模型不确定性下的稳健估值与风险度量

如果u在[u，u]中变化，则u-r在[u]中变化-r、 u-r] 。设（βt）为有限方差G[u-r、 u-r] -布朗运动，那么（2.2）的形式是（2.3）dSt=St（rdt+dβt+dBt）。重要的是要记住，在advancein模型（2.3）中，我们不假设风险中性。当然，我们稍后会看到，确实存在一个风险中性的世界，即使预期回报的不确定性也不会影响我们的超级和次级对冲策略。尤其是βt=hbit意味着预期收益率和波动率一起移动。参见徐、尚和张（2011）、Osuka（2011）和Beissner（2012），他们认为这种类型的不确定性是指不确定性。Epstein and Ji（2011）示例2.4和Epstein and Schneider（2003）第3.1.2节通过指定u=u+z，σ=σ+2zγ引用了一个示例，其中0≤ Z≤ z和u、σ、z和γ是固定的已知参数，这意味着u=u+γσ- σ并产生（2.4）dSt=Sthu -γσdt+γd hBit+dBtiMEAN波动率不确定度7或等效YDST=St（rdt+dβt+dBt），其中βt=u - R-γσt+γ-hBit。Illeditsch（2010）表明，当代理收到模糊精度的坏消息时，这种模型存在，因为坏消息降低了回报的条件均值和条件方差。2.3. 股票的近似估值股票收益率的经典价格过程~ Nlns+（r）-σ） T，σ√T（参见Hull（2009）），其中N是正态分布的分布函数。正态分布变量的平均值标准偏差为1.96的概率为95%。因此，在单一P下，95%的置信度为S+（r-σ） T-1.96σ√T<ln ST<ln S+（r-σ） T+1.96σ√T股票波动率的典型值在每年20%到40%之间，通常我们取T≤ 1.如果我们定义（σ）=-σT-1.96σ√T，f（σ）=-σT+1.96σ√T，当σ取[σ，σ]中的值时，很容易检查 [0.2,0.4]，函数为递减和递增。

如果我们取波动率σ的最大值，对于任何P∈ P、 我们至少有95%的信心拥有S+（r-σ） T-1.96σ√T<ln ST<ln S+（r-σ） T+1.96σ√T.3。风险中性和均值-确定估值本节推导了状态相关和离散路径相关期权的超边缘偏微分方程，这表明存在一个风险中性和均值确定的世界，在这个世界中，所有投资者都在对冲，而不受风险偏好和均值不确定性的影响。8 Y.XU3。1.国家相关支付Black-Scholes方程是针对国家相关的欧式期权推导的。现在我们在这个框架下推导出了超边缘偏微分方程，它很容易理解，并且可以与Black-Scholes-Merton的模型进行比较。我们假设股票的价格过程满足以下SDE：（3.1）dSt=St（utdt+σtdWt），其中W是给定线性概率空间下的标准布朗运动(Ohm, F、 P）；u是以[u，u]为单位的预期回报率；σ是股票价格在[σ，σ]内变化的波动率。（ut），（σt）和无风险利率（rt）被假定为t的确定函数。请注意，我们不假设u和σ之间存在任何关系。平均不确定性可能与波动性不确定性一起移动，也可能与波动性不确定性一起移动，而在Xu、Shang和Zhang（2011）、Osuka（2011）和Beissner（2012）中，他们实际上考虑了ut=σt的情况。还请注意，我们并不预先假设风险中性世界，这与Jiang、Xu、Ren和Li（2008）和Meyer（2004）不同。设V（t，St）是带支付Φ（St）的期权的价格，其中V和Φ都是确定性函数。

