模型不确定性下的稳健估值与风险度量

但在服用FIM后，perhapseV=infP∈PEP[DTξ]=0。因此，我们必须重新定义次级对冲策略的套利概念。定义4.4如果价值过程（eVt）满足eV=0和（4.11）eVt，则存在满足（4.9）的子策略（eV，eπ，eK）的套利≥ 0、q.s.和infP∈PP[eVT>0]>0。在上述定义下，我们有定理4.3，子策略（eV，eπ，eK）是无套利的。证明：如果（4.11）成立，那么根据Li（2010）中的严格比较定理，wehaveeV=eE[DTξ]=infP∈PEP[DTξ]>0。因此，子策略不存在套利。4.3. 看跌期权平价在一个完整的金融市场中，一对欧式看涨期权和一对欧式看跌期权之间存在着平价关系，这对欧式看涨期权和欧式看跌期权的基础是相同的股票，并且具有相同的发展日期和执行价格。我们现在考虑不完全市场中超边际策略的类似平价关系。欧洲看涨期权和欧洲看跌期权的超高价格，标的是相同股票S，且具有相同的行使价格L，由Ct=（ST.）给出- L）+-ZTtrscsds-ZTtπcsdBs+ZTtdKcs，t∈ [0，T]和pt=（L- （圣）+-ZTtrspsds-ZTtπpsdBs+ZTtdKps，t∈ [0，T]，其中∈ R+是履约价格，（St）是股票价格，以下是DST=St（rtdt+dBt），t≥ 0，其中RTI是属于MG的可测有界过程。严格比较定理说：对于ξ，ξ∈ LG(Ohm), 如果ξ≥ ξ和infP∈PP[ξ>ξ]>0，则Eξ> Eξ安第斯ξ>eEξ.平均波动率不确定性17定理4.4设Ct和Pt为欧洲看涨期权和欧洲看跌期权的超高价格，标的是相同股票S，且具有相同的执行价格L。然后Ct+L·exp-ZTtrsds= pt+St，q.s.同样，平价关系也适用于分档价格。证明：让Lt=L·expn-RTtrsdso。

然后lt=L-ZTtrsLsds。通过求和，我们得到ct+Lt=（ST- 五十） ++L-ZTtrs（cs+Ls）ds-ZTtπcsdBs+ZTtdKcs和pt+St=（L- ST）+ST-ZTtrs（ps+Ss）ds-ZTt（πps+Ss）dBs+ZTtdKps。注意到（圣-五十） ++L=（L）- ST）++ST=max{L，ST}和下式BSDEyt=max{L，ST}解的唯一性（见定理B.1）-ZTtrsysds-zttzdbs+ZTtdKs，t∈ [0，T]，我们推断put调用parityct+Lt=pt+sthold。4.4. 具有严格非零上限价格和广义几何G-布朗运动定义的资产4.5如果贴现股票价格（DtSt）（不支付股息）是E下的对称G-鞅，则称次线性期望E为风险中性。命题4.1让E为市场模型中的风险中性次线性期望。那么，在E下，每个贴现投资组合的上限价格都是G-鞅（不必对称）。证明：设（Bt）是E下的G-布朗运动。假设股票价格followstSt=rtdt+dBt。然后，一个投资组合的最高价格是dvt=rt（Vt- πt）dt+πtdStSt- dKt=rtVtdt+πtdBt- dKt，18岁，在哪里(-Kt）是E下的连续非递增G-鞅。那么折扣的上限价格的差为isd（DtVt）=DtdVt+VtdDt=Dtrt（Vt）- πt）dt+πtdStSt- dKt+ VtdDt=Dt[rt（Vt- πt）dt+πt（rtdt+dBt）- [dKt]- rtDtVtdt=πtStd（DtSt）- DtdKt。在风险中性次线性期望E下，（DtSt）是对称G-鞅，-RtDsdKs是一个具有有限方差的G-鞅。因此，过程（DtVt）必须是G-鞅。定义4.6如果过程（Vt）遵循（4.12）dVt=Vt（rtdt+αtdKt+θtdBt），其中（Bt）是G-布朗运动，（Kt）是右连续递增过程，则称为几何G-布朗运动∈MG，αt∈ MGand（sup0≤T≤T |αT |）·KT<∞, θt∈ MG。

