随机奇异控制问题的凸对偶性

它们是等价的。现在我们可以介绍双函数（10）V（D），infδ∈˙D（D）EZ∞Vt（δt）dut∈ [0, ∞], D∈ D，带（11）˙D（D），δ ≥ 0可选：oZ∞.δdu≤oD,我们用notationoX表示任意F的可选投影B（[0，∞])-可测量过程X≥ 0.3主要结果3。1效用函数的Legendre-Fenchel对偶关于（4）a和（10）的U和V的对偶定理的陈述，我们必须为任何对偶过程D引入∈ D一种特殊的包络过程Dof形式（12）Dt=Z∞tU′（CD）Du，t≥ 0，f或一些CD∈ 几乎可以肯定的是，这一点是令人满意的≤ODT适用于任何t≥ 0，如果dCDt>0，则带“=”。在这里，我们遵循的惯例是∈ C，我们写dCt>0，这是C的一个增长点，在这个意义上，任何s>0的Ct<Cs+Tf。我们指的是伦马。附录A f第1条的存在性和唯一性，以表明此类包络过程的可区分性。请注意，这种包络过程D的路径相对于u是绝对连续的。我们选择（14）˙D，-对应密度的U′（CD），然后唯一确定，直到不可区分，因为过程CD也是如此∈ C带（12）和（13）。相反，我们可以写出CD=-V′(-˙D）通过上述U和V之间的魔法关系。现在我们可以将我们的第一个主要结果陈述如下：定理3.1。在假设下2。以下断言成立：1。（4）的泛函U和（10）的泛函V是共轭的，即（15）U（^C）=infV（D）<∞nV（D）+ED^C，任何^C∈ Cand（16）V（^D）=supU（C）<∞nU（C）- EDC，任何∈ D.2。如果确定，则精确地获得了这些D的最大值（15）∈ D带（12）和（13）的管道（接头）环境过程D由（17）给出D=-U′（^C）。

如果确定，则（16）中的上确界为（18）^C=-V′(-˙D）∈ CwhereD是^D的envelo-pe过程，其特征是（12）和（13）与D，^D.3.2一个抽象效用最大化问题的凸对偶让我们现在以类似于Kramkov和Schachermayer[20]提出的从终端财富中获取效用的方法来描述一个抽象效用最大化问题。为此，我们考虑C（1） C和D（1） 在某种意义上说，D是相互的极性。对于任何C∈ C，我们有C∈ C（1）提供hC和Di≤ 任何D都是1∈ D（1）。2。对于任何D∈ D，我们有D∈ D（1）我提供hC，Di≤ 1对于任何C∈ C（1）。为了避免琐事，我们也假设。C（1） {1} 其中1∈ C表示带有1（ω）、0和t（ω）、1、t的控制∈ (0, ∞], ω ∈ Ohm.4.D（1）6={0}其中0∈ D是由t（ω），0，t给出的生活状态价格偏差∈ [0, ∞], ω ∈ Ohm.集合C（1）将扮演财富x=1的预算集合的角色，而D（1）可以被视为一组州价格指标D∈ D（由金融市场模型等诱发），尤其是ED=e h1，Di≤ y=1。建立了抽象效用最大化问题及其对偶letus-putC（x），xC（1）对x>0和D（y），yD（1）对y>0。很明显，对于任何x，y>0，C（x）和D（y）都继承了C（1）和D（1）的极性关系。通过这种关系，也很明显，这些集合是凸的和实心的（例如，带有C∈ C（x），任意C∈ C带▄C≤ C（x）中也含有C。此外，pairingE hC，Di的下半连续性（见引理B.1）确保了C（x）和D（y）在度量（2）中的收敛性是闭合的。最后，让我们介绍值函数（19）u（x），supC∈C（x）U（C），x>0，和（20）v（y），infD∈D（y）V（D），y>0。定理3.2。假设假设2.1成立，假设u（x）<∞ 对于somex>0。然后我们有：1。