还假设V∈ C1,2（[0，T]×R）。根据It^o公式，（3.2）dV（t，St）=五、tdt+St五、S（utdt+σtdWt）+σtSt五、Sdt。方程（3.1）和（3.2）的离散版本为（3.3）St=St（ut）t+σtWt）和（3.4）Vt=五、Tt+St五、S（ut）t+σtWt）+σtSt五、st、 对于delta套期保值组合∏，该组合的持有人做空一个衍生工具，做多一个金额五、Sof股票和五、-五、党卫军留在银行账户里的现金。那么投资组合的损益方差为（3.5）πt=五、s圣- Vt+及物动词-五、SStrtt、 第一部分对应于我们持有的股票价格变动五、Sunits，第二部分是期权的价格变化，第三部分是使投资组合具有零价值的现金量的无风险回报。现在，将方程（3.3）和（3.4）代入（3.5）得到πt=-五、TT-σtSt五、st+及物动词-五、SStrtt、 Cj，k（（0，t）×R）表示定义在（0，t）×R上的函数集，它们是t中可微分的j倍∈ （0，T）和k次在x中可微∈ 使得所有这些导数都是连续的。均值波动不确定性9观察到，随机噪声和股票升值都不会出现在明确地。当然，根据无套利原则，如果期权的管理波动性与股票的实际波动性一致，πt=0。然而，目前尚不清楚哪一个是真正的波动性。期权的卖方希望找到一种最便宜的管理政策，产生非负损益，至少没有损失。更准确地说，我们希望有一个≤σt≤σπt=0。因此，我们推断五、t（t，x）+supσ≤σ≤σσx五、x（t，x）+ rtx五、x（t，x）- rtV（t，x）=0，（3.6）V（t，x）=Φ（x）。然后，根据偏微分方程的比较定理，V（t，x）是在[u，u]中优于所有utvarying和[σ，σ]中优于σtvarying的最小上限价格。

方程（3.6）没有新颖之处，即所谓的Black-Scholes-Barenblatt（BSB）方程（Avellanda，Levyand，1995）；巴伦布拉特（1979）。新的是，尽管我们将风险偏好和不确定性纳入了股票升值u，但BSB方程不涉及任何受投资者风险偏好影响的变量。u取决于风险偏好，区间[u，u]决定平均不确定性。投资者的风险和歧义厌恶程度越高，任何给定股票的不确定性区间就越大。幸运的是，u恰好在微分方程中退出。因此，投资者的风险偏好和平均不确定性不会对我们的超边缘策略产生影响。因此，考虑模型不确定性下的风险中性&均值确定估值是可能的。注3.1假设函数Φ是有界连续函数。假设σ>0。根据Krylov（1987）定理6.4.3或Wang（1992），方程（3.6）对于某些α有一个C1+α，2+α（[0，T）×R）-解u（T，x）∈ (0, 1). 唯一性可从Ishii（1989）获得。参见Vargiolu（2001），了解局部Lipschitz终端条件下的光滑溶液。备注3.2如果无风险利率存在不确定性，即r∈ [r，r]，则超边缘PDE应为（3.7）五、t（t，x）+sup（r，σ）∈[r，r]×[σ，σ]σx五、x（t，x）+r十、五、x（t，x）- V（t，x）= 0.3.2. 离散路径相关支付我们现在考虑离散路径相关支付Φ（Xt，…，Xtn）和Φ：RN7的情况→ R表示分区0=t<t<··<tN=t。一个典型的例子是管理波动率是指期权出售时的波动率。10 Y.算术平均亚洲呼叫Φ（X（N））=NPNi=0Xti- K+, K是固定的执行价格。参见Shreve（2004），了解其他类型的路径依赖选项，例如回望选项、障碍选项。对于任意x:=（x，…，xN）∈ RNand k=1。