或等效为yvt=VexpZtθsdBs+Ztrsds+Ztαsdk-Ztθsd hBis.具有严格非零上限价格的资产是一种证券，在时间T时，每T的最高价格Vt6=0，q.s∈ [0，T]。定理4.5资产的上价格严格非零当且仅当上价格是V6=0的广义几何G-布朗运动。证明：设E为唯一的风险中性次线性期望。然后E[DTVT | Ft]=每t的DTVT，q.s∈ [0，T]。根据鞅表示定理，存在自适应过程（Zt）和非递增E鞅(-Kt）使DTVT=E[DTVT | Ft]=V+ZtZsdBs- Kt，其中（Bt）是E下的G-布朗运动。因此（Vt）的微分是Vt=rtVtdt+D-1tZtdBt- D-1tdKtSetθt=D-1tZtVt，αt=D-1tVt。然后dvt=Vt（rtdt+αtdKt+θtdBt）或Vt=VexpZtθsdBs+Ztrsds+Ztαsdk-Ztθsd-hBsi.效率是显而易见的。平均波动率不确定性19推论4.1每项收益严格为正的资产都是广义几何布朗运动。证据：由于根据风险中性定价公式，每项交易的报酬均大于0，q.s∈ [0，T]，Vt=D-1等式[DTVT | Ft]>0，q.s.那么这个推论是由定理4.5得到的。5.结果在马尔可夫环境中，在本节中，我们考虑一些使用状态相关BSB方程的结果。5.1. 对η和KWhy的解释当我们在波动性不确定性下进行超级对冲时，K和η会出现吗？它们有一定的财务意义吗？我们对BSDE（4.3）中的净辐射术语K给出了粗略的解释。在马尔可夫环境中，K有一个具体的分解：Kt=Rt[2G（ηs）ds- ηsd hBis]，其中ηt=StΓt，Γt=US（St）是期权的伽马，带支付Φ（St）。

显然oη对应于选项的伽马Γ，而我们知道Z对应于δ 这是一种选择。在经典的Black-Scholes-Merton模型中，当交易者使用Black-Scholes公式以管理波动率σt出售并动态对冲看涨期权时，如果实际波动率低于管理波动率，相应的损益将为负值。It^o公式的应用表明，做空delta套期保值期权的瞬时损益为（5.1）损益（t，t+dt）=StΓt“σtdt”-dStSt#其中σ是管理波动率，即期权出售时的波动率，以及dStSt表示在[t，t+dt]期间实现的方差。Γ对acall期权为正，且已实现波动率的上限足以授予利润（反之，期权买家的下限）。对于支付Φ（ST）且波动率在每个时间t的区间[σ，σ]内波动的期权，投资者寻求一种管理政策，该政策在实现路径上产生非负的损益。因此，投资者在某种意义上以最大波动率出售期权，例如，做空delta对冲期权的最大瞬时损益应为（5.2）损益（t，t+dt）=supσ≤σt≤σ{σtStΓt}dt-StΓtd hBit=dKt。参见Martini和Jacquier（2010年）、Jacquier和Slaoui（2010年），了解P&L.20的定义和推导。对于依赖于状态的支付，做空三角洲对冲期权的最大瞬时P&L的形式为（5.2）。证据：我们认为风险是中性的&意味着确定的世界。股票价格遵循（5.3）dSt=St（rtdt+dBt），其中（rt）被假定为一个有界函数。设V为Barenblatt方程（3.9）的唯一光滑解。