（19）的值函数u和（20）的值函数v是实值的，并且在（21）u（x）=infy>0{v（y）+xy}的意义下相互共轭，对于任何x>0和（22）v（y）=supx>0{u（x）- xy}表示任何y>0。此外，u和v在（0，∞) 满足Inada条件（23）u′（0）=∞, u′(∞) = 0，v′（0）=-∞, v′(∞) = 0.此外，u和v分别是严格凹的和严格凸的，y在（21）中达到最大值，i ffx在（22）中达到最大值，这反过来相当于（24）u′（x）=y和v′（y）=-x.2。对于任何y>0的情况，都可以得到对偶问题（20）的极值。（20）的所有极小化子D都有相同的包络过程Dy∈ D（y）加上（12）和（13），以及（24）、（25）Cx=-V′(-˙Dy）∈ C（x）在原问题（19）中达到上确界。原始问题（19）中的上确界是针对任何x>0的情形获得的∈ C（x）和，对于y，由（24），（26）Dy=-U′（Cx）产生via（12）aDy∈ D（y）在对偶问题（20）中达到了最佳状态。4插图让我们来说明理论3的有用性。1和3.2展示了如何将它们应用于不可逆投资和最优消费与投资的经典问题。4.1不可逆转的投资考虑一家公司的经理，他可以在任何时间点做出决定≥ 0是否扩大productionCt的当前装机容量。假设装机容量不能以可预测的方式减少，等于假设C∈ C如第2节所述。1.假设企业生产的收入RCT是装机容量的一个增长函数，规模收益率呈下降趋势。显然，假设收入也取决于产品的价格波动，以及其他可能随机演变的市场条件，这是完全合理的。

因此，假设在时间t≥ 0，来自容量扩展策略C∈ 对于某些函数U，C被给出为rct（ω）=Ut（ω，Ct（ω））：Ohm × [0, ∞) × [0, ∞) → [0, ∞) 如假设2所述。1.经理以某种比率r=（rt）t贴现未来现金流≥0，带有RT|rs|ds<∞, T≥ 0，我们假设随机测度u（dt），e-RTRSDSDT有明确的预期质量Eu（0，∞) < ∞.预期的总折扣收入由EZ给出∞E-RtrsdsRCtdt=EZ∞Ut（Ct）dut=U（C），与（4）中的考虑完全相同。如果我们现在假设一次扩大一个单位生产能力的（贴现）成本由一个（D）类超鞅Z描述≥ 0带Z∞= 我们考虑了经理的优化问题：（27）最大化U（C）- 简单∞以C为准∈ C这种奇异控制问题在经济学中具有重要意义。我们参考了阿尔瓦雷斯[1]对相关文献的更广泛描述。回顾Doob Meyer分解Z=M- 将A转化为一个统一可积鞅M和一个A=0的可预测增长过程A，我们发现^D，M∞- A包含在D和satis fiesez中∞ZtdCt=EZ∞o（M）∞- At）dCt=EDC，^DE，C∈ C根据定理3.1，问题（27）的值由此由（16）的对偶函数V（^D）给出，如果它是有限的，我们得到最优电容扩张计划是^C和（18）。特别是，只要与^D相关联的包络过程D可以显式计算，就可以给出（27）的n显式解。我们参考了Chiarolla和Ferrari[10]、Ferrari[13]、Bankand Riedel[5]、Bank和Baumgarten[2]的例子。4.2 Hindy Huang Kreps效用继Merton[22]的开创性工作之后，连续时间内的最优投资和消费问题主要针对效用函数进行研究，效用函数依赖于当前的消费率。

Hindy、Huang和Kreps（见[16、14、15]）表明，这种建模方法未能展示跨期替代的经济可取性：在默顿的案例中，消费计划时间的轻微变化可能会导致与这些计划相关的效用发生重大变化。作为补救措施，这些作者建议考虑效用来源于满意度水平的函数，即过去消费的加权平均值，如asY＠Ct、中兴通讯-RtsβududCs，t≥ 0，其中C∈ C描述了累积消耗量和局部莱贝格可积过程β的位置≥ 0表示满意度的衰减率。然后，要最大化的效用函数是U（C），EZ∞~U（Y ~Ct）dut此处~U:[0，∞) → R是C类的严格凹增效用函数，满足Inada条件U′（0）=∞ 和U\'(∞) = 0; u与之前一样，描述了一个代理的时间偏好，例如，可以指定为u（dt）=e-δ大于0的δtdt。与往常一样，代理人可支配的一套消费计划取决于他的投资机会。

假设没有免费午餐且风险消失的温和假设，我们从著名的Delbaen和Schachermayer的资产定价基础理论[11,12]中获得，该集合可以用（28）~C（x）形式描述=~C∈ C:EZ[0，∞)ZtdCt≤ x代表全部Z∈ Z,其中x表示可用初始资本，Z表示一组非空的局部鞅函数，即P-超鞅函数Z>0，Z=1，对于可接受投资策略的任何财富过程V，过程ZV是P-超鞅。然后，代理的优化问题是（29）最大化U（C），EZ∞~U（Y ~Ct）dut对象为~C∈~C（x）。为了将NSM转化为第3节中我们的主要结果所处理的效用最大化类型，考虑双射（30）C~C 7→ CZteRsβududCsT≥0∈ c（ω，c），~U（e）-Rtβu（ω）duc）。然后（4）的效用函数U满足（C）=U（~C）。让我们也来计算C（1），nC∈ C:~C和（30）包含在~C（1）o中，并考虑其极性（1），{D∈ D:E-hC，Di≤ 1所有C∈ C（1）}。后者不同于{0}。事实上，以任何局部鞅定义Z为例∈ 设Z=M~D是它的乘法Doob-Meyer分解，分解为局部鞅M和可预测的递减过程dw，其中D=1。设（Tn）n=1,2，。。。是一个停止时间的局部化序列，使得每个停止的超鞅ZTn（因此，每个停止的局部鞅MTn），n=1，2，属于D类。然后观察Dnt，（MTnDt）e-Rtβudu[0，Tn）（t），t≥ 0，包含在D和（31）E hC中，Dni=EZ[0，Tn）o（MTnDe-R.βudu）tdCt=EZ[0，Tn）Ztd~Ct≤ 1对于任何C∈ C（1）。因此，Dn∈ D（1）对于每个n=1，2。