N，我们使用以下符号：x（k）：=（x，…，xk），x（k）t:=（Xt）∧TXtk∧t） ，X（k）：=（Xt，…，Xtk）。设Xt表示以下股票价格（3.8）dXt=Xt（utdt+σtdWt），其中W是给定线性概率空间下的标准布朗运动(Ohm, F、 P）；ut，σt:[0+∞) 7.→ R分别以[u，u]和[σ，σ]表示。我们现在嘲笑每个[tk]上的超边缘PDE-1，tk]。设Vk（t，X（k）-1） ，Xt）t∈[tk]-1，tk]是带支付Φ（X（N））的期权的价格。假设Vk·, x（k）-1), ·∈ C1,2（[tk-1，tk]×R）。根据它的公式，我们有，T∈ [tk]-1，tk]，dVk（t，x（k-1） ，Xt）=Vkt（t，x（k）-1） ，Xt）dt+XtVkx（t，x（k）-1） ，Xt）（utdt+σtdWt）+σtXtVkx（t，x（k）-1） ，Xt）dt。根据积分dt和dWt的性质，我们可以替换x（k）-1） X（k）-1） 和getdVk（t，X（k-1） ，Xt）=Vkt（t，X（k）-1） ，Xt）dt+XtVkx（t，x（k）-1） ，Xt）（utdt+σtdWt）+σtXtVkx（t，x（k）-1） ，Xt）dt。通过第3.1节中的类似程序，超边缘价格应满足以下要求：Vkt（t，x（k）-1） ，x）+supσ≤σ≤σσxVkx（t，x（k）-1） ，x）（3.9）+rtxVkx（t，x（k）-1） ，x）- rtVk（t，x（k）-1） ，x）=0偏微分方程的序列Vk，k=1，N，以向后的方式递归定义。终端条件分别由Vn（T，x（N）定义-1） ，x）=Φ（x（N-1） ，x），。。。Vk（tk，x（k）-1） ，x）=Vk+1（tk，x（k-1） ，x，x）。（3.10）如我们所见，由于delta对冲，股票升值u没有出现在（3.9）中。（3.9）可用于超级对冲离散路径相关期权。Krylov（1987）和Vargiolu（2001）证明了（3.9）和（3.10）的光滑解的存在唯一性。u和σt的随机性不影响PDE（3.9）。平均波动率不确定性11备注3.3（3.9）有另一种形式：五、t（t，x（k）-1） ，x）+σmax五、x（t，x（k）-1） ，x）十、五、x（t，x（k）-1） ，x）+rtxVkx（t，x（k）-1） ，x）- rtV（t，x（k-1） ，x）=0。σmax在哪里五、x（t，x（k）-1） ，x）= σ、 如果五、x（t，x（k）-1） ，x）≥ 0; σmax五、x（t，x（k）-1） ，x）=σ、 如果五、x（t，x（k）-1） ，x）<0。

如上所述，σt的形式不会对（3.9）产生影响。因此，对于不确定波动率模型，我们可以只站在区间[σ，σ]的边界上。一般支付从第3.2节开始，对于离散路径相关支付，我们可以考虑风险中性估值。考虑一个股价过程，其差值为（3.11）dXt=Xt（rtdt+dBt），0≤ T≤ T、 式中，（Bt）a G[σ，σ]-布朗运动，rti是从[0，T]到R的利率。对于解Vk·, x（k）-1), ·∈ C1,2（[tk-1，tk]×R），将其^o公式应用于vkt、 x（k）-1） ，Xt, 而代以x（k）-1） X（k）-1） 我们推导出[tk]的结果-1，tk]，Ykt=Vkt、 X（k）t,Zkt=XtVk十、t、 X（k）t,Kkt=Ztsupσ≤σ≤σσXtVk十、t、 X（k）tdt-ZtXtVk十、t、 X（k）td HBIT满足以下风险中性BSDE：Yt=Ytk-ZtktrsYsds-ZtktZsdBs+ZtktdKs，t∈ [tk]-1，tk]，与以下BSDE一致：Yt=Φ（X（N））-ZTtrsYsds-zttzdbs+ZTtdKs，t∈ [0，T]在[tk]上-1，tk]。对于一般的支付∈ LG(OhmT） ，它可以近似为Φn（X（n）），n=1，2。，适当的扩散过程（Xt）。我们可以检查以下序列ynt=Φn（X（n））-ZTtrsYnsds-ZTtZnsdBs+ZTtdKns，t∈ [0，T]12y.xu收敛到（3.12）Yt=ξ-ZTtrsYsds-zttzdbs+ZTtdKs，t∈ [0，T]在空间MG（0，T）中。因此，对于一般支付，其风险中性超边际价格存在，可以通过vt=D计算得出-1tE[DTξ| Ft]式中，DT=expn-Rtrsdso。备注3.4我们可以用随机利率r（X（k）t代替rtin（3.11），然后（3.12）中的近似（rt）可以是一个自适应的随机过程。4.波动性不确定性和风险模糊性下的超边际和次边际现在我们在风险中性和平均确定性的世界中，通过彭的G-随机分析来考虑套期保值问题。设P={P}为风险中性测度集和相应的风险中性次线性期望。设（Bt）表示E下的G[σ，σ]布朗运动。

