随机奇异控制问题的凸对偶性

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英文标题：
《Convex duality for stochastic singular control problems》
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作者：
Peter Bank and Helena Kauppila
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We develop a general theory of convex duality for certain singular control problems, taking the abstract results by Kramkov and Schachermayer (1999) for optimal expected utility from nonnegative random variables to the level of optimal expected utility from increasing, adapted controls. The main contributions are the formulation of a suitable duality framework, the identification of the problem\'s dual functional as well as the full duality for the primal and dual value functions and their optimizers. The scope of our results is illustrated by an irreversible investment problem and the Hindy-Huang-Kreps utility maximization problem for incomplete financial markets.
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中文摘要：
我们发展了一个关于某些奇异控制问题的凸对偶的一般理论，将Kramkov和Schachermayer（1999）关于非负随机变量的最优期望效用的抽象结果，转化为递增自适应控制的最优期望效用水平。主要贡献是制定了一个合适的对偶框架，确定了问题的对偶函数，以及原始和对偶值函数及其优化器的完全对偶性。不完全金融市场下的一个不可逆投资问题和Hindy Huang Kreps效用最大化问题说明了我们结果的范围。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Convex_duality_for_stochastic_singular_control_problems.pdf (352.81 KB)

2022-5-6 12:26:07 上传

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关键词：控制问题 Optimization IRREVERSIBLE maximization Quantitative

随机奇异控制问题的凸对偶。柏林理工大学第17数学研究所。Juni 136，10623柏林，德国。Kauppila哥伦比亚大学纽约市数学系990纽约百老汇NY 1002 2018年8月28日摘要针对某些奇异控制问题，我们发展了凸对偶的一般理论，将Kramkov和Schachermayer[20]关于非负随机变量的最优预期效用的抽象结果，转化为增加、调整控制的最优预期效用水平。主要贡献是制定了可测量的对偶框架，确定了问题的对偶函数，以及原始值函数和对偶值函数及其优化器的完全对偶性。不完全金融市场的不可逆投资问题和Hindy Huang Krepusity最大化问题说明了我们结果的范围。关键词：凸对偶，奇异控制，效用最大化，不完全市场，不可逆投资。JEL分类：G11、G12、C61。AMS学科分类（2010）：93E20、91G80、46N10、91B08。1简介一个典型的随机最优控制问题是通过指定控制器如何影响给定系统的动力学，从而优化性能标准而形成的。在经典随机控制中，控制器直接影响控制系统动力学的系数，但对系统状态本身没有直接影响。

相比之下，在奇异控制问题中，控制器可以在任何时候以完全可伸缩的方式直接改变受控系统的状态，从微小到大的跳跃。自Beneˇs等人[6]对此类奇异问题进行开创性研究以来，最常用的方法是考虑马尔可夫系统，并使用动态规划推导并求解问题的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程，该方程以自由边值问题的形式出现。或者，我们可以使用Cadenilas和Haussmann[9]首次讨论的Pontryagin的最大原理。在这两种情况下，导出的数学概念都不会立即解决问题，而只是有助于描述解决方案的一些特性。然后，一个关键的挑战是尽可能简洁地写出这个描述。显然，当我们假设控制只能在一个方向上进行时，这项任务会变得更容易。这类问题包括单调跟随者，例如Karatzas和Shreve[17]，第4.1节讨论的一些不可逆投资问题，以及第4节讨论的所谓Hindy Huang Kreps公用事业的最优投资和消费问题。2.所有这些问题都可以归结为for mU（C）=EZ的泛函U的最大化问题∞Ut（Ct）dut其中C是非负、递增、左连续自适应控制的C类，Ut（Ct）描述了在时间t获得的可预测效用≥ 0，其中可选随机测量u描述了在不同时间分配给公用设施的权重。本文的目的是发展具有上述类型目标泛函的奇异控制问题的凸对偶理论。

事实上，在U和u的自然假设下，我们的第一个主要理论3。1建立了函数U的Legendre-Fenchel对偶性。为此，我们引入了非负、递减、右连续过程D类，作为对偶变量，pairingE hC，Di=EZ[0，∞)我们证明了Legendre-Fenchel变换v（D）=supC∈C{U（C）- ehc，Di}与函数lv（D）=infδ一致∈˙D（D）EZ∞Vt（δt）dut，其中˙d（d）是与d相关的一类可选过程，其中Vt表示Ut的经典Legendre-Fenchel变换。此外，我们还证明了V（D）的极小值∞ 可以用D=R形式的特定包络过程来构造∞.U′（CD）du与CD∈ 它的独特特征是ehDtFti≤ E[Dt | Ft]表示所有t≥ 0，且每当Cd增加时，“=”保持为真。因此，我们得到了u（C）的最大化子的完整刻画- E-hC，Di=EZ∞Ut（Ct）dut- 简单∞DtdCt，一种不可逆投资问题的一般形式，如第4节所述。1.用于处理约束问题，如第4节的Hindy HuangKreps最优投资和消费问题。2.我们用值函数u（x）=supC建立了抽象效用最大化问题∈C（x）U（C），其中，对于x>0，控件被约束为位于C（x）中 C这是一类凸的f可行控制，其极性关系为setsD（y） D，y>0，可以建立。这导致ValueV（y）=infD出现双重问题∈D（y）V（D）表示y>0。Kramkov和Schachermayer[20,21]的著名论文发展了类似抽象效用最大化问题的凸对偶性，其中效用是在一个时间点上获得的，在我们的设置中，这相当于在某个点T>0时选择μ作为Dirac测度。这导致了一个明显的挑战，即为我们的工作开发一个类似的凸对偶理论。

