模型不确定性下的稳健估值与风险度量

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Robust valuation and risk measurement under model uncertainty》
---
作者：
Yuhong Xu
---
最新提交年份：
2014
---
英文摘要：
  Model uncertainty is a type of inevitable financial risk. Mistakes on the choice of pricing model may cause great financial losses. In this paper we investigate financial markets with mean-volatility uncertainty. Models for stock markets and option markets with uncertain prior distribution are established by Peng\'s G-stochastic calculus. The process of stock price is described by generalized geometric G-Brownian motion in which the mean uncertainty may move together with or regardless of the volatility uncertainty. On the hedging market, the upper price of an (exotic) option is derived following the Black-Scholes-Barenblatt equation. It is interesting that the corresponding Barenblatt equation does not depend on the risk preference of investors and the mean-uncertainty of underlying stocks. Hence under some appropriate sublinear expectation, neither the risk preference of investors nor the mean-uncertainty of underlying stocks pose effects on our super and subhedging strategies. Appropriate definitions of arbitrage for super and sub-hedging strategies are presented such that the super and sub-hedging prices are reasonable. Especially the condition of arbitrage for sub-hedging strategy fills the gap of the theory of arbitrage under model uncertainty. Finally we show that the term $K$ of finite-variance arising in the super-hedging strategy is interpreted as the max Profit\\&Loss of being short a delta-hedged option. The ask-bid spread is in fact the accumulation of summation of the superhedging $P\\&L$ and the subhedging $P\\&L $.
---
中文摘要：
模型不确定性是一种不可避免的金融风险。定价模式选择上的错误可能会造成巨大的经济损失。本文研究了具有平均波动率不确定性的金融市场。利用彭的G-随机演算建立了具有不确定先验分布的股票市场和期权市场模型。股票价格的过程用广义几何G-布朗运动来描述，其中平均不确定性可能与波动性不确定性一起移动，也可能与波动性不确定性无关。在套期保值市场上，根据Black-Scholes-Barenblatt方程推导出（奇异）期权的上限价格。有趣的是，相应的巴伦布拉特方程并不取决于投资者的风险偏好和标的股票的平均不确定性。因此，在适当的次线性预期下，投资者的风险偏好和标的股票的平均不确定性都不会对我们的超边缘和次边缘策略产生影响。对超级和次级套期保值策略给出了适当的套利定义，以使超级和次级套期保值价格合理。特别是次套期保值策略的套利条件填补了模型不确定性下套利理论的空白。最后，我们证明，超级对冲策略中产生的$K$有限方差被解释为做空增量对冲期权的最大损益。买卖价差实际上是超边际$P\\&L$和分边际$P\\&L$总和的累积。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--

---
PDF下载：
--> Robust_valuation_and_risk_measurement_under_model_uncertainty.pdf (585.49 KB)

2022-5-6 12:35:35 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：风险度量 不确定性 确定性 风险度 不确定

模型不确定性下的稳健估值和风险度量徐州大学模型不确定性是一种不可避免的金融风险。定价模式选择上的错误可能会造成巨大的财务损失。在本文中，我们研究了具有平均波动率不确定性的金融市场。利用彭的G-随机演算建立了具有不确定先验分布的股票市场和期权市场模型。股票价格过程用广义几何G-布朗运动来描述，其中平均不确定性可以与波动性不确定性一起移动，也可以与波动性不确定性无关。在套期保值市场上，根据布莱克-斯科尔斯-巴伦布拉特方程推导出（奇异）期权的最高价格。有趣的是，相应的Barenblatt方程并不依赖于投资者的风险偏好和标的股票的平均不确定性。因此，在某种适当的次线性预期下，投资者的风险偏好和标的股票的平均不确定性都不会对我们的超边际和次边际策略产生影响。给出了超级和次级套期保值策略套利的适当定义，以确保超级和次级套期保值价格合理。特别是次级套期保值策略的套利条件，填补了模型不确定性下套利理论的空白。最后，我们表明，超级套期保值策略中产生的有限方差K被解释为做空增量套期保值期权的最大收益和损失。