设Ft为最小σ-代数∩r> tσ{Bs，s≤ r} 。这是固定的时间。我们考虑一个有两种资产的金融市场。其中之一是本地无风险资产（银行账户），单位价格（Ct）由等式（4.1）dCt=Crtdt决定，其中（rt）是非负短期利率。除了银行账户，考虑astock价格过程，其差值为（4.2）dSt=St（rtdt+dBt），0≤ T≤ T、 其中（Bt）a G[σ，σ]-布朗运动。随机过程（rt）允许有界于MG（0，T）中的渐进可测过程。由于不确定的波动性，市场不可能完全。因此，投资者不能期望完全复制任何一般或有权益，必须选择一些标准来对冲该权益。4.1. 期权卖方集合ξ的超边际是一个FT可测量的随机变量，代表衍生证券在某一时间的收益。我们允许这种支付依赖于路径，也就是说，依赖于在时间0到T之间发生的任何事情。现在，我们给出了模型不确定性下的超级战略的定义。MG是由平方可积随机变量组成的空间，因此G-随机积分定义良好。详见附录A。平均波动率不确定性13定义4.1模型不确定性下针对未定权益ξ的K-融资超策略是一个向量过程（V，π，K），其中V是管理价格，π是投资组合过程，K是定价误差，因此DVT=rtVtdt+πtdBt- dKt，q.s.（4.3）VT=ξ，zt|πt|dt<∞, q、 其中K是一个递增的、右连续的适应过程q.s。

K=0。备注4.1定义4.1满意度定义的任何超级战略≥ vPt，T∈ [0，T]，P∈ P、 P- a、 由于BSDE的比较（El Karoui，Peng和Quenez（1997）），其中vPt解（4.4）dvPt=rtvPtdt+πPtσPtdWPt，vPT=ξ，P-a、 σPt为[σ，σ]中的FPt适应过程，以及WPt线性期望空间中的标准布朗运动(Ohm, （FPt）t≥0，EP）。定义4.2如果价值过程（Vt）满足V=0和（4.5）Vt，则存在对超战略（Vt，πt，Kt）的套利≥ 0，q.s.和P[VT>0]>0，至少一个P∈ 3.bst是三重策略的解。“极小”意味着对于任何其他超级战略（Vt，πt，Kt），我们有Vt≤ 及物动词，t、 q.s。。证明：设（Vt，πt，Kt）是满足BSDE（4.3）的唯一三元组，Vt=ξ(-Kt）是一个连续非递增的G-鞅。显然，根据定义4.1，（Vt，πt，Kt）是一种超战略。此外，根据定理B.1，我们得到（4.6）Vt=D-1tE[DTξ| Ft]式中，DT=expn-Rtrsdso。让（Vt，πt，Kt）成为定义4.1定义的另一个超级战略，其中（Kt）是一个递增的、正确的连续适应过程q.s.，K=0。应用^o公式，我们得到了d（DtVt）=DtrtVtdt+πtdBt- dKt- vtdrtdt=DtπtdBt- DtdKt。14.注意（DtVt+RtDsdKs）是G-鞅。因此vt=D-1tEDTξ+ZTDsdKs | Ft-ZtDsdKs= D-1tEDTξ+ZTtDsdKs | Ft.（4.7）新加坡科学技术研究院≥ 0, T∈ [0，T]，q.s.，然后通过条件期望的单调性，我们得到vt≥ 及物动词，T∈ [0，T]，q.s.因此（Vt，πT，Kt）是覆盖每个概率模型的最小超策略。如果终端位置≥ 0，q.s.和P∈ P、 这样P[VT>0]>0，那么v=E[DTVT]=supP∈PEP[DTVT]>0。所以超策略（V，π，K）是无套利的。