我们的第二个主要结果Theorem3接受了这一挑战。2.虽然我们对这一结果的证明在某种程度上遵循了克拉姆科夫和沙切迈耶[20]提出的非常有用的方案，但在这一过程中有许多新的障碍需要克服。这些是我们增加适应性控制的中心约束序列，在Kramkov和Schachermayer的设置中，对应于对非负FT可测量随机变量的相当简单的约束。这也使我们的工作与卡拉扎斯和ˇZitkovièc[18]的工作有所不同，他们认为效用是以非负速率消耗的，也就是说，没有我们单一控制集的单调约束。具体而言，第一个关键区别在于考虑中的效用函数的LegendreFenchel变换的结构：Kramkovand Schachermayer的C7→ EUT（CT）双功能仅为D7→EVT（DT），而我们的函数U的双V涉及一个极限。因此，对偶值V（D）和对偶变量D之间的联系不像[20]中那样直接，而是必须用包络过程D来描述。此外，在勒让德-芬切尔对偶中，与D共轭的过程Cd不能直接用D来写，而[20]中只需反转U′T（CDT）=DT即可。此外，对偶问题不再是严格凸的，Kramkov和Schachermayer[20]中的一些论点需要这个性质。作为补救措施，我们引入了D（y）的一个子类，它足够大，可以包含对偶问题的解，但足够小，可以确保V在这个子类上的严格凸性。这使我们能够在拉格朗日参数y上建立对偶问题某些解的连续依赖关系。

最后的挑战是证明原始问题的相应候选解确实适用于更大类别的所有对偶变量D（y）。在这里，我们必须求助于在我们的第一个主要结果中发展的U和V之间的一般Legendre-Fenchel二元性。最后，作为效用最大化问题的一般适定性的一个关键假设，由[20]确定的合理渐近弹性的概念必须适应，以解释在不同时间点可能非常不同的效用函数≥ 0.事实上，根据Bouchard和Pham[8]和ˇZitkovi\'c[25]等，我们确实允许时间和情景相关的效用函数和一个随机时钟，它允许我们以简单的方式将有限时间范围内的情况包括在有限时间范围内；参见第4节的结尾。2.论文的组织如下。在第2节中，我们介绍了控制类C和对偶变量D的空间，以及效用函数U及其对偶V的假设和定义。第3节介绍了我们的主要对偶结果，定理3.1和3.2。第4节通过一般的不可逆投资问题和Hindy、Huang和Kreps的最优消费问题说明了这些发现。第二节包含我们主要定理的证明。附录A给出了我们的包络过程D的构造。附录B讨论了Zitkovi\'c[26]在我们的控制类c的新背景下的凸紧性概念，并提供了一个与这个广义紧性概念兼容的极大极小定理。2控件及其性能测量我们首先描述控件集C及其双D，以及我们的目标实用程序功能U和双功能V。

像往常一样，韦莱特(Ohm, F，F，P）表示在一个经过过滤的概率空间中，描述了控制者对未来事件F的信念P以及他的信息流F=（Ft）t≥0，一个完整的、正确的连续过滤，其中Fis由P-null集生成。2.1控制及其对偶可预测过程C类将给出一组可想象的控制：Ohm × [0, ∞] → [0, ∞] 递减=从左开始的连续路径，从0开始。像往常一样，行使控制权会产生成本，这将由双变量来描述。一组方便的对偶变量将被证明是所有F的D类 B（[0，∞])-可测量的过程D：Ohm × [0, ∞] → [0, ∞] 以非递增右连续路径结束∞= 0.事实上，对于任何C∈ C和D∈ D我们可以定义HC，Di，Z[0，∞)DtdCt=-Z（0，∞]CtdDt，它产生配对（1）E hC，Di=EZ[0，∞)DtdCt=-EZ（0，∞]滴滴涕∈ [0, ∞].注意，要理解上述身份，并遵守以下关于C集成的约定∈ C和D∈ D:odC和dD不给间隔充电（inf{t≥ 0:Ct=∞} , ∞] 和[0，sup{t≥ 0：Dt=∞}), 分别考虑到尺寸为C0+的点质量limt，对dC进行积分↓0tat 0，与dD有关的积分假定为点质量D∞-, 极限↑∞Dtat∞;o 我们让0·∞ , 如果积分器计算有限点质量，则被积函数应为零。最后，我们注意到C和D都可以赋予两个F的度量 B（[0，∞])-可测过程A，B A分配距离（2）距离（A，B），EZ∞|h（At）- h（Bt）| dutwh是任何同胚[-∞, ∞] → [0, 1].