事实上，莱廷↑ ∞ 在（31）中，我们结合（28）发现：C（1）={C∈ C:E hC，Di≤ 任何D都是1∈ D（1）}。因此，C（1）和D（1）表现出第3节开头所假设的极性关系。2.因此，对于Hindy-Huang-K r eps效用最大化问题（29），我们得到了定理3.2的凸对偶结果。这将[5]中对完全市场情况的处理推广到由一般半鞅驱动的不完全市场模型，从而也补充了Benth等人[7]对指数Levy模型的动态规划方法，该模型具有常数相对风险厌恶。特别是，本文发展了具有Hindy Huang Kreps偏好的最优消费的凸对偶性，其一般性水平类似于Kramkov和Schachermayer[20]对于终端财富的效用，以及Karatzas和_Zitkovi\'c[18]对于消费国家的效用。备注4.1。值得注意的是，我们的结果也掩盖了有限时间范围的情况，其中u对某些可能的有限停止时间T>0有支持[0，T]。实际上，在这种情况下，我们可以考虑“u（dt），u（dt）+1（T，∞)（t） e-tdt，Ut（c），1[0，T]（T）U（c）+1（T，∞)（t） U*（c） ，你在哪里*: [0, ∞) → R是任何满足附加条件且上界为U的确定性效用函数*(∞) < ∞. 设定的预算将由“D（1）”描述，D1[0，T）：D∈ D（1）和“C（1），C∈ C:E hC，Di≤ 所有人1个D∈\'D（1）= {C∈ C:（Ct）∧T） T≥0∈ C（1）}。然后“U”，满足假设2。1如果你做了，如果你*具有比1更大的渐近弹性。

此外，\'C（1），\'D（1）按照第3节的要求彼此是极性的。2和消费计划C，\'C∈ C分别最大化EzTu（Ct）dut∞\'U（\'Ct）dut受C影响∈ C（x）分别为∈“C（x）实际上在T之前是相同的（当所有的最佳”C跳到+∞).5.主要结果的证明。1.理论证明3。定理3.1很容易从下面的引理5.2和5.3中推导出来。这些结果在很大程度上依赖于以下观察：引理5.1。假设假设2.1成立。对于D∈ D让D用（12）和（13）表示它的包络，回顾（14），考虑δD∈˙D（D）of（11）与（32）CD，-V′（δD）∈ C然后δ数据得到V（D）定义（10）的最大值，如果V（D）<∞, δDis实际上是˙D（D）中唯一的极小值，直到对aP进行修改 u-空集。证据直接从（13）开始，δD∈˙D（D）。（10）的极小值的唯一性是由于V的严格凸性。从而证明δDfor（10）的最优性。对于这一点，必须显示f=1，2，（33）EZ∞Vn（δ）du≥ 简单∞对于任何δ，Vn（δD）Du∈˙D（D）其中（34）Vn（D），sup0≤C≤n{U（c）- cd}=（U（n）- nd，0≤ D≤ U′（n），V（d），d≥ U′（n）。事实上，很容易检查到Vn≥ 0在（0，∞) 以VnV为n↑ ∞. 因此，由于tomonotone积分，δDin（10）的最优性将跟随n↑ ∞在（33）中。为了证明这个不等式，我们首先通过定义和凸性Vn，U（n）=Vn（0）来观察它≥ Vn（δD）- V′n（δD）δD。1，U（n）是P u-可积。因为Vn，δDand-V′narenonnegative，因此它也遵循（35）- V′n（δD）δD=（CD∧ n） δD∈ L（P u），其中身份是由于CD的定义（32）。同样通过Vn的凸性，我们得到了（36）Vn（δ）- Vn（δD）≥ V′n（δD）（δ- δD）=（CD∧ n） δD- （CD）∧ n） δ。为了得到（33），我们必须证明（36）的rig ht边相对于P的积分 u为非负。

