（^δ）=U（^C）-^CU′（^C）≥ (1 - γ） U（^C）≥ 0 onn^C>Cγo∞U（Cγ）du<∞, 因此，U（^C）∈ L（Pu），即U（^C）<∞.现在，回顾一下估计值（37），我们从U（^C）推断出∞ 这是一个lsoED^C，^DE=ER∞^C^δdu<∞. \"≤”-现在，根据V（^δ）=U（^C）的积分，提出索赔-^C^δ，与P对应 u. 这也建立了引理的“如果”部分。“仅当”-部分紧随其后，并且U在{U<∞} 这意味着最优化者^C.5.2定理3.2的证明的唯一性定理3.2的证明由以下引理5.4–5.9准备。引理5.4。在理论的假设下。2，我们有（40）v（y）=infδ∈˙D（y）EZ∞V（δ）du，y>0，其中（41）˙d（y），[d∈D（y）˙D（D）。此外，对于任何y>0且v（y）<∞, （40）中的最大值为δy∈˙D（y）除此之外，-V′（δy）包含在C中。最后，v在{v<∞}.证据恒等式（40）直接来自（41）和引理5.1。现在假设v（y）<∞ 考虑一个最小化序列δn∈˙D（y）代表（40）。引理A1。Delbaen和Schachermayer[11]的第1部分中，有一个序列δn，δn+1。它收敛于P u几乎所有地方都有一个可选的δy，取值为[0，∞]. 事实上，δy∈˙D（y）因为Dy，R∞.δydu∈ D（y），由Fatou的lemmaE hC持有，Dyi=EZ∞Cδydu≤ 林因弗内斯∞Cδndu=lim infnEC、 Z∞.△ndu≤ 对于任何C∈ C（x），x>0。这里的la st不等式如下，因为△n∈˙D（y）的凸性。Fatou引理的另一个应用∞V（δy）du≤ 林因弗内斯∞V（△n）du≤ 林因弗内斯∞V（δn）du=V（y）由V的凸性和（δn）n=1,2，。。。作为一个最小化序列。这证明了（40）存在一个极小值。P的唯一性 unull集源自V的严格凸性。

事实上，应用引理5。1对于D，Dy表明δyH是可预测的P u-如果我们需要，修改是唯一的，直到无法区分-V′（δy）∈ Cv在{v<∞} 现在是V的严格凸性和严格单调性。引理5.5。在T h eorem 3.2的假设下，（19）的初值函数u是实值函数，并且在（21）和（22）为真的意义上与（20）的对偶值函数v共轭。证据根据假设，原始值函数u在某个点X>0时是有限的。它的凹度表示它是有限的，因此在allof（0，∞). 因此，根据经典对偶结果（参见，例如，Rockafellar[23]中的定理12.2），（21）来自（22）。首先，让我们争论一下“≥” 持有（22）。以C为例∈ C（x）和D∈D（y）。然后E-hC，Di≤ 根据定理3.1的方程式（15）：U（C）- xy≤ V（D）+E hC，Di- xy≤ V（D）。在C上取上确界∈ C（x）a和D上的最小值∈ D（y）在这个关系中产生“≥” 在第22页。也要得到这个“≤” 在（22）中，我们将使用附录中的极小极大定理B.3和oA，Cn，{C∈ C:C∞≤ n} n在哪里∈ {1, 2, . . .}, 具有有界tot变量的左连续过程空间的一个凸紧子集，其度量距离为（2）；见引理B.2.oB，D（y），它可以看作是右连续过程空间的一个凸闭子集，P-可积到总变分，关于（2）的距离有收敛性，因为ED=E h1，Di≤ 假设D（y）=yD（1）；和oH（C，D），U（C）- E hC，Di，在D中是凸的（甚至是线性的）∈ B=D（y）和C中的凹上半连续∈ A=Cn，因为关于度量距离，U在Cnby支配收敛上是连续的，而eh，Di由于LemmaB是下半连续的。1.因此我们得到，对于n=1，2。

，supC∈CninfD∈D（y）{U（C）- E hC，Di}=infD∈D（y）supC∈Cn{U（C）- 接下来让我们证明，作为n↑ ∞, （42）的左侧收敛到0≤x<∞{u（x）- xy}。显然，对于π（C），supD∈D（1）E hC，Di（42）左侧的极限可以写为∈C边界FD∈D（y）{U（C）- π（C）y}=sup0≤x<∞supC∈C（x）有界{U（C）- xy}=sup0≤x<∞{u（x）- xy}其中最后一个恒等式成立，因为通过单调收敛U（C）=limnU（C∧ n） ，C∈ 因此，任何C的效用都可以用有界控制的效用来近似。现在，只要我们证明了，现在引理的证明就完成了↑ ∞, （42）的右边趋向于一个不小于v（y）的极限。为此，我们首先观察到（43）supC∈Cn{U（C）- ehc，Di}=EZ∞越南(-˙D）Du对于任何D∈ D（y），其中vn由（34）给出。的确，因为≥oD，我们有（C）- E hC，Di≤ U（C）- EDC，DE=EZ∞U（C）- C(-˙D）Du，其中C∈ la st被积函数不大于Vn(-˙D）。这证明了“≤” 第43页。为了“≥” 我们只需要观察C，-维恩(-˙D）=-V′(-˙D）∧ N∈ CNC将给出上述两个估计值的相等值。由于（43），我们可以采取行动∈ D（y）带0≤ δn，-˙这样∞Vn（δn）du收敛到（42）右侧的极限为n↑ ∞.根据[11]中的引理A1.1，有∑δn∈ conv{δn，δn+1，…}，n=1，2，哪个收敛于P u-几乎所有地方都有δ*≥ 因为所有的δn都包含在˙D（y）中，所以，通过这个集合的凸性，所有的˙δn都包含在˙D（y）中。事实上，δ*∈˙D（y）因为D*,R∞.δ*du∈ D（y）由Fatou的lemmaE hC，D*i=EZ∞Cδ*du≤ 林因弗内斯∞Cδndu=lim infnEC、 奥兹∞.△ndu≤ 对于任何C∈ C（x）。因此，对于N=1，2，…：林宁夫∈D（y）supC∈Cn{U（C）- E hC，Di}=limnEZ∞Vn（δn）du≥ 林因弗内斯∞VN（δn）du≥ 林因弗内斯∞VN（△n）du≥ 简单∞VN（δ）*) du-→N↑∞简单∞V（δ）*) du≥ v（y）式中，第一次估计和收敛遵循Vn≥ VNV forn≥ N↑ ∞.