关于这个距离，配对（1）的每个因子都是下半连续的；希勒马布。1.2.2公用设施及其控制装置控制装置的性能将通过其每次提供的公用设施进行测量，并与控制器的时间偏好进行加权。假设2.1。控制器的时间首选项由[0]上的可选r和OM度量值u描述，∞) 没有原子，完全支持最终确定的总质量Eu（[0，∞)) < ∞.控制器的实用程序由mappingU指定：Ohm × [0, ∞) × [0, ∞) → [0, ∞)（ω，t，c）7→ 具有以下性质的Ut（ω，c）：1。对于任意（ω，t）∈ Ohm × [0, ∞), Ut（ω，）是连续的，严格凹的，从Ut（ω，0）=0到Ut（ω，∞) , 极限↑∞Ut（ω，c）∈[0, ∞]. 此外，Ut（ω，）是连续可微且满足其纳达条件su′t（ω，0），limc↓0U′t（ω，c）=∞ U′t（ω，∞) , 极限↑∞U′t（ω，c）=0.2。对于任何c≥ 0，（ω，t）7→ Ut（ω，c）可以用ER预测∞Ut（c）dut<∞.3.U的渐近弹性一致小于1，即存在常数γ∈ （0,1）和一个可预测的过程Cγ≥ 0与ER∞Ut（Cγt）dut<∞ 对于ny（ω，t）∈ Ohm × [0, ∞) 对于所有的c>cγt（ω），我们有（3）cU′t（ω，c）Ut（ω，c）<γ<1。控件将提供形式（4）U（C），EZ的预期用途∞Ut（Ct）dut∈ [0, ∞], C∈ C请注意，在我们的设置中，与更常见的假设相反，每个时间t的效用ut（Ct）≥ 0是从累积控制率中获得的，而不是当前控制率。这将优化问题很快转化为一个奇异的随机控制问题。我们参考第4节的插图了解此类实用功能的用途和范围。备注2.2。让我们简略地评论一下我们的偏好假设。1:1.

第一项只是要求时间和情景方面的效用函数是标准的，但要求效用在零时消失。事实上，如果∞|Ut（0）| dut<∞从那时起，我们就可以传递给U，U- U（0）不改变（4）的效用最大化问题。第二项中的可预测性要求基本上没有失去普遍性，因为我们可以对任何无n-可预测场（U（c），c）进行可预测预测预测∈ [0, ∞ ) ) 没有改变（4）。这是因为控制是可预测的，而且时间偏好是无原子的可选随机度量。3.从Kramkov和Schachermayer[20]的工作中，众所周知，为了避免不适序性最大化问题，需要渐近弹性小于1。他们的引理6.3表明，对于任何（ω，t）∈ Ohm × [0, ∞) , 对于所有λ>1和所有c>cγt（ω），条件（3）等价于（5）Ut（ω，λc）<λγUt（ω，c）。我们的结果还将允许我们处理一些停止时间τ给出的可能有限时间范围的情况；见备注4。下文1。本文的主要结果之一是（4）的泛函U的凸对偶性，它将在下面的定理3.1中建立。为此，我们需要在D上引入一个双功能V。

该函数将在经典的勒让德-芬切尔变换V的U:（6）Vt（ω，d），sup0中具体化≤c<∞{Ut（ω，c）- cd}，d>0。众所周知，在假设2.1的条件下，Vt（ω，.）是严格凸的，并且是n（0，∞) 对于vt（ω，0），limd↓0Vt（ω，d）=Ut（ω，∞) 和Vt（ω，∞) , 利姆↑∞Vt（ω，d）=Ut（ω，0）=0。此外，Vt（ω，）在（0，∞) 并满足纳达条件sv′t（ω，0），limd↓0V′t（ω，d）=-∞ 和V′t（ω，∞) , 利姆↑∞V′t（ω，d）=0。渐近弹性条件（3）和（5）可以用V as（7）（1）来表示- γ)(-V′（d））d≤ γV（d）对于所有0<d<dγ和（8）V（（1- ε） d）<（1）- ε)γ1-γV（d）对于所有0<ε<1，0<d<dγ，具有相同的γ∈ （0,1）与之前一样，Dγ，U′（Cγ）；参见Kramkov和Schachermayer[20]中的引理6.3。最后，V和U也是可预测的，我们有以下共轭关系：1。除了（6），我们还有（9）Ut（ω，c）=inf0≤d<∞{Vt（ω，d）+cd}，c>0.2。（6）中的最大值在c=-V′t（ω，d）。（9）中的最大值是在d=U′t（ω，c）时获得的。事实上，第2项中的身份。和3。