根据定理4.1，我们知道套期保值策略是模型不确定性下的最小超策略当且仅当(-Kt）是一个具有有限方差的G-鞅，使得（4.3）成立且VT=ξ。我们将用P&L语言对K进行更明确的解释，见第5.1节。备注4.2（K-融资和自融资）BSDE（4.3）的解决方案三（Vt，πt，Kt）是一种K-融资超级战略，具有(-Kt）是一个连续不递增的Gmartingale。显然（Vt，πt，Kt）不一定是一种自我融资策略，因为累积消耗（Kt）是一个非负增长过程，K=0。自从(-Kt）是G-鞅，存在一个概率测度P，使得0=K=E[-KT]=EP[-KT]。因此KT≡ 0和Kt≡ 0，P-a.s.，对于每个t.因此，K-融资超级战略（Vt，πt，Kt）是在某些P.下的自我融资战略∈ 当然，如果有其他的P∈ P等于P，然后等于Kt≡ 0，P-q.s.，对于每个t和（Vt，πt）是每个P下的自我融资策略∈ P.因此，对于一组由相互奇异的概率测度组成的概率P，通常我们无法找到一个通用的自我融资套期保值策略，这会导致金融市场的不完全性。4.2. 期权买家的分包通常，期权买家会更多地关注子策略，尤其是最大子策略，它可以被视为期权买家在时间0时愿意支付的最大金额，以便他/她在时间T时一定要支付他/她在时间0时产生的债务。平均波动率不确定性15定义4.3模型下或有权益ξ的K-融资子策略不确定性是一个向量过程（eV，eπ，eK），其中eV是市场价值，eπ是投资组合过程，K是定价误差，因此（4.8）deVt=rtevdt+eπtdBt+deVt，q.s。

andeVT=ξ，ZT | eπt | dt<∞, q、 其中Ek是一个递增的、右连续的、逐步可测量的过程q.s.，Ek=0。备注4.3定义4.3满意度定义的任何子战略≤ vPt，T∈ [0，T]，P∈ P、 P-a.s.在哪里vPt求解BSDE（4.4）。勒泰[·|英尺]：=-E[-· |[Ft]。然后可以很容易地检查eE是否满足以下超加性：eE[X+Y | Ft]≥eE[X | Ft]+eE[Y | Ft]并分享E的所有其他性质。定理4.2最大子策略（eV，Eπ，eK）满足（4.9）deVt=rtevdt+EπtdBt+deVt，eVT=ξ，其中（eKt）是一个连续的递增过程，eK=0，且（eKt）是鞅。更明确地说，对于任何t∈ [0，T]，eVt=D-1teE[DTξ| Ft]，q.s.“最大”意味着对于任何其他子策略（eVt，eπt，eKt），我们有eVt≥eVt，t、 q.s。。证明：设（eV，eπ，eK）是唯一的满足三重条件的BSDE（4.9），其中（eKt）是ee[·Ft]下的连续递增鞅。显然（eV，eπ，eK）是4.3定义中的一个子策略。将^o公式应用于DteVt，我们得到了evt=D-1teE[DTξ| Ft]，q.s.Let（eV，eπ，eK）是定义4.3定义的另一个子策略，eK是一个递增的、正确的连续适应过程q.s.andeK=0。通过与方程（4.7）类似的直接计算，我们得到EVT=D-1英尺DTξ-ZTtDsdeKs |英尺.自从-RTTDSDK≤ 0, T∈ [0，T]，q.s.，然后通过条件期望的单调性[·| Ft]，我们得到了EVT≤eVt，T∈ [0，T]，q.s.因此（eV，eπ，eK）是每个概率模型下的最大子策略。16 Y.4.4对于满足（4.9）的子策略（eV，eπ，eK），条件（4.5）不保证无套利。套利的偶数条件（4.5）被（4.10）eVT取代≥ 0，q.s.和所有P∈ P、 P[eVT>0]>0，那么仍然可能存在套利机会。事实上，如果（4.10）成立，我们有 P∈ P、 EP[DTξ]>0。