风险价差实际上是超边际损益和次边际损益之和的累积。关键词：平均波动率不确定性、无套利、期权定价、风险中性估值、损益、高估、不确定性波动模型、G-预期、G-布朗运动数学学科分类2010:91G20、91B24、91B26、91B28、91G80、60H05、60H10，60H30JEL分类代码：G13、D81、C61。1.引言自Black and Scholes的开创性工作（Black and Scholes（1973））以来，数学模型在衍生工具的定价和分类中发挥了重要作用。Black-Scholes期权定价公式已被广泛使用，甚至用于评估标的资产（例如股票）已知不满足恒定波动率Black-Scholes假设的期权。我们的工作就像我们是正确的一样，我们经常感谢上海市金融信息技术重点实验室（SUFE）和金融风险定量计算与控制合作创新中心以及项目111（编号B12023）的支持。作者还想对托普洛夫表示感谢。山东大学非线性预期的S.Peng和李新鹏博士以及其他研讨会参与者提供了有益的建议，并特别感谢帝国理工学院的Antoine Jacquier博士就损益概念进行的讨论。地址：中国苏州大学金融工程中心徐宇红，邮编：215006。电子邮件：于红。xu@hotmail.com2Y.将参数视为我们认为的参数。然而，严格意义上说，我们不知道自己知道多少。未知参数，通常情况下，均值和波动率的不确定性会导致模型风险或模型不确定性。模型风险是模型使用不可避免的后果。它经常被隐藏或掩盖，经常被忽视。

如Cont（2006）所指出的，不考虑模型风险可能会导致企业灾难，有时甚至会。模型风险的一个典型案例是概率模型的选择。通常，决策者或风险管理者无法将准确的概率归因于未来结果。这种情况被奈特（1921）称为不确定性。骑士不确定性有时用来表示概率未知的情况。或者，当我们面对几个可能的规格P，P。关于未来结果的概率（Epstein（1999））。模糊厌恶在宏观经济学（Hansen、Sargent和Tallarini（1999））和资本市场的价格行为（Chen和Epstein（2002）；爱泼斯坦和王（1995）；Routledge和Zin（2009年）。在这种情况下，公允期权价值和完美适用的套期保值无法确定。衍生品交易中波动风险的存在是市场不完全性的具体表现。模型不确定性问题长期以来在经济学和金融学中得到承认。Dow和Werlang（1992）利用Schmeidler（1989）开发的不确定性厌恶偏好模型研究了单期投资组合选择问题。Epstein and Wang（1994）和Chen and Epstein（2002）研究了代表性代理经济学中均衡资产价格的含义。El Karoui和Ravanelli（2009）研究了带有利率模糊性的现金次加性风险度量。Xu（2014）研究了多重先验条件下的多维风险度量。关于模型不确定性和多先验模型的更多论文，请参见Epstein和Wang（1995）、Gundel（2005）、Riedel（2009）以及其中的参考文献。我们并没有在这里全部列出。

注意，在关于模型不确定性的现有研究中（Chen和Epstein（2002）；El Karoui和Ravanelli（2009年）；爱泼斯坦和王（1995）；冈德尔（2005）；徐（2014）），全概率测度P∈ Pare假设相当于一个参考概率P。这个技术要求实际上相当严格：它意味着所有模型都同意一个宇宙场景，只影响它们的概率。波动率不确定的扩散模型的一个例子（Avellanda，Levy，1995）；Cont（2006）；Lyons（1995））没有验证这一假设。最近的勘探包括Vorbrink（2010年）、Nutz和Soner（2010年）、Epsteinand Ji（2011年、2013年）和Eberlein、Madan、Pistorius和Yor（2014年）；Eberlein、Madan、Pistorius、Schoutens和Yor（2014年）；马丹（2012）；Madan和Schoutens（2012年）。金融市场的波动性很难预测。尽管我们手头有大量历史数据，但波动性可能会随她所愿而变大，而且似乎对新信息相当敏感。人们可以估计短期波动，但永远不能预测长期波动。决定波动性的因素太多了。有时我们假设波动是由随机因素驱动的，例如，波动本身就是一个差异过程。这种模型被称为随机波动模型（Heston（1993））。模型风险通常是由于我们的风险模型的不足而导致我们估计的风险度量出现错误的风险（Dowd（2005））。模型的不确定性导致了一种模型风险。波动率的模糊性是模型不确定性的一个典型例子。平均波动率不确定性3可选择的几个参数，用于拟合历史数据或校准市场。对于未知波动率的建模问题，一个稳健的选择是将其视为不确定的事实。我们只是站在两个界限σ和σ上，分别推导出最坏情况和最佳情况下的价格。