为此，请注意∞（CD）∧ n） δdu=E光盘∧ n、 奥兹∞.δdu≤ E光盘∧ n、 D,其中，最后一次估计是直接从δ开始的∈˙D（D）。当重复计算δ而不是δ时，由于（13）和d（CD）∧ n） >0dCD>0.与（35）连用后，indeedEZ∞（CD）∧ n） δdu≤ 简单∞（CD）∧ n） δDdu<∞.这就完成了我们的证明。引理5.2。假设假设2.1成立。然后，夫妻关系（15）成立。此外，i f U（^C）<∞, 第（15）项中的最大值为D∈ D当且仅当（12）和（13）的包络过程实际上是D=R∞.U′（^C）du。证据证明“≤” 在（15）中，取D∈ D带V（D）<∞ 和ED^C，DE<∞. 通过外稃5。1有δD∈˙D（D）使得V（D）=ER∞V（δD）Du。塞内兹∞^CδDdu=E^C，oZ∞.δDdu≤ ED^C，DE<∞.因此，我们可以将不等式0积分≤ U（^C）≤ V（δD）+^CδD关于P u来推断指数0≤ U（^C）=EZ∞U（^C）du≤ 简单∞V（δD）Du+EZ∞^CδDdu≤ V（D）+ED^C，DEFor“≥” 在（15）中，我们可以假设U（^C）=ER∞U（^C）du<∞ 不失概括性。让^δ，U′（^C）注意，因为U在C中是凹的，U（0）=0，所以我们有（37）0≤^C^δ=^CU′（^C）≤ U（^C）∈ L（P u).此外，^D，R∞.δdu∈ D满意度（^D）≤ 简单∞V（δ）du=EZ∞C（d）uU+710∞^C^δdu<∞.我是外星生物。1现在可以得出，实际上V（^D）=ER∞V（δ）du<∞ . Wethus可以整合身份（^C）=V（^δ）-^C^δ关于P u至获得u（^C）=V（^D）- 简单∞^C^δdu=V（^d）- ED^C，^DE.这让≥” 在（15）中。前面的论点已经确定了“如果”这一部分。对于“仅当”-部分，假设D∈ D满意度U（^C）=V（D）+ED^C，DE<∞. 显然，我们有V（D）<∞ 然后因此，通过引理5。1，有δD∈˙D（D）与V（D）=ER∞V（δD）Du<∞. 此外，D的选择需要∞^CδDdu≤ ED^C，DE<∞.

现在，积分（38）U（^C）≤ V（δD）+^CδDwe发现（39）U（^C）≤ V（D）+E^C，oZ∞.δDdu≤ V（D）+ED^C，DE=U（^C）<∞.因此，上述所有估计都必须是平等的。由此可知，平等拥有P u-几乎在（38）中的所有地方，这意味着δD=U′（^C）P u-几乎无处不在，因此∞.U′（^C）du=或∞.δDdu≤oD。此外，（39）还产生ED^C，或∞.U′（^C）duE=ED^C，常微分方程，即系数∞.U′（^C）du=oD on nd^C>0o。通过外稃5。1、此标识∞.U′（^C）du作为d与（12）和（13）的包络过程。这就完成了我们的证明。引理5.3。假设假设2。1保持。这种联合关系（16）成立。此外，如果V（^D）<∞, （16）中的上确界是C的精确定义，C^d在引理5中定义了C^。1.证据。让我们首先应用外稃5。1获得^δ，Δ^D∈˙D（^D）与V（^D）=ER∞V（δ）du。看到这个“≥” 保持（16），取C∈ C与U（C）=ER∞U（C）du<∞. 在不丧失一般性的情况下，我们可以假设V（^D）<∞ 和EDC，^DE<∞.然后不等式v（δ）中的所有项≥ U（C）- C^δ是Pu-可积。积分得到V（^D）≥ U（C）-EDC，R∞.^δduE。这意味着期望的估计值R∞.δdu≤o^D.为证明“≤” 在（16）中考虑^C，-V′（δ）∈ C其中^δ为上述选择。如果V（^D）=∞, 我们考虑Cn，^C∧ N∈ {U<∞}, n=1，2，在（16）到（Cn）-EDCn，^DE=EZ∞（U（^C）∧n）-（^C）∧n） U′（^C）∧n） du=EZ∞Vn（δ）du其中Vn如（34）所示。由于VnV，它遵循单调积分↑ ∞ 上述表达式收敛于ER∞V（δ）du≥ V（^D）我们得到“≤” 在（16）中，在第V（D）种情况下=∞.对于剩下的情况∞V（δ）du<∞, 首先让我们证明u（^C）=ER∞U（^C）du<∞. 事实上，据推测。1.U的渐近弹性一致小于one，即c>cγ时cU′（c）<γU（c），其中γ∈ [0, 1).