然后根据它的公式，（5.4）dV（St）=五、tdt+St五、S（rtdt+dBt）+St五、Sd hBit。方程（5.3）和（5.4）的离散版本为（5.5）St=St（rt）t+Bt）和（5.6）五=五、Tt+St五、S（rt）t+Bt）+St五、s hBit。对于delta套期保值投资组合∏，该投资组合的持有人是短一个衍生工具和长一个金额五、Sof股票和五、-五、党卫军留在银行账户里的现金。即投资组合的损益差异为（5.7）πt=五、s圣- 五+五、-五、SStrtt、 现在，将等式（5.5）和（5.6）代入（5.7）得到πt=-五、TT-圣五、s hBit+五、-五、SStrtt、 此外，由于期权的超边际价格遵循Barenblatt方程（3.9），我们得到πt=supσ≤σt≤σ{σtStΓt}T-圣Γt hBit。因此（t，t+dt）上的最终损益读数sp&L（t，t+dt）=supσ≤σt≤σ{σtStΓt}dt-StΓtd hBit。因此，Ktover（t，t+dt）与做空Deltah边期权的最大损益相符。也就是说，通过选择波动率σ，我们获得了稳健策略的非负P&L（或K）。然后我们回到等式（4.3）第4节，它现在有一个明确的含义：平均波动率不确定性21o最小超战略满意度：投资组合价值的变化减去固定损益，等于期权管理价格的变化。也就是说，我们可以沿途提取P&L（t，t+dt）资金，最终得到最终的支付。对于期权买家来说，为了保证收益，他/她必须选择最小的波动率，比如他/她的损益（t，t+dt）（5.8）损益（t，t+dt）=SteΓtd hBit-infσ≤σt≤σ{σtSteΓt}dt总是非负的。5.2. 考虑以下最小超策略Dvt=rtVtdt+πtdBt来估计分布- （2G（ηt）dt- ηtd hBit），VT=Φ（ST）和最大子速率ydevt=rteVtdt+eπtdBt+（2G（eηt）dt- eηtd hBit），eVT=Φ（ST），其中S由（5.3）定义，ηt=STΓt，eηt=-斯蒂Γt。

在不完全市场中，超边际价格和分边际价格（也称为买卖价格）通常不相等，并且存在一组套期保值价格。Cont（2006）提议测量模型不确定性对未定权益价值的影响ξbyeP（ξ）：=V[ξ]-eV[ξ]。定义Dt=expn-Rtrsdso。因为eP（ξ）=E[DTξ]+E[-DTξ]，然后eP（·）满足（i）eP（D-1Tc）=0，C∈ R、 （ii）eP（ξ+η）≤ eP（ξ）+eP（η），ξ, η ∈ 液化石油气(Ohm), p>1，（iii）eP（ξ）≥ 0.以下结果表明eP（·）与波动不确定性和伽马风险密切相关。定理5.2对于所有的ξ=Φ（ST），Φ是ST的Lipschitz函数，我们有（5.9）eP（ξ）≤σ- σ· 五十、 式中，L=EhRTDtStmax（|t |，|eΓt |）dti。22 Y.xurof：我们表示Vt=Vt-eVt，πt=πt- eπt，Kt=Rt2G（ηs）ds-Rtηsd hBis+Rt2G（eηs）ds-Rteηsd hBis。然后vt=0-ZTtrsVsds-ZTtπsdBs-ZTtdKs。请注意，总的来说Ks不是G-鞅，因为G是次可加函数。将其^o公式应用于（DtVt），我们得到（5.10）Vt=D-1tEZTTDSDK |英尺, q、 s.ThereforeeP（ξ）=V=EZTDsdKs≤σ- σ· EZTDt（|ηt |+|eηt |）dt≤σ- σ· EZTDtSt（|Γt|+|eΓt|）dt≤σ- σ· Eztdtsmax（|t |，|eΓt |）dt.定理5.2和第5.1节中的结果也适用于离散路径相关支付。备注5.1从（5.10）中观察到，买卖价差实际上是超边际损益和分边际损益之和的累积。结论本文采用彭的G-随机分析方法考虑了平均波动率的不确定性。所有结果都可以应用于路径相关选项。股票价格假设为广义几何G-布朗运动，其中平均不确定性不一定与波动性不确定性有关。由G-布朗运动驱动的BSDE给出了超边缘问题的简洁公式。