区间[σ，σ]表征波动的不确定性水平。时间间隔越大，波动性波动越大。此外，这个时间间隔取决于投资者对风险的偏好或厌恶程度。保守投资者可能会建立一个较大的区间，并选择最小的超级策略。然而，过大的间隔会产生如此高的超战略，以至于毫无意义。现在，我们回顾在Avellaneda、Levy和Paras（1995）中引入的不确定波动率模型。为简单起见，我们只考虑基于单一流动交易股票的衍生证券，该股票在合同有效期内不支付股息。假设未来股票价格所遵循的路径为It^o过程（1.1）dSt=St（utdt+σtdWt）。式中，（ut）和（σt）是经过调整的过程，因此σ≤ σt≤ σ、 其中（Wt）是给定概率空间下的标准布朗运动(Ohm, F、 P）。常数σ和σ表示根据投资者对未来价格波动的预期和不确定性，应输入模型的波动率的上下限。这两个界限可以从历史股票或期权隐含波动率的波动峰值统计得出。如Avellaneda、Levy和第（1995）段所述，它们可以被视为确定未来波动值的置信区间。请注意，两个不同的波动过程通常会在一组可能路径上产生相互奇异的概率度量。因此，波动性模糊性导致了一组风险中性概率P的模型不确定性，每一个概率都对应于在[σ，σ]中的每一时刻的值的相对性过程。当然，我们会寻找最便宜的价格，在这样的环境下，我们可以出售和管理期权。一个方便的框架是随机控制框架，其中管理波动率被解释为一个控制变量。

结果表明，最优控制下的价值函数将产生最便宜的超战略价格。然而，超战略问题和随机控制之间的联系并不明显。回想一下，随机控制问题是在一组过程中最大化期望，而超策略是在一组概率上，即支持∈佩普。这一问题在Avellaneda、Levy和Paras（1995）中得以避免，在Lyons（1995）中得到部分处理，在Martini（1997）和Frey（2000）中得到更正式的处理。丹尼斯和马提尼（Denis and Martini，2006）在总体框架方面取得了重大进展，可以将其视为准随机分析。另请参见Soner、Touzi和Zhang（2010a）对动态定价建模中的一个关键因素——条件更新的论述。Peng（2006，2007b，2008a）建立了一种路径分析，称为G-随机分析，它将经典的维纳分析扩展到了一个关于4Y.场的次线性预期框架Ohm = C（[0+∞), Rd），所有Rd值连续路径的空间（ωt）t∈ω=0的R+在紧致子空间上具有一致范数。引入了Gnormal分布、G-布朗运动、G-期望等概念（见附录A或彭（2009）的评论论文，以及总结性书籍，彭（2010a））。G-期望的代表（胡和彭（2009）），E[·]=supP∈PEP[·]告诉我们，G-期望自然地诱导了一组概率P。证明了（Bt）是每个P下的鞅∈ P（Nutz和Soner（2010）；Soner、Touzi和Zhang（2011a）），并且存在一个独特的适应过程（σpt），使得σ≤ |σpt|≤ σ、 a.a.t，P-a.s.和bt=ZtσpsdWPs，T≥ 0，P-a.s.，其中（WPt）是标准EP-布朗运动。