第二个估计是由于Vnt的凸性，第三个估计是由于Fatou引理。最后一次估算是从Emmal 5开始的。1和δ*∈˙D（y）。引理5.6。在Th eorem 3.2的假设下，（20）的v是重新估值的，严格凸的，并且在（0，∞). 此外，（19）的u在（0，∞) 和你在一起(∞) = 0.证明。让我们首先展示一下，即使是（44）limx↑∞u（x）/x=0。事实上，因为u通过引理5取实值。5，对于ε>0和x>0，我们可以找到一个Cx，ε∈ C（x）使得u（x）≤ U（Cx，ε）+ε。然后，通过渐近弹性条件（3）的等价公式（5），U（Cx，ε）≤ {Cx，ε上的xγU（Cx，ε/x）≥ Cγ}。关于P的积分 u我们由此获得u（x）≤ xγEZ∞U（Cx，ε/x）du+EZ∞U（Cγ）du+ε≤ xγu（1）+EZ∞U（Cγ）du+ε，其中我们使用了Cx，ε/x∈ C（1）。自从γ∈ [0,1]，我们的索赔（44）现在被x除法↑ ∞.结合（44），u和v之间的二元性在5中建立。5产生v（y）<∞ 对于y>0。根据引理5.1，v是严格的凸n（0，∞). 这立即意味着v是严格递减的，通过经典的凸对偶结果（例如Rockafellar[23]），vimplies的严格凸性（0，∞). 通过凹性和单调性，0≤ u′（x）≤ u（x）/x.So（44）lso产生u′(∞) = 以下引理是Kramkovand Schachermayer[20]中引理3.6和3.7的一个小修改：引理5.7。在理论3的假设下。2.极小值δy∈˙D（y）来自外稃5。4在映射（0，∞)  y 7→ （δy，V（δy），-V′（δy）δy）∈ L（P u）×L（P u）×L（P u）是连续的。证据上述映射确实在所有（0，∞) 是由于v在（0，∞) 建立于Lemma5。6.我们首先证明δyn→ δyinl（P u）适用于任何情况→ Y∈ (0, ∞).

如果δyn不收敛于δyin，则ε>0，使得lim supnP u[|δyn- δy |>ε，δyn+δy<1/ε]>ε，我们记得（δyn）n=1,2，。。。在L（P）中有界因为∞δyndu≤伊恩→ y>0，定义为f˙D（yn）。现在，通过v的严格凸性，δn，（δyn+δy）满足v（δn）≤（V（δyn）+V（δy））以及，对于一些非常小的η>0，还包括 uV（δn）≤（V（δyn）+V（δy））- η> η.关于P的积分 u它遵循thatlim supnEZ∞V（δn）du≤ 林苏佩兹∞（V（δyn）+V（δy））du- η=lim supn（v（yn）+v（y））- η=v（y）- η其中最后一个恒等式是由于凸函数v的连续性。另一方面，通过集合D（y）=yD（1）的标度性质和凸性，我们得到δn∈˙D（y）∨ 因此，由Lemma5。4，v（y）=limnv（y）∨ （伊恩）≤ 林因弗内斯∞V（δn）du。这显然与前面的不平等相矛盾，因此我们必须确定这一点→ δyinl（P u).V（δyn）的收敛性≥ 0英寸长（P u）现在来自收敛inL（P u）安第斯∞V（δyn）du=V（yn）-→N↑∞v（y）=EZ∞V（δy）du。此外，L（P u）-收敛(-V′（δyn）δyn）n=1,2，。。。一旦我们建立了统一的u-该序列的可积性。我们的同构弹性条件（7）给出了（45）（1）- γ)(-V′（δyn））δyn≤ 在{δyn<Dγ}上的γV（δyn），其中γ∈ 其中Dγ，U′（Cγ）。此外，我们有Cn，-V′（δyn），即（46）0≤ (-V′（δyn））δyn=CnU′（Cn）≤ 美国（中国）≤ {δyn上的U（Cγ）≥ Dγ}={Cn≤ Cγ}。与已经成立的L（P （V（δyn））n=1,2，。。。我们假设U（Cγ）isP u-可积，估计值（45）和（46）的组合产生所需的均匀可积性。现在我们可以使用Kramkov和Schachermayer[20]引理3.8中的一个变量来推导：引理5.8。