对于分包，我们必须施加强有力的条件来保证无套利，这与Vorbink的工作基本不同。另一个值得一提的现象是，平均不确定性并不影响证券的定价。当我们推导出超边缘偏微分方程时，在delta套期保值之后，股票增值消失了，这表明存在一个风险中性的世界，所有投资者都以风险中性的方式进行定价和套期保值。在马尔可夫背景下，我们用损益语言对最小超策略中的有限方差项给出了精确而实用的解释。还讨论了波动区间对价格波动的控制。所有这些都表明，G-随机分析是测量模型不确定性的方便工具。尽管用德曼（1997）雄辩的话来说：即使是最新的模型也只是现象的模型，而不是真实的事物，但我们相信我们正在以更有效的方式建模，以解决真实事物的问题。平均波动率不确定性23附录A：PENG的G-随机演算在本节中，我们回顾了本文中需要的PENG的G-随机演算的一些必要概念和引理。读者可以参考Peng（2010a）了解更系统的信息。对于两个随机过程（Xt）和（Yt），设hX，Y表示它们的相互方差。我们用S（n）表示n×n对称矩阵的集合，S+（d）表示S（d）的正半限定元素。我们观察到S（n）是一个欧几里德空间，其标量积为hA，Bi=tr[AB]。允许Ohm 是一个完全可量化且可分离的空间。通常我们可以Ohm = C（[0+∞), 在紧致子空间上具有一致收敛的拓扑结构。B(Ohm) 表示的Borelσ-代数Ohm. 设H是定义在H上的实函数的线性空间Ohm 如果X，Xn∈ H然后φ（X。

Xn）∈ 每种类型的H∈ Cl.Lip（Rn），其中Cl.Lip（Rn）表示满足|~n（x）的（局部Lipschitz）函数的线性空间- |（y）|≤ C（1+| x | m+| y | m）|x- y |，x、 y∈ Rn，对于某些C>0，m∈ N取决于~n。H被认为是一个“随机变量”空间。在这种情况下，X=（X，…，Xn）被称为n维随机向量，用X表示∈ 嗯。我们还用byCkb（Rn）表示所有阶的有界导数小于或等于k的有界和k-时间连续可微函数的空间；CLip（Rn）Lipschitz连续函数的空间。定义A.1 H上的次线性期望E是函数E:H7→R满足以下性质：对于所有X，Y∈ H、 我们有（a）单调性：如果X≥ Y，然后E[X]≥ E[Y]。（b） 常数保持：E[c]=c，C∈ R.（c）次可加性：E[X+Y]≤ E[X]+E[Y]。（d） 正同质性：E[λX]=λE[X]，λ ≥ 定义A.2让X和Xbe在非线性期望空间上定义两个n维随机向量(Ohm, H、 E）和(Ohm, H、 E）分别。它们被称为同分布，用Xd=X，ifE[~n（X）]=E[~n（X）]表示，φ ∈ Cl.Lip（Rn）。次线性期望空间中的定义A.3(Ohm, H、 E）随机向量Y∈ Hnis被认为与另一个随机向量X无关∈ 对于每个测试功能，HME if下∈ Cl.Lip（Rm+n）wehaveE[~n（X，Y）]=E[E[~n（X，Y）]X=X]。注A.1有趣的是，Y独立于Xdoes，但并不一定意味着X独立于Y。参见Peng（2010a）中的第一章示例3.13。定义A.4（G-正态分布）。可测线性期望空间中的d维随机向量X=（X，…，Xd）(Ohm, H、 E）称为G-正态分布，如果对于每个a，b>0，我们有ax+bXd=pa+bx，其中X是X的独立副本。备注a.2很容易检查E[X]=E[-十] =0。