因此，一个有趣的现象出现了：在任何P下（Bt）的二次方差∈ P、 hBiPt=Zt |σps | ds，T≥ 0，P-a、 s不再是时间t的确定函数。G-随机分析的所有结果都以无模型的方式工作：它们在所有概率P下都成立∈ P或准肯定（q.s.），即，对于所有P，P（a）=0的极集合aw外的属性成立∈ P.正如彭的ICM讲座（彭（2010b））所指出的，G-预期可能是衡量波动风险的自然候选指标。在这个方向上，Vorbrink（2010）做了初步工作，主要关注无套利的论点。基于Karatzas和Kou（1996）的工作，Vorbrink将不存在对投资组合选择有限制的市场套利的概念改编为不确定波动率模型的框架。在对财富过程进行建模时，不考虑投资组合的风险溢价。因此，避免了将主观风险偏好转变为风险中性世界的技术困难。最近，Epstein和Ji（2011、2013）研究了递归效用，考虑了均值和波动性的双重性。他们将该模型应用于一个具有代表性的代理人捐赠经济体，以研究Arrow-Debreu式和顺序Radner式经济体的均衡资产收益。Madan（2012）提出了两种价格经济的均衡模型，其中定义了市场清算条件。另见Eberlein、Madan、Pistorius和Yor（2014年）；Eberlein、Madan、Pistorius、Schoutens和Yor（2014年）；Madan和Schoutens（2012）使用G-期望理论获得了相关结果。本文同时考虑了平均波动率的不确定性。正如下一节后面所指出的，平均不确定性通常与波动性不确定性一起出现。TheP是一个每周的紧凑套装。

最近，Bion Nadal和Kervarec（2012）证明了存在一个可数弱相对紧集{Pn，n∈ N} P使上述陈述仍然成立。a、 答：几乎全部；a、 美国：几乎可以肯定；a、 e:几乎到处都是。国际数学家大会（International Congress of Mathematics）将波动不确定性5股票价格建模为广义几何G-布朗运动，其中均值不确定性可以在不考虑波动不确定性的情况下移动。第3节推导了状态相关和离散路径相关选项的超边缘PDE。有趣的是，在超边缘偏微分方程中既没有出现投资者的偏好，也没有出现平均不确定性，这表明在这种模糊的环境中确实存在风险中性措施。第四节将经典的Black-ScholesMerton模型推广到不确定波动率情况。超边缘策略只是由G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程（简称G-BSD）的解。结果表明，该解是无套利的最小超策略。特别是，给出了子策略套利的条件，这与Vorbink的工作有本质区别。有限方差术语K被解释为投资者的利润和损失（短期损益）。彭的G-随机分析和一些技术结果的回顾安排在附录中。2.股票的平均波动率不确定性2。1.波动不确定性带来平均不确定性我们假设股票的价格过程满足以下线性随机微分方程（简称SDE）：dSt=St（udt+dBt），其中（Bt）是G-布朗运动。将0到T之间实现的连续复合年收益率定义为ζ。因此，st=Seζ，ζ=TlnSTS=TBT+uT-hBiT.因此，预期持续复合收益率的平均值将在[u]内波动-σ, u -σ].

我们不认为股票升值有任何模糊性。然而，平均或预期回报率是不确定的。每t不是一个对称的随机变量，因为我们不一定有E[St]=-E[-圣]。波动率的模糊性导致模型的不确定性，即多先验模型。当然，在一组概率模型下，股票价格的预期值可能是模糊的。本文将通过彭氏随机分析同时考虑平均波动率的不确定性。参见Martini和Jacquier（2010）、Jacquier和Slaoui（2010）了解损益的概念。为了便于写作，在本文的下文中，我们将始终考虑由一维G-布朗运动驱动的模型。6 Y.XU2。2.股票价格的过程在经典的Black-Scholes-Merton期权定价模型中，股票的价格过程假定为It^o过程（2.1）dSt=St（utdt+σtdWt），其中W是给定线性概率空间下的标准布朗运动(Ohm, F、 P）；σ是股票价格的波动性；这是预期的回报率。It^o公式yieldst=Sexp的一个应用ZtσsdWs+Zt（us-σs）ds.这叫做几何布朗运动。我们现在考虑一个同时具有平均不确定性和波动不确定性的股票市场。我们不确定预期收益率u和波动率σ未来会朝哪个方向移动，甚至不确定它们的分布，但它们肯定会在[u，u]和[σ，σ]范围内变化。这种不确定模型可以用不确定性G[u，u]-布朗运动和零均值G[σ，σ]-布朗运动共同描述。设（βt）为给定次线性期望E下的有限方差G[u，u]-布朗运动和（Bt）为零均值G[σ，σ]-布朗运动。然后，模型（2.1）可以改写为（2.2）dSt=St（dβt+dBt）。然而，我们倾向于对预期收益率进行以下修改：让R为无风险利率。