所谓的‘G’与G:S（d）7有关→ Rdefined byG（A）=E[hAX，Xi]，Hu和Peng（2009）证明了对于次线性期望E(Ohm, H） 存在一类线性期望{EP；P∈ P} 在(Ohm, H） 使E[·]=supP∈PEP[·].24 Y.定义A.5对于给定的一组概率测度P，我们引入了自然Choquet电容C（A）：=supP∈PP（A），A∈ B(Ohm).如果一个属性在极集合A之外保持不变，即C（A）=0，则该属性保持准肯定（q.s.）。X上的映射Ohm拓扑空间中的值称为准连续（q.c.），如果ε>0时，存在一个C（O）<ε的开集，使得X | Ocis连续。定义A.6（G——布朗运动）。d维过程（Bt）t≥关于次线性期望空间(Ohm, H、 E）如果满足以下性质，则称为G-布朗运动：（i）B（ω）=0；（ii）对于每个t，s≥ 0，增量Bt+s-对于每个n，Bt独立于（Bt，Bt，…，Btn）∈ Nand 0≤ T≤ ··· ≤ tn≤ T（三）Bt+s- Btd=√其中X是G-正态分布。定义A.7（最大分布）。可测线性期望空间中的d维随机向量X=（X，…，Xd）(Ohm, H、 E）称为最大分布，如果对于每个a，b>0，我们有ax+bXd=（a+b）X，其中X是X的独立副本。注a.3对于最大分布的随机变量X，存在一个有界的、封闭的和凸的子集Γ∈ Rd使e[~n（X）]=maxa∈ΓΓ（a），φ ∈ 里普（路）。定义A.8（有限方差G–布朗运动）。d维过程（βt）t≥关于次线性期望空间(Ohm, H、 E）如果满足以下性质，则称为有限方差G–布朗运动：（i）β（ω）=0；（ii）对于每个t，s≥ 0，增量βt+s-βt独立于（βt，βt。

，βtn），每n∈ Nand 0≤ T≤ ··· ≤ tn≤ T（三）βt+s- βtd=sX，其中X为最大分布。通常，hBit（Bt的二次方差过程）是一个有限方差G–布朗运动。我们将有限方差G–布朗运动的性质归纳为命题A.1假设（βt）是一维有限方差G–布朗运动。那么（i）（βt）是一个连续的过程，在E.（ii）（a.1）E[~n（βt+s）下具有有限的方差、独立和稳定的增量- βs）|Fs]=最大u≤u≤u~n（ut），φ ∈ Cl.Lip（右）。其中我们表示通常的参数u=E[β]，u=-E[-β].（iii）每0≤ T≤ T<∞, 我们有q.s.（A.2）u（T- （t）≤ βT- βt≤ u（T）- t） 。证明：见彭（2010a）的第（i）、（ii）和（iii）条。在序列中，让Ohm = C（[0+∞), Rd）表示所有Rd的空间-值连续路径（ωt）t∈ω=0的R+由Cb表示(Ohm) 上的所有有界连续函数Ohm. 对于每个固定的T≥ 0，我们考虑以下随机变量空间：Lip(OhmT） ：={X（ω）=~n（ωT）∧Tωtm∧T） ,，M≥ 1.φ ∈ Cl.Lip（Rm）}。均值波动不确定性25我们还表示LIP(Ohm) :=∞∪n=1Lip(Ohmn） 。对于给定的次线性函数G（a）=supγ，我们将考虑正则空间并设置Bt（ω）=ωt∈Γ{tr[Aγ]}，其中A∈ S（d），Γ是S+（d）的一个给定的非空、有界和闭凸子集，由以下公式确定：图（t，x）- GDxu= 0，u（0，x）=~n（x），Peng（2006）将G-期望E定义为E[~n（x+Bt）]=u（t，x）。每p≥ 1，X∈ 嘴唇(Ohm), kXkp=（E[|X | p]）p形成范数，E可以连续扩展到Banach空间，用LpG表示(Ohm).胡和彭（2009）证明了液化石油气(Ohm) = {X | X是B(Ohm)-可测量且具有准连续版本，s.t.limn→∞E[|X | p{|X |>n}